Geometria(1 parte) 4° 1 b

27 28 COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria

CONCEPTOS GEOMÉTRICOS FUNDAMENTALES

OPERACIONES CON SEGMENTOS

I. OBJETIVO DE LA GEOMETRÍA El objeto de la geometría es el estudio de las figuras geométricas desde el punto de vista de su forma, extensión y relaciones que guardan entre sí.

Geometría plana.- Estudia las figuras planas, esto es, aquellas cuyos puntos se encuentran en un mismo plano. Llamada también Planimetría.

Geometría del espacio.- Estudia las figuras sólidas o del espacio, esto es, aquellas cuyos puntos no se encuentran en un mismo plano.Ejm: cubo, prisma, pirámide, esfera, etc.

II. FIGURA GEOMETRICA Se llaman figuras geométricas a los conjuntos de puntos, tales como las líneas, superficies y cuerpos. El punto representa el conjunto unitario. En toda figura, menos en el punto, distinguiremos su tamaño, su forma y su posición.

Clasificación de las figuras planas:

Congruentes. Cuando tienen igual forma y tamaño.

Semejantes. Cuando tienen igual forma pero diferente tamaño.

Equivalente. Cuando tienen la misma área o el mismo volumen pero diferente forma o tamaño.

III. ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE LA GEOMETRÍA Los elementos geométricos fundamentales son:1) El Punto2) La Recta y3) El Plano

1. Punto: Límite mínimo de la extensión, que se considera sin longitud, latitud ni profundidad. La idea de punto geométrica nos lo da la punta de un alfiler o la marca que deja la punta de un lápiz. Expresa tan solo una idea y no un objeto real.

2. Línea Recta: Sucesión continua de puntos que se desplaza hacia ambos extremos en forma ilimitada.

3. Plano: Superficie imaginaria ilimitada, es engendrada por una línea recta cuando se desplaza paralelamente a su posición original.

IV. OTROS TERMINOS GEOMETRICOS

1. Línea: Está formada por una sucesión continua de puntos con una sola dimensión que es la longitud.

2. Semi-recta: Parte de la recta que carece de punto de origen.

3. Rayo: Parte de la recta que posee punto de origen.

4. Segmento de recta: Porción de recta comprendido entre dos puntos que son los extremos.

Conjuntos ConvexosDefinición: Un conjunto “P” del plano recibe el nombre de conjunto convexo, si y solo si, para cada par de puntos A y B de P, se cumple que PAB ⊂ .Un conjunto que no es convexo se llama CÓNCAVO.

A

B

AB

A

B

a) b) c)

d) ___ ___ e)

De los conjuntos precedentes (a) son conjuntos convexos.

SEGMENTO DE RECTA

Definición: Para dos puntos cualesquiera A y B, el segmento AB es el conjunto de los puntos A y B y de todos los puntos que están entre A y B. Los puntos A y B se denominan extremos.

Segmentos consecutivos: Dos o más segmentos se llaman consecutivos, cuando cada uno tiene con el siguiente un extremo común. Los segmentos consecutivos pueden pertenecer a una misma recta o a una poligonal.

Congruencia de segmentos: Se dice que dos segmentos son congruentes cuando tienen la misma longitud.

Punto Medio o Punto Bisector de un segmento:Se dice que el punto “M” de AB es un punto medio. Si: AM=MB

A M B

a a

AM= MB= a

Observaciones:a) Todo segmento tiene exactamente un

punto medio.b) Si los puntos extremos de un segmento

PQ , tienen por coordenadas ( )11 y,x

y ( )22 y,x , entonces su punto medio

tiene por coordenada (m;n).

Donde: 2

xxm 21

+= ;

2

yyn 21

+=

Ejemplo:Si: P=(2;4) y Q=(6,8)Hallar la coordenada de su punto medio.

Solución: 42

62m =+= ;

62

84n =+=

Luego: M= (4,6)

c) Si los puntos extremos de AB tienen

por coordenadas 21 xyx , es decir:

1xA = y 2xB = , entonces, su

punto medio tiene por coordenada:

2

xxm 21

+=

Distancia entre A y B:

12xxAB −=

OPERACIONES CON SEGMENTOS

A) Suma de Segmentos:

A B C D

ADCDBCAB =++

B) Resta de Segmentos:

A B C D

S4GE31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4GE31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”

GEOMETRÍA


BDADAB −=PROBLEMAS RESUELTOS

01.En una recta se encuentran los puntos consecutivos A, B, C donde BC mide 10

y AC , 40. Hallar la medida del segmento

AB .

a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

Solución: Sea la recta:

A B C10

40

BCACAB −= 1040 −=AB

30=AB

Clave “C”

02.Los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D; son tales que: AD = 18, BD =13 y

AC = 12. Hallar BC

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 5

Solución:

A B C D

18

1312

ACADCD −=1218CD −=

)1..(..........6CD =

)2......(CDBDBC −=Reemplazando (1) en (2):

613BC −=

7BC =

Clave “B”03.En una recta se encuentran los puntos A, B, C

y D consecutivos tal que AC = 18 y

BD = 20.

Hallar ABCD −

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Solución:

A B C D18

20

x

BCACAB −=.......(1)x18AB −=BCBDCD −=

.......(2)x20CD −=Restando: (2) menos (1)

x)(18x20ABCD −−−=−x18x20ABCD +−−=−

2=−ABCDClave “B”

04.Los puntos colineales y consecutivos son tales que: AB + BC = 15;

20CDAB;17CDBC =+=+ ; hallar AB – BC + CD

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

Solución:

A B C D

a b c

(*) a + b = 15 ........(1)(*) b + c = 17 .......(2)(*) a + c = 20 ........(3)

Sumando: (1) + (2) + (3):2(a+b+c) = 52(a+b+c) = 26 ⇒ a = 9

17

Luego: 6b = y 11c =

Por tanto: a – b + c = 9 – 6 + 11 = 14

Clave “C”

05.P, Q y R son 3 puntos consecutivos de una recta PQ = 2QR + 1 y PR = 31. Hallar QR.

a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13

Solución:

P Q R

a b

Del enunciado tenemos:a = 2b + 1.......(1)a + b = 31 .......(2)Reemplazando (1) en (2):3b + 1 = 31 ⇒ b =10Luego:

10bQR ==

Clave “B”

06.Sobre una línea recta se ubican ordenadamente los puntos A, B, C y D, si AB = 3BC = 4CD y AD=19m.Calcular la longitud de BC .

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

Solución:

A B C D

a b c

Del enunciado:(*) a = 3b = 4c = k ...... (1)(*) a + b +c = 19 ..........(2)

De (1)a = k

b = 3k

c = 4k

Reemplazando en (2)

194

k

3

kk =++

k = 12Por tanto:

3

12

3

kbBC ===

4BC =∴

Clave: “A”

07.Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos: A, B, C, D y E. Si AC + BD + CE = 44, AE = 25 y DE = 2AB. Calcular la longitud de AB .

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Solución:

A B C D E

a b c d

Del Dato:(*) a + b + b + c + c + d = 44

a + 2b +2c + d = 44 ....... (1).....25dcbaAE =+++= (2)

.....a2dAB2DE =⇒= (3)Reemplazando (2) en (1):(a+b+c+d) +b+c=44 25 + b+c=44

b+c=19 ......(4)Reemplazando (4) en (2):

a+d+19=25a+d=6 ...... (5)

Reemplazando (3) en (5)a+2a=6



a=2Luego:

2aAB ==∴

Clave: “B”08.Sobre una línea recta se ubican

ordenadamente los puntos A, B, C, D y E; si AC + BD + CE = 32 y además:

5

AE3BD = . Calcular la longitud de

AE .

a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

Solución:

A B C D E

a b c d

Del Dato:32CEBDAC =++

32dccbba =+++++32dc2b2a =+++ ...... (1)

Además:

( )dcba5

3cb +++=+

d3c3b3a3c5b5 +++=+)2......(d3a3c2b2 +=+

Reemplazando (2) en (1): 32d)d3a3(a =+++)3........(8da =+

Reemplazando (3) en (2):)da(3c2b2 +=+

)8(3)cb(2 =+)4........(12cb =+

Sumando (3) y (4):20dcba =+++

20AE =

Clave: “B”

09.A, C, D y E son puntos colineales y consecutivos tal que D sea punto medio de CE y AC +AE = 50. Hallar AD.

a) 25 b) 12.5 c) 50 d) 20 e) N.a.

Solución:

A

a

C D E

bb

Del enunciado:50AEAC =+

Reemplazando:50b2aa =++

50)ba(2 =+25ba =+

25baAD =+=Clave: “A”

10.A, B y C son puntos colineales y consecutivos, tales que 7AB =8BC y AC = 45, hallar BC.

a) 25 b) 19 c) 23 d) 21 e) N.a.

Solución:

A B C

a b

Del enunciado, tenemos:

)1........(kb8a7 ==)2...(..........45ba =+

De (1):

8

kb

7

ka =∧=

Reemplazando “a” y “b” en (2):

458

k

7

k =+

k = 168Luego:

8

168

8

kbBC ===

21BC =∴

Clave: “D”PRÁCTICA DE CLASE

01.AC + BD = 40 cm . Hallar : PQ

A B C D

x

a a b bP Q

a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25

02.AB = 60 cm ; BC = 40 cmAM = MC . Calcular “x”

A M B N

Cx

a) 50 b) 30 c) 20 d) 15 e) 5

03.AD = 24 cm , AC = 15 cm ; BD = 17 cm. Hallar “x ”

A B C D

x

a) 4 b) 10 c) 12 d) 7 e) 8

04. PR + QS = 20 mts QR = 6 mts. Calcular : “x”

P Q R S

x

a) 14 b) 11 c) 13 d) 10 e) 9

05.7 PC = 2 PD + 5 PB2AD + 5AB = 14 mts. Calcular “x”

P A B C D

x

a) 2 b) 7 c) 4 d) 8 e) 6

06. AM = 4 mts , OR = 6 mts

1/ AM + 1/AR = 2/ AO . Hallar “x”

A M O R

x

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

07. CD = AB + BC ; AD = 10 mtsCD/BC = 2/5. Hallar “x”

A B C D

x

a) 3 b) 6 c) 8 d) 10 e) 7

08. AC = 3 mts ; AB . AC =

)BCAB(2 22 −Calcular “x”

A CB

x



a) 2 b) 5 c) 8 d) 3 e) 1,5

09.AM = MD ; AB + CD = 10 mtsBM - MC = 2 mts. calcular “x”

A DB M C

x

a) 7 b) 4 c) 6 d) 9 e) 2

10. AP;AQ/1AB/2AP/1 == = 2 mtsBQ = 3 mts. Calcular : “x”

A BP Q

x

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

11.2

CDACAB

+= ;

1BD2BD2

−=Calcular : “x”

A DB C

x

a) 9 b) 1 c) 7 d) 2 e) 0,8

12.Los puntos consecutivos A, M, B y C pertenecen a la misma recta. M es el punto medio de AC . Hallar MB; si AB – BC = 32.

a) 8 b) 32 c) 18 d) 16 e) 24

13.En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D cumpliendo la relación: AD – BD – 2CD = 1. Hallar AD, si AB = 3 y AC = 5.

a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 e) 7

14.Sean los puntos colineales y consecutivos: A, B, C y D. Calcular “AD” si : AC = 7 ; BD = 9 y BC = 4.

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

15.Se tiene los puntos A, B, C y D, colineales y consecutivos, tal que AB=4 y AB.BD = AC.CD. Calcular “CD”.

a) 2 b) 22 c) 4d) 6 e) 8

16.Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A, B y C de tal manera que : AC+AB=18 ; si “M” es punto medio de BC. Calcular “AM”.

a) 12 b) 9 c) 8d) 7,5 e) 6

17.Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D tal que “M” es punto medio de AB y “N” es punto medio

de CD . Calcular “MN” si AC = 6 y BD = 8.

a) 7 b) 9 c) 12d) 10 e) 5

18.Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, y D de manera que AC = 8, BD = 7 y AD = 4BC. Calcular “BC”.

a) 2,5 b) 3 c) 3,5d) 4 e) 5

19.Sobre una recta se dan tres puntos consecutivos M, A y B , tal que AB = 2 y MB . MA = 24.

Calcular la distancia de “M” al punto medio de

AB .

a) 4 b) 5 c) 6d) 8 e) 10

20.Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Siendo CD = 3AB y AD = 3BC = 60. Hallar “AC”.

a) 45 b) 30 c) 15d) 10 e) 20

PROBLEMAS PROPUESTOS

01.Se tiene los puntos colineales A, B, C y D. AC=2BD. Calcular “BC”.Si: 2AB + 8 = 3BC + 4CD

a) 8 b) 12 c) 9d) 10 e) 11

02.En una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D, E, tal que AC+BE = 20 . Hallar BC, si AE=BC+12.

a) 6 b) 3 c) 4d) 5 e) 8

03.Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C. Luego se toma el punto medio “M” de BC .

Hallar AM, si: AB+AC=14µ.

a) 7µ b) 14µ c) 28µd) 3,5µ e) N.A.

04.Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D, cumpliéndose que AC + BD = 10µ y BC=3µ. Hallar AD.

a) 6µ b) 7µ c) 8µd) 9µ e) N.A.

05.En una recta se encuentra los puntos consecutivos A, B, C, D y cumplen la siguiente relación:4AB - BD - 2CD = 4µ ; AB = 3µ ; AC = 5µ Hallar AD:

a) 5µ b) 6µ c) 7µd) 8µ e) N.a.

06.Sobre una línea recta se marcan los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que AB, BC y CD están en progresión aritmética. Si AD = 27 y CD = AB + 6. Hallar ABa) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

07.Tres segmentos tienen sus longitudes proporcionales a los números 5, 8 y 12. Si el mayor tiene 56 unidades más que el menor, entonces la longitud del segmento que no es mayor ni menor es:

a) 20 b) 32 c) 64d) 72 e) 86

08.Se tienen los segmentos consecutivos colineales CDyBC,AB . El primero es el cuádruple del segundo y el tercero es el doble de AC . Si AD = 30. Hallar la distancia entre los puntos medios de

CDyAB .

a) 8 b) 12 c) 15d) 16 e) 18

09.En una recta se toman los puntos colineales O, A, B. Si .m13OBOA =+

Calcular la distancia de “O” al punto medio de AB.



a) 5 b) 6 c) 5,5d) 6,5 e) 7,5

10.En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D. Si AB = 2CD; BC igual a 5CD y BC = 3m.Calcular AB .

a) 1,2 b) 6 c) 2,8d) 1,4 e) 1,6

11.Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B y D de modo que AC = CD.Calcular BC, Si: AB = 6m y BD = 14m

a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 4

12.En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que:

3

CD

2

BCB ==A . Si AD = 24m.

Calcular AB.

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

13.Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B y C. Hallar AM2 – BM2. Sabiendo que AB x AC = 16 y que M es punto medio de BC.

a) 8 b) 10 c) 12d) 14 e) 16

14. Sobre una recta se toman los puntos A, B, C, D.Calcular AD, si: BC = 6

CD

AD

BC

AB;

2

3

CD

AB==

a) 36 b) 38 c) 42d) 56 e) 64

15.En una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D, hallar AD, Sí:

4

CD

3

BC

2

AB== y AC = 4 + CD

a) 4 b) 16 c) 27d) 36 e) 45

TAREA DOMICILIARIA

01. Se tienen los puntos consecutivos: “M” , “A”, “O” y “B”, siendo “O” punto medio de

AB. Calcular OM, sabiendo que 4

AB2+

MA . MB = 81

a) 18m b) 12 c) 6d) 3 e) 9

02. Se tiene los puntos consecutivos “P”, “Q”, “R” y “S” de manera que: PR + QS = 20m, si QR = 6m, halle PS

a) 10 b) 12 c) 14d) 16 e) 20

03. Se tiene los puntos consecutivos A, B, C y D; siendo B punto medio de AC. Calcular AB, si:

m22ADy3

AC

4

BD==

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 12

04. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, y E hallar BE, si:

51AE,7

DE

5

CD

3

BC

2

AB====

a) 6 b) 9 c) 24d) 36 e) 45

05. Sobre una recta se dan los puntos: A, B, C, D de modo que AC = 12m, BD = 15m, BC = CD/2, calcular el valor de AB.

a) 5m b) 6m c) 7md) 8m e) 9m

06. Sobre una recta XX1 se dan los puntos O, A, C, B de tal manera que OA = 6cm, OB = 15cm y AC CB/2, se pide determinar la longitud OC.a) 8 b) 9 c) 10d) 7 e) 5

07. Sobre una recta se dan los puntos A,B, C, D, E y F consecutivamente de modo que BE = 5/8. AF y AC + BD + CE + DF = 26m. Hallar el valor de AFa) 13cm b) 14 c) 15d) 16 e) 17

08. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D y E de tal manera que se cumpla: AB = BC/2 = CD/3 = DE/4.Calcular AE si AC = 6m

a) 20m b) 21 c) 24d) 25 e) 18

09. Sean los puntos colineales y consecutivos L, M, N, P, Q, siendo: 2LM = MN y

5

1

MQ

LN= .

Hallar LM

NQ

a) 12 b) 1/12 c) 13d) 1/13 e) N.a.

10. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos P, Q y R entre los puntos Q y R se toma un punto H, tal que:

.28PQ4QRy4

HRPH =−=

Hallar QH.

a) 7 b) 5,6 c) 4,8d) 4,5 e) N.a.



Definición: Es la reunión de dos rayos que tienen un punto extremo común, es decir tienen el mismo origen.Los dos rayos son los lados del ángulo y el punto extremo común se llama VÉRTICE del ángulo.

A

BO

θ

Elementos del ángulo.

1. Lados: OA y OB2. Vértice: “O”3. Simbología: ∠ AOB, AOB; ∠ AOB

4. Notación: ∠ AOB = OA ∪ OB5. Medida: m ∠ AOB = θ°

Ángulos congruentes. (≡)

Dos o más ángulos son congruentes si tienen igual medida.

A

BO

∝°

P

QO

∝

POQAOB ∠≅∠

Bisectriz de un ángulo. La bisectriz de un ángulo es el rayo que partiendo del vértice divide al ángulo en dos ángulos congruentes.

• OX : es bisectriz del ∠ AOB

• m∠AOX =∠ XOB = θ°• ∠AOX =∠ XOB

A

BO

θ x°

θ °

Clasificación de los ángulos.Los ángulos se clasifican según su medida, de acuerdo a su posición y según sus características.

I. SEGÚN SU MEDIDA

1. Ángulo Agudo: Es aquel ángulo cuya medida es menor que 90° pero mayor que 0°.

A

BO

θ °

°∠θ°∠ 90O

2. Ángulo Obtuso: Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 90° pero menor que 180°.

A

BO

°α

°∠α°∠ 18090

3. Ángulo Llano o rectilíneo: Es aquel ángulo cuyos lados son dos rayos opuestos; es decir son colineales y su medida es 180°.

O

180°

°=∠ 180AOBm

4. Ángulo Recto: Es aquel ángulo cuya medida es igual a 90°

A

BO

θ

°=θ 90

5. Ángulo Nulo o Perígono: Es aquel ángulo cuya medida se considera igual a 0°.

A

BO

°=∠ 0AOBm

II. SEGÚN LA POSICIÓN DE SUS LADOS

1. Ángulos adyacentes:Se dice que dos ángulos son adyacentes cuando tienen el mismo vértice y un lado común tal que los lados se encuentren a otro y otro lado del lado común.

BO

θlado común

A

C

α

Los ángulos: AOB y BOC son adyacentes (*) dos o más ángulos serán adyacentes consecutivos cuando cada uno de ellos es adyacente con su inmediato.

2. Ángulos opuestos por el vértice:Son dos ángulos determinados al trazar dos rectas secantes.

θ α

A

B D

C

∠ AOB ≡ ∠ CODm∠ AOB = m ∠ COD

III. SEGÚN SUS CARACTERÍSTICAS.

1. Ángulos adyacentes complementarios: Se dice que dos ángulos son adyacentes complementarios, cuando tienen el mismo vértice y cuyos lados tienen el mismo vértice y cuyos lados no comunes forman un ángulo recto.

A B

Oθ

C

α

Los ángulos AOB y BOC son adyacentes complementarios.

°=β+α 90


ÁNGULOS


2. Ángulos adyacentes suplementarios: Se dice que dos ángulos son adyacentes suplementarios, cuando tienen el mismo vértice y cuyos lados tienen el mismo vértice y cuyos lados no comunes forman un ángulo recto.

A

B

O

θ

C

α

PROBLEMAS RESUELTOS

01.La diferencia entre el suplemento y el complemento del ángulo “α”, es igual a 6 veces el ángulo “α”. Hallar dicho ángulo.

a) 30° b) 90° c) 60°d) 15° e) N.a

SoluciónSea el ángulo “α”Por da:(*) Suplemento = 180 - α(*) Complemento = 90 - αPlanteando la ecuación:(180 - α) - (90° - α) = 6α90 = 6α

°=α 15

02.Si a un ángulo se le resta su complemento es igual a la cuarta parte de su suplemento. Hallar dicho ángulo.

a) 80° b) 45° c) 15°d) 60° e) 75°

SoluciónSea el ángulo “α”Luego: α - (90° - α) 1/4 (180 - α)

2α - 90 = 1/4 (180 - α)8α - 360 = 180 - α9α = 540

°=α 60

03.Si a uno de 2 ángulos suplementarios se le disminuye 35° para agregarle al otro, este nuevo resulta ser 8 veces mayor de lo que era el primero. El menor de los ángulos suplementarios mide:

a) 50° b) 45° c) 125°d) 55° e) N.a.

Solución: Sean los ángulos “α” y “θ”

Por dato α + θ = 180° ............................. (1)

Si se agrega y disminuye 35°, se tiene:(θ + 35)= 8( α - 35)θ + 35 = 8α - 2808α - θ =315 .............................. (2)

Sumando (1) + (2)

α + θ = 180°8α - θ = 315° 4α = 495°

α = 55θ = 125

Clave: “D”

04.En la figura: OP y OR son bisectrices

?COB,160RQP ==∧∧

A D

P

B

O

C

R

a) 80° b) 140° c) 100°d) 120° e) N.a.Solución:De la gráfica:

A D

P

B

O

C

R

αα

θθ

γ

PQR = 160°α + γ + θ = 160° ......................... (1)Además:α + θ + (α + γ + θ) = 180°

α + θ + 160° = 180°α + θ = 20° ........... (2)

Reemplazando (2) en (1)α + θ + γ = 160° 20° + γ = 160°

γ = 140°Clave: “B”

05.En la figura: AOC = 140, BOD = 120, BOC = ?

A D

CB

O

a) 80° b) 50° c) 70°d) 60° e) N.a.

Solución:De la gráfica:

A D

CB

O

αβ

θ

Se tiene, según los datos:AOC = α + β = 140 ..............……. (1)BOD = β + θ = 120 ……………… (2)

Además:α + β+ θ = 180 …………………... (3)Sumando (1) y (2) y reemplazando en (3)β + β + α + θ = 260° β + 180 = 260

BOC = β = 80

Clave: “A”

06. En la figura: AOC = 150°, BOD = 110°.Calcular: BOC

AD

C B

O

a) 80° b) 90° c) 85°d) 55° e) N.a.

Solución:Del dato tenemos:

AOC = AOB + BOCBOD = COD + BOC

AOC+BOD= AOB+BOC+COD+BOC

Reemplazando:150 + 110 = 180 + BOC

BOC =80Clave: “A”



PRÁCTICA DE CLASE

01.Tres ángulos consecutivos, situados a un mismo lado de una recta están en progresión aritmética. Calcular los ángulos, si el menor y el mayor están en relación de 3 es a 7.

a) 36°, 60°, 84° b) 0°, 60°, 84°c) 60°, 20°, 70° c) 40°, 50°, 80°e) N.a.

02.Cinco ángulos situados alrededor de un punto están en progresión aritmética. Calcular el mayor de los ángulos si los menores están en relación de 4 es a 5.

a) 84° b) 48° c) 96°d) 40° e) N.a.

03.En el siguiente gráfico BD es bisectriz del ángulo CBE y la suma de los ángulos ABC + ABE = 86°. ¿ Cuál es el valor de los ángulos ABD?

B

A

C

D

E

a) 45° b) 35° c) 43°d) 48° e) 60°

04.Sabiendo que:AOBdetrizsecBiOQ →

°=→ 48BOCyAOCdetrizsecBiOR

Calcular QOR

O

A

C

R

B

Q

a) 14° b) 24° c) 12°d) 26° e) 10°

05. En el siguiente gráfico:

O

C

D

B

A

AOC + BOC = 100°AOC - BOC = 40°

DOBHallar.AOCdetrizsecBiOD →

a) 8° b) 6° c) 5°d) 15° e) 10°

06.Se tiene tres ángulos consecutivos AOB, BOC y COD de tal manera que las bisectrices de los ángulos AOB y COD son perpendiculares y el ángulo BOD mide 80°. Calcular la m ∠ AOC.

a) 100° b) 50° c) 70°d) 80° e) N.A

07.Si los puntos A, O y B es una recta, OQ

es bisectriz del ángulo AOM y

7

5

QOBm

QONm =∠∠

. Hallar la medida del

ángulo NOB.

A B

N

M

O

a) 18° b) 25° c) 30°d) 45° e) 60°

08.En la figura, calcular la medida del ángulo formando por la bisectriz del ángulo AOB y COD.

A DO

B

C

120°

70°

120

a) 85° b) 90° c) 95°d) 100° e) 105°

09.En la figura si: medida del ángulo BON=

20° ON bisectriz del ángulo AOQ.

OM bisectriz del ángulo AOP. Calcular

“x”

P QO

C

x°

x°

A

a) 51° b) 52° c) 53°d) 54° e) 55°

10.Se tienen los ángulos adyacentes

suplementarios AOB y BOC . Si OM es

bisectriz del ángulo AOB. Calcular la medida del ángulo BOM. Siendo además m∠ BOC - m∠ AOB = 40°.

a) 40° b) 20° c) 10°d) 30° e) 35°

11.De que ángulo se debe restar su complemento para obtener 10°.

a) 30° b) 40° c) 50°d) 60° e) 70°

12.Si el suplemento del suplemento del suplemento de la medida de un ángulo se la añade el complemento del complemento del complemento del doble de la medida de dicho ángulo, se obtiene el triple de la medida del ángulo mencionado. Calcular dicho ángulo.

a) 60° b) 45° c) 30°d) 55° e) 50°

13.Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC

y COD. Se trazan las bisectrices OP y

OQ de los ángulos AOB y COD

respectivamente. Si m ∠ POQ = 70° y m∠ BOD = 120°. Hallar la medida del ángulo AOC.

a) 60° b) 20° c) 40°d) 50° e) 30°

14.Dados los ángulos consecutivos M O N y

QON , OX es bisectriz del

NOM , OY , es bisectriz del

QON , OZ es bisectriz del YOX

. Si m∠ NOQ - m ∠ MON = 60°. Calcular m∠ NOZ:

a) 20° b) 15° c) 30°



d) 25° e) N.a

15.Sabiendo que los ángulos superpuestos

BOA y COA son complementarios,

siendo OX , bisectriz del ángulo BOC,

entonces el ángulo AOX mide:

a) 30° b) 37° c) 60°d) 53° e) 45°

16.De la figura: Hallar “x”:

x2x

a) 30° b) 60° c) 45°d) 53° e) 36°

17. Se tiene los ángulos consecutivos AOB BOC y COD tal que OC es bisectriz del ángulo BOD; además se cumple:m AOB +m AOD = 100. Hallar m AOC

a) 100° b) 80° c) 50°d) 60° e) 40°

18. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC; el primero es mayor que el segundo en 40°. Se traza la bisectriz OX del ángulo AOC. Calcular la m BOX.

a) 40° b) 50° c) 80°d) 20° e) 70°

19.Sobre una línea se tiene cinco ángulos consecutivos, los cuales se encuentran en progresión aritmética. Si el mayor de los ángulos excede al menor en 20°. Hallar el menor de dichos ángulos.

a) 20° b) 50° c) 36°d) 40° e) 70°

20.Hallar “x”. Si: m AOD = 220°; m BOD=230°, m AOC = 240.

a) 10° b) 20° c) 30°d) 40° e) 50°


01.Encontrar la mitad de la tercera parte del complemento del suplemento de un ángulo que mide 96°.

a) 1° b) 2° c) 3°d) 4° e) N.a.

02.Si a un ángulo se le resta su complemento es igual a la cuarta parte de su suplemento; calcular dicho ángulo.

a) 80° b) 45° c) 15°d) 60° e) N.a.

03.Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, calcular la suma de AOC y BOD si el ángulo formado por las bisectrices vde AOB y Cod es de 90°

a) 150° b) 135° c) 160°d) 180° e) N.a.

04.La diferencia de dos ángulos adyacentes es 90. ¿Cuál s la diferencia de los ángulos formados por sus bisectrices?

a) 40° b) 50° c) 45°d) 30° e) N.a.

05.Hallar “x” en la figura, si POQ = 100.

x° α

αβ

β

A

R

X

B

P

Y

a) 50° b) 40° c) 30°d) 20° e) N.a.

06.En la figura:OB bisectriz de AOEOC bisectriz de BOEOC bisectriz de COESi BOD = 36. Hallar AOE

A

C

E

B

D

a) 96° b) 72° c) 48° d) 24° e) N.a.

07.En la figura AOC y BOC son suplementarios. AOB = 80. Hallar AOC.

A

C

O

B

a) 100° b) 110° c) 120°d) 130° e) N.a.

08.La suma del complemento de un ángulo “α” con el suplemento de un ángulo doble es igual a 3/2 del complemento de un ángulo “β” y α - β = 24°. Calcular el complemento del ángulo de “α”.

a) 36° b) 18° c) 24°d) 45° e) 38°

09.En la figura AOM = BOXBON = 22.BOX = ?ON es bisectriz de AOXOM es bisectriz de AOX

αα

A

B

X

M

OX'

N

a) 28° b) 14° c) 56°d) 95° e) 69°

10.Calcular la medida de un ángulo, sabiendo que su complemento es a su suplemento como 1 es a 10.a) 80° b) 75° c) 70°d) 95° e) 69°

11.Se tienen tres ángulos consecutivos, AOB, BOC y COD de tal manera que las bisectrices de los ángulos AOB y COD son perpendiculares y el ángulo BOd mide 80°. Calcular la m ADC.

a) 100° b) 50° c) 70°d) 80° e) N.a.

12.Si los puntos A, O y B están en una recta, OQ es bisectriz del ángulo AOM y

7

5

QOBm

QONm =∠∠

. Hallar la medida del

ángulo NOB.

Q

B

M

OA

N

a) 18° b) 25° c) 30°d) 45° e) 60°

13.En la figura la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOB y COD.



B

B

C

OA70°

120°

a) 85° b) 90° c) 95°d) 100° e) 105°

14.En la figura si: m BON = 20°. ON bisectriz del ángulo AOQ, OM bisectriz del ángulo AOP. Calcular “x”

QP

M

O

A

Nx°

x°

B

a) 51° b) 52° c) 53°d) 54° e) 55°

15.Se tienen los ángulos adyacentes suplementarios AOB y BOC. Si OM es bisectriz del ángulo AOB. Calcular la medida del ángulo BOM, siendo además m BOC - m AOB = 40°

a) 40° b) 20° c) 10°d) 30° e) 35°

TAREA DOMICILIARIA

01.Se tiene los ángulos consecutivos suplementarios AOB y BOc que se diferencian en 38°. Calcular la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOC y el rayo OB.

a) 76° b) 38° c) 20°d) 19° e) 24°

02.Hallar “x”

x°

30°

a) 30° b) 60° c) 70°d) 50° e) 25°

03.Se tiene los ángulos consecutivos AOB , BOC y COD, siendo 2(AOB) = 3(COD); AOC = 92° y BOD = 76°. Hallar la medida de BOC.

a) 24° b) 16° c) 54°d) 44° e) 64°

04.El doble de la medida de un ángulo es igual al triple de la media de su complemento. Hallar la medida del ángulo.

a) 54° b) 36° c) 44|d) 27° e) 58°

05.Si a la medida de un ángulo se le resta dos grados mas que a la tercera parte de su complemento, resulta un cuarto del suplemento del ángulo, disminuido en un grado. ¿Cuánto mide dicho ángulo?

a) 45° b) 46° c) 44°d) 48° e) 38°

06.Alrededor de un punto O, en sentido horario, en forma consecutiva se trazan los rayos

ODyOC,OB,AO , siendo

ODOCyOBOA ⊥⊥ . Hallar la

medida del ángulo que forman las bisectrices de AOC y BOD.

a) 135° b) 45° c) 120°d) 150° e) 90°

07.Se tiene los ángulos consecutivos: AOB, BOC y COd de tal modo que AOD = 100° y BOC = 60°. Calcular el ángulo que forman las bisectrices de los ángulos AOB y COD.

a) 60° b) 70° c) 80°d) 90° e) 85°

08.Sean los ángulos AOB y BOC adyacentes, suplementarios d modo que BOC - AOB = 44°. Se trazan:OX: Bisectriz del ángulo BOCOY: Bisectriz del ángulo AOXOZ: Bisectriz del ángulo XOYHallar el suplemento del complemento de la medida del ángulo BOZ.

a) 24° b) 24° 30’ c) 25°d) 27° 30’ e) 115°

09.Los rayos

OEyOD,OC,OB,OA y se

encuentran ubicados en un mismo plano de modo que la bisectriz del ángulo OX del ángulo AOB es perpendicular a la bisectriz OD del ángulo BOE. Si XOE = 160°.Calcular el complemento del ángulo BOD

a) 70° b) 40° c) 140°d) 30° e) 20°

10.La tercera parte de la mitad del suplemento de la medida de un ángulo excede de 2 a los 3/5 del complemento de la medida del mismo ángulo.

a) 60° b) 30° c) 10°d) 120° e) 45°


27 28

RECTAS

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria

Ángulos formados por dos rectas paralelas.

Si L1 // L2

a bd c

npq

m

L

L

Entonces: 1. ∠ Internos .........................................

...........................................................

...........................................................

...........................................................

2. ∠ Externos .........................................................................................................................................................................................................................

Internos ...............................................................................

3. ∠ Alternos Externos .............................................................................

Internos ...................................................................

4. ∠ Conjugados Externos .........................................

............................

5. ∠ Correspondientes ...............................................................................................................................................................................................................

Practica de Clase:

01. En la figura, L1 // L2 y α + β = 160°. Hallar θ

L

L

1

2

α

β

θ

a) 35° b) 40° c) 50°d) 55° e) 80°

02. Hallar el ángulo en la figura, si L1 // L2

L

L

1

2

α

x

3x/2

a) 144° b) 154° c) 134°d) 136° e) 146°

03. Si 'YY//'XX .Hallar β - α.

α

X

β

X'100°100°

Y Y'38°

a) 72° b) 32° c) 10°d) -32° e) -10°

04. En la figura, DE;EF//AB es

perpendicular a AC y α y β son entre si

como 2 es a 7. Hallar β - α

α

A

βB

CD

E F

a) 100° b) 80° c) 0d) 60° e) 40°

05. En la figura 'YY//'XX . Hallar ∧x

X X'

Y Y'

α

α

x

30°

30°

a) 30° b) 60° c) 90°d) 120° e) 150°

06. En la figura mostrada 'YY//'XX . Determinar α + β

X X'

Y Y'

α

35°

β

120°

150°

a) 175° b) 185° c) 65°d) 155° e) 95°

07. En la figura 'YY//'XX y ABCD es

un cuadrado. Hallar el ángulo α.

X X'

Y Y'α

120°

A

B

C

D

a) 60° b) 30° c) 45°

d) 15° e) N.a.

08. En la figura L1 // L2. Hallar la medida de

DEADyBCADsiFED ⊥⊥∧

L1αA

C x40°

B

D

EF

α

L2

a) 15° b) 10° c) 25°d) 30° e) 40°

09. En la figura L1 // L2 y L3 // L4. Calcular x/y

L1

140°

L2

L3 L4

60°y

x

a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4d) 1/4 e) 1/3

10. En la figura: L1 // L2. Clacular la medida del

ángulo ∧x sabiendo que: α - β = 160°

L1

L2

α

β

x

a) 35° b) 40° c) 50°d) 39° e) 50°

11. En la figura L1 // L2. Si el triángulo ABC es equilátero, hallar α + β



L1

L2α

β

A

B

C

a)240° b) 180° c) 210°d) 120° e) 300°

12. En la figura, hallar “a”. Si L1 // L2

L1

L2

2x

3xx

a

a

a) 15° b) 45° c) 30°d) 50° e) 60°

13. En la figura adjunta EFyCD,AB

son paralelas, BEF∧ = 65° y DBE

∧ =

15°, entonces BDC∧ es igual a:

A B

x

C D

E F

a) 110° b) 145° c) 30°d) 50° e) 60°

14. En la figura, determinar el suplemento de b, si se sabe que L1 // L2 y además 4a - b = 30°

L1

L2 a

b

4a

a)90° b) 105° c) 120°d) 135° e) 130°

15. Del gráfico, calculae el valor de “x”. Si L1 // L2:

L1

L2

α

x

α

5

3 α4

a) 10° b) 50° c) 70°d) 80° e) N.a.

16. Si L1 // L2. Hallar: 3

)xy( −

L1

L2

y

35°

30°

x

a) 5 b) 6 c) 7d) 10 e) N.a.

17. En la figura mostrada, L1 // L2. Calcular “x”

L1

L2

3

2nn

α α

β

β θθ

x

mm

a) 100° b) 135° c) 140°d) 180° e) 200°

18 En la figura, calcular “x”. Si L1 // L2

L1

L2

3

α

αβ

β

xw

wx

a) 36° b) 40° c) 50°d) 20° e) N.a.

19. Según el gráfico, L1 // L2. Calcular el valor de “x”:

L1

L2

ααθ

x

θ

130°

a) 10° b) 15|c) 20°d) 30° e) N.a.

20. Si L1 // L2, hallar “x”:

L1

L2

x°

x°

8x°

a) 45° b) 20°c) 30°d) 25° e) 18°


01. Si L1 // L2. Hallar “x”

L1

L2

2x

3x

x°

a) 15° b) 18°c) 12°d) 20° e) 30°

02. Si L1 // L2. Hallar “x”, Si a° + b° + c° + d° = 140°

L1

L2

b

a

x°

c

d

a) 30° b) 40°c) 50°d) 60° e) 70°



03. Hallar “x” si L1 // L2

L1

L2

b

x°

aa

b

a) 60° b) 75°c) 105°d) 135° e) N.a.

04. Si L1 // L2, hallar “x”

L1

L2 a

x°

2a

110°

a) 40° b) 60°c) 80°d) 100° e) N.a.

05. Si L1 // L2. Hallar “x”. Si a° + b° + c° + d° = 122°

L1

L2

c

a

x°

b

d

a) 41° b) 51° c) 60°d) 61° e) 71°

06. Hallar “x”, si L1 // L2

L1

L2

x°

θ

30°

40°

θ

a) 120° b) 100° c) 80°d) 110° e) 150°

07. Si L1 // L2. Hallar “x”:

L1

L2

2x

4x

a) 15° b) 20° c) 30°d) 45° e) 60°

08. En la figura AB, Cd y EF so paralelas m∠ FEB = 65°, m∠ EBD = 15°. Entonces m∠ CDB

A B

C D

E F

a) 125° b) 130° c) 115°d) 145° e) 135°

09. Hallar”x”, si L1 // L2

L1

L2

2

2

α

θθ

α

x

a) 30° b) 45° c) 60°d) 80° e) 90°

10. Si L1 // L2. Hallar “x”

L1

L24x

7x3x

2x

x

a) 12° b) 10| c) 9°d) 15° e) 18°

11. En la figura L1 // L2. Hallar “x”:

L1

L2

13α

6α

2α

a) 10° b) 15° c) 12°d) 18° e) 13°

12. En la figura Ab.BC. Hallar el ángulo “x” en función de “α”, si FG // AC.

A

B C

F

G

x

a) 90° + α / 2 b) 180° − α c) 90° + 2α d) 180° - α / 2 e) 90° + 3α / 2

13. Hallar el valor del ángulo “x”. Si COF∧

= α / 3. L1 // L2 y L3 // L4

L1

L2

α2β α

L3L4

FG

O

a) 45° b) 45° c) 270°d) 30° e) 180° - 2

14. Calcular el valor de α (L1 // L2)

L1

L2

θθ

α

5α

a) 12°30’ b) 15° c) 13°d) 10° e) 8°

15. En la figura mostrada. Calcular “x”, si L1 // L2



L1

L2

60°

80°

x

αα

a) 64° b) 168° c) 166°d) 170° e) 172°

TAREA DOMICILIARIA

01. Si L1 // L2 que se cumple

L1

L2

3ba

a3b n

m

a) m - n b) m + n = 90c) m + 2n = 90 d) m = 2ne) 2m = n

02. Hallar θ L1 // L2

L1

L2

45

α + 15φ

α + 30

2φ

θ

a) 2° b) 5° c) 10°d) 15° e) N.a.

03. AB//EF . Calcular α

F

AB

E

40°

α

a) 2° b) 5° c) 10°d) 15° e) N.a.

04. Si: m // n. Calcular θ°

F

A

θ

θ

θ

80°

a) 80° / 3 b) 50° / 3 c) 80°d) 50° e) N.a.

05. En la figura calcular “x”, si: α +θ = 270 y m // n

θ

m

α

x

a) 45° b) 60° c) 37°d) 90° e) N.a.

06. Si: L1 // L2 y α + θ = 300°Calcular:

Lθ

x

1

L 2

α

a) 10° b) 20° c) 30°d) 41° e) N.a.

07. Si: α − θ = 6 y m // n.Calcular “x”

m

n

x

α

θ

a) 84° b) 50° c) 37°d) 45° e) 90°

08. En la figura L1 // L2.Calcular “x”

L

L

x + 2

x

145°

x

2

2

1

2

a) 30° b) 33° c) 40°d) 43° e) N.a.

09. Si: α + θ = 260 y L1 // L2// L3.Calcular “x”

L

L

1

2

L3

αβ

β

x

θ

a) 20° b) 30° c) 50°d) 58° e) N.a.

10. Hallar “α”L1 // L2

L

L

1

2

α2α

3α

7α4α

a)10° b) 20° c) 30°d) 50° e) N.a.




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Geometria(1 parte) 4° 1 b