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NÚMEROS Y SISTEMAS DE NUMERACIÓN • Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números
enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos.
LOS NÚMEROS CON SIGNO
PROBLEMA: Escribe ejemplos que nos ilustran el uso de los números con signo. Ganancias: Mario ganó $15 en un volado. El número es positivo: +15. Pérdidas: Mario perdió $8 en un volado. El número es negativo: -8. Temperaturas sobre 0: En Aldama la temperatura está a 25 grados sobre cero: +25°C. Temperaturas bajo 0: En Creel la temperatura está a 6 grados bajo cero: -6°C. Altura sobre el nivel del mar: Un avión vuela a 370 metros sobre el nivel del mar: +370. Bajo el nivel del mar: Un submarino está a 85 metros bajo el nivel del mar: -85.
PROBLEMA: Representa los números enteros positivos y negativos en una recta.
A partir del cero hacia la derecha se ubican los números positivos y hacia la izquierda del cero se ubican los números negativos. PROBLEMA: En una ciudad la temperatura máxima durante el día fue de 8°C y la mínima
de -6°C. ¿Cuál es la diferencia entre la temperatura máxima y mínima? Medimos en la recta numérica la distancia que hay entre el +8 y el -6 y vemos que son 14. Entonces, para encontrar la diferencia entre las temperaturas, operamos de la manera siguiente: 8 – (- 6) = 8 + 6 = 14 La diferencia cambia por una suma.
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Toma en cuenta la ubicación del 0 en las siguientes rectas y representa en cada una los números positivos y negativos que puedan ubicarse.
0
0
0
0
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
BLOQUE 4
108
2.- Completa la siguiente tabla escribiendo el número positivo o negativo con el que se representa cada una de las siguientes expresiones.
EXPRESIÓN NÚMERO
El avión vuela a dos mil quinientos treinta y dos metros sobre el nivel del mar Un submarino está sumergido a trescientos doce metros bajo el nivel del mar Batopilas se encuentra a quinientos metros sobre el nivel del mar Ernesto ganó setenta y cinco dólares en una apuesta La temperatura invernal en Rusia, un día fue de veintisiete grados bajo cero La temperatura máxima en Ojinaga fue de treinta y nueve grados sobre cero Iván debe mil quinientos ochenta pesos en la mueblería En la tienda de Don Tino el termómetro del refrigerador marca 5°C bajo cero En la radio anuncian que la temperatura ambiental es de 34°C Mi equipo de futbol tiene treinta y dos puntos en contra 3.- Utiliza la siguiente recta numérica para encontrar la distancia que hay entre los puntos señalados con las letras A y B y contestar las preguntas que se hacen. ¿Cuál es la distancia que hay entre A y B? ________ ¿Cuál es la operación que se hace para encontrar la distancia entre A y B? ___________ 4.- Utiliza la siguiente recta numérica para encontrar la distancia que hay entre los puntos señalados con las letras C y D y contesta las preguntas que se hacen. ¿Cuál es la distancia que hay del punto D al 0? ________ ¿Cuál es la distancia que hay del 0 al punto C? ________ ¿Cuál es la distancia que hay del punto D al punto C? _________ ¿Cuál es el procedimiento adecuado para encontrar la distancia entre C y D?....... (_____) a) 7 – (- 4) = 7 + 4 b) 7 - 4 c) -7 -4 = -7 + 4 d) 7 x 4 Esto quiere decir que al restar un número positivo con otro negativo, la operación que resulta es una suma: 7 – (-4) = 7 + 4 = 11 Escribe el resultado de las siguientes restas. Ejemplo. 8 – (-6) = 8 + 6 = 14 9 – (-5) = _______________ 5 – (-3) = ____________ 4 – (-3) = _____________ 7 – (-2) = _______________ 96 – (-18) = ____________
D C
A
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
109
5.- Utiliza la siguiente recta numérica para encontrar la distancia que hay entre los puntos señalados con las letras. ¿Cuál es la distancia que hay del punto G al punto C? ________________ ¿Cuál es la distancia que hay del punto D al punto E? ________________ ¿Cuál es la distancia que hay del punto H al punto E? ________________ ¿Cuál es la distancia que hay del punto G al punto A? ________________ ¿Cuál es la distancia que hay del punto G al punto E? ________________ ¿Cuál es la distancia que hay del punto F al punto A? ________________ ¿Cuál es la distancia que hay del punto H al punto C? ________________ ¿Cuál es la distancia que hay del punto D al punto A? ________________ 6.- Resuelve los siguientes problemas:
H G F E A D C
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1.- En Santa Bárbara, Chihuahua, al
amanecer la temperatura era de -2°C y por la tarde fue de 20°C. ¿Cuál es la diferencia entre estas temperaturas? …………………………(_____)
a) 22°C b) 18°C c) 20°C
2.- En Ojinaga, Chihuahua, al amanecer la
temperatura era de -3°C y por la tarde cambió hasta los 16°C. ¿Cuál es la diferencia entre estas temperaturas?…… ………….………..(_____)
a) 3°C b) 19°C c) 13°C
3.- En la carnicería del barrio, el
refrigerador está a -7°C y la temperatura ambiental es de 12°C. ¿Cuál es la diferencia entre estas temperaturas?.......................... (_____)
a) 5°C b) 12°C c) -5°C d) 19°C
4.- Un avión vuela a una altura de 1800
metros sobre el nivel del mar y un submarino se encuentra sumergido a 375 metros bajo el nivel del mar. ¿Qué operación debe hacerse para Medir la distancia entre los dos, cuando el avión pasa sobre la perpendicular del submarino?.................................. (_____)
a) 1800 – 375 b) 375 – 1800 c) 1800 + 375 d) 375 + 0 + 375
5.- Un avión vuela a una altura de 950
metros sobre el nivel del mar y un buzo se encuentra sumergido a 180 metros bajo el nivel del mar. ¿Qué distancia hay entre los dos, cuando el helicóptero se detiene sobre la perpendicular del buzo? R = ______________________
110
7.- Utiliza la siguiente recta numérica para encontrar la distancia que hay entre los puntos señalados con las letras. Ejemplo: ¿Cuál es la distancia que hay del punto G al punto C? 3 – (- 2) = 3 + 2 = 5 ¿Cuál es la distancia que hay del punto D al punto E? ________________________ ¿Cuál es la distancia que hay del punto H al punto E? ________________________ ¿Cuál es la distancia que hay del punto G al punto A? ________________________ ¿Cuál es la distancia que hay del punto G al punto C? ________________________ ¿Cuál es la distancia que hay del punto F al punto A? ________________________ ¿Cuál es la distancia que hay del punto H al punto C? _______________________ ¿Cuál es la distancia que hay del punto D al punto A? ________________________ 8.- Resuelve los siguientes problemas.
H G F E A D C
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1.- En la ciudad de Chihuahua, la
temperatura era de 23°C cambió a -18°C. ¿Cuál es la diferencia entre estas temperaturas? ……………………..… ______
2.- En Creel, la temperatura era de 14°C
cambió hasta los -13°C. ¿Cuál es la diferencia entre estas temperaturas? ………………………..______ 3.- En mi ciudad la temperatura del ambiente
está a 32°C y la temperatura de mi recámara por el aire acondicionada es de 26°C. ¿Cuál es la diferencia entre estas temperaturas?.................................... ______
4.- Un avión vuela a una altura de 2400
metros sobre el nivel del mar y un submarino se encuentra sumergido a 650 metros bajo el nivel del mar. ¿Qué distancia hay entre los dos, cuando el avión se detiene sobre la perpendicular del submarino? ...................... ______________ 5.- Un helicóptero vuela a una altura de 670
metros sobre el nivel del mar y un buzo se encuentra sumergido a 150 metros. ¿Qué distancia hay entre los dos, cuando el helicóptero se detiene sobre la perpendicular del buzo? ...................... ________________
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FIGURAS Y CUERPOS • Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no
alineados, etcétera) o que cumplan condiciones dadas.
CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Observa la siguiente figura que representa a un jardín circular de 6 metros de radio y que cuenta con dos círculos dentro. Contesta las preguntas que se hacen.
Cuerda
Diámetro Radio
Círculo (toda la parte sombreada)
La circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están a la misma distancia de un punto llamado centro. El círculo es toda la superficie delimitada por la circunferencia. En la circunferencia se pueden identificar algunas rectas como las siguientes: Radio. Segmento de recta va que del centro a un punto de la circunferencia. Cuerda. Segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia sin cortarla. Diámetro. Une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro. Es la cuerda mayor.
Circunferencia
¿Cuántas circunferencias identificas en la figura? _____ ¿Cuántos círculos identificas en la figura? _________ ¿Cuántos diámetros identificas en toda la figura? (Hay más de dos) __________ ¿Cuántos radios identificas en la figura? __________ ¿Cuánto mide el diámetro del círculo mayor? ________ ¿Cuánto mide el diámetro de cada uno de los círculos menores? ___________ ¿Cuánto mide el radio de cada uno de los círculos menores? _____________
. .
112
2.- Traza enseguida los círculos con las medidas que se indican. Radio: 2 cm Diámetro: 5 cm
3.- Traza dos círculos de diferente tamaño pero que tengan el mismo centro. Llámalas circunferencias concéntricas e ilumina con un color la corona circular que se forma. Traza con un color un radio mayor y con otro color un radio menor.
4.- Traza sus dos diagonales al siguiente cuadrado y enseguida traza un círculo que toque un solo punto en cada uno de los cuatro lados del cuadrado.
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A .
A
.
5.- Dibuja tres círculos que pasen por el punto A señalado enseguida y llama O a los centros de los círculos que trazaste.
6.- Traza un círculo que pase por los puntos A y B señalados enseguida, llama O al centro del círculo que trazaste y diámetro al segmento AB.
A . . B
7.- Traza varios círculos que pasen por los puntos A y B señalados enseguida. Trazando la mediatriz del segmento AB puedes encontrar los centros de los círculos.
A . . B
8.- Para el ruedo de un rodeo que se va a efectuar en Nuevo Delicias se han colocado 3 postes como se muestra enseguida. Dibuja el círculo para encontrar el lugar donde podrán ubicarse los 3 postes que faltan (con la intersección de las mediatrices de los segmentos AB y BC, se puede encontrar el centro del círculo).
B .
C .
114
MEDIDA • Justificación de la fórmula para encontrar la longitud de la circunferencia y el área del
círculo. Explicitación de número ¶, como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro.
LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA
Si comparamos la medida del diámetro con la longitud de la circunferencia, vemos que la medida de la circunferencia es entre 3 y 4 veces mayor que la medida del diámetro. Esta relación la obtuvo un matemático llamado Arquímedes que vivió en el siglo III antes de Cristo. Arquímedes encontró que el número que relaciona la longitud de la circunferencia
con la longitud del diámetro es 22
7 = 3.1428571
A este número se le conoce con el nombre de pi y su símbolo es la letra griega ¶, mismo que para su uso más práctico solo se toma como 3.14 El número pi (¶) indica que el diámetro cabe 3 veces y fracción en la circunferencia. Cuando queremos conocer la longitud de la circunferencia si sabemos lo que mide el diámetro, lo que hacemos es multiplicar 3.14 por lo que mide el diámetro. Simbólicamente tenemos: C = ¶ • D Esto es: Circunferencia es igual a pi por diámetro.
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Utiliza un alambre dobladizo y comprueba en las siguientes circunferencias que el diámetro cabe aproximadamente 3.14 veces en la circunferencia. Marca en las circunferencias las partes que equivalen al diámetro.
Haz lo mismo con la segunda circunferencia: d = _____ cm Encuentra la medida de la circunferencia: C = ¶ x d C = ______ x _____ = ________ cm
Mide con una regla el diámetro de la primera circunferencia y escríbela enseguida: d = _____ cm Encuentra la medida de la circunferencia: C = ¶ x d C = 3.14 x _____ = _________ cm
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2.- Completa la siguiente tabla y contesta las preguntas. C = ¶ x d
d
MEDIDA DEL DIÁMETRO (cm)
C
LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA
2 4 6 8 25.12 10 12
¿El problema de la tabla es una proporción directa? ________ ¿Cuál es la constante en la proporción? ________ ¿Cuánto aumenta la longitud de la circunferencia, si el diámetro aumenta al doble? _____ __________________________________________ ¿Cuál es la expresión que nos permite encontrar la longitud de la circunferencia si conocemos la medida del diámetro?……………………………… (____)
a) C = 3.14 b) C= 3.14 (d) c) C = 3.14
𝑑 d) C = d
3.-Encuentra la medida de las siguientes circunferencias, recuerda que el radio (r) es la mitad del diámetro (d). Cada circunferencia representa un objeto con sus medidas reales.
d = 12 cm
DVD TAPA DE BOTE DE PINTURA
r = 8.5 cm
MESA DE COCINA
d = 1.10 m
4.- Se ha diseñado un vitropiso con un círculo dentro de un cuadrado de 20 cm por lado. ¿Cuál es el perímetro del círculo?.................. (____)
a) 80 cm b) 400 cm c) 62.8 cm d) 63.2 cm
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7.- Observa la siguiente figura que representa el abanico de un aparato de aire para enfriar una habitación. 8.- El círculo del centro de una cancha de basquetbol mide de diámetro 1.5 metros. ¿Cuál es la medida del perímetro del círculo? …………… (____)
a) 3.14 m b) 9.42 m c) 29.5788 m d) 4.71 m
14 cm
12 cm
Si el largo de una de las aspas mide 32.5 cm desde el centro del círculo hasta su extremo, ¿cuánto mide la circunferencia que generan las aspas cuando giran?.................. (____)
a) 7.28 cm b) 9.28 cm c) 204.1 cm d) 208.1 cm
5.- Vamos a suponer que el perímetro de la tierra y el de la luna fuese perfectamente circular. Si sabemos que el diámetro de la tierra es de 12760 kilómetros aproximadamente y el diámetro de la luna es 3 476 km. ¿Cuánto es mayor el perímetro de la tierra que el de la luna? ……………_____________
6.- Se va a adornar con un lienzo alrededor de las circunferencias que forman la siguiente figura que representa a un mono de peluche. ¿Qué cantidad de lienzo se necesita?….
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ÁREA DEL CÍRCULO
PROBLEMA: Utilizando la equivalencia de figuras, deduce la fórmula para obtener el área
de un círculo.
En la siguiente figura tomamos las 16 partes que corresponden al círculo y formamos con ellas un romboide, de tal forma que la base del romboide sea igual a la mitad del perímetro del círculo, es decir que solo sean 8 partes y que la altura sea igual al radio del círculo. Si la circunferencia es igual a: ¶ x d, entonces como las 8 partes son la mitad de la circunferencia, la base del romboide es igual a: ¶ x radio, porque el radio es la mitad del diámetro. Con esto se deduce la fórmula del área del círculo: ÁREA DEL ROMBOIDE ÁREA DEL CÍRCULO ¶ x r A = base por altura A = ¶ x r x r = ¶ x r² A = ¶ x r²
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Encuentra el área de cada uno de los siguientes círculos. Utiliza la fórmula ¶ r²
12 u
r
16
15
14 13 12
11
10
9
8
7
6 5 4
3
2
1
8 7 6 5 4 3 2 1
9 10 11 12 13 14 15 16
5 u
118
2.- Encuentra la medida del área de tres objetos, los cuales tienen las siguientes medidas. 3.- En la siguiente figura que representa un vitropiso, encuentra el área del cuadrado menor, el área del círculo y el área del cuadrado mayor. Contesta las preguntas. Área del cuadrado menor: ____________ Área del círculo: _____________ Área del cuadrado mayor: ______________ ¿Cuánto es mayor el área del cuadrado mayor que el área del círculo? ______________ 4.- PROBLEMA: La siguiente figura representa a la carátula cuadrada de un reloj de
pared. ¿Cuánto mide el área de la parte sombreada de la carátula? ______________
12 u
12 u
r = 12 cm
DVD TAPA DE BOTE DE PINTURA
d = 17 cm
MESA DE COCINA
d = 90 cm
8 u
119
5.- Resuelve los siguientes problemas. 6.- La siguiente figura representa la forma que tiene la superficie del terreno donde está construido un parque infantil. ¿Cuál es el área del terreno? ………...….. (____)
a) 5 000 m² b) 5 887.5 m² c) 7 850 m² d) 314 m
1.- Iván construyó en su casa un jardín
circular de 4 metros de radio. ¿Cuál es el área del jardín? ___________
2.- Una moneda de diez pesos mide 2.8
centímetros de diámetro. ¿Cuál es el área de la moneda? ________
3.- ¿Cuál es el área sombreada (corona
circular) en la siguiente figura? _________
5 cm
7 cm
4.- ¿Cuál es el área sombreada en la
siguiente figura, en donde el diámetro del círculo mayor mide 8 metros? __________
50 m
120
7.- Al trazar dos circunferencias concéntricas, es decir, dos circunferencias que tengan el mismo centro se forma en ellas una corona circular. La corona circular es el área comprendida entre la circunferencia menor y la circunferencia mayor. Ilumina en los siguientes pares de circunferencias las coronas circulares que encuentres.
8.- PROBLEMA: La siguiente figura
representa el rin y la llanta de un carro. La corona circular es la llanta. Encuentra el área de la corona circular que corresponde a la llanta si el diámetro mayor mide 50 cm y el diámetro menor mide 36 cm.
9.- PROBLEMA: Encuentra el área de la
corona circular de un reloj, cuyos radios de las circunferencias concéntricas miden 8 cm y 10 cm respectivamente.
121
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES • Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios.
RAZONES
Una razón es comparar por cociente dos números. Al valor de la razón se le llama constante de proporcionalidad o factor constante y se indica con la letra k. EJEMPLO:
PROBLEMA RAZÓN CONSTANTE(k)
Un camión recorre 240 km en 3 horas. 240
3
80
REGLA DE TRES. PROPORCIONES.
A la igualdad de dos razones se le llama proporción. Ejemplo: 240
3=
480
6
En una proporción directa “el producto de los medios es igual al producto de los extremos.” 240 x 6 = 3 x 480 1 440 = 1 440 PROBLEMA: Un camión que se dirige a Ciudad Juárez recorre 240 kilómetros en 3
horas. Qué distancia habrá de recorrer en 7 horas si su velocidad es constante. 240
3=
𝑥
7
(3)(x) = (240)(7) Medio por medio es igual a extremo por extremo
x = (240)(7)
3 Despejamos la “x” y resolvemos la ecuación.
x = 1 680
3
x = 560 km
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Usa los productos cruzados para poder saber cuándo cada pareja de razones es una proporción. Escribe dentro del cuadro la palabra Sí o No. 1
2 𝑦
8
16
3
21 𝑦
1
7
4
10 𝑦
2
8
4
9 𝑦
12
27
200
120=
2
14
1.5
3 𝑦
7.5
18
Esta es una proporción directa , ya que, al aumentar el numerador, aumenta también el denominador en la misma proporción.
Formamos la proporción: 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 =
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
122
2- En cada una de las siguientes proporciones encuentra los productos cruzados para demostrar que son iguales. Ejemplo.
4
1 =
20
5
4
4=
25
25
1
3=
2
6
10
15=
2
3
5
6=
20
24
3
6=
6
12
5
7=
10
14
4
10=
1
2.5
3
40=
4.5
60
5
10 =
17.5
35
3.- Encuentra el número que falta en cada una de las siguientes proporciones. Ejemplo. 𝑛
50=
6
12
𝑛
70=
6
21
𝑛
12=
15
36
𝑛
8=
9
24
11
55=
18
𝑛
28
16.8=
30
𝑛
8
40=
11
𝑛
8.6
25.8=
1
𝑛
4.- ¿Cuál de las siguientes tablas es la que corresponde a una situación de proporción directa?................................................................................................. (____) REFRESCO PRECIO REFRESCO CAPACIDAD REFRESCO VOLUMEN 1 $5 1 100 ML 1 160 cm³
2 $10 2 100 ML 2 400 cm³ 3 $15 3 100 ML 3 500 cm³
Compruébalo: _____ x ______ = _____ x ______
4 x 5 = 1 x 20
20 = 20
12n = 50 x 6
12n = 300
n = 300
12
n = 25
c) b) a)
123
5.- Resuelve los siguientes problemas. Aplica la regla “el producto de los medios es igual al producto de los extremos” o la igualdad de dos razones. Regla de tres. 6.- Observa las siguientes tablas incompletas de variaciones proporcionales directas. Encuentra los valores aplicando la regla de tres o productos cruzados. PROBLEMA 1.- Precio de las tortillas por kilo.
KILOS 1 5 10 15 PRECIO ($) 45 PROBLEMA 2.- Cantidad de palabras escritas por minuto.
MINUTOS 1 15 30 45 PALABRAS 825
2.- Para obtener 700 gramos de sal se utilizan aproximadamente 20 litros de agua de mar. ¿Qué cantidad de sal se obtiene de 45 litros de agua de mar? ___________
1.- Una máquina tarda 8 minutos en producir 56 tuercas. ¿Cuántas tuercas producirá en 90 minutos? ____________________
4.- Elena compró una lavadora y ha dado 6 abonos que hacen un total de $1500. ¿Cuánto va a pagar en total por la lavadora si por todo serán 15 abonos los
que tenga que pagar? ______________
3.- Un atleta recorre 14,000 metros cuando da 5 vueltas en la pista de la deportiva. ¿Cuántos kilómetros lleva recorridos en 3.5 vueltas? _________
124
PROBLEMA 3.- Distancia que recorre un tráiler en cierto tiempo.
HORAS 1 6 8 10
DISTANCIA (km) 432 PROBLEMA 4.- Reproducción a escala de un triángulo escaleno.
TRIÁNGULO (LADOS) 4 cm 6 cm 8 cm
REPRODUCCIÓN 30 cm
PROBLEMA 5.- Reproducción a escala de un triángulo escaleno.
TRIÁNGULO (LADOS) 7 cm 8 cm 9 cm REPRODUCCIÓN (LADOS) 13.5 cm
3.- Resuelve los siguientes problemas. Aplica la regla de tres. PROBLEMA 1.- Los siguientes triángulos son semejantes, por lo tanto son
proporcionales. Utiliza la regla de tres para que encuentres la altura del pino. PROBLEMA 2.- Los siguientes triángulos son semejantes, por lo tanto son proporcionales. Utiliza la regla de tres para que encuentres la medida del ancho del río.
x
70 m
53 m
40 m
2.95 m
4 m 16 m
x
125
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
• Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala.
ESCALAS
PROBLEMA: Reproduce la figura A con una escala de 2 a 1.
En las escalas lo que se reproduce con escala es la longitud, es decir, el largo de las cosas, no el área ni el volumen. Si una fotografía mide 10 cm de largo por 6 cm de ancho y se amplía con la escala de 2 a 1, las nuevas medidas de la foto serán 20 cm de largo por 12 cm de ancho. PROBLEMA: Reproduce la figura A con una escala de 1 a 2.
Escala de 1 a 2
Si un cuadrado se quiere ampliar con una escala de 4 a 3, el factor de proporcionalidad es PROBLEMA: Un cuadrado que mide 6 cm por lado, se reproduce con una escala de 4 a
3. ¿Cuáles serán sus nuevas medidas? 6 x = = 8
Escala de 4 a Escala de 4 a 3
A’ A
A A’ La reproducción de la figura A se hizo con la escala de 2 a 1 es decir al doble, que es lo mismo que 2 : 1 ó
2 a 1 es al doble porque el cociente de 2 ÷ 1 es 2.
La figura se reprodujo a la mitad, es decir con una escala de 1 a 2, que es lo mismo que 1 : 2 ó . es el factor de proporcionalidad fraccionario.
6 x = = 3 (Un medio de 6)
2
1
1
2
1
2 6
2
4
3 24
3
4
3
1
2
126
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Reproduce a su derecha las siguientes líneas o figuras con una escala de 1 a 2 y
contesta.
a.- ¿La reproducción de todas las figuras es mayor o menor?__________________ b.- ¿Cuál es el largo del segmento A?____________ c.- ¿Cuál es el largo de la reproducción hecha del segmento A? ____________________ d.- ¿Cuánto disminuyó el largo de la reproducción del segmento A? _________________ 2.- Reproduce las figuras A, B y C con una escala de 2 a 1 y llámalas A´, B´ y C´.
Enseguida completa la tabla que se presenta a la izquierda de las figuras. FIGURA
C FIGURA
C´
Base Altura Perímetro Área
E D
F
C B
C
B
A
A
127
3.- Dibuja las siguientes figuras con la escala que se te indica.
Escala 1 a 4 Escala 2 a 1 Escala 4 : 3 4.- Resuelve los siguientes problemas.
30 mm Alto: Ancho:
Largo:
3.- Observa el siguiente dibujo
hecho a una escala de 1 : 200.
¿Cuál será la altura real de la casa?.... (____) a) 6 m b) 300 m c) 30 cm d) 900 cm
3 cm
40 mm
60 mm
2.- ¿Cuáles serán las medidas del siguiente
dibujo, si éste es reproducido con una escala de 3:1?
4.- Observa el siguiente dibujo hecho a una
escala de 10 a 1.
¿Cuál debe ser el tamaño real del dibujo de las flores?............................... (____) a) 600 cm b) 60 cm c) 6 cm d) 0 cm
60 cm
1.- Si una fotografía que mide 50 cm de
base por 70 cm de altura, se reproduce con una escala de 1 a 2, ¿cuáles serán las nuevas medidas? Base __________ Altura __________
128
NOCIONES DE PROBABILIDAD
• Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados.
Para organizar la información y resolver problemas de conteo, se pueden utilizar los arreglos rectangulares, las tablas o los diagramas. PROBLEMA: Se tienen tres guisados que son de milanesa, mole y discada, y dos sopas
que son de arroz y de fideo. ¿De cuántas maneras se pueden combinar los guisados y las sopas para presentar diferentes platillos? TABLA
Milanesa Mole Discada Arroz Arroz - Milanesa Arroz - Mole Arroz - Discada
Fideo Fideo - Milanesa Fideo - Mole Fideo - Discada DIAGRAMA DE ÁRBOL GRÁFICA
Arroz Fideo
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Utiliza las tres maneras anteriores para representar los siguientes problemas. 1.- ¿Cuántos números diferentes de dos cifras se pueden formar con las cifras 2, 4, y 6,
tomando en cuenta que si se puede formar número repitiendo una cifra?
xxx Operación: ____ x ____ = _____
( A, M ) ( A, M ) ( A, D ) ( F, M ) ( F, M ) ( F, D )
•
• •
•
• •
F A
M
Milanesa Mole Discada
Milanesa Mole Discada
M
D
2 x 3 = 6
maneras
DIAGRAMA DE ÁRBOL
TABLA GRÁFICA
129
2.- El grupo de danza de la Escuela Secundaria Federal “Constituyentes de 1857” de
Santa Bárbara, Chihuahua, está formado por 6 parejas, 6 hombres y 6 mujeres. Los integrantes son Ana, Bertha, Claudia, Dilia, Elena, Fátima, Gabriel, Homero, Ismael, José, Lorenzo y Mario. ¿De cuántas maneras distintas se pueden formar las parejas para conocer la mejor manera en que baila el grupo? ______ Puedes representar a las mujeres con las letras A, B, C, D, E y F. A los hombres con las letras: G, H, I, J, L y M.
xx Operación: ____ x ____ = ______ 3.- Mi hermana tiene un pantalón de mezclilla y un short. Tiene una blusa blanca, una
blusa roja y una blusa azul. Tiene unos zapatos y unos huaraches. Representa el problema en una tabla y en una gráfica. ¿Cuántas combinaciones puede hacer mi hermana con lo que tiene?
DIAGRAMA DE ÁRBOL
GRÁFICA TABLA
130
4.- Si juegas con dos dados de diferente color, te darás cuenta que algunos de los
posibles resultados que se pueden dar, son: (1 y 1), (1 y 2), (2 y 1), etcétera. ¿Cuál es el total de resultados posibles que se pueden dar al lanzar los dos dados de diferente color? xx
4.- Encuentra el resultado a los siguientes problemas, por medio de una operación.
1.- Un payaso tiene 15 sacos y 10 pantalones. ¿De cuántas maneras distintas los puede combinar? _________________ 2.- En un restaurante se ofrecen 5 tipos de platillos, 4 tipos de refrescos y 3 tipos de postre. ¿De cuántas maneras distintas se pueden combinar? ________________ 3.- Una escuela ofrece los talleres de dibujo, carpintería, computación y electrónica. También ofrecen los deportes de basquetbol, futbol, beisbol, natación y volibol. Si un alumno debe escoger un taller y un deporte, ¿cuántas opciones en total tiene para elegir? ______ 4.- Tengo un sombrero de piel y uno de pana. Tengo una camisa blanca y una negra. Tengo un pantalón de mezclilla y uno de vestir. Tengo unos zapatos y unas botas. ¿De cuántas maneras distintas los puede combinar para vestirse usando cada vez una de todas las prendas que tiene? ___________________ 5.- Un ratón se encuentra en el primer cuarto de una bodega. Para ir hasta el último cuarto de la bodega donde hay comida, tiene en la primera pared 3 caminos que puede seguir, tiene 2 caminos en la segunda pared y tiene 4 caminos en la última pared. ¿Cuántos son en total los distintos caminos que puede utilizar para llegar al queso? _____
DIAGRAMA DE ÁRBOL
TABLA GRÁFICA
131
ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE DATOS
• Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de
diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada.
GRÁFICAS DE BARRAS, CIRCULARES Y POLIGONALES
Cierto tipo de información podemos representarla en diferentes tipos de gráfica, como la de barras y la circular. Para ello debemos elegir la forma de representación más adecuada.
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Observa la siguiente gráfica de barras y contesta. 2.- Observa la siguiente gráfica de la venta de costales con diferentes productos de la tienda de Don Tino sabiendo que a cada costal contiene 30 kg del producto. Ilumina la gráfica con el color que se indica de acuerdo a las ventas.
110 100 90 80 70
20
15
10
5
Número de
excursiones
Alumnos por excursión
¿En cuántas excursiones fueron 100 alumnos? _______________________ ¿En cuántas excursiones fueron 90 alumnos? _______________________ ¿Cuántos alumnos fueron en las 50 excursiones? _______________________ ¿Cuál es el menor número de alumnos por excursión? __________________ ¿Cuál es el mayor número de alumnos por excursión? _____________________
Venta anual
Maíz: 960 costales: Verde. Lenteja: menor cantidad de costales vendidos: Azul. Garbanzo: 845 costales: Amarillo. Trigo: 785 costales: Blanco. Nuez: 1320 costales: Rojo.
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3.- En un supermercado de Chihuahua, a los clientes se les van otorgando puntos por cada una de las compras que realiza, y cada tres meses, se les hace un descuento en lo que gastan en un determinado día, de acuerdo a los puntos que logró acumular. La siguiente gráfica poligonal muestra las compras que hizo la señora Jaramillo y los puntos acumulados en cada compra.
De acuerdo a la información presentada en la gráfica de arriba completa la siguiente tabla. COMPRAS PUNTOS
$100 $300 $200 $500 $600 $400 $500
Si las compras de otro cliente fueron las siguientes, ¿cómo queda la tabla y la gráfica? COMPRAS PUNTOS
$100 $200 $300 $400 $500
•
•
•
•
•
•
•
C O M P R A S
P U N T O S
$100 $300 $200 $500 $600 $400 $500
5
10
15
20
25
30
¿Cuántos puntos logró acumular? ___________ Por cada 10 puntos acumulados le descuentan el 1 % en lo que compra. ¿Qué porcentaje le deben de descontar? _____
P U N T O S 5
10
15
20
25
$100 $200 $300 $400 $500
