41

PROBLEMAS ADITIVOS• Resolución de problemas que implique suma de monomios y polinomios.

SUMA CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

PROBLEMA: ¿Cuál es el perímetro del siguiente terreno?

Una expresión algebraica, es una expresión formada por una o más variables, como por ejemplo: 5x - 2. Las variables son la parte representadas con las literales: x.El término algebraico 5x tiene: Coeficiente 5; Literal x; Signo +; Y exponente de x, 1.Las expresiones algebraicas se clasifican en: Monomios, formada por un solo término como 5x; Binomios como 5x – 2; Trinomios como x² + 2x – 1. Para simplificar expresiones algebraicas, solo sumamos o restamos los términos semejantes. Ejemplo:

(5x – 2) + (4x – 2) + (2x + 7) + 2x = 5x – 2 + 4x – 2 + 2x + 7 + 2x = 13x + 3

Los términos son semejantes cuando tienen la misma literal afectada con el mismo exponente. Ejemplos: (5x, 4x, 2x y 2x); y (-2, -2 y +7). En álgebra, el lenguaje común de un problema, lo podemos cambiar en lenguaje algebraico, basta con representar el problema utilizando literales y números. Ejemplos:Un número cualquiera: xLa suma de dos números cualquiera: a + bLa suma de dos números enteros consecutivos: x + (x + 1)El producto de un número por menos tres, es igual a veinticuatro: -3y = 24

ACTIVIDADES DE CLASE

1.- Completa la tabla y encuentra el valor numérico de cada expresión, dándole a las literales los siguientes valores, como en el ejemplo.a = 3 b = 4 x = 2 ¶ = 3.14 n = 5 c = -6 r = 2 h = 15

EXPRESIÓN NOMBRE OPERACIONES VALOR-4a + 4 Binomio -4(3) + 4 = -12 + 4 = -8 -8a + 2a

(x + 3)²

4n - 1

¶ r²

b² - 4ac

¶ r² h

x² - 2x + 5

4x - 2

2x + 7

2x

5x - 2

BLOQUE 2

42

2.- Representa algebraicamente los siguientes planteamientos.

La suma de dos números cualquiera.Un número cualquiera elevado al cubo.La suma de dos números cualesquiera dividida entre dos.El producto de un número cualquiera entero por 5 es 125.La suma de dos números enteros consecutivos es 35.La suma de un número cualquiera más dos elevada al cuadrado y multiplicada por tres. Omar compró 8 cuadernos a x pesos cada uno, y al pagar le descontaron el precio de 2 cuadernos.Si al doble de un número le aumentamos 6 unidades, obtenemos 42 unidades. Mario tiene 2 años más que su hermano. La suma de sus edadeses 30 años.El triple de un ángulo más otro ángulo diferente es igual 90°Un número más su doble es igual a 96.

3.- Resuelve el siguiente problema.PROBLEMA: Un número consecutivo es el entero que está enseguida del otro.Si la suma de tres números consecutivos se representa con la expresión: n + (n + 1) + (n + 2); contesta la siguiente pregunta: ¿La suma de tres números consecutivos es divisible entre tres? ______

4.- Simplifica, reduciendo los términos semejantes. 9x + 4x = _______ 5x + 3x + 2x = _______ 7y + 5y – 9y = ______

9y - 3y = ______ 2a + 4a + 6a = _______ 2a + 3a – 5a = _______

10x + 20x = ______ 3x + 5x – 6x = _______ 10x – 5x + 12x = ______8x – 15x = _______ 3y – 12y = _______ 4x – 9x = _______

-2x – 7x = _______ -5y – 8y = _______ -11b – 7b = _______

5.- Simplifica.

3x² + 2x – 2 – 2x² + 5x + 5 = _________________________________________________

5b + 7b² + 12 + 3b – 4b² - 7 = ________________________________________________

3x² - 2x + 2 + 5x³ - 2x² + 3x – 4 = _____________________________________________

(4x² - 5x + 3) + (-2x² - 2x – 4) = _______________________________________________

x + (x + 1) + (x + 2) = ______________________________________________________

(3x³ - 4x² - 5x) + (5x³ + 2x² - 3x) = _____________________________________________6.- Encuentra el perímetro de las siguientes figuras.

43

P = _____________ P = _________________ P = ____________________

7.- Encuentra lo que mide el perímetro de cada figura.

P = ______ P = _______________ P = ___________

8.- El siguiente dibujo representa el plano de la casa donde vive el Señor Reyes.

9x + 7

3x + 4

2x + 4 5x - 2 2x 5

¿Cuánto mide el perímetro de la cochera? ________________

¿Cuánto mide el perímetro del baño? _______________

¿Cuánto mide el perímetro de la recámara? ________________

Si el ancho del estudio mide 8 metros, ¿cuánto mide de perímetro? _______________

¿Cuánto mide el perímetro de toda la casa? ________________

9.- ¿Encuentra el resultado de la siguiente suma de polinomios?............................. (____) (3x + x² - 10) + (5x + x² + 10) =a) 2x² + 8x b) 8x + 20 c) 8x - 20 d) 2x + 2x² + 0

10.- ¿Cuál es la suma de los polinomios : 3x² - y; 5x² - 2xy + 3y; 5xy + y?................ (____) a) 15x³ - 10xy - 3y³ b) 8x² + 3x²y² + 3y c) 8x³ + 3xy + 3y d) 8x² + 3xy + 3y 11.- Simplifica, reduciendo los términos semejantes.

4n4n

4n + 5

2x + 1

3a + 52x

Cochera

Sala

Estudio Baño

2x + 2

x + 2

Recámara

n

n

n

n

2m

2m

4x

6yx x

xx

x

44

5x + 6x = _______ 3x + 4x + 6x = _______ 8y + 6y – 10y = ______

8y - 3y = ______ 4a + 4a + 4a = _______ 3a + 4a – 6a = _______

12x + 20x = ______ 3x + 3x – 6x = _______ 12x – 5x + 12x = ______7x – 15x = _______ 5y – 14y = _______ 5x – 10x = _______

-4x – 6x = _______ -4y – 7y = _______ -10b – 7b = _______

12.- Simplifica.

4x² + 5x – 2 – 3x² + 5x + 5 = _________________________________________________

6b + 9b² + 10 + 3b – 4b² - 7 = ________________________________________________

5x² - 4x + 2 + 8x³ - 2x² + 2x – 4 = _____________________________________________

(5x² - 4x + 9) + (-3x² - 5x – 10) = ______________________________________________

x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) = _______________________________________________

(5x³ - 6x² - 6x) + (8x³ + 3x² - 4x) = _____________________________________________

13.- Encuentra lo que mide el perímetro de cada una de las siguientes figuras.

PROBLEMAS ADITIVOS• Resolución de problemas que implique resta de monomios y polinomios.

13

4x - 24x - 2

2x + 1

552x + 1

3x + 1

4x + 2

2x + 22x + 2

5x - 2

5x - 2

x + 4

3x

2x

2x + 1

P = ____________ P = ____________

P = ____________ P = ____________

45

RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

PROBLEMA: En el siguiente cuadrado mágico la suma de las líneas horizontales, de las verticales y de las diagonales, es igual a 12x - 18. Encuentra los sumandos que faltan.

(12x – 18) – (2x – 3) = 12x – 18 – 2x + 3

ACTIVIDADES DE CLASE

1.- Escribe el inverso de los términos que están dentro del paréntesis.

- (2x + 7) = ___________ - (6y – 7) = ___________ - (6x – 8y + 5) =

- (4x + 6) = ___________ - (6x – 9) = ___________ - (6a – 4b – 7) =

- (- 6x + 9) = ___________ - (-3y + 4) = ___________ - (-3a + 10b – 6c) =

2.- Simplifica como en el ejemplo: 18 – (-15) – 3 – (-5x) = 18 + 15 – 3 + 5x = 30 + 5x

7x – (-7x) = _______________________ 8x – (-3x) = ______________________

-4x – (-9x) = _______________________ -6x – (-5x) = _____________________

13x – (-2x) + 45 – (-21) = _________________________________________

8x – (-2x) + 53 – 14 = ____________________________________________

(12x + 9) - (3x + 6) = _____________________________________________

(8a + 5) - (4a + 5) = ______________________________________________

(12x + 5) - (3x + 4) = _____________________________________________

(6y - 9) - (7y - 5) = _______________________________________________

(6x² + 9) - (8x² + 12) = ____________________________________________3.- Simplifica

Sumamos los sumandos de la primera línea vertical:(2x – 3) + (12x – 18) = 2x – 3 + 12x – 18 = 14x – 21

Para encontrar el sumando que falta, a 12x – 18 le restamos 14x – 21.(12x – 18) – (14x – 21) = 12x – 18 – 14x + 21 = -2x + 3

Siempre que haya signo menos antes de un paréntesis, todo lo que está dentro del paréntesis se cambia por su signo contrario.

12x - 18 4x - 6 -4x + 6

2x - 3 0

46

- (3x – 7)

- (4x² - 3x + 2)

- (-4x³ - 6x² + 3x – 8)

- (- 2x + 4)

- (-5x³ + 4x² - x + 0.8)

4.- Resta

(5x² + 6) – (3x² + 8) =

(7x³ - 2x² + 6) – (7x² + 2x – 4) =

(6x³ - 3x² + x + 1 ) – (8x³ + 3x² - 1) =

7x³ - (-3x² - 2x + 1) =

(0.08x³ - 0.02x² + o.01) – (0.02x³ - 0.03x² - 1) =

5.- Resta

(x² + 5x + 6) – (x² + 2x) =

(x³ + 1) – (x³ + x²) =

(3x² - 6x + 1) – (6x² + 8x – 3) =

(3x² - 7x + 2) – (-5x² - 2x + 4) =

6.- Simplifica

(y + 4) + (y – 5) – (y + 8) =

(7y² - 5y + 6) – (3y² + 8y – 12) + (8y² -10y + 3) =

(4a² - 3a) + (7a² - 9a – 13) – (6a – 9) =

(5x³ - 4x² + 6) – (2x³ + x² - x) + (x³ - x) =

7.- Resuelve los siguientes problemas.

47

1.- En mi casa tenemos (8x + 9) naranjas. Si nos comemos (4x + 7) naranjas, ¿cuántas naranjas nos quedan? __________________

2.- El perímetro de la casa de mi sobrino Iván mide (24x + 22) metros, y una de las recámaras mide de perímetro (6x + 9) metros, ¿cuánto es mayor el perímetro de la casa que el de la recámara? __________________

3.- El papá de Isaid tiene (25x + 8) años, y la edad de Isaid es de (x + 4) años, ¿cuántos años es mayor el papá? _________________

4.- Mario y su hermano Ismael se dirigen a Cd Juárez en distintos carros. El primero maneja a una velocidad de (6x + 20) kilómetros por hora, y el segundo lo hace a una velocidad de (5x – 10) kilómetros por hora. ¿Cuántos kilómetros avanza más Mario durante una hora? ______________¿Cuánto avanza más en dos horas? ____________¿Cuánto avanza más en tres horas? ____________

8.- Observa los siguientes dibujos y resuelve los problemas planteados enseguida.

12x + 20

¿Cuánto es más alto el edificio que la iglesia? ___________

¿Cuánto es más alta la astabandera que la escuela? ___________

¿Cuánto es más alta la escuela que la iglesia? ____________

¿Cuánto es más alto el edificio que la astabandera? ____________

¿Cuánto es más alto el edificio que la escuela? _____________PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS

• Identificación y búsqueda de expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos.

EscuelaSec. Fed. 3

x + 9 x + 1311x + 5

48

EXPRESIONES ALGEBRAICAS EQUIVALENTES. MODELOS GEOMÉTRICOS.

PROBLEMA: ¿Cuál es el área de las siguientes figuras?

A = a(a + 2) = a² + 2 a

Área del cuadrado = (a)(a) = a² Área del rectángulo = (2)(a) = 2a Una identidad algebraica es una expresión que se escribe diferente a otra, pero que ambas valen lo mismo, por eso reciben el nombre de identidades algebraicas.

ACTIVIDADES DE CLASE

1.- Encuentra la expresión algebraica que representa el área de las siguientes figuras o modelos geométricos.

x

x m a x + 6

A = _________ A = __________ A = ________ A = ______________

2.- Encuentra el área de cada una de las siguientes figuras.

a a a

A = ___________________________ A = _____________________________

x + 3 7 + 4

x

+ 3 +

A = _______________________________ 3.- En los siguientes modelos geométricos, escribe en la línea la expresión algebraica que falta para completar las identidades algebraicas de sus distintas áreas.

zyx

2

a

a

aa + 2

a

4

7

b

a

a

a3

5

Propiedad distributiva de la multiplicación:

a(a + 2) = (a)(a) + (a)(2) = a² + 2 a2aa²

A = ______________________________

49

a +1 a 1

2(a + 1) = _____________________

x + 2 x x 2 2

(x + 2)(x + 2) = _______________________________________

+

(5 + 3)² = ___________________________________

a + 1 a + 1 _____________ = ______________

x x 3 3 x + 3 _________________________________ = ______________________

4.- El salón de baile de Cd. Aldama, está diseñado como se muestra en el primer modelo. Los dibujos siguientes muestran las ampliaciones que están programadas en un futuro para que el salón tenga mayor capacidad. Encuentra el área de todos los dibujos.

5

3

3

35

35

55 + 3

+2

3

5

+2

x

2x

2x

444

2x

2x

x

222

50

x + 3 x + 4

A = ________________________ A = _______________________

x + 5 x + 6

A = ________________________A = _______________________

5.- Con los siguientes tres patrones de figuras que se te dan, construye dos modelos geométricos diferentes y escribe el área de cada uno.

x x

x

2

2

2MEDIDA

• Justificación de las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos.

x

+

xx

+

5

+4

x

+3

6

51

VOLUMEN DEL CUBO, PRISMAS Y PIRÁMIDES RECTOS.

El volumen es el espacio que un cuerpo ocupa.La capacidad es la cantidad de cualquier líquido que puede contener ese volumen.El volumen tiene tres dimensiones: largo, ancho y alto.El volumen se mide en unidades cúbicas: cm³, dm³, m³, etc.1 centímetro cúbico es un cubo que mide 1 centímetro en cada arista.1 decímetro cúbico es un cubo que mide 1 decímetro en cada arista.1 metro cúbico es un cubo que mide 1 metro por cada arista.1 dm³ = 1 litro1 m³ = 1 000 litros

SÓLIDO FÓRMULA DEL VOLUMEN CUBO Área de la base por la altura = L³ = (L)(L)(L)

PRISMA Área de la base por la altura PIRÁMIDE Área de la base por la altura entre tres.

ACTIVIDADES DE CLASE

1.- Expresa en unidades cúbicas (u³) el volumen o espacio de los siguientes sólidos.

V = __________

V = _________

V = __________

20

20

20 V = ____________

V = ____________

2.1

2.69.9

Una pirámide es la tercera parte de un cubo o de un prisma.

V = ____________

52

2.- Expresa el volumen de los siguientes sólidos geométricos.

V = ____________ V = _______________ V = ____________

3.- Resuelve los siguientes problemas.

1.- ¿Cuál es el volumen de una casa que tiene la siguiente forma y dimensiones?

V = _____________

2.- JUMEX y Leche Zaragoza venden un litro de su producto en envases que tienen las siguientes formas y dimensiones. Encuentra el volumen de las cajas y determina si cada una puede contener un litro, considerando que un litro es igual a 1 000 cm³ o sea 1 dm³.

¿Le cabrá un litro?____ ¿Le cabrá un litro?____

20 cm

7.2 cm7.2 cm

19.5 cm

5.7 cm9 cm

6 m

6 m

10 m

10 m

2.5 m

4 cm

3.1 cm

2 cm

1.8 cm

5.8 cm

2.5 cm

2.5 cm

2.5 cm

3.4 cm

JUMEX LECHE

53

V = __________________ V = ___________________

Capacidad: ________________ litros.

2.5 m

3 m4 m

2 m

3.80 m

12.30 m

20 m

3.- Un libro de Matemáticas tiene las siguientes dimensiones: 24 cm, 19 cm y 3 cm.

¿Cuál es el volumen que ocupa?__________

4.- Una oficina tiene la siguiente forma y dimensiones:

¿Cuántas caras tiene? ____

¿Cuántos vértices tiene?____

¿Cuántas aristas tiene?____

¿Cuál es su volumen?____

6.- Encuentra el volumen y el área total de un prisma recto con base cuadrada, cuya altura es de 15 m y los lados de la base miden 20 cm cada uno.

V = ____________

Área total = __________

8.- En una tienda tienen 75 cubos para jugar que miden 8 centímetros de arista cada uno. Si todos se van a acomodar dentro de una caja, ¿cuál debe ser el volumen de la caja?______________

7.- ¿Cuál es la capacidad de un depósito de agua con 8 perforaciones al frente y con las dimensiones como el siguiente?

5.- Una alberca tiene las siguientes dimensiones: 25 m, 10 m y 3 m.

¿Cuál es su volumen?_______________

¿Cuántos litros de agua se necesitan para que se llene hasta la mitad?_____________

54

10.- Encuentra el volumen de las siguientes pirámides cuadrangulares.

9.- En una tienda tienen cajas de cartón en forma de prisma cuadrangular como se muestran en los siguientes dibujos. Encuentra el volumen de los diferentes tipos de cajas

8 cm

14 cm

12 cm

9 cm

25 cm

40 cm

24 cm

56 cm

55

MEDIDA• Estimación y cálculo del volumen de cubos, prismas y pirámides rectos o de cualquier término implicado en las fórmulas. Análisis de las relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides.

VOLUMEN DE CUBOS, PRISMAS Y PIRÁMIDES.

Las fórmulas para encontrar el volumen hasta ahora analizadas son:

SÓLIDO FÓRMULA Cubo L L L ó L³ Prisma Área de la base por la altura Pirámide Área de la base por la altura entre tres

Recuerda que el volumen de una pirámide es la tercera parte del volumen de un prisma cuya base y altura son iguales. Demuéstrenlo vaciando arena de 3 pirámides al cubo que construyeron.

Existen diferentes tipos de medida:

De longitud: Su unidad es el metro (m).De superficie: Su unidad es el metro cuadrado (m²).De volumen: Su unidad es el metro cúbico (m³).De capacidad: Su unidad es el litro (l).De peso: Su unidad es el gramo (g).

MEDIDAS DE VOLUMEN

Km³ Hm³ Dm³ m³ dm³ cm³ mm³ Kilómetro cúbico

Hectómetro cúbico

Decámetro cúbico

Metro cúbico

decímetro cúbico

centímetro cúbico

milímetro cúbico

MEDIDAS DE CAPACIDAD

KL HL DL L dl cl ml Kilolitro Hectolitro Decalitro Litro decilitro centilitro mililitro

Entre las medidas de volumen y las de capacidad existe una relación como se ve enseguida:

1 dm³ = 1 litro1 m³ = 1 000 litros1 Dm³ = 1 000 000 litros

56

ACTIVIDADES DE CLASE

1.- Encuentra las medidas que faltan en los siguientes sólidos geométricos.

CUBO PRISMA CUADRANGULAR PIRÁMIDE CUADRANGULAR

V = 216 cm³

L = _________ V = 360 cm³

h = _________

CUBO PRISMA CUADRANGULAR

V = 360 cm³

h = __________ V = 8 000 cm³

L = _________ V = 2 025 cm³ h = ________

2.- Encuentra la medida que falta de cada uno de los siguientes prismas o pirámides y contesta las preguntas que se te hacen enseguida.

4 cm

4 cm

18 cm6 cm

4 cm 4 cm

9 cm

B

A

h

L

h

6 cm

6 cm

hL

LL

Ojo: Divide entre 3.

57

V = _____________ V = ____________

V = ________ V = _________

1.- ¿Son iguales las bases del prisma A y de la pirámide B? _________________________

2.- ¿Cómo son las alturas del prisma A y la pirámide B? __________________________

3.- ¿Cómo es el volumen del prisma A y el de la pirámide B? _______________________

4.- ¿Cómo son las bases del prisma C y de la pirámide D? _________________________

5.- ¿Cómo son las alturas del prisma C y la pirámide D? __________________________

6.- ¿Cómo es el volumen del prisma C y el de la pirámide D? _______________________

7.- De acuerdo con los problemas anteriores, ¿qué se necesita para que tengan el mismo volumen, un prisma y una pirámide cuando tienen la misma base? _______________________________________________________________________

3.- Encuentra el volumen de las siguientes pirámides y contesta la pregunta.Observa cómo cambian las alturas de las pirámides.

V = ______ V = _________ V = _________ V = _________

¿Cómo varía el volumen de las pirámides en relación con su altura, si el área de la base

44

24

44

12

6

44

3

4

15 cm

4 cm4 cm

5 cm

4

4 cm4 cm

C

D

58

no cambia? ______________________________________________________________4.- Resuelve los siguientes problemas.

5.- Completa las tablas siguientes.

SÓLIDO L L ALTURA VOLUMENPrisma cuadrangular 10 160Prisma cuadrangular 3 360Prisma cuadrangular 6 6 360Prisma cuadrangular 8 20

SÓLIDO L L ALTURA VOLUMENPirámide cuadrangular 4 4 10Pirámide cuadrangular 3 60

1.- ¿Qué altura tiene un edificio de forma de prisma si las dimensiones de su base son 20 metros por 10 y tiene un volumen de 5 000 m³?

Altura: ______________

2.- A un envase con forma de cubo le caben 729 cm³ de jugo. ¿Cuál es la medida de las aristas del cubo?___________

¿Qué cantidad de jugo le cabrá al envase, si se duplica la medida de las aristas? ______

4.- En el Centro Deportivo Magisterial se construyó una alberca rectangular con un espacio de 400 m³.Si la base de la alberca mide 25 metros de largo por 8 metros de ancho. ¿Cuánto mide de profundidad?__________

5.- Un tanque de almacenamiento de agua tiene forma de prisma rectangular con capacidad para almacenar 54,000 litros. Si su base mide 4.5 metros por 3 metros.

¿Cuánto mide la altura del tanque? ______

¿Qué cantidad de agua puede contener el tanque si solo se llenara hasta una altura de 2.5 m? __________________

3.- Dentro de una caja rectangular de 504 cm³ de volumen se guardan 28 fichas de dominó.¿Cuál es el volumen de cada ficha?______

59

Pirámide rectangular 8 4 64Pirámide rectangular 8 4 12

PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES• Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad inversa mediante diversos procedimientos.

PROPORCIONES DIRECTAS

PROBLEMA: Determina si en el siguiente problema existe proporción directa o inversa.

5 kilos del frijol cuestan $60, 10 kilos costarán $120.

Aumenta la cantidad de frijol y aumenta también el precio, por lo tanto es una proporción directa. En una tabla lo podemos representar así:

KILOS PRECIO5 $6010 $120

PROPORCIONES INVERSAS

PROBLEMA: Determina si en el siguiente problema existe proporción directa o inversa.

5 obreros tardan 8 horas en hacer un trabajo.10 obreros tardarán 4 horas en hacer el mismo trabajo.

Las proporciones inversas son aquellas que al aumentar una cantidad, la otra cantidad por el contrario disminuye, o aquellas que cuando una cantidad disminuye, la otra cantidad aumenta. Ejemplo:

NÚMERO DE OBREROS 5 10NÚMERO DE HORAS 8 4

Observa que aumenta la cantidad de obreros y disminuye el tiempo que tardan en hacer el trabajo.

ACTIVIDADES DE CLASE

1.- Escribe en el cuadro si la variación de que se trata es directa o inversa.

Una llave proporciona 10 litros de agua cada 20 segundos y 30 litros en 60 segundos.

Al dar 5 pagos de la deuda de un carro debo $90 000 y al completar 8 pagos debo$84 000.

Si saco 18 aciertos en una prueba tengo de calificación 6, pero si saco 27 mi calificación es de 9.

Descubrimos que en las proporciones directas los cocientes son constantes.

605

=12 12010

=12Cociente constante: k = 12

Descubrimos que en las proporciones inversas los productos son constantes.

8 x 5 = 40 4 x 10 = 40 Producto constante: 40

60

2.- Completa la siguiente tabla que representa el tiempo que tardan varios obreros en realizar un mismo trabajo.

NÚMERO DE OBREROS 2 4 8 16NÚMERO DE HORAS 20 10

Completa los siguientes factores de la tabla en donde el producto constante es 40:

20 x 2 = _____ 10 x 4 = _____ ____ x 8 = 40 _____ x 16 = 40

¿Qué es lo que pasa al aumentar el número de obreros? __________________________

¿Es una proporción inversa? _____ ¿Por qué? __________________________________

________________________________________________________________________

Observa que como el producto constante es 40, entonces para encontrar lo que tardan 8 obreros, buscamos un número que multiplicado por 8 nos de 40, y lo podemos hacer dividiendo 40 ÷ 8 = 5

¿40 ÷ 16? _____

3.- Completa la siguiente tabla que representa el tiempo que tardan varios obreros en realizar un mismo trabajo.

NÚMERO DE OBREROS 5 10 25 40NÚMERO DE HORAS 20

Completa los siguientes factores de la tabla en donde el producto constante es 100:

20 x 5 = _____ 10 x _____ = _____ ____ x 25 = _____ _____ x 40 = 100

¿Qué es lo que pasa al aumentar el número de obreros? __________________________

¿Es una proporción inversa? _____ ¿Por qué? __________________________________

________________________________________________________________________

Observa que como el producto constante es 100, entonces para encontrar lo que tardan 10 obreros, buscamos un número que multiplicado por 10 nos de 100, y lo podemos hacer dividiendo 100 ÷ 10 = 10

100 ÷ 25 = ______ 100 ÷ 40 = ______

61

4.- Se van a distribuir 2 500 litros de gasolina en distintos depósitos que tienen una capacidad de 5 litros, 10 litros, 20 litros y 25 litros cada uno. ¿Cuántos depósitos se necesitan de cada uno para almacenar la gasolina?

CAPACIDAD DELOS DEPÓSITOS (litros)

5 10 20 25

NÚMERO DE DEPÓSITOS NECESARIOS

Completa los siguientes factores de la tabla en donde el producto constante es 2 500:

___ x 5 = 2 500 ___ x ___ = _______ ___ x 20 = _______ ___ x 25 = 2 500

¿Qué es lo que pasa al aumentar la capacidad de los depósitos? __________________________________________________________________________________________

¿Es una proporción inversa? _____

5.- Se van a empacar cierta cantidad de dulces para los alumnos de primero, segundo, tercero y cuarto grado de una escuela primaria. Las bolsas se harán como se indica en la siguiente tabla considerando que para cada grado se tiene la misma cantidad de dulces. Completa la tabla.

NÚMERO DE DULCES 10 15 20 25NÚMERO DE BOLSAS 150 ¿Cuál es el producto constante? _________

6.- Completa las siguientes tablas de variación proporcional inversa.

2 4 5 10 2010

40 50 60 80 10030

3 6 10 15 2030

60 80 90 100 12560

4 12 24 48 96120

Probabilidad teórica =

62

NOCIONES DE PROBABILIDAD• Realización de experimentos aleatorios y registro de resultados para un acercamiento a la probabilidad frecuencial. Relación de ésta con la probabilidad teórica.

PROBABILIDAD FRECUENCIAL

La probabilidad frecuencial o empírica es la que se fundamenta en los datos obtenidos por encuestas o preguntas o por una serie de varias realizaciones de un experimento aleatorio.

Para establecer la probabilidad frecuencial, se repite el experimento un número determinado de veces, se registran los datos y se divide el número de veces que se obtiene el resultado que nos interesa, entre el número de veces que se realizó el experimento de azar.

PROBLEMA: Encuentra la probabilidad frecuencial de que caiga sello al lanzar una moneda al aire realizando el experimento 5, 10, 15, 20 y 40 veces.

VECES QUE SE REPITE

EL EXPERIMENTO

VECES QUECAYÓ SELLO(FRECUENCI

A ABSOLUTA)

PROBABILIDAD

FRECUENCIAL

PROBABILIDAD

TEÓRICA

5 225

12

10 425

15 8_8_15

20 111120

40 232340

Entre más veces repetimos un experimento, el resultado se aproxima más a la probabilidad teórica. En este caso la probabilidad teórica de que caiga sello es

Casos favorables Espacio muestral

ACTIVIDADES DE CLASE

1.- Contesta las siguientes preguntas.

a) ¿Cuál probabilidad siempre es la misma, la teórica o la frecuencial? _______________

b) ¿Con cuál clase de probabilidad tienes que realizar varias veces el experimento, simulando con algún objeto, para encontrar la probabilidad?

= 1_2

1_2

63

2.- Realiza el experimento de sacar una bola amarilla de una caja que tiene 3 bolas rojas y 5 amarillas, repitiéndolo las veces que se indica para encontrar los resultados que se piden en la tabla. Puedes simular el experimento con 8 papelitos. (3R) y (5A)

VECES QUE SE REPITE

EL EXPERIMENTO

VECES QUESALIÓ

AMARILLA(FRECUENCI

A ABSOLUTA)

PROBABILIDAD

FRECUENCIAL

SACAR AMARILLA

PROBABILIDAD

TEÓRICA

4

6

8

10

15

3.- Realiza el experimento de sacar una bola negra de una caja que tiene 2 bolas blancas y 4 negras, repitiéndolo las veces que se indica para encontrar los resultados que se piden en la tabla. Puedes simular el experimento con 6 papelitos. (2B) y (4N)

VECES QUE SE REPITE

EL EXPERIMENTO

VECES QUESALIÓ

AMARILLA(FRECUENCI

A ABSOLUTA)

PROBABILIDAD

FRECUENCIAL

SACAR NEGRAPROBABILIDA

DTEÓRICA

4

6

8

10

15

64

4.- Realiza el experimento de que caiga águila al lanzar una moneda al aire, repitiéndolo las veces que gustes y registra los resultados en la tabla sobre las veces que repetiste el experimento, frecuencia absoluta, probabilidad frecuencial y probabilidad teórica. Puedes simular el experimento con una moneda.

5.- Arroja un dado las veces que se te indica para encontrar la probabilidad de que caiga el número 4 y registra los resultados obtenidos.

VECES QUE SE REPITE

EL EXPERIMENTO

VECES QUECAYÓ 4

(FRECUENCIA

ABSOLUTA)

PROBABILIDAD

FRECUENCIAL

CAIGA 4PROBABILIDA

DTEÓRICA

4

6

8

10

15

6.- Encuentra la probabilidad frecuencial que existe sobre meter un gol por un equipo en tiros de penalti en varias prácticas realizadas.

GOLES TIRADOSGOLES

ANOTADOSPROBABILIDA

DFRECUENCIAL

PROBABILIDADTEÓRICA

20 14

30 18

40 32

65

60 48