Guía de clase primero bloque 5

PROBLEMAS ADITIVOS• Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros.

SUMA DE NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS

PROBLEMA: Suma los números positivos: 2 + 3.

Para comprender mejor la suma de números enteros positivos y negativos lo hacemos representando las operaciones en una recta numérica.

Se empieza del 0 y a partir de allí se toma la distancia 2 hacia la derecha, porque el 2 es positivo. Enseguida, a partir del 2 se toma la distancia 3 también hacia la derecha.2 + 3 = 5 Distancia 2 más distancia 3 igual a 5.

CONCLUSIÓN: Al sumar dos números positivos, el resultado siempre será un número positivo, porque las dos distancias que se toman se mueven hacia la derecha en la recta.

ACTIVIDADES DE CLASE

1.- Utiliza las siguientes rectas numéricas para representar y resolver las siguientes sumas de números enteros.

3 + 4 = ____

5 + 6 = ____

2 + 8 = ____

6 + 9 = ____

7 + 6 = ____

(+3) + (+5) = ____

2 + 3 + 5 = ____

133

+3

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

2

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

BLOQUE 5

2.- Observa las siguientes rectas numéricas, escribe la operación que está indicada en cada una y también su resultado.

__ + __ = ___

__ + __ = ___

__ + __ = ___

__ + __ = ___

__ + __ = ___

__ + __ = ___

__ + __ = ___

3.- Resuelve las siguientes sumas. Piensa cómo se ubican los sumandos en una recta.

6 + 4 = ____ 4 + 3 = ____ 5 + 3 = ____ (8) + (1) = ____7 + 9 = ____ 7 + 12 = ____ 5 + 33 = ____ (6) + (2) = ____

4 + 20 = ____ 25 + 7 = ____ 16 + 8 = ____ (50) + (30) = ____

75 + 28 = _____ 49 + 92 = _____ 36 + 47 = _____ (+12) + (24) = _____

4.- Escribe el término que falta en las siguientes operaciones.

5 + ___ = 9 7 + ___ = 12 12 + ___ = 20 (6) + ___ = 12

___ + 8 = 15 ___ + 4 = 16 ___ + 9 = 18 ___ + 7 = 15

___ + ___ = 13 ___ + ___ = 9 ___ + 0 = 125 ___ + 35 = 179

5.- Resuelve el siguiente problema.

PROBLEMA: Ismael tiene 53 años y su papá tiene 19 años más que él. ¿Cuál es la edad de su papá? _______________

134

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

SUMA DE NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS

PROBLEMA: La temperatura en San Juanito durante la mañana fue de 0°C. Después aumentó 3°C y luego bajó 7°C. ¿Cuál es la nueva temperatura?

Se suman dos números. Uno positivo y otro negativo: 3 + (-7). Esto es lo mismo que: 3 – 7

Se empieza del 0 y a partir de allí, se toma la distancia 3 hacia la derecha porque el 3 es positivo.Enseguida, a partir del 3 se toma la distancia -7 pero hacia la izquierda porque el -7 es un número negativo.

3 – 7 = -4 Distancia 3 hacia la derecha del cero + distancia 7 hacia la izquierda = -4

CONCLUSIÓN: Para sumar un número positivo con otro negativo, se encuentra la diferencia entre los dos números y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto.


1.- Utiliza las siguientes rectas numéricas para representar y resolver las siguientes sumas de números enteros.

4 + (- 6) = ____

3 - 10 = ____

4 - 11 = ____

6 - 9 = ____

8 - 15 = ____

2.- Analiza las siguientes rectas numéricas y escribe la operación que está indicada y su resultado.

135

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-73

-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

5 - 12 = -7

____________

____________

____________

____________

3.- Resuelve las siguientes sumas. Piensa cómo se ubican los sumandos en una recta numérica.

4 + (-6) = -2 3 + (-10) = ____ 2 + (-5) = ____ 3 + (-7) = ____

6 – 8 = ____ 5 – 12 = ____ 5 – 8 = ____ 0 – 19 = ____

1 – 4 = ____ 56 – 80 = ____ 3 – 5 = ____ 4 – 9 = ____

8 – 11 = ____ 13 – 1 5 = ____ 8 – 9 = ____ 7 – 12 = ____

2 – 6 = ____ 25 – 39 = ____ 17 – 23 = ____ 61 – 98 = ____

4.- Resuelve los siguientes problemas.

PROPIEDAD CONMUTATIVA DE LA SUMA

136

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1.- Un día la temperatura de invierno en Chihuahua, a las cuatro de la mañana estuvo a 0°C. Durante el día subió 13°C y bajó 15°C. ¿Cuál fue la nueva temperatura? _______

2.- Una persona recorre 50 metros a la derecha del punto P y luego se regresa 75 metros en la misma dirección. ¿A qué distancia quedó del punto P? _____________

PROBLEMA: La temperatura en Santa Bárbara durante la mañana fue de 0°C. Después bajó 7°C y luego subió 3°C. ¿Cuál es la nueva temperatura?

Sumamos dos números. Uno negativo y otro positivo: -7 + (3). Esto es lo mismo que: –7 + 3

–7 + 3 = - 4 Distancia 7 hacia la izquierda del cero + distancia 3 hacia la derecha = -4

Se pueden cambiar el orden de los sumandos de una suma y el resultado es el mismo.3 – 7 = -4 Es lo mismo que -7 + 3 = - 4

CONCLUSIÓN: Para sumar un número negativo con otro positivo, se encuentra la diferencia entre los dos números y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto.


1.- Utiliza las siguientes rectas numéricas para representar y resolver las siguientes operaciones de números enteros.

- 6 + 4 = ____

- 6 + 1 = ____

- 9 + 3 = ____

- 7 + 5 = ____

- 8 + 2 = ____

2.- Observa las siguientes rectas numéricas, escribe la operación que está indicada y su resultado en cada una de ellas.

137

-7

+3

-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

- 9 + 5 = - 4

____________

____________

____________

____________

3.- Resuelve las siguientes sumas. Mentalmente analiza cómo se ubican los sumandos en una recta numérica.

- 6 + 4 = ____ -10 + 3 = ____ -5 + 2 = ____ -7 + 12 = ____

– 8 + 6 = ____ – 12 + 5 = ____ – 48 + 25 = ____ – 19 + 0 = ____

– 34 + 17 = ____ – 80 + 56 = ____ – 5 + 7 = ____ – 9 + 14 = ____

– 11 + 8 = ____ – 1 5 + 13 = ____ – 9 + 18 = ____ – 12 + 17 = ____

– 6 + 2 = ____ – 9 + 5 = ____ – 13 + 17 = ____ – 98 + 104 = ____


SUMA DE DOS NÚMEROS NEGATIVOS

138

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1.- Un día la temperatura de invierno en Chihuahua, a las cuatro de la mañana estuvo a 0°C. Durante el día bajó 13°C y subió 8°C. ¿Cuál fue la nueva temperatura? _______

2.- Una persona recorre 75 metros a la izquierda del punto O y luego se regresa 50 metros en la misma dirección. ¿A qué distancia quedó del punto O? _____________

PROBLEMA: La temperatura fue de 0°C. Después bajó 7°C y luego bajó 3°C. ¿Cuál es la nueva temperatura?

Se suman dos números negativos: -7 + (-3). Esto es lo mismo que: –7 – 3

Se empieza a representar en la recta a partir del cero. 7 hacia la izquierda y 3 también hacia la izquierda.

–7 - 3 = -10 Distancia 7 hacia la izquierda del cero + distancia 3 hacia la izquierda = -10

Se pueden cambiar el orden de los sumandos de una suma y el resultado es el mismo.- 3 + (-7) = -10 Es lo mismo que -7 - 3 = -10

CONCLUSIÓN: Para sumar dos números negativos, se suman los dos números y al resultado se le pone el mismo signo negativo, porque al sumar dos números negativos, en la recta se mueven los dos hacia la izquierda del cero.


1.- Utiliza las siguientes rectas numéricas para representar y resolver las siguientes operaciones de números enteros negativos.

- 6 - 4 = ____

- 5 - 1 = ____

- 9 - 3 = ____

- 7 - 5 = ____

- 8 - 9 = ____

2.- Analiza las siguientes rectas numéricas, escribe la operación que está indicada y su resultado en cada una de ellas.

139

-7-3

-20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

-17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

-17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

-17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

-17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

-17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

_______ = ____

_______ = ____

_______ = ____

_______ = ____

_______ = ____

3.- Resuelve las siguientes sumas. Piensa cómo se ubican los sumandos en una recta numérica.

- 6 - 4 = ____ -10 - 3 = ____ - 5 - 2 = ____ -7 - 3 = ____

– 8 - 6 = ____ – 12 - 5 = ____ – 48 - 25 = ____ – 19 - 0 = ____

– 34 - 17 = ____ – 80 - 56 = ____ – 5 - 3 = ____ – 9 - 4 = ____

– 11 - 8 = ____ – 1 5 - 13 = ____ – 9 - 8 = ____ – 12 - 7 = ____

– 6 - 2 = ____ – 9 - 5 = ____ – 13 - 7 = ____ – 98 - 92 = ____


RESTA DE NÚMEROS CON SIGNO

140

-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

1.- Un buzo se encontraba sumergido a - 25 metros bajo el nivel del mar, pero luego se sumergió -48 metros más. ¿A qué profundidad se encuentra el buzo? ______________

2.- Una persona sale de su casa y recorre -75 metros hacia el oeste para llegar a la escuela, y enseguida avanza otros -150 para llegar a la tienda. ¿A qué distancia se encuentra de su casa? ___________

PROBLEMA: La temperatura durante la mañana fue de 13°C y durante la noche fue de 5°C. ¿Cuál fue la diferencia de las dos temperaturas?

Para encontrar la diferencia se restan las dos cantidades: 13 – 5 = 8

PROBLEMA: La temperatura durante la mañana fue de 13°C y durante la noche fue de 5°C pero bajo cero, es decir -5°. ¿Cuál fue la diferencia de las dos temperaturas?

Vemos que la temperatura primero bajó desde 13° hasta 0° y luego desde 0° hasta -5°

La diferencia de las temperaturas fue de 18°, es decir, que la distancia entre 13 y -5 es 18.

Por lo tanto: 13 – (-5) = 13 + 5 = 18

CONCLUSIÓN: Si a un número entero le restamos un número negativo, es lo mismo que sumarle el mismo número entero. Siempre que haya un signo menos antes del paréntesis, la operación que está dentro del paréntesis se cambia por su operación contraria.

13 – (-5) = 13 + 5 25 – (-12) = 25 + 12 37 – (+20) = 37 - 20


1.- Completa lo siguiente como en el EJEMPLO.

6 – (- 5) = 6 + 5 7 – (- 4) = ___________ 8 – (- 8) = ___________

0 – (-16) = __________ 3 – (- 4) = ___________ 4.7 – (- 6.3) = ________

1.9 – (- 5.7) = _________ 1.3 – (-1.6) = ___________35−(−2

5 )=¿

18 – (- 65) = __________ -8 – (- 8) = ___________ -3 – (- 3) = ___________

$100 – (- $65) = _________ 15 – (- 8) = ___________ 100 – (- 23) = ________

2.- Resuelve las siguientes restas. EJEMPLO:

6 – (- 5) = 6 + 5 = 11 8 – (- 5) = ______________

9 – (- 9) = ______________ 0 – (-16) = ______________

30 – (- 40) = ______________ 4.7 – (- 6.3) = ______________

1.9 – (- 5.7) = ______________35−(−2

4 )=¿

3.- El signo menos antes de un paréntesis es tan importante que hace que cambien por su signo contrario todos los signos más y menos que están dentro del paréntesis.

141

+ +

- -- -+ +

+ +

Enseguida se presenta el dibujo de una casa en la que un signo menos va a entrar a ella para cambiar por su signo contrario todos los signos que se encuentran adentro. Haz tú lo que le corresponde hacer al signo.

-−() =4.- Resuelve las siguientes restas. Primero quita los paréntesis.

(5) – (- 4) = ___________________ 8 – (- 10) = __________________

10 – (- 5) = ___________________ 7 – (- 8) = ___________________

(+4) – (- 2) = __________________ 12 – (+8) = __________________

(+12) – (+12) = ________________ 1 – (- 5) = ___________________

25 – (- 18) = __________________ 9 – (- 11) = __________________

5.- Resuelve las siguientes restas. Primero quita los paréntesis.

(+4) – (+3) = _________________ (- 4) – (- 8) = ________________

(-9) – (- 10) = _________________ (- 12) – (+8) = _______________

(+15) – (+15) = ________________ (- 1) – (- 6) – (+3) = _____________________

-3 – (- 10) = __________________ (- 7) – (+6) – (- 9) = _____________________

-3 – (- 3) = ___________________ (+8) – (- 5) – (- 10) = ____________________

6.- Resuelve el siguiente PROBLEMA.

Un día de invierno, en Denver Colorado, USA., el termómetro marca -7°C. En ese mismo momento la temperatura en Chihuahua es de 12°C. Si queremos conocer la diferencia entre la temperatura de las dos ciudades, ¿cuál es el procedimiento correcto para conocer la respuesta? …………………………………… (____)

a) 12 – 7 = 5b) 12 – (- 7) = 12 + 7 = 19c) -12 + 7 = -5d) -12 + 7 = -5

PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS

142

• Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.

NOTACIÓN CIENTÍFICACuando resolvemos problemas en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas, utilizamos la notación científica.Para ello, los científicos utilizan las potencias de números 10.

105 104 103 102 101 100 10−1 10−2 10−3 10−4

100000

10000 1000 100 10 1 0.1 0.01 0.001 0.0001

PROBLEMA: Escribe en notación científica la siguiente cantidad que es muy grande.343 000 000 000. = 3.43 x 100 000 000 000 = 3.43 x 10¹¹ Notación científica

Potencia positiva. Siempre se deja una cifra entera.

Contamos 11 cifras del punto decimal hacia la izquierda y colocamos el punto a las 11 cifras hacia ese lado. Por eso 3.43 se multiplica por 10 a la potencia 11.

PROBLEMA: Escribe en notación científica la siguiente cantidad pequeña.0.000 000 000 07 9 = 7.9 x 0.000 000 000 01

= 7.9 x 10ˉ¹¹ Notación científica. Potencia negativa.

Siempre se deja una cifra entera.

Recorremos el punto decimal 11 cifras hacia la derecha. Por eso 7.9 se multiplica por 10 a la potencia –11.


1.- Mi papá me ofreció que si obtengo el 10°(décimo) lugar en calificaciones me regala 10º pesos = 1, pero si obtengo el 9°(noveno lugar) me regala 10¹ = 10 pesos; si obtengo el 8° lugar serán 10² = 100 pesos; y así sucesivamente.¿Qué cantidad me corresponderá por obtener el 1° lugar?___________________

LUGAR POTENCIA CANTIDAD

DÉCIMO 10º 1 NOVENO 10¹ 10OCTAVO 10² 100SÉPTIMO

SEXTOQUINTOCUARTO

143

UnoDiezCien

TERCEROSEGUNDOPRIMERO

2.- Procede como el ejemplo y expresa en notación científica las siguientes cantidades.

NÚMEROMOVIMIENTO DELPUNTO DECIMAL

MULTIPLICACIÓNPOR

NOTACIÓNCIENTÍFICA

4 200 Izquierda 3 10³ 4.2 x 10³3 000

75 00043 000 000

8 000 0009 500 000

980 000125 000 000

0.004 5 Derecha 3 10ˉ³ 4.5 x 10ˉ³0. 007 50.000 450.000 030.000 05

0.000 000 70.000 000 55

3.- Expresa en notación científica las cantidades que enseguida se dan.

REFERENCIA DATO NOTACIÓN CIENTIFICADiámetro aproximado de la tierra 12 700 000 m

Cantidad aproximada de sangre del cuerpo humano 5 000 000 ML³

Distancia del sol a la tierra 150 000 000 kmVelocidad de la luz 300 000 km segDistancia mayor posible entre el Sol y Plutón

4 600 000 000 millas

Distancia recorrida por un automóvil 360 000 kmNúmero de pelos en la cabeza (promedio aproximado)

120 000

4.- Expresa en notación científica lo siguiente.

REFERENCIA DATO NOTACIÓN Representación de un micrón 0.000 001 mMedida de una célula 0.000 003 mPeso de una molécula de 0.000 000 000 000 000 000 000 05

144

oxígeno gramosEspesor de un glóbulo rojo 0.000 2 mmMedida de un virus 0.000 000 09 m5.- Resuelve los siguientes problemas expresando también su resultado en notación científica.

145

3.- Encuentra el volumen aproximado de la tierra. Fórmula para encontrar el volumen de

una esfera: V= 4¶r ³3

Valor de ¶ = 3.14Radio aproximado de la tierra: 6 000 km.

V = _____________________________

En notación científica: ______________

1.- En el Estadio Azteca de la Ciudad de México, a un partido de futbol entraron un total de 100 000 personas, las que pagaron $150 cada una. ¿Cuánto recaudó de dinero la empresa por la entrada de todas las personas?__________________


2.- La Lotería Nacional, para un sorteo vendió la cantidad de 90,000 boletos, los cuáles costaron $100 cada uno. ¿Cuánto recaudó de dinero en este sorteo?___________________


4.- El carro del profesor Ernesto ha recorrido durante 15 años de uso un total de 360 000 kilómetros. ¿Cuántos metros son los que ha recorrido?____________________________


5.- ¿Cuál es el resultado que se obtiene de multiplicar: (2.5 x 10³)(3.4 x 10²)? __________

e) 8.50 x 10f) 8.50 x 10³g) 8.50 x 10²h) 8.50 x 105

5.- ¿Cuál es el resultado que se obtiene de multiplicar: (3.2 x 10³)(2.4 x 10³)? __________

a) 7.68 x 106

b) 7.68 x 10³c) 7.68 x 10²d) 7.68 x 10

En notación científica:________________

PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS• Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales.

POTENCIACIÓN

La potenciación es una multiplicación en donde los factores son iguales y a la que sus partes se les llama base y exponente.

60² 60 es la base ² es el exponente, que nos indica las 2 veces que se toma como factor la base: 60² = 60 x 60

1.5³ 1.5 es la base ³ es el exponente, que nos indica las 3 veces que se toma como factor la base: 1.5³ = 1.5 x 1.5 x 1.5


1.- Completa la siguiente tabla.

POTENCIACIÓN BASE EXPONENTE FACTORES POTENCIA10² 10 2 10 x 10 10010³9²

4 35³

2.5²1.2 x 1.2 x 1.2

36

146

Para calcular el volumen multiplicamos:1.5 x 1.5 x 1.5 es lo mismo que 1.5³

1.5³ = 3.375

1.5 m60 cm

PROBLEMA: Una ventana cuadrada tiene 60 cm de base. ¿Cuánto mide su área?

Para calcular el área multiplicamos:60 x 60 es lo mismo que 60²

60² = 60 x 60 = 3 600

PROBLEMA: Un depósito de agua de forma de cubo mide de base 1.5 metros.¿Cuál es el volumen que ocupa?

8125

106

2.- Expresa de manera exponencial o viceversa las siguientes multiplicaciones.

2² = _______________ ______ = 2 x 2 x 2 7³ = _____________

13² = ______________ ______ = 25 x 25 x 25 10³ = ____________

104 = ______________ ______ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 106 =

50² = ______________ ______ = 12 x 12 x 12 4³ = _________

a² = _______________ 10² x 10³ = __________________ 4³ x 4³ =

3.- Observa la siguiente serie de figuras y completa la tabla que se presenta enseguida.

FIGURA1 FIGURA 2 FIGURA 3 FIGURA 4 FIGURA 5 FIGURA 6

FIGURACUADRITOS POR LADO

TOTAL DE CUADRITOS MULTIPLICACIÓN POTENCIACIÓN

1 1 1 1 x 1 1²2 2 4 2 x 2 2²3456102030

4.- Resuelve las siguientes operaciones como en el ejemplo.

13² = 13 x 13 = 169 10³ = _____________________

10² = _______________________ 20³ = _____________________

1.4² = ____________________________ ( 24 )² =

147

8² = ________________ 100² = _________________

108=¿ _______________________________ 107 = _________________________

29 = _______________________________ 105 = __________________________5.- La fórmula para encontrar el área de un círculo es ¶ r². Encuentra el área de diferentes círculos que tienen de radio 2, 3, 4, 5 y 6 cm respectivamente, considerando que ¶ es igual a 3.14. EJEMPLO:

A = ¶ r² = (3.14)(2²) = (3.14)(4) = 12.56

A = ________________________________________

A = _________________________________________

A = _________________________________________

A = _________________________________________


148

4 m 2 m20 cm

1.- La siguiente figura representa la pared y el vidrio de un aparador. ¿Cuál es el área de la parte sombreada? _______________

2.- En la central de camiones hay 15 rutas de camión y cada ruta tiene 15 camiones. Si cada camión está transportando a 15 pasajeros, ¿cuántos pasajeros se están transportando? ………………………..… (____)

a) 15² = 15 x 15 = 225b) 15 x 150 = 2 250c) 15³ = 15 x 15 x 15 = 3 375d) 15 + 15 + 15 = 35

4.- ¿Cuál es el volumen total de los siguientes cubos? _____________

5.- En la colonia centro hay 5 centrales de taxis y cada central tiene 5 carros. Si cada carro puede transportar a 5 personas, ¿cuántas personas son transportadas cuando todos los taxis van llenos? ___________________

3.- 24 cajas contienen 24 bolsas cada una y cada bolsa contiene 24 paletas. ¿Cuántas paletas contienen en total las 24 cajas? …………___________________

6.- Si una hectárea es un cuadrado que mide 100 metros por lado. ¿Cuántos metros cuadrados tiene una hectárea? _________________

18 cm

RAÍZ CUADRADA

La radicación o raíz es una operación inversa a la potenciación. La raíz cuadrada es lo inverso de elevar al cuadrado:4 = 2 Porque 2 x 2 = 4 169 = 13 Porque 13 x 13 = 169

PROBLEMA: Un terreno de forma cuadrada mide 625 m² de área. ¿Cuánto mide por lado?Para encontrar la raíz cuadrada de un número podemos seguir el siguiente procedimiento:

625

6, 2 5

6, 25 2 -4 2

6, 25 2 -4 4 2 25

6, 25 2 5 -4 4 5 2 25-2 25 0


1.- Encuentra la raíz cuadrada de los siguientes números y demuestra en cada caso que es lo contrario de elevar al cuadrado.

64 = _____ Porque 8 x 8 = 64 36 = ____ Porque _______________

49 = _____ Porque ______________ 16 = ____ Porque _______________

144 = _____ Porque ______________ 361 = ____ Porque _______________

25 = _____ Porque ______________ 196 = ____ Porque _______________

2.- Encuentra la raíz cuadrada de los siguientes números.

149

1.- Separamos el número en cifras de dos en dos, empezando de la derecha hacia la izquierda.

2.- Encontramos a la cifra de la izquierda su raíz cuadrada más próxima. 6 = 2

3.- Elevamos 2 al cuadrado y el resultado se lo restamos a 6.2² = 2 x 2 = 4 6 – 4 = 2

4.- Bajamos con el 2 las siguientes dos cifras que son el 25 y escribimos el doble del número que llevamos en el resultado.

5.- Encontramos un número que multiplicado por el mismo y por el 4, se aproxime lo más posible al 225. En este caso es el 5, porque 5 x 45 = 225 que restado a 225 es igual a 0.

625 = 25 Porque 25 x 25 = 625

576 729 1024 2025 441

3.- Encuentra la medida del lado de cada uno de los siguientes cuadrados, cuya área está indicada en cada uno y escribe su medida en uno de sus lados.

4.- Resuelve enseguida las operaciones en las que se utiliza el exponente ² y la raíz cuadrada. Hazlo como en el EJEMPLO: 10² - (4 x 1 x 24) = 100 – 96 = 4 = 2

Se eleva el 10 al cuadrado: 10² = 10 x 10 = 100. Se multiplica lo que está dentro del paréntesis: 4 x 1 x 24 = 96. Enseguida se restan los dos resultados que quedaron dentro del radical: 100 – 96 = 4. Por último se le saca raíz cuadrada al último número: √4 = 2

7² - (4 x 1 x 12) = ______________________________________________

8 ² - (4 x 5 x 3) = _______________________________________________

16² - (4 x 1 x 60) = _______________________________________________

12² - (4 x 1 x 36) = ______________________________________________

20² - (4 x 4 x 24) = _____________________________________________

11² - (4 x 1 x 24) = ______________________________________________

13² - (4 x 1 x 40) = ______________________________________________

3² - (4 x 1 x 2) = __________________________________________________

40² - (4 x 4 x 96) = _____________________________________________

81² - (4 x 9 x 126) = _____________________________________________

5.-Sin hacer la operación, encuentra el resultado de la siguiente raíz .……..……..… (____)

150

256 cm²196 cm²100 cm²

3 600 cm²

1 024 = _____ a) 30 b) 31 c) 32 d) 34


N

151

8 100 cm²

1.- La casa de Alonso tiene una ventana que es de forma cuadrada y mide de área 8 100 cm². ¿De qué medida es cada uno de sus lados? _____________

2.- El jardín del parque de la colonia tiene forma cuadrada y mide 576 m² de área. Se va a cercar con barandal. ¿De qué medida es cada uno de sus lados? _____________

3.- La ventana cuadrada de la casa de Elena mide 3 600 cm² de área y se le va a colocar un cortinero. ¿Cuánto debe medir la longitud del cortinero?........................................ (___)

a) 36 cmb) 60 cmc) 240 cmd) 900 cm

4.- El terreno de una casa vista desde arriba tiene la forma de un cuadrado, si el área del terreno es de 676 m². ¿Cuánto mide por lado el terreno? ________________

5.- El área de un cuadrado es de 64 cm². ¿Cuánto medirá una nueva área de este cuadrado si cada uno de sus lados se aumenta su medida al doble? _________

6.- Una ventana cuadrada tiene 6 400 cm² de área. Se quiere reforzar en su base con una tira de fierro. ¿Cuánto deberá medir de largo la tira de fierro?.......... ……...(____)

a) 64 cmb) 32 cmc) 640 cmd) 80 cm

7.- El techo de dos casas vistas desde arriba es de forma cuadrada. Un techo mide de área 900 m² y el otro su área es de 1600 m². ¿Cuánto mide más por lado una de las casas? _________________

8.- Una mesa cuadrada mide de área 4900 cm². ¿Cuánto mide su perímetro? ________

JARDÍN

PATRONES Y ECUACIONES

• Obtención de la regla general en lenguaje algebraico de una sucesión con progresión aritmética.

SUCESIONES DE NÚMEROS. REGLA GENERAL

PROBLEMA: Deduce la regla general para encontrar cualquier número de la siguiente sucesión numérica: 1, 3, 5, 7, 9, 11…

Una sucesión numérica, es una serie de números o un conjunto de números que se encuentran escritos ordenadamente en base a una regla dada: 1, 3, 5, 7, 9, 11… La sucesión numérica anterior también puede representarse con esta sucesión de figuras.

Empieza con 1 cuadrado, luego 3, enseguida 5, luego con 7…

Los términos de una sucesión numérica siempre se pueden ordenar desde el primer término hasta el infinito. El orden de la sucesión se representa con la letra n, por lo que n siempre valdrá 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…

ORDEN ( n ) 1 2 3 4 5 6TÉRMINOS 1 3 5 7 9 11

Podemos deducir una regla general para encontrar cualquier término de la sucesión: Buscamos la diferencia de derecha a izquierda que hay entre los términos de la sucesión.

1, 3, 5, 7, 9, 11

2 2 2 2 2 11 – 9 = 2 9 – 7 = 2 7 – 5 = 2 5 – 3 = 2 3 – 1 = 2

Como el 2 no cambia, este número formará parte de la regla general de la sucesión.

Si multiplicamos 2 por lo que vale “n” y al resultado le restamos 1, vemos que se puede encontrar cualquier término de la sucesión.

Por lo tanto la regla general de la sucesión numérica es: 2n – 1

Primer número de la sucesión: 2(1) – 1 = 2 – 1 = 1Segundo número de la sucesión: 2(2) – 1 = 4 – 1 = 3

152

Tercer número de la sucesión: 2(3) – 1 = 6 – 1 = 5Cuarto número de la sucesión: 2(4) – 1 = 8 – 1 = 7Quinto número de la sucesión: 2(5) – 1 = 10 – 1 = 9

¿Cuál será el término que se encuentre en el lugar número 10 de la sucesión?2n – 1 = 2 (10) – 1 = 20 – 1 = 19


1.- Continúa correctamente con cada una de las siguientes sucesiones numéricas.

1 4 7 10 19

1 5 9 13 17

3 6 9 12 15 18

5 10 15 20

200 207 214 221

2.- Continúa correctamente con la siguiente sucesión de figuras.

POSICIÓN U ORDEN DE LAS FIGURAS 1 2 3 4 5

¿Cuántas flechas forman cada una de las figuras 1, 2 y 3? _____ , _____ y _____.

¿Cuántas flechas se necesitan para construir la figura 4? ______. ¿Y la 5? _______

La sucesión numérica es 4, 7, 10, ____, _____, _____, _____, …

153

¿Estás de acuerdo en que para encontrar cualquier término de esta sucesión numérica, la regla general es 3n + 1? __________

Si es así, ¿cuáles serán los números que se encuentran en los siguientes lugares?

Lugar 6 : ________ Lugar 10: _________ Lugar 15: ________

3.- Continúa correctamente con la siguiente sucesión de figuras.

POSICIÓN U ORDEN DE LAS FIGURAS

1 2 3 4 5

¿Cuántos cuadrados forman cada una de las tres primeras figuras? _____ , _____ y ___.

¿Cuántas cuadrados se necesitan para construir la figura 4? _________

¿Cuántos cuadrados se necesitan para construir la figura 5? _________

La sucesión numérica es: 3, 5, 7, ____, ____, ____, ____, ____, ____, _____...

La diferencia de derecha a izquierda entre un número y otro es ____. 21 – 19 = ____

¿Estás de acuerdo en que para encontrar cualquier término de esta sucesión numérica, la forma general es 2n + 1? __________

Si es así ¿cuáles serían los números que se encuentran en los siguientes lugares?

Lugar 6: ________ Lugar 20: _________

Lugar 30: _______ Lugar 50: _________

4.- Enseguida se presentan varias sucesiones numéricas para que las completes con los términos que faltan. Escribe también la diferencia entre los términos.

POSICIÓN1

POSICIÓN2

POSICIÓN3

POSICIÓN4

POSICIÓN5

POSICIÓN6

POSICIÓN7

2 4 10

154

DIFERENCIA

6 14 221 4 7 101 3 5 74 8 12 1610 20 304 12 20

5.- Compara primero los términos sucesivos de cada sucesión numérica para encontrar la diferencia entre ellos, enseguida encuentra la regla general de la sucesión y por último encuentra el término que se pide aplicando la regla general.

a)POSICIÓN(n

)1 2 3 4 5 6

SUCESIÓN 2 4 6 8 10 12

DIFERENCIAS:

¿Estás de acuerdo en que la regla general es 2n? ________

¿Cuál será el término de la sucesión que ocupa el lugar 27? _________

b)POSICIÓN(n

)1 2 3 4 5 6

SUCESIÓN 3 6 9 12 15 18

DIFERENCIAS:

¿Estás de acuerdo en que la regla general es 3n? ________


c)POSICIÓN(n

)1 2 3 4 5 6

SUCESIÓN 4 12 20 28 36 44

DIFERENCIAS:

¿Estás de acuerdo en que la regla general es 8n - 4? ________


d)

155

POSICIÓN(n) 1 2 3 4 5 6SUCESIÓN 11 14 17 20 23 26

DIFERENCIAS:

¿Cuál es la regla general de esta sucesión numérica? ________


15.- Con cada una de las siguientes reglas dadas construye una sucesión numérica que esté formada por los primeros 7 términos, es decir, donde n sea igual a 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7.

REGLA SUCESIÓN NUMÉRICA

6n _____, _____, _____, _____, _____, _____, _____.

10n _____, _____, _____, _____, _____, _____, _____.

6n + 3 _____, _____, _____, _____, _____, _____, _____.

8n + 5 _____, _____, _____, _____, _____, _____, _____.

10n + 10 _____, _____, _____, _____, _____, _____, _____.

10n – 4 _____, _____, _____, _____, _____, _____, _____.


1.- En una ciudad están numeradas todas las casas de las calles en la forma sucesiva que se muestra enseguida.

1 5 9 13 17 21 25 29

La Presidencia Municipal mandó reponer el número de la casa que se encuentra en el lugar número 90 de la calle, ya que este se había perdido. ¿Cuál es la regla general de la sucesión? ______________¿Cuál es el número que se repuso? ___________

2.- Una compañía va a contratar el número de empleados en forma sucesiva. La primera semana contratará 2 empleados, la segunda 5, la tercera 8, la cuarta 11, la quinta 14, y así sucesivamente. ¿Cuál es la regla general de la sucesión? ______________¿Cuántos empleados contratarán en la semana número 40? _______

3.- En una ciudad se van a formar grupos ecológicos con sus habitantes con un total de personas por cantidades sucesivas. El primer grupo estará formado por 8 personas, el segundo por 15, el tercero por 22, el cuarto por 29, el quinto por 36, y así sucesivamente.

156

¿Cuál es la regla general de la sucesión? ______________¿De cuántas personas estará integrado el grupo número 50? __________

4.- En un concurso de Geografía por contestar bien una primer pregunta un equipo gana 4 pesos, por la segunda pregunta gana 9 pesos, por la tercera pregunta gana 14 pesos, por la cuarta pregunta gana 19 pesos y así sucesivamente. ¿Cuál es la regla general de la sucesión? ______________¿Cuánto ganará un equipo por contestar bien 45 preguntas? ______________

MEDIDA• Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas.

PERÍMETRO DEL CÍRCULO

El perímetro de un círculo es lo mismo que su circunferencia. El centro, el radio y el diámetro de un círculo son los mismos que los de la circunferencia, porque la circunferencia es el perímetro del círculo. Al encontrar el perímetro de un círculo, lo que hacemos es encontrar la medida de la circunferencia:


1.- Completa la siguiente tabla para encontrar el perímetro de los siguientes objetos circulares.

OBJETO RADIO DIÁMETRO PERÍMETROTelescopio 4 cm

Rueda 27 cmFuente 2.5 mAntena 1.60 mBase

de botella3.5 cm


157

PROBLEMA: Rosa, para desfilar el 20 de noviembre necesita adornar con listón el perímetro de dos círculos que miden 15 cm de radio cada uno. ¿Cuánto listón deberá comprar?

C = ¶ x d¶ = 3.14d = 15 x 2 = 30

C = 3.14 x 30 C = 94.2 cm

Total de listón = 94.2 x 2 = 188.4 cm = 1.88 m

1.- La rueda de un carro mide 52 cm de diámetro. ¿Cuál es su perímetro?____________

2.- Las ruedas del carro del Profesor Ricardo miden 60 cm de diámetro cada una. Para ir de Chihuahua a Aldama, cada rueda da 14300 vueltas aproximadamente. ¿Qué distancia es la que recorre?... (____)a) 26 000 metros.b) 26.941 kilómetros. c) 188.4 cm.d) 13.460 kilómetros.

ÁREA DEL CÍRCULO


1.- Encuentra el área de cada uno de los siguientes círculos. Utiliza el área ¶ r²

158

PROBLEMA: El profesor de matemáticas construyó en su casa un jardín circular de 5 metros de radio. ¿Cuál es el área del jardín? ___________

20 u

6 u

4 u

r = 8 cm d = 80 cm

PROBLEMA: La siguiente figura representa la carátula de un reloj de pared. Encuentra lo que mide el área de la parte sombreada.

PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES• Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple.

PROPORCIONES DIRECTAS

PROBLEMA: Determina si en el siguiente problema existe proporción directa.

5 kilos del frijol cuestan $60, 10 kilos costarán $120.

Aumenta la cantidad de frijol y aumenta también el precio, por lo tanto es una proporción directa. En una tabla lo podemos representar así:

KILOS PRECIO5 $6010 $120

PROPORCIONES INVERSAS

PROBLEMA: Determina si en el siguiente problema existe proporción directa o inversa.

5 obreros tardan 8 horas en hacer un trabajo.10 obreros tardarán 4 horas en hacer el mismo trabajo.

Las proporciones inversas son aquellas que al aumentar una cantidad, la otra cantidad por el contrario disminuye, o aquellas que cuando una cantidad disminuye, la otra cantidad aumenta. EJEMPLO:

NÚMERO DE OBREROS 5 10NÚMERO DE HORAS 8 4

Observa que aumenta la cantidad de obreros y disminuye el tiempo que tardan en hacer el trabajo.


1.- Escribe en el cuadro si la variación de que se trata es directa o inversa.

Una llave proporciona 10 litros de agua cada 20 segundos y 30 litros en 60 segundos.

159

Descubrimos que en las proporciones directas los cocientes son constantes.

605

=12 12010

=12Cociente constante: k = 12

Descubrimos que en las proporciones inversas los productos son constantes.

8 x 5 = 40 4 x 10 = 40 Producto constante: 40

Al dar 5 pagos de la deuda de un carro debo $90 000 y al completar 8 pagos debo$84 000.

Si saco 18 aciertos en una prueba tengo de calificación 6, pero si saco 27 mi calificación es de 9.

2.- La siguiente tabla representa el tiempo que tardan varios obreros en realizar un mismo trabajo. Completa la tabla.

NÚMERO DEOBREROS

2 4 8 16

NÚMERO DEHORAS

20 10

Completa los siguientes factores de la tabla en donde el producto constante es 40:

20 x 2 = _____ 10 x 4 = _____ ____ x 8 = 40 _____ x 16 = 40

¿Qué es lo que pasa al aumentar el número de obreros? __________________________

¿Es una proporción inversa? _____ ¿Por qué? __________________________________

________________________________________________________________________

Observa que como el producto constante es 40, entonces para encontrar lo que tardan 8 obreros, buscamos un número que multiplicado por 8 nos de 40, y lo podemos hacer dividiendo 40 ÷ 8 = 5

¿40 ÷ 16? _____

3.- La siguiente tabla representa el tiempo que tardan varios obreros en realizar un mismo trabajo. Completa la tabla.

NÚMERO DEOBREROS

5 10 25 40

NÚMERO DEHORAS

20

Completa los siguientes factores de la tabla en donde el producto constante es 100:

20 x 5 = _____ 10 x _____ = _____ ____ x 25 = _____ _____ x 40 = 100

¿Qué es lo que pasa al aumentar el número de obreros? __________________________

¿Es una proporción inversa? _____ ¿Por qué? __________________________________

________________________________________________________________________

160

Observa que como el producto constante es 100, entonces para encontrar lo que tardan 10 obreros, buscamos un número que multiplicado por 10 nos de 100, y lo podemos hacer dividiendo 100 ÷ 10 = 10

100 ÷ 25 = ______ 100 ÷ 40 = ______

161

Education

Guía de clase primero bloque 5