Gravitación

“GRAVITACION

UNIVERSAL”

ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL LITORAL

CONSTANTE DE LA GRAVITACION UNIVERSAL

La constante de gravitación universal, denominada G, tiene un

valor de 6.67x10-11 (N*m2)/kg2 y su valor fue establecido por

primera vez por el físico inglés Henry Cavendish en 1798.

Newton ya se refirió a ella en su famosa Ley de la Gravitación

Universal, pero no fue hasta 100 años más tarde cuando

Cavendish pudo cuantificarla.

F fuerza de atracción de 2 cuerpos

m1 masa del cuerpo 1

m2 masa del cuerpo 2

r distancia entre los 2 cuerpos

G constante de gravitación universal

Cavendish, colgó de un hilo, una varilla en cuyos

extremos puso unas bolitas de masa conocida. Suspendió el hilo

al techo y puso al lado de cada bolita una gran esfera, también

de masa conocida. Pretendía medir la fuerza de atracción

gravitatoria entre la bola pequeña y la grande ... y al final lo

consiguió.

Con este dato, los de las masas de las bolas y la distancia que las

separaba, pudo calcular G de forma primitiva.

Su valor actual lo estableció el físico americano Paul R. Heyl en

1928 y es de: 6.67*10-11 (N*m2)/kg2

Isaac Newton (1642-1727) se basó en las consideraciones hechas

en las secciones precedentes para establecer la ley que

caracterizaba a la gravedad de la siguiente manera:

Toda partícula de materia en el universo atrae a todas las

demás partículas con una fuerza directamente proporcional a

la masa de las partículas e inversamente proporcional al

cuadrado de la distancia que las separa.

LEY DE LA GRAVITACIÓN DE NEWTON

Cómo es la fuerza

gravitacional fuera de

un cuerpo esférico?

Y cómo es dentro del

cuerpo esférico?

CAMPO GRAVITACIONAL

Una fuerza de magnitud F produce en un objeto de masa m una

aceleración de magnitud a dirigida en la misma dirección de la

fuerza.

Por tanto, la aceleración de la gravedad alrededor de un

cuerpo de masa M puede ser obtenida como:

Cómo sería el peso de un cuerpo en la

superficie terrestre? , y en la superficie

de la Luna?

Cómo sería la aceleración debida a la

gravedad en la superficie terrestre? , y en la

superficie de la Luna?

Ejemplo 1: Superposición

Para el sistema de estrellas mostrado en la gráfica adjunta,

determinar:

a) La magnitud y dirección de la fuerza gravitacional ejercida

sobre la estrella pequeña por las grandes.

b) La aceleración que experimenta la estrella pequeña.

c) La magnitud de la fuerza gravitacional ejercida sobre cada

una de las otras estrellas.

d) Todas las estrellas experimentan la misma aceleración?

Ejemplo 2:

Una tripulación de astronautas realizan una misión en la

superficie de Marte, cuyo radio es RM=3.40x106m y cuya masa es

MM=6.42x1023kg. Si el peso en la Tierra del equipo de los

astronautas es 39200N, determinar:

a) El peso del equipo en la superficie de Marte.

b) El peso del equipo en Marte a una altura h=6.0x106m sobre la

superficie del mismo.

c) La aceleración debida a la gravedad en Marte.

ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL

Inicialmente se supuso que la fuerza gravitacional era constante

y originaba una energía potencial de valor U=mgh, pero ahora

conocemos que la misma varía y se necesita una expresión más

general de energía potencial.

drFwr

rrgrav

2

1

r

mGmU T

21 UUwgrav

U siempre es negativa. Cuando el cuerpo se acerca a la Tierra la energía potencial disminuye y

se hace más negativa. Cuando se aleja de la Tierra , aumenta y tiende a cero.

1ra. LEY DE KEPLER

Todos los planetas se mueven en

órbitas elípticas con el Sol en

uno de los puntos focales.

a y b son los semiejes

mayor y menor de la

elipse

La excentricidad (e) se define como el cociente

e = c/a ; 0<e<1

Las leyes de Kepler describen la cinemática del movimiento de

los planetas en torno al Sol.

2da. LEY DE KEPLER

El radio vector dibujado desde el Sol hasta cualquier planeta

barre áreas iguales en intervalos de tiempos iguales.

La ley de las áreas es equivalente a la

constancia del momento angular, es decir,

cuando el planeta está más alejado del Sol

(afelio) su velocidad es menor que cuando

está más cercano al Sol (perihelio).

CtevrMprL p

dtvrrdrdA

2

1

2

1

CteM

L

dt

dA

p

2

C:/Jhurel/FISICA ORDENADOR/celeste/kepler/leyesKepler2.jar

C:/Jhurel/FISICA ORDENADOR/celeste/kepler/fuerza.htm

















3ra. LEY DE KEPLER

El cuadrado del periodo orbital de cualquier planeta es

proporcional al cubo del semieje mayor de la órbita elíptica.

T2


Fuerza Conservativa

Supongamos que una partícula de masa m se mueve desde la

posición A hasta la posición B en las proximidades de un cuerpo fijo

de masa M.

Vamos a calcular el trabajo realizado por la fuerza de atracción F.

INSTITUTO DE CIENCIAS FISICAS


Para calcular el trabajo total, integramos entre la posición

inicial A, distante rA del centro de fuerzas y la posición final

B, distante rB del centro fijo de fuerzas.


El trabajo W no depende del camino seguido por la partícula para ir

desde la posición A a la posición B. La fuerza de atracción F, que

ejerce el cuerpo fijo de masa M sobre la partícula de masa m es

conservativa. La fórmula de la energía potencial es

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/energia/energia.htm#Fuerza conservativa. Energía potencial


El nivel cero de energía potencial se ha establecido en el infinito,

para r = ∞, Ep=0

El hecho de que la fuerza de atracción sea conservativa, implica

que la energía total (cinética más potencial) de la partícula es

constante, en cualquier punto de la trayectoria.



Velocidad de Escape

Se puede hacer uso de consideraciones de energía para

encontrar el valor mínimo de la velocidad inicial requerida para

que el objeto escape al campo gravitacional de la Tierra.

En la superficie de la tierra donde vi = v y ri = r max,

debido a que la energía total del sistema se conserva.

½ m Vi² - =

G Me m

Re

- G Me m

r max

Resolviendo para Vi ².

Vi² =

2 G Me -

1 .

Re

1 .

r max



Conociendo la rapidez inicial puede utilizarse para

calcular la altura máxima h, ya que se sabe que h= rmax – Re.

Tendiendo rmax = ∽ en la ecuación y tomando la Vi

= Vesc se obtiene:

2 G Me

Re Vesc =

La velocidad de escape de la superficie de varios cuerpos

celestes. Esta velocidad depende de la masa y del radio.


Dinámica del Movimiento Rotacional

F=mv2/r. El tiempo que tarda un planeta en dar una vuelta completa es el cociente

entre la longitud de la circunferencia y la velocidad, T=2p r/v.

Vemos que la fuerza F que actúa sobre el planeta

en movimiento circular uniforme es

inversamente proporcional al cuadrado de la

distancia r desde el centro de fuerzas al centro

del planeta


Newton comparó la aceleración centrípetra de la Luna con la

aceleración de la gravedad g=9.8 m/s2. La aceleración centrípetra de la

Luna es ac=v2/r=4p 2r/T2, con r=3.84·108 m y T=28 días=2.36·106 s,

se obtiene ac=2.72·10-3 m/s2. Por consiguiente,

Como el radio de la Tierra es 6.37·106 m, y el radio de la órbita

de la Luna es 3.84·108 m, tenemos que

Por tanto,

Las aceleraciones de ambos cuerpos están en razón inversa

del cuadrado de las distancias medidas desde el centro de la

Tierra.



Tres esferas de masas 2 kg, 4 kg y 6 kg se colocan en las esquinas de un triángulo

rectángulo, como en la figura donde las coordenadas están en m. Calcúlese la fuerza

gravitacional resultante sobre la masa de 4 kg. Suponiendo que las esferas se encuentran

aisladas del resto del universo.

Gm4 m2 j

r42 F42 =

F42 = (6.67 x 10-11Nm²/kg²)(4kg)(2kg) j

32 m²

F42 = 5.93 x 10-11 j N

F4 = 2.62 X 10 -11 N con un ángulo de 149° con el eje x positivo

F4 = F42 + F46 = (- 10 i + 5.93 j) x 10 -11 N

(-4,0)m

(0,3)m

6 kg 4 kg

2 kg

x

y

(0,0)m

Gm4 m6 j

r42 F46 =

F42 = (6.67 x 10-11Nm²/kg²)(4kg)(6kg) j

4 2m²

F42 = - 10 x 10-11 i N



Determínese la magnitud de la aceleración de la gravedad a una altura de 500 km ¿En

qué porcentaje se reduce el peso de una persona a esta altura?

Solución: Mediante la ecuación de g‘ con h = 500 km, Re = 6.38 x 10^6 m y Me = 5.98

x 10^24 kg se obtiene

G Me .

(Re + h)2 g ‘ =

g ‘ = (6.67 x 10-11Nm²/kg²)(5.98 x 1024kg)

(6.38 x 106 + 0.5 x 106 )2 m²

g ‘ = 8.43 m/s²

Como g ‘ / g = 8.43 / 9.8 = 0.86, se concluye que el peso del cuerpo se reduce

aproximadamente 14% a una altitud de 500 km.



Calcúlese la masa del sol usando el hecho de que el periodo de la Tierra es de 3.156

x 107 s y su distancia al sol es 1.496 x 1011 m.

4 п² r³

GT ² Ms =

Ms = 4 п² (1.496 x 10^11m)3 .

(6.67 x 10^-11 Nm²/kg ²)(3.156 x 10^7s) ²

Ms = 1.99 x 10^30 kg

Obsérvese que el sol tiene 333000 veces más masa que la tierra

Solución: Con la ecuación de periodo se obtiene



Un planeta de masa m se mueve en na órbita elíptica alrededor del Sol. Las distancias

más cercana y más alejada del planeta respecto del sol se conocen como perihelio y

afelio respectivamente. Si la rapidez del planeta en el punto p es Vp ¿Cuál es la rapidez

en el punto a? Supóngase que se conocen las distancias ra y rp.

mvprp mva ra =

va = rp vp

ra



Una partícula de masa m se desplaza una pequeña distancia vertical y cerca de la

superficie de la terrestre. Veamos como la expresión general para el cambio en la energía

potencial gravitacional, dada por U = mg y.

U ~ y = mg y

Solución: Se puede expresar la ecuación

U = -G Me m - = G Me m

si tanto la posición inicial como la posición final de la partícula se encuentra cerca de la

superficie terrestre, entonces rf – ri = y y ri rf ~ Re ²

1

rf

1

ri

rf - ri

ri rf

G Me m .

Re2



Cálculese la velocidad de escape de la tierra un vehículo espacial de 500o kg,

determine y la energía cinética que debe tener en la superficie para escapar del campo de

la Tierra.

Solución: Usando la ecuación de vel de escape

con Me = 5.98 x 10^24 kg y

Re = 6.37 x 10^6 m se tiene.

2 G Me

Re Vesc =

Vesc = 2 (6.67 x 10^-11Nm²/kg²)(5.98x10^24kg)

6.37 x 10^6 m

Vesc = 1.12 x 10^4 m/s

Esto corresponde aproximadamente a 25000 mi/h . La energía cinética del vehículo

espacial es:

K = ½ m V²esc =1/2 (5x10^3kg) (1.12 x 10^4 m/s)²

K = 3.14 x 10^11 J


1. Si la masa de marte es 0.107MT y su radio es 0.53RT. Determine cual es el

valor del campo gravitacional en la superficie de marte (MT = masa dela

tierra, RT = radio de la tierra):

a) 4.58 m/s2

b) 5.98 m/s2

c) 8.94 m/s2

d) 5.32 m/s2

e) 3.74 m/s2

Io una pequeña luna de Júpiter tiene un periodo orbital de 1.77 días y un radio

orbital de 4.22x105 Km. De acuerdo a estos datos determine la masa de Júpiter:

a) 3.56x1025

b) 8.59x1034

c) 1.90x1027

d) 5.26x1025

e) 9.87x1027

1. A que distancia de la tierra debe colocarse un cuerpo en la línea dirigida hacia el sol

de tal manera que la atracción gravitacional solar contrarreste a la atracción de la

tierra. El sol esta a 1.5x107 km de distancia y su masa es 3.24x105MT, desprecie la

existencia de otros planetas y considere masas puntuales.(MT = masa de la tierra).

a) 30000 km.

b) 27500 km.

c) 28339 km.

d) 32666 km.

e) 26333 km.

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