Guía de clase Bloque 1 segundo grado

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MATEMÁTICAS 2

GUÍA DE CLASEEDUCACIÓN SECUNDARIA

Esta guía pertenece a ___________________________________________________

Escuela Secundaria _____________________________________________________

Respetables alumnos y padres de familia:

Esta guía de clase se ha elaborado con las sugerencias de los Profesores de Matemáticas de la Región Centro de Chihuahua, con el fin de apoyar en el estudio a nuestros alumnos, de tal manera, que puedan utilizarla como la base de los conocimientos y habilidades que en clase deben adquirir.

Es importante que en el trabajo de iniciación se promueva el esfuerzo individual de los alumnos, así como el trabajo colaborativo para llegar al conocimiento, en ocasiones con explicaciones sencillas del profesor y promoviendo que todos los alumnos hagan aportaciones para la solución de los problemas, ya que el aprendizaje solamente es adquirido de manera individual. Recordemos que no es el médico el que sana, es el paciente, así mismo, no es el maestro el que aprende, es el alumno, con su muy particular aptitud, interés, dedicación, esfuerzo, responsabilidad, participación, etcétera.

Una catedrática de la Universidad decía a sus alumnos:

“Nada se aprende, nada se enseña, si no es por la repetición y el ejercicio. Son necesarios cientos, miles de ensayos para aprender verdaderamente lo que se estudia. Si por orgullo o pereza nos olvidamos de esta necesidad, nuestra ineptitud nos hará aprender duramente que la naturaleza no se deja violentar o apresurar”

SUGERENCIAS PARA EL USO DE LA GUÍA

Lee y comprende

los conceptos que vienen encerrados

en los recuadros.

Escribe un

resumen de lo

que leas.

Memoriza los conocimientos

que se necesiten

memorizar.

Resuelve las actividades de clase de

la guía.

Comparte los conocimientos

con tus compañeros.

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¡ÉXITO!ÍNDICE

BLOQUE 1 CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES PÁGINA

Problemas multiplicativos

• Resolución de multiplicaciones y divisiones con números enteros.• Cálculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo.

410

Figuras y cuerpos

• Identificación de relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificación de las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos.• Construcción de triángulos con base en ciertos datos. Análisis de las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones.

15

23

Medida • Resolución de problemas que impliquen el cálculo de áreas de figuras compuestas, incluyendo áreas laterales y totales de prismas y pirámides.

26

Proporcionalidad y funciones

• Resolución de problemas diversos relacionados con el porcentaje, como aplicar un porcentaje a una cantidad; determinar qué porcentaje representa una cantidad respecto a otra, y obtener una cantidad conociendo una parte de ella y el porcentaje que representa.• Resolución de problemas que impliquen el cálculo de interés compuesto.

30

34

Nociones de probabilidad

• Comparación de dos o más eventos de azar a partir de sus resultados posibles, usando relaciones como: “es más probable que…” “es menos…”

36

Análisis y representación

de datos

• Análisis de casos en los que la media aritmética o mediana son útiles para comparar dos conjuntos de datos.

38


Problemas aditivos

• Resolución de problemas que impliquen suma de monomios y polinomios.• Resolución de problemas que impliquen resta de monomios y polinomios.

41

45


• Identificación y búsqueda de expresiones algebraicas equivalentes a partir de empleo de modelos geométricos.

48

Medida

• Justificación de las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos.• Estimación y cálculo del volumen de cubos, prismas y pirámides rectos o de cualquier término implicado en las fórmulas. Análisis de las relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides.

51

55


• Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad inversa mediante diversos procedimientos.

59

Nociones de probabilidad

• Realización de experimentos aleatorios y registro de resultados para un acercamiento a la probabilidad frecuencial.

62

66



• Resolución de cálculos numéricos que implican usar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis, si fuera necesario, en problemas y cálculos con números enteros, decimales y fraccionarios.• Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios.

65

68

Figuras y cuerpos

• Formulación de una regla que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono. • Análisis y explicitación de las características de los polígonos que permiten cubrir el plano.

74

76

Medida • Relación entre el decímetro cúbico y el litro 80Proporcionalida

d y funciones• Representación algebraica y análisis de una relación de proporcionalidad y = kx, asociando los significados de las variables con las cantidades que intervienen en dicha relación.

81


de datos

• Búsqueda, organización y presentación de información en histogramas o en gráficas poligonales (de series de tiempo o de frecuencia), según el caso y análisis de la información que proporcionan.• Análisis de propiedades de la media y mediana.

89

92


Patrones y ecuaciones

• Construcción de sucesiones de números enteros a partir de las reglas algebraicas que las definen. Obtención de la regla general en lenguaje algebraico de una sucesión.• Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos.

97

103

Medida • Caracterización de ángulos inscritos y centrales en un círculo y análisis de sus relaciones.

112


• Análisis de las características de una gráfica que representa una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano.• Análisis de situaciones problemáticas asociados a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal entre dos conjuntos de cantidades. Representación de la variación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma y = ax + b

116

123


de datos

• Resolución de situaciones de medias ponderadas. 126


Patrones y ecuaciones

• Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de un sistema de ecuaciones 2 x 2 con coeficientes enteros, utilizando el método más pertinente. Suma y resta, igualación o sustitución.• Representación gráfica de un sistema de ecuaciones 2 x 2 con coeficientes enteros. Reconocimiento del punto de intersección de

129

137

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sus gráficas con la solución del problema.

Figuras y cuerpos

• Construcción de figuras simétricas respecto de un eje, análisis y explicitación de las propiedades que se conservan en figuras como triángulos isósceles y equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos.

144

Medida • Cálculo de la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona.

150


• Lectura y construcción de gráficas de funciones lineales asociadas a diversos fenómenos.• Análisis de los efectos al cambiar la función y = mx + b en la gráfica.

155

157Nociones de probabilidad

• Comparación de las gráficas de dos distribuciones (frecuencial y teórica) al realizar muchas veces un experimento aleatorio.

160

Hay dos clases de persona - me dijo en cierta ocasión mi abuelo – los que trabajan y los que se adjudican el mérito. Él me aconsejó que tratara de estar en el primer grupo, ya que es ahí donde hay menos competencia.

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PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS• Resolución de multiplicaciones y divisiones con números enteros.

CONOCIMIENTOS

MULTIPLICACIÓN DE NÚMERO ENTEROS. POSITIVOS Y NEGATIVOS

PROBLEMA: Observa las siguientes tablas de multiplicación, en donde el producto va disminuyendo en la primera tabla y aumentando en la segunda. Deduce las leyes de los signos de la multiplicación.

POR +3 +2 +1 0 -1 -2 -3+5 15 10 5 0 -5 -10 -15

POR +5 +4 +3 +2 +1 0 -1 -2 -3-3 -15 -12 -9 -6 -3 0 3 6 9

Con base en las multiplicaciones anteriores completa lo siguiente:

Si multiplicamos dos números del mismo signo el resultado tiene signo ____________

Si multiplicamos dos números de diferente signo el resultado tiene signo __-_________

Las leyes de los signos de la multiplicación son las siguientes:

a) Un número entero positivo por otro positivo, el resultado es positivo: (+5)(+3) = +15b) Un número entero positivo por otro negativo, el resultado es negativo: (+5)(-3) = -15c) Un número entero negativo por otro positivo, el resultado es negativo: (-3)(+5) = -15d) Un número entero negativo por otro negativo, el resultado es positivo: (-3)(-3) = + 9

FORMAS DE REPRESENTAR UNA MULTIPLICACIÓN

Con el signo por: 5 x -3 = Con un punto: 5 • -3 = Con paréntesis: (5) (-3) =

ACTIVIDADES DE CLASE

1.- Completa las tablas de multiplicar y escribe enseguida las leyes de los signos.

POR 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -57

BLOQUE 1

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POR 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3-5

2.- Calcula los siguientes productos aplicando las leyes de los signos.

(+4)(+2) = ______

(+4)(+1) = ______

(+4)(0) = ______

(+4)(-1) = ______

(+4)(-2) = ______

3.- Usa números positivos y negativos para representar cada situación con multiplicación.

En el futbol americano, 5 fauls de 4 yardas cada uno: (5)( ) = -20

Sueldo de 2 días de trabajo por $250 cada uno:…..._______________________

3 pérdidas de $50 cada una:……………….………..._______________________

4 fauls de 15 yardas cada uno:………………………._______________________

Aumento de 5 veces la temperatura 4°C:………….._______________________

4.- Resuelve los siguientes problemas y escribe el resultado correcto.

Leyes de los signos de la multiplicación

( + )( + ) = ____ ( + )( - ) = ____ ( - )( - ) = ____ ( - )( + ) = ____

(-3)(+4) = ______

(-3)(+3) = ______

(-3)(+2) = ______

(-3)(1) = ______

(-3)(0) = ______

(4)(-20) = ______

(-10)(+3) = ______

(3)(-1) = ______

(-4.5)(3) = ______

(-8)(0) = ______

1.- En un juego de azar, una persona perdió $90 cuatro veces seguidas y en siete ocasiones ganó $60 cada vez.¿Cuál es el estado de sus cuentas?_______

2.- En una mina, una calesa baja a razón de 7 metros por segundo. ¿Dónde se hallará a los 10 segundos con respecto al nivel de la estación?_____________

3.- El producto de dos números es -25. Si esos dos números son multiplicados por -8, ¿cuál será el nuevo producto?___________

4.- Pensé un número. Al multiplicarlo por -6 y enseguida restarle 42 obtuve 0. ¿Qué número pensé?__________

7.- ¿Qué números multiplicados da 6 y sumados resulta -5?

_____ y _____

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5.- Resuelve las siguientes multiplicaciones indicadas. Primero multiplica los signos.

9 x 2 = ______ (+8)(-3 ) = ______ ( -5)(-3) = ______

(-5)(-8) = ______ (+2)(+1) = ______ (a)(-b) = ______

(-4.2)(+3) = ________ (-7)(-7) = ______ (0.40)(- 0.75) = ______

(-2)(+ 5)(- 8) = ______ (-5)² = __________ (+3)(+4)(-1) = ______

(4)(-1)(- 2) = ______ (35)(1)(- 2) = _______ (-3)² = ______

(-4)² = ______ (+40)(-40) = _______ (-20)(-20)(-20) = ______

5.- ¿Qué números multiplicados da +16 y sumados resulta +8?

_____ y _____

6.- ¿Qué números multiplicados da 10 y sumados resulta +7?

_____ y ______

8.- ¿Qué números multiplicados da -20 y sumados resulta 1?

_____ y _____

9.- Rosa compró 4 kilos de manzanas y 5 kilos de naranjas. El kilo de manzana cuesta $18 y el kilo de naranja cuesta $12. Si pagó con un billete de $500, ¿cuánto recibió de cambio?

10.- Si una deuda se considera como un número negativo. Martha adeuda $500 a cada una de las cinco tiendas donde le fían. ¿Cuánto adeuda a las cinco tiendas?........ (__)

a) $500b) $2 500c) -$2 500d) -$500

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6.- Escribe en las líneas el número correcto que falta.

(-7)(3) = ______ (___)(___) = 14 (-7)(6) = ______

(-2)(___) = 12 (___)(___) = -40 (-7)(4) = ______(____)(-8) = -16 (___)(___) = 25 (-2)(___) = 20

(____)(____) = -21 (___)(___)= -15 (-2)(8) = _____

7.- Encuentra el valor numérico de las siguientes expresiones, si n = 3. Ejemplo:

20 - 4n = 20 - 4(3) = 20 - 12 = 8

3n = _________________________ 2n - 1 = ______________________________

2n = _________________________ -2n = _____________________________

2n + 6 = _________________________ -5n + 8 = _____________________________

3n + 1 = _________________________ -3n - 50 = _____________________________

6n – 3n = ________________________ -4n = ________________________________

5n – 20 = ________________________ -3n + 60 = ____________________________

8.- Las personas que fueron al súper de compras, observaron en la entrada una lista de precios que se encontraban en oferta. Observa las ofertas y resuelve los problemas que enseguida se plantean.

¡OFERTAS!

ARTÍCULO PRECIO POR UNIDADJabón para baño $6.00

Nescafé $34.00Jugo de piña $12.00

Crema $27.00Rastrillo $23.00

1.- Mario compró 2 rastrillos y 4 jabones para baño. ¿Cuánto pagó en total?___________

2.- Rosa compró 3 jabones para baño, 1 nescafé y 7 jugos de piña.¿Cuánto pagó en total?___________

3.- Iván compró 4 rastrillos, 9 jabones para baño y 3 cremas.¿Cuánto pagó en total?___________

6.- La mamá de Mario compró 8 jabones para baño, 2 nescafés, 7 jugos de piña, 2 cremas y 4 rastrillos. Si pagó con un billete de $500.00¿Cuánto le dieron de cambio?________

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DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS. POSITIVOS Y NEGATIVOS

PROBLEMA: Completa las siguientes tablas de división, en donde se puede observar que el cociente o resultado va disminuyendo y deduce las leyes de los signos de la división. Deduce las leyes de los signos de la división.

ENTRE 15 10 5 0 -5 -10 -155 3 2

÷ -15 -12 -9 -6 -3 0 3 6 9-3 5 4

La multiplicación y la división son dos operaciones inversas, por lo tanto, las leyes de los signos de la división serán inversos a los de la multiplicación.

( + )( + ) = + Su inverso es ( + ) ÷ ( + ) = +( + )( - ) = - Su inverso es ( - ) ÷ ( - ) = +( - )( - ) = + Su inverso es ( + ) ÷ ( - ) = -

En la multiplicación y en la división, cuando son dos signos iguales con los que se opera, el resultado es positivo.

Cuando son dos signos diferentes el resultado es negativo.

4.- Elena compró 10 jabones, 3 nescafés y 20 jugos de piña.¿Cuánto pagó en total?___________

5.- Amada compró 5 jabones para baño, 5 jugos de piña y 1 crema. Si pagó con un billete de $200.00¿Cuánto le dieron de cambio?________

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( - )( + ) = - Su inverso es ( - ) ÷ ( + ) = -


1.- Resuelve las siguientes divisiones. Primero divide los signos.

35 ÷ 7 = 100 ÷ (-25) = -25 ÷ (-1) = 18 ÷ (-2) =

-20 ÷ (-1) = 65 ÷ (-13) = -15 ÷ (-1) = 24 ÷ 4 =

-35 ÷ 7 = -100 ÷ 25 = -20 ÷ (-4) = -8 ÷ 4 =

-36 ÷ (-9) = -33 ÷ 11 = 28 ÷ (-7) = -4 ÷ 4 =

35 ÷ (-7) = -100 ÷ (-25) = - 8 ÷ (-2) = 20 ÷ (-1) =

-40 ÷ (-5) = -63 ÷ (-7) = -76 ÷ (-19) = 156 ÷ (-12) =

-35 ÷ (-7) = -25 ÷ 1 = -54 ÷ 9 = -112 ÷ (-8) =

2.- Encuentra el número que falta.

_____ ÷ 5 = 4 9 ÷ _____ = 3 - 4 ÷ ____ = - 2

_____ ÷ - 7 = 2 -15 ÷ _____ = 5 ____ ÷ 7 = - 7

_____ ÷ - 3 = 5 - 6 ÷ _____ = 3 - 18 ÷ _____ = 6

_____ ÷ 18 = - 5 -9 ÷ _____ = - 3 - 65 ÷ _____ = - 13

3.- Resuelve los siguientes problemas.1.- Un submarino se sumerge hacia el fondo del agua a -2 metros por segundo. ¿Cuánto tiempo tardará para llegar a los -100 metros de profundidad? ____________________

2.- Las ventas de una tienda cambiaron -18 puntos en 3 días. ¿Cuál fue el promedio del cambio cada día? ____________________

3.- Un avión cambia de altitud -5025 metros en 15 minutos. ¿Cuánto bajó en cada minuto? ____________

4.- Un minero desciende en una mina -48 metros en 16 minutos. ¿Cuál es el promedio del descenso por minuto? _______________5.- Una familia reporta en su balance

mensual los siguientes movimientos: Enero $170, Febrero $-30, Marzo $80 y Abril $-20. ¿Cuál es el promedio en el balance mensual por los cuatro meses? ____________________

7.- Iván gana $8 200 al mes y Fernando gana $3 600. Por cuánto tiene que multiplicar Fernando su dinero para ganar lo mismo que Iván?_______

10.- El papá de Mario les reparte a sus 5 hijas $8 270.00¿Cuánto dinero recibe cada hija? __________

¿Cuánto dinero deberá tener el papá de Mario para que a cada una de sus hijas

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PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS

6.- Una persona hizo en el banco los siguientes movimientos mensuales entre depósitos y retiros: Enero $7350, Febrero $-850, Marzo $-1450, y abril $ 6150. ¿Cuál es el promedio en el balance mensual? _________________________

8.- El área de una recámara es de 30 m² y el área de otra es de 12 m².¿Por cuánto se tiene que multiplicar el área de la recámara chica para tener un área igual que la recámara mayor?___________________

9.- El papá de Fernando les reparte a sus tres hijos $5 274.00 y le toca $1 758.00 a cada uno. ¿Cuánto dinero recibirá cada uno si lo que tiene para repartir son $10 548?___________

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5

5

2 + 3 5

6

• Cálculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo.

POTENCIACIÓN

PROBLEMA: Encuentra el área del cuadrado y el volumen del cubo.

La potenciación es una operación que consiste en multiplicar un número por sí mismo tantas veces como lo indique el exponente. A = 4² = (4)(4) = 16 V = 4³ = (4)(4)(4) = 64

Recuerda que una multiplicación se puede expresar de las siguientes maneras: Con el signo por solo cuando sean números, con paréntesis y con un punto, y si son letras, una enseguida de otra.

5 x 5 (5)(5) 5 • 5 Esto es 5 por 5(a)(b) a • b ab Esto es a por b

PRODUCTOS DE POTENCIAS ENTERAS CON UNA MISMA BASE

PROBLEMA: Multiplica las siguientes potencias que tienen una misma base.

(4²)(4³) = (4)(4)•(4)(4)(4) = 4

(a²)(a³) = (a)(a)•(a)(a)(a) = a

(b)(b²)(b³) = (b)•(b)(b)•(b)(b)(b) = b

De esta manera podemos generalizar que: “Para multiplicar dos potencias que tengan la misma base, los exponentes se suman”.

(4² x 4³) = 4 = 4

¿Cuáles serán los resultados de los siguientes productos que tienen la misma base?

4

44

4

4

BASE

EXPONENTE

POTENCIA4 ³ = 64

66

5

5

5

5 5

6

(y³)(y²) = ______

(b²)(b³)(b ) = _______


1.- Multiplica como en el ejemplo.

(3²)(3³) = (3)(3)(3)(3)(3) = 3

(2³)(2²) = __________________________ (2²)(2²) = ________________________

(a³)(a²) = _________________________ (x)(x) = _________________________

(10²)(10³)= _______________________ (y²)(y²) = ________________________

(8²)(8²) = _________________________ (4²)(4) = ________________________

(x³)(-x²) = _________________________ (-y³)(y) = ________________________

(-6)² (-6)³ = ______________________ (10³)(10³) = ______________________

2.- Multiplica directamente.Ejemplos: (a²) (a³) = a (2y)² (2y)³ = (2y) = 32y

(8²)(8³) = ________ (2³)(2³) = _______ (3²)(3²) = ________

(m³)(m²) = ________ (x³)(x²) = ________ (10²)(10²) = ________

(a²) (a²) = ________ (x)(x) = ________ 10³)(10²) = ________

(x²)(x) = _______ (y)(y³) = ________ (y²)(y²) = ________

(-y²)(-y²) = _______ (-a³)(a²) = ________ (m³)(-m²) = ________

(2x)² (2x)³ = _______ (2m)³ (2m)² = ________ (2x)³(2x)³ = ________

(x³)(x³) = _______ (a²)(a) = ________ (20²)(20²) = ________

3.- Multiplica como en el ejemplo: (2²)(2³) = 2 = 32

(3²)(3³) = ________ (x³)(x²) = _________ (2²)(2²) = ________ (a²)(a²) = ________

66

5

(9³)(9²) = ________ (x²)(x³) = __________

(10)(10³) = _______ (-y²)(-y²) = ________

(8²)(8) = _________ (x²)(x²) = _________

(4³)(4³) = _________ (y³)(y²) = _________

(6²)(6) = ________ (x²)(x³)(x³) = ________

4.- Multiplica directamente. Ejemplo: (-2a²) (+5a³) = - 10a

(5a²)(8a³) = ________ (7x³)(2x³) = _______ (3x²)(3x²) = ________

(4m³)(5m²) = ________ (3x³)(4x²) = ________ (3x²)(7x³) = ________

(3a²)(5a²) = ________ (4x³)(2x) = ________ (5x)(6x) = ________

(-9x²)(-3x) = _________ (-2y)(-4y³) = ________ (-1y²)(-8y²) = _______

(-7y²)(-4y²) = ________ (-6x³)(-2 x²) = ________ (-3m³)(-2m²) = _______

(3x²)(+3x³) = _________ (-2m³)(-2m²) = ________ (9x³)(9x³) = ________

(4x³)(-x) = _________ (+6a)(-a) = ________ (+5x³)(+4x²) = ________

5.- ¿Cuál es el resultado de multiplicar: (2²)(2²)?______________a) 8 b) 16 c) 32 d) 4

6.- ¿Cuál es el resultado de multiplicar: (4²)(4³)?______________a) 64 b) 1 024 c) 256 d) 4 096

7.- ¿Cuál es el resultado de multiplicar: (3²)(3)?______________a) 27 b) 9 c) 243 d) 81

8.- ¿Cuál es el resultado de multiplicar: (3²)(3²)?______________a) 27 b) 9 c) 243 d) 81

9.- ¿Cuál es el resultado de multiplicar: (2³)(2³)?______________a) 32 b) 128 c) 64 d) 36

10.- ¿Cuál es el resultado de multiplicar: (3²)(3³)?______________a) 27 b) 9 c) 243 d) 81

11.- ¿Cuál es el resultado de multiplicar: (5²)(5²)?______________a) 100 b) 625 c) 125 d) 3 125

12.- ¿Cuál es el resultado de multiplicar: (10²)(10)?______________a) 20 b) 100 c) 10 000 d) 1 000

66

6

6 18 18

15 15

2 x 3

3 x 2 6

4

5

6

4

7 21 14

12.- ¿Cuál es el resultado de multiplicar: (10²)(10³)?______________a) 100 000 b) 1 000 c) 10 000 d) 1 000 000

13.- ¿Cuál es el resultado de multiplicar: (10³)(10³)?______________a) 1 000 b) 100 c) 100 000 d) 1 000 000

14.- Resuelve los siguientes problemas.

POTENCIA DE UNA POTENCIA

PROBLEMA: El profesor de matemáticas nos pidió que encontráramos el resultado de las siguientes operaciones, y que estableciéramos la regla general para obtenerlo.

(3²)³ Aquí el exponente ³ nos indica que 3² los vamos a tomar como factor tres veces. Esto es: (3²)(3²)(3²) = 3

Por lo tanto, podemos deducir que para elevar una potencia a otra potencia, los exponentes se multiplican. (3²)³ = 3 Ejemplos:

(5³) = 5 Porque: (5³)(5³)(5³)(5³)(5³)(5³) = 5

(x³ x² )³ = x Porque: x³ x³ x³ x² x² x² = x

(x³ y²) = x y Porque se multiplican los exponentes


1- Resuelve las siguientes expresiones como en el ejemplo.

(x²)³ = (x²)(x²)(x²) = x = x (x³)² = ______________________________

(x²)² = __________________________ (b²) = _____________________________

(y³)² = __________________________ (m )³ = ____________________________

2.- Resuelve las siguientes potencias de potencias y obtén el resultado final. Ejemplo.

(2²)³ = 2 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64 (2³)³ = __________________________

(2²)² = ____________________________ (2²) = _________________________

1.- En la central de abastos, una bodega vendió 8³ pedidos de 8² cajas cada uno y en cada caja hay 8¹ botellas con 1 litro de aceite. ¿Cuántas botellas vendió?_____________

2.- Una librería envió 5³ cajas con 5² libros cada una para una biblioteca. ¿Cuántos libros envió en total?_________

66

=

4 4 x 2 8

5

4 5 7

4 12 8 4

5 6 7

5 10

= 3 - 2 4=

7 = 10 3 - 7 = 10 - 4 =1

10 4

- 1 - 2 - 3 - 4 0

1

= 4

SISTEMADECIMAL

(10²)³ = ___________________________ (10³)³ = _________________________

3.- Encuentra el resultado de las siguientes potencias de potencias. Ejemplo

(x²) = x = x (b³)² = ____________________

(a²)² = ___________________ (y³) = ____________________

(x ) = __________________ (b²) = ____________________

4.- Encuentra las potencias resultantes. Ejemplo.

(x³ y²) = x y (x² y³)³ = _______________ (b³ c )² = ____________

(a³ b ) = ___________ (x³ y² ) = _______________ (a² b)³ = _____________

(a³ b³ ) = ____________ (x³ y² )² = _______________ (a² b³) = __________

DIVISIÓN DE POTENCIAS DE UNA MISMA BASE

PROBLEMA: Simplifica la siguiente división de potencias con una misma base y establece la regla para efectuarla.

4³ (4)(4)(4)4² (4)(4)

PROBLEMA: Simplifica la siguiente división de potencias con una misma base en donde el exponente del numerador es mayor que el del denominador.

10³10

Cuando en una división nos resulta una potencia negativa, la convertimos en positiva dejando como denominador el 1 y pasándola como potencia positiva al denominador.Esto se explica por lo siguiente: (NOTA: Todo término a la 0 potencia es igual a 1)

10³ 10² 10 10 10 10 10 10

1000 100 10 11

10_1_100

1_ 1000

1__ 1_10000 10


4 REGLA: Para dividir potencias que tengan la misma base, restamos los exponentes.

66

= =

= =

= =

1 8

= x

=

=

=

8

5 =

=

=

1 4

1 6

6

7

4

22

8 =

=6

7 6

1

6 4

9

=

=

=

=

1.- Divide como en el ejemplo. 4³ (4)(4)(4)4² (4)(4)

8³ 3³8² 3¹

x³ y_x² y²

2.- Encuentra el resultado de calcular las siguientes divisiones. Ejemplo: xx

y³ a² y³ x_y² a¹ y² x

x³ y³ b _ w_x¹ y² b w

x³ y³ c x_xº y³ c x

2.- Encuentra el resultado de calcular los siguientes cocientes. Indica todo en positivo.

10³ _ w²_ y³_ 10 w y

x²_ a_ x_ x a x

FIGURAS Y CUERPOS• Identificación de relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificación de las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos.

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE

= = 4³ˉ² = 4¹ = 4

== =

= =

6

66

PROBLEMA: Demuestra que “los ángulos opuestos por el vértice, a y b, son iguales”Si recortamos el ángulo b opuestos y lo sobreponemos en su opuesto a, comprobamos que las medidas de ambos ángulos coinciden exactamente.

< a = < b Por ser opuestos por el vértice

Cuando se cruzan dos rectas de un lado a otro se forman rectas transversales, originando ángulos opuestos por el vértice y ángulos adyacentes.

d a c b


1.- Encuentra la medida de los ángulos que se indican.

a ________

b ________

x ______

y ______

155°

Calca y recorta lo que corresponde al ángulo b y sobreponlo en el ángulo a.

b

a

GF

E49°

y

x

99°

36°a

25°b

c

b

a

51°

a y c son ángulos opuestos por el vértice. Y también b y d.a y d son ángulos adyacentes porque comparten el mismo vértice y un lado. Y también d y c, c y b, a y b.Los ángulos adyacentes son suplementarios porque suman 180° (a + d = 180°)

E ________

F ________

G ________

a ________

b ________

c ________

66

2.- En el siguiente dibujo se presentan dos rectas que al cortarse forman ángulos opuestos por el vértice y ángulos adyacentes suplementarios porque suman 180°. Observa el dibujo y contesta las preguntas.

3.- En Santa Bárbara, Chihuahua, para ir del pueblo a la Mina Clarines, hay un camino que al cruzarse con la carretera de terracería forman ángulos como los que se representan en el siguiente dibujo. Observa el dibujo y contesta las preguntas.

4.- El profesor Vicente les planteó a sus alumnos el siguiente:

PROBLEMA: El siguiente dibujo representa el cruce de dos vías del ferrocarril.¿Cuál es el valor del ángulo representado por la letra x?_______________

5.- La sombra que proyecta la antena de la televisión de una casa, forma con el marco de una puerta ángulos como se muestran en el siguiente dibujo. Observa y contesta las preguntas.

c

ba135°

132°x

cba

100°

c b

a 40°

¿Cuál es la medida del ángulo c?______

¿Cuál es la medida del ángulo a?______

¿Cuál es la medida del ángulo b?______

MINACLARINES ¿Cuál es la medida del ángulo c?______

¿Cuál es la medida del ángulo a?______

¿Cuál es la medida del ángulo b?______

¿Hasta cuántos ángulos identificas que se forman en el dibujo?.............. ________

¿Cuál es la medida del ángulo c?..........______

¿Cuál es la medida del ángulo a?..........______

¿Cuál es la medida del ángulo b?...........______

66

RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL

ÁNGULOS CORRESPONDIENTES, ALTERNOS INTERNOS Y ALTERNOS EXTERNOS

PROBLEMA: Calca y recorta la circunferencia dibujada abajo y colócala exactamente sobre la otra circunferencia. Observa que la medida de los ángulos coincide. Compara la medida de los ángulos y demuestra que:

a b c d

e f g h

a = e b = f c = g d = h Por ser correspondientes.

c = f d = e Por ser alternos internos.a = h b = g Por ser alternos externos.

ACTIVIDADES DE CLASE1.- En las siguientes rectas paralelas, escribe parejas de ángulos que cumplen con lo que se indica enseguida, compara la medida de los ángulos que se forman y contesta las preguntas que se te hacen.

Opuestos por el vértice: ________, ________, ________, ________.

Suplementarios: _________, _________, _________, _________,

_________, _________, _________, __________.

Alternos internos: __________, __________

Alternos externos: __________, __________

Si en el dibujo anterior, el ángulo a mide 45°:

¿Cuánto mide el ángulo b? _______ ¿Cuánto mide el ángulo f? _______

¿Cuánto mide el ángulo c? _______ ¿Cuánto mide el ángulo g? _______

¿Cuánto mide el ángulo d? ________ ¿Cuánto mide el ángulo h? _______

b a

c d

f e

g h

66

¿Cuánto mide el ángulo e? _______

2.- Observa el siguiente dibujo en donde P y Q son paralelas.

3.- Escribe la medida de los ángulos formados en las siguientes rectas si 3x + 2x = 180°

5.- Corta las siguientes rectas paralelas con una transversal, mide con el transportador uno de los ángulos que se forman y escribe a los otros su medida.

6.- Encuentra la medida del ángulo x, sabiendo que M y N son paralelas.

ÁNGULOS INTERNOS DEL TRIÁNGULO

e fc d

a b

3x 2x

Q

P

150°N

M

x

49°

dc

g h

a

123° f b

¿Cuánto mide cada uno de los siguientes ángulos?

c = _________ b = _________

a = _________ d = _________

f = _________ g = _________

h = _________

a = _______ b = _______

c = _______ d = _______

e = _______ f = ______

66

PROBLEMA: Demuestra que los ángulos internos de un triángulo suman 180°.Con el papel doblado, a partir del dibujo de un triángulo podemos ver de manera informal que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°. b

a c a + b + c = 180° Porque forman un ángulo llano.

Un ángulo es la porción indefinida de plano limitada por dos líneas. Para medir un ángulo se coloca el transportador de tal manera que los grados señalados en él, nos den la medida del ángulo.

Ángulo agudo Ángulo recto Ángulo obtuso Ángulo llano


1.- Mide con el transportador los ángulos internos de cada triángulo y suma sus medidas.

180°145°90°25°

66

2.- Encuentra la medida de los ángulos que faltan en cada uno de los triángulos que aparecen en las figuras y escríbela en el ángulo interno que señala cada flecha.

5.- Encuentra la medida del ángulo a del siguiente triángulo, y enseguida mide con transportador los ángulos internos del cuadrado, para que demuestres que la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es igual a 360°.

a

y

69°

31°

36°

cd

ba

45°

90°

90°

23°

15°

60°

90°45°

32°

4.- Observa la siguiente figura:¿Cuánto mide el ángulo y?........................ (____)a) y = 111° b) y = 30°c) y = 90° d) y = 21°

3.- En un triángulo, dos de sus ángulos internos miden 25° y 50°. ¿Cuánto mide el otro ángulo?... (___)

a) 75°b) 105°c) 130°d) 285°

66

90 + 45 + _____ = 180° a + b + c + d = _________________

(180)(2) = 360°

6.- Encuentra el valor de la medida de los ángulos faltantes en los siguientes triángulos o cuadriláteros.

b = ______

a = ______

b = ______

x = ______

b = ______

a = ______

a = ______

b = ______

135°

106°

a

b58°

a

52°

b

32°

36°

ab 72°

46°a

38°

b

90°

90°

90°x

a b

d c

a = ______

a = ______

b = ______

c = ______

d = ______

66

7.- En el patio de la escuela los maestros dibujaron un triángulo como el siguiente:

8.- En la prueba de matemáticas la maestra nos planteó el siguiente:PROBLEMA: Encuentra la medida de los ángulos internos del siguiente triángulo si sabemos que el ángulo R mide 145° y el ángulo A mide 55°.

9.- La siguiente figura representa un terreno triangular en el que pasan tres calles por cada uno de sus lados. Encuentra la medida de los ángulos a y b que se forman en el terreno.

10.- Dos de los ángulos de un triángulo miden 30° y 90°.

b

a

150°

CB

A

R

b 132°40°

a

x = ______

x = ______

y = ______

90° 45°

x

y

90°45°

125°

88° 88°

x

¿Cuánto mide el ángulo b?__________

¿Cuánto mide el ángulo a?__________

¿Cuánto mide el ángulo B?__________

¿Cuánto mide el ángulo C?__________

¿Cuánto mide el ángulo b?__________

¿Cuánto mide el ángulo a?__________

66

¿Cuál es la medida del tercer ángulo?.................................._______

11.- Dos de los ángulos de un triángulo miden 40° y 100°.¿Cuál es la medida del tercer ángulo?.................................._______



14.- Encuentra la medida del ángulo Ω del triángulo que se forma en las siguientes rectas.

a) 50°b) 45°c) 60°d) 55°

FIGURAS Y CUERPOS• Construcción de triángulos con base en ciertos datos. Análisis de las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones.

TRAZO DE UN TRIÁNGULO CON REGLA Y COMPÁS

PROBLEMA: Traza un triángulo cuyos lados midan 5 cm, 4 cm y 3 cm.

1.- Trazo con regla uno de sus lados, cualquiera que sea. En este caso puede ser el lado que mide 5 cm y lo llamamos lado AB.2.- Tomo con el compás la medida del otro lado (4 cm) y apoyando el compás en uno de los extremos del lado AB, trazamos un arco hacia uno de los lados del lado AB.3.- Tomo con el compás la medida del tercer lado del triángulo (3 cm) y apoyando el compás en el otro extremo del lado AB, trazamos otro arco que corte al arco que habíamos trazado.4.- Trazo el lado que va del punto A al punto donde se cruzaron los arcos.5.- Trazo el lado que va del punto B al punto donde se cruzaron los arcos.


Ω

80°

135°

Ω = ___________

66

1.- Resuelve los siguientes problemas geométricos.

2.- Observa la siguiente figura y contesta.

3.- Mariana tiene tres conjuntos de tres palitos con las medidas que se muestran enseguida, para construir con cada uno, un triángulo. Dibuja enseguida los triángulos que si podrá dibujar Mariana.

A B C

¿En cuál de los casos no se pudo dibujar el triángulo, y por qué?__________________________

C

B

1.- Traza un triángulo equilátero cuyos lados midan 3 cm.

2.- Traza un triángulo isósceles cuyos lados midan 3 cm, 5 cm y 5 cm.

3.- Traza un triángulo escaleno cuyos lados midan 2 cm, 3 cm y 4 cm.

A

17.8

¿Cuántas unidades mide AB? _______

¿Cuántas unidades mide BC? _______

¿Cuántas unidades mide AC? _______

¿Cuánto mide AB + BC? _______

¿AB + BC es mayor que AC, Sí o No? ________

¿AC + BC es mayor que AB, Sí o No? ________

66

______________________________________________________________________________

El criterio general para poder construir un triángulo es:

“Con tres segmentos se puede formar un triángulo si la suma de la medida de dos lados, cualesquiera de ellos, siempre es mayor que la medida del otro lado”.

Si tenemos las siguientes ternas de longitudes de segmentos, di con cuáles Sí se puede construir un triángulo y con cuáles No. Dibuja enseguida un trazo que sí se pueda y demuestra el que no es posible.

TERNAS Sí o No(8 cm, 7 cm y 5 cm)

(7 cm, 5 cm y 3 cm)

(4 cm, 4 cm y 3 cm)

(5 cm, 3 cm y 2 cm)

(7 cm, 7 cm y 3 cm)

4.- Trata de trazar un triángulo cuyos lados midan 4 cm, 2 cm y 2 cm.

5.- Mario compró tres tiras de molduras para colocarlas en una pared en forma de triángulo. Las molduras miden 1.50 metros, 3.25 metros y 1.60 metros. ¿Podrá Mario formar el triángulo que desea? ______

6.- Traza enseguida tres triángulos diferentes, que tengan cada uno dos lados que midan 3 y 5 cm respectivamente y mide en los tres el tercer lado. Demuestra por qué sí pudiste trazar los triángulos.

TRAZO POSIBLE

TRAZO IMPOSIBLE

Explica por qué no es posible realizar el dibujo

de este triángulo: ________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

PRIMER TRIÁNGULO SEGUNDO TRIÁNGULO TERCER TRIÁNGULO

66

7.- Construye varios triángulos que midan de perímetro 12 centímetros cada uno. Utiliza solamente números enteros.

MEDIDA• Resolución de problemas que impliquen el cálculo de áreas de figuras compuestas, incluyendo áreas laterales y totales de prismas y pirámides.

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS. FÓRMULAS

PROBLEMA: Escribe las fórmulas para encontrar el área de las siguientes figuras planas.

FIGURA FÓRMULA DEL ÁREA

CUADRADO a²RECTÁNGULO (b)(h)TRIÁNGULO bh

2 CÍRCULO ¶ r²

Las superficies se miden con unidades cuadradas: m², dm², cm², mm², etcétera.

1 metro cuadrado es un cuadrado que mide 1 metro por cada lado.

66

TRAPECIO (B + b)h2


1.- Encuentra el área de las siguientes figuras.

2.- Encuentra el área de la parte sombreada en cada una de las siguientes figuras.

8 cm

4 cm

7 cm

8 cm

9 cm

4 cm 6 cm 4 cm

5 cm

12 cm

6 cm

8 cm

6 m

10 cm

4 cm

50 mm

30 mm

16 m

30 m

2.5 m

20 m

8.7 cm

8 cm 12 cm 8 cm24 cm16 cm 6 cm 12 cm 8 cm8 cm 8 cm

66


1.60 m

2.20 m

10 cm

1.- La cortina de una ventana está representada con la parte sombreada en el siguiente dibujo. Encuentra el área total de la ventana y el área que corresponde a la cortina.

Área total: ______________

Área de la cortina: ______________

2.- La Cartilla Nacional de Salud que mide 12 cm de base por 18 cm de altura, en su portada tiene una parte de 6 cm de base por 5 cm de altura, como se muestra en el siguiente dibujo.Encuentra el área total de la cartilla y el área de la parte sombreada.

Área total: ______________

Área sombreada: ______________

CartillaNacionalDeSalud

66

4.- La fábrica de cajas va a elaborar una caja cúbica con las dimensiones que se muestran en el siguiente diseño. Escribe las medidas en el desarrollo plano de la caja y encuentra su área total.

Mina

3.- El tubo circular por donde se extraen los gases de una mina en Santa Bárbara, está protegido en su salida por una base circular de cemento de 4 metros de diámetro. Encuentra el área del tubo y el área sombreada que corresponde a la protección de cemento.

Área del tubo: ______________

Área sombreada: ______________

4.- En un señalamiento circular de estacionamiento que mide de radio 20 cm, la letra E abarca una área de 200 cm², tal y como se muestra en el siguiente dibujo. ¿Cuál es el área de la parte no sombreada?

Área no sombreada: ______________

30 cm Área total: ________

Tubo

66

5.- El Profesor Cruz pidió a sus alumnos que elaboraran un prisma de base cuadrada con las siguientes dimensiones. Escribe las medidas en el desarrollo plano y encuentra su área total.

6.- La maestra Angélica encargó a sus alumnos elaborar una pirámide cuadrangular que mida 10 centímetros por lado en su base y 24 centímetros de altura. Escribe las medidas en el desarrollo plano representado enseguida y encuentra su área total.

PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES• Resolución de problemas diversos relacionados con el porcentaje, como aplicar un porcentaje a una cantidad; como aplicar un porcentaje a una cantidad respecto a otra, y obtener una cantidad conociendo una parte de ella y el porcentaje que representa.

EL PORCENTAJE

El uso del porcentaje (%) se puede utilizar en muchas situaciones de la vida real, tales como el aumento en los precios, por la aplicación del impuesto del 16% al valor agregado (IVA), el aumento a los salarios, la devaluación del precio frente al dólar, etcétera.

8 cm

20 cm

Área total: ________

Área total: ________

66

Cuando calculamos un porcentaje, lo hacemos encontrando el tanto por ciento de una cantidad. Tanto por ciento significa tantos de cada cien.

PROBLEMA: Mario prestó $300 con el 6% de interés mensual.

¿Cuánto recibirá de pago al término del mes?

Por $100 le pagarán de interés $6.Por $200 le pagarán de interés $12.Y por los $300 le pagarán $18. Es decir 6 pesos de cada 100.

Las maneras en que se puede indicar un porcentaje son las siguientes:

PORCENTAJE FRACCIÓN DECIMAL SIGNIFICADO

6% 6_ 100 0.06 6 de cada 100

PROBLEMA: Encuentra el 6% de 300.

Para encontrar el porcentaje de cualquier cantidad podemos hacerlo de las siguientes maneras:

a) Multiplicamos 300 por el decimal que significa el porcentaje. 300 x 0.06 = 18

b) Multiplicamos 300 por la fracción que significa el porcentaje.

6_ 6_ 100 100

Suponiendo que voy a comer a un restaurante haciendo un consumo de $400.00 a lo que me aumentan el 16% de IVA. ¿Cuánto es lo que debo pagar en total?

x 300 =de 300 =de 300 = 1800100

= 18

66


1.- Escribe en la siguiente tabla las diferentes maneras en que se pueden representar cada uno de los siguientes porcentajes y su significado.

PORCENTAJE FRACCIÓN DECIMAL SIGNIFICADO15%

4%

.50

.02

18%

44 de cada cien

72_ 100

2.- Escribe el significado de cada uno de los siguientes porcentajes y encuentra cada uno realizando mentalmente la operación.

PROBLEMA SIGNIFICADO RESULTADO5% de 20010% de 3008% de 50015% de 30020% de 1 000

3.- Calcula los siguientes porcentajes.

Obtener el 10% de $575.00 _____________

Obtener el 16% de $6 390.00 ____________

Obtener el 8% de 45 naranjas _______________

Obtener el 40% de 1 548 personas ______________

Obtener el 3% de 120 vacas _________________

Obtener el 12% de 450 alumnos _______________

Obtener el 21% de 524 votantes _______________

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Obtener el 20% de 590 estudiantes ______________

Obtener el 15% de 250 kilogramos ________________4.- Resuelve los siguientes problemas.

1.- Iván compró un pantalón que costaba $350 y le hicieron un descuento del 15%. ¿Cuánto pagó por el pantalón………….. (____)

e) $ 297.50f) $ 52.50g) $ 402.50h) $ 294.00

3.- En una tienda, a un pantalón que vale $350.00 le hacen el 16% de descuento. ¿Cuánto se debe pagar por el pantalón?..................................................(____)

a) $ 420.00b) $ 280.00c) $ 294.00d) $ 343.00

5.- Ismael compró una chamarra que inicialmente tenía un descuento del 30% y que al pagarla le aumentaron el descuento en un 0.08 ¿Qué porcentaje le hicieron en total de descuento?.............................................. (____)

a) 30%b) 22%c) 36%d) 38%

7.- Una televisión tiene un precio inicial de $3250.00. ¿Cuál es el precio final del televisor con el impuesto del IVA que es del 16%?........................................................ (____)

a) $ 3 737.50b) $ 3 737.00c) $ 3 770.00d) $ 3 747.50

2.- Iván compró un pantalón por el que pagó $ 230.00 incluido el 15% de IVA. ¿Cuál es el precio del pantalón sin el IVA?………………………...………….. (____)

a) $ 227.50b) $ 230.00c) $ 264.50d) $ 299.50

4.- En la compra de un televisor se pagaron $3162.50 con el 16% del IVA incluido. ¿Con cuál de las siguientes operaciones podemos encontrar el precio de la televisión sin el IVA?…….………………………….…… (____)

a) 3 162.50 x 16b) 3 162.50 – 16c) 3 162.50 ÷ 1.16d) 3 162.50 + 1.16

6.- Un comerciante compra el par de botas en $1600. ¿En cuánto deberá vender cada par para poder ganarse el 30%?_______________

8.- En este año ha habido productos que han aumentado hasta el 30% de su precio. Si el kilogramo de jabón para lavar costaba $18.00, ¿a qué precio se encuentra actualmente ?_______________

66


2.- Lily Ávila tiene un sueldo de secretaria de $1800.00 por quincena. Su gasto en la despensa asciende a $ 1250.00 por quincena. De lo que le queda, toma el 24% para ropa, 40% para diversiones y el resto para varios.

PREGUNTAS RESPUESTA¿Cuánto gasta en ropa?

¿Cuánto gasta en diversiones?¿Cuánto usa en gastos varios?

1.- El Señor Castruita trabaja para una compañía de teléfonos. Gana $1500 por semana. Toma $900.00 para la despensa. De lo que le queda, toma el 25% para ropa, el 35% para diversiones y el 40% para gastos varios.

PREGUNTAS RESPUESTA¿Cuánto usa en gastos diarios?¿Cuánto gasta en diversiones?¿Cuánto gasta en ropa?

3.- La familia Reyes tiene $1150.00 de ingresos semanales. Gasta en despensa $790. De lo que le queda piensa gastar el 10% en diversiones, el 12% en ropa y el 8% en gastos varios.¿Cuánto gastará en diversiones? _________¿Cuánto gastará en ropa? ______________¿Cuánto gastará en varios? ____________¿Cuánto le quedará? _______________

4.- El precio de la varilla en septiembre del 2011 era de $92.00 y en julio de 2012 está a un costo de $105.00

¿Cuál es el incremento? ___________

¿Cuál es el % de incremento? ______

5.- El Profesor Lalo compra un refrigerador que al precio de contado cuesta $5490, pero como lo saca a crédito le aumentan el 12%. ¿Cuánto va a pagar en total por el refrigerador?___________

66

PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES• Resolución de problemas que impliquen el cálculo de interés compuesto, crecimiento poblacional u otros que requieran procedimientos recursivos.

Bimestre PréstamoInterés simple

9%

Adeudototal

Bimestre

Préstamoinicial y

acumulado

Interéscompuesto

7%

Adeudototal

1 $7 000 $630 $7 630 1 $7 000 $490.00 $7490

2 $7 000 $630 $8 260 2 $7 490 $524.30 $8014.30

3 $7 000 $630 $8 890 3 $8 014.30 $561.00 $8575.30


1.- Pedí $800 con el 9% de interés simple mensual. ¿Cuál será mi adeudo total a los 3 meses?

MESES PRÉSTAMOINTERÉS

SIMPLE 9%ADEUDOTOTAL

12

CRECIMIENTO LINEAL

INTERÉS SIMPLE

Crecimiento lineal, es el interés simple que se cobra por un préstamo. Es lineal porque existe una diferencia común o contante entre un término y otro y tiene un comportamiento lineal.

PROBLEMA: Se piden prestados $7000, con un interés simple bimestral del 9%.

CRECIMIENTO EXPONENCIAL

INTERÉS COMPUESTO

Es exponencial porque existe una razón común entre dos términos. Es el interés compuesto que se cobra por un préstamo.

PROBLEMA: Se piden prestados $7000, con un interés compuesto bimestral del 7%.

La constante es $ 630.

Para calcular el 9% de 7000 multiplicamos 7000 x 0.09 = 630

0.09 =

= 9 % 9_ 100

7 4907 000

8014.30 7 490

El crecimiento del interés compuesto siempre cambia: 490; 524.30; 561

= 1.07 Siempre hay una razón igual. = 1.07

66

3

2.- La caja de ahorros de la Escuela “Leyes de Reforma” presta dinero con un interés simple del 6% mensual, mientras que la caja de ahorros de la Escuela “Tierra y Libertad” lo hace con un interés compuesto de 6% mensual. El Profesor Deberías pide $5000 en la Escuela Leyes de Reforma, mientras que el profesor Pagas pide la misma cantidad pero en la Escuela Tierra y Libertad. Completa la siguiente tabla y contesta las preguntas.

Profesor Deberías Profesor Pagas

Mes PréstamoInterés simple

6%Adeudo

totalMes Préstamo

Interés compuesto

6%Adeudo

total

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

a) ¿Qué cantidad debe Deberías a los 6 meses? __________________________

b) ¿Qué cantidad debe Pagas a los 6 meses? ___________________________

c) ¿Cuál es la diferencia entre los dos adeudos a los 8 meses? ____________________

3.- Representa las tablas anteriores en la siguiente gráfica.

ADEUDO

7 100

6 800

6 500

6 200

5 900

5 600

5 300

1 2 3 4 5 6

M E S E S

4.- Pedí $10000 con el 8% de interés compuesto mensual. ¿Cuál será mi adeudo de 1 a 3 meses?

MESPRÉSTAMO

INICIAL YACUMULADO

INTERÉS8%

ADEUDOTOTAL

123

66

NOCIONES DE PROBABILIDAD• Comparación de dos o más eventos a partir de sus resultados posibles usando relaciones como: “es más probable que…”, “es menos probable que…”

PROBABILIDAD

PROBLEMA: Mariana compró 3 boletos para la rifa de un teléfono celular en la que se vendieron 125 boletos. ¿Cuál es la probabilidad de que se gane el celular?

Para calcular una probabilidad, se necesita determinar el espacio muestral. El espacio muestral está constituido por todos los datos posibles de un evento. En este caso el espacio muestral es 125.También se necesita determinar el número de casos favorables, que en este caso es 3, o sea el número de boletos que compra Mariana. Por lo tanto, la probabilidad de que Mariana gane el teléfono es


1.- Determina el espacio muestral de los siguientes eventos.

Lanzar una moneda para saber qué cae: _______

Lanzar un dado para ver qué número cae: ______

Hacer 50 boletos para la rifa de un reloj: _______

Meter en una urna 3 canicas rojas, 5 canicas verdes y 12 canicas blancas: ______

En una bolsa hay 10 calcetines negros y 8 azules: _______

En una bolsa se han metido papelitos numerados del 1 al 25: _______

Un televisor se va a rifar con boletos numerados del 1 al 100: _______

2.- Al realizar el experimento aleatorio de lanzar un dado:

¿Cuál es la probabilidad de que caiga el 5?

¿Cuál es la probabilidad de que caiga un número menor que 5?

3.- Se va a rifar una televisión con cincuenta boletos numerados del 1 al 50.Encuentra las probabilidades que se piden.

Probabilidad de que gane un número menor que el 5:

Probabilidad de que gane un número que sea un número mayor que el 40:

_3_125

66

Probabilidad de que gane el número 7:

Probabilidad de que gane el 5, el 10, el 15, el 20, el 25, el 30, el 35, el 40 o el 45:4.- Al realizar un experimento de lanzar un dado:

¿Cuál es la probabilidad de que caiga en 2?


¿Qué es más probable que caiga el 2 ó el 5?

5.- Al realizar un experimento de lanzar un dado:


¿Cuál es la probabilidad de que caiga en 4 o 3?

¿Qué es más probable que caiga el 6 ó el 4 o 3?

6.- Al realizar un experimento de lanzar un dado:

¿Cuál es la probabilidad de que 3 o 1 ?

¿Cuál es la probabilidad de que caiga en 6, 5 o 3?

¿Qué es más probable que caiga el 3 o 1, ó 6, 5 o 3?

7.- Tenemos enseguida las siguientes palabras: MATEMÁTICAS y SECUNDARIA.

Si elijo al azar una letra de cada una de las dos palabras:

¿Cuál es la probabilidad de elegir una U en la palabra SECUNDARIA? _______

¿En cuál palabra es más probable que sea la letra A la que elija? ________________________

¿En cuál palabra es menos probable que sea la letra E la que elija? ________________________

¿En cuál palabra es menos probable que sea la letra T la que elija? ________________________

¿En cuál letra es la misma probabilidad de elegirla? ___________________

8.- En una urna hay 13 bolas blancas, 15 bolas negras, 24 cafés, 13 azules y 14 rojas.Si saco al azar una de las bolas:

¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola café? _______

¿Cuál bola es menos probable que saque? _________________

66

¿Cuál bola es más probable que saque? _____________________

¿Qué es más probable sacar, una bola blanca o una bola azul? __________________

Ordena todas las probabilidades de mayor a menor: _____, ______, ______, _______ y _______

ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE DATOS• Análisis de casos en los que la media aritmética o la mediana son útiles para comparar dos conjuntos de datos.

PROMEDIO Y MEDIANA.

Las medidas de tendencia central son la media aritmética o promedio, la mediana y la moda. Estas medidas las podemos utilizar cuando necesitamos analizar la información recabada de alguna situación.

PROMEDIO O MEDIA ARITMÉTICA

PROBLEMA: Encuentra el promedio de las siguientes calificaciones de un alumno en el primer período: 7, 9, 10, 8, 6, 10, 8, 8 y 8.

Promedio = = = 8.2 Promedio = 8.2

El promedio es el valor que se localiza en el punto medio de una lista de datos numéricos. El promedio se encuentra sumando todos los números y dividiendo la suma entre la cantidad de casos que forman la lista.

MEDIANA

PROBLEMA: Encuentra la mediana en la siguiente lista.

10, 10, 9, 8, 8, 8, 8, 7, y 6 Mediana: 8

La mediana es el dato que se encuentra ubicado al centro o en medio de una lista después de haber sido ordenada.


1.- Encuentra el promedio o media aritmética de las siguientes series de números.

SERIE DE NÚMEROS PROMEDIO8,6

9, 8, 7, 63, 4, 8, 9, 11

10, 40, 60, 80, 90, 907.5, 8.4, 9.3, 6.8, 9.2

7 + 9 +10 + + 8 + 6 + 10 + 8 + 8 + 89

749

66

125, 200, 450, 500, 760, 4324.5, 2.25, 3.75, 3.5, 4.5

2.- Resuelve los siguientes problemas.1.- Un jugador de basquetbol durante varios partidos encestó los siguientes puntos: 20, 18, 12, 15, 14, 6 y 10. ¿Cuál es su promedio? ________

2.- En la ciudad de Chihuahua a las 7:30 horas de los primeros días del mes de enero, se registraron respectivamente las siguientes temperaturas: 1°C, 3°C, 2°C, 6°C, 8°C, 8°C, 3°C y 2°C. ¿Cuál es el promedio de estas

temperaturas? __________

3.- La familia Holguín gastó diariamente en alimentos las siguientes cantidades: $120, $140, $95, $123, $240, $175 y $96. ¿Cuál es el promedio de

gastos diarios? _________

4.- Iván en su carro a Ciudad Juárez lo hace cambiando cada hora la velocidad. Viaja conservando cada hora las siguientes velocidades: 90 km por hora, 110 km por hora, 140 km por hora y 115 km por hora. ¿Cuál es el promedio de la velocidad? ____

5.- En una prueba de Matemáticas que se aplicó a un grupo de primer grado, cada uno de los alumnos obtuvieron los siguientes aciertos:28, 27, 26, 26, 24, 24, 23, 22, 22, 22, 21, 20, 20, 20, 20, 19, 19, 19, 18, 16, 14, 14, 12, 11, 9 y 8.¿Cuál es el promedio de aciertos del grupo? __________¿Cuál es el número que representa la mediana? ______

6.- Una persona en la sierra recorrió durante varios días las siguientes distancias: 7 km, 8 km, 13.5 km, 10 km, 11.5 km, 8 km y 14 km.

¿Cuál es el promedio de kilómetros recorridos? ___________

¿Cuál es el número que representa la mediana?

___________

66

3.- Analiza la siguiente gráfica y contesta las preguntas que enseguida se hacen.

TEMPERATURA MÁXIMA PROMEDIO DURANTE LAS ESTACIONES DEL AÑO EN LA CIUDAD DE CHIHUAHUA Y EN CIUDAD OJINAGA

¿En cuál estación la temperatura en Chihuahua fue de 28°? _______________

¿En cuál estación la temperatura en Ojinaga fue de 27°? __________________

¿En cuál estación la temperatura en Chihuahua fue la más alta? __________________

¿En cuál estación hace más calor en ambas ciudades? ___________________

¿Cuál es el promedio de temperatura durante año en Ojinaga? ________

¿Cuál es el promedio de temperatura durante año en Chihuahua? _________

¿Cuál de las dos ciudades es más calurosa? ______________________

¿Cuál es el promedio de las temperaturas del año en ambas ciudades? __________

Ojinaga

Chihuahua

PRIMAVERA VERANO OTOÑO INVIERNO

ESTACIONES DEL AÑO

38

40

34

36

32

28

30

24

26

20

22

16

18

GRADOS

CENTÍGRADOS

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¿Cuál es el número que representa la mediana de todas las temperaturas de ambas ciudades? ________

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Guía de clase Bloque 1 segundo grado