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INFORME II – CONSERVACION DE LA ENERGIA POTENCIAL Y ELÁSTICA (MOVIMIENTO ARMÓNICO)

Jairo Fernando Vargas Pinzón, Omar García, Nelson David Rodríguez Morales, Wilmer Romero.

Juan Salcedo b

a Estudiantes de Ingeniería Civil, Industrial y Mecatrónica bDocente Física, Dpto Ciencias Básicas.

1. Objetivos

• Objetivo General:

-Identificar la aplicación de la Conservación de la Energía Mecánica en movimientos propios de la mecánica tales como el Armónico Simple y el Acelerado Uniforme, por medio de igualación de fuerzas en Energía.

• Objetivos Específicos:

- Conceptualizar y Demostrar que la Ley de Hooke se cumple para fuerzas elásticas en las que interviene el peso y su enlogacion, en casos propios armónicos simples.

Resumen:

Keywords:- Conservación de la Energía Mecánica - Energía Cinética- Energía Elástica- Energía Mecánica- Energía Potencial- Energía Potencial Elástica- Energía Potencial Gravitatoria- Fuerza Elástica- Ley de Hooke- Trabajo Externo

Es de suma importancia en la física comprender y aplicar correctamente las bases teóricas y aplicaciones prácticas referentes al tema de la conservación de la energía, pues esta se aplica en todos los procesos que estudia la física. En esta investigación se presenta de manera detallada los resultados de la practica sobre conservación de la energía realizada en el laboratorio, esta nos muestra de manera más real la forma mediante la cual podemos encontrar la velocidad final de un cuerpo a través de las ecuaciones de las Leyes de Newton y la Cinemática y de la conservación de la energía.

El movimiento armónico simple permite estudiar y describir variedad de situaciones y fenómenos de oscilación calculables a partir de ecuaciones, lo que genera un tema de gran interés para el estudio de la física, y el cambio en el peso referente a resortes de diferentes longitudes al movimiento armónico simple, ya que allí el objeto de estudio se centra en determinar la constante de elasticidad del resorte utilizado

Se presenta también un marco teórico que explica muy claramente los conceptos fundamentales que necesitamos comprender para la realización del experimento. De la misma manera se muestran tablas de datos que representan los resultados, graficas y esquemas que ilustran y facilitan la comprensión de cada una de las explicaciones que se ofrecen.

En el presente artículo, se presentara de manera detallada el comportamiento y análisis físico relacionado a la conservación de la energía y el movimiento armónico simple, y los resultados obtenidos a partir de la práctica en el laboratorio, así como el desarrollo de las diferentes ecuaciones que describen cada uno de estos comportamientos.

Para esto es de vital importancia los materiales utilizados así como la variación que fue dada en cuanto a el movimiento respecto a un carro en un plano inclinado reaccionando a las pesas sostenidas por gravedad en una polea y a las posiciones de este mismo en el caso de la conservación de energía.

Tetrahedron

- Aplicar la Teoría de la Conservación de la Energía Mecánica para identificar un movimiento acelerado en un plano inclinado con sistemas de poleas, identificando de igual forma la cantidad de Energía Cinética y Potencial que produce el cuerpo.

- Graficar la relación de Conservación de Energía Mecánica y Determinar por medio de la pendiente de la fuerza elástica la relación de la constante elástica con el peso del objeto y propiamente su enlogacion.

2. Aspectos Teóricos

Fuerzas Conservativas en la Energía Potencial Gravitatoria:Una Fuerza es conservativa si el trabajo que realiza sobre un objeto en movimiento entre dos puntos es independiente de la trayectoria que el objeto tome entre los puntos. Es decir, el trabajo realizado sobre un objeto por una fuerza conservativa depende solo de las posiciones inicial y final del objeto.La fuerza de gravedad es conservativa. El trabajo realizado por la fuerza gravitacional sobre un objeto que se mueve entre dos puntos cualesquiera cerca de la superficie terrestre es Wg=mgy i-mgyf.. De esto se deduce que Wg depende solo de las coordenadas verticales inicial y final del objeto, y por tanto es independiente de la trayectoria.Podemos asociar una función de Energía Potencial con cualquier fuerza conservativa. Las funciones de energía potencial se pueden definir solo para fuerzas conservativas. Algunos otros ejemplos de fuerzas conservativas son la Fuerza Elástica y la fuerza eléctrica entre objetos con cargas. Estas fuerzas conservativas tienen funciones de energía potencial diferentes.En general, el trabajo Wc, realizado sobre un objeto en movimiento por una fuerza conservativa es igual al valor inicial

de la energía potencial menos el valor final. [1.1]

(1.) fi EuEuWc −= [1.1]Los principios de conservación desempeñan un papel muy importante en física. Cuando decimos que una cantidad física se conserva, significa que el valor numérico de la cantidad permanece constante. Aun cuando la forma de la cantidad puede cambiar en algún modo, su valor final es el mismo que su valor inicial. Por ejemplo la energía en un sistema aislado puede cambiar de energía potencial gravitatoria a Energía Cinética o a alguna otra forma pero el sistema nunca pierde energía. La cantidad total de energía del sistema permanece constante.Cuando un objeto (pesa) amarrado a un carro con pendiente inclinada, se deja caer al piso: al caer aumenta su rapidez y, por tanto su energía cinética, mientras que la energía potencial del sistema objeto-Tierra disminuye. Si se pasan por alto las fuerzas no conservativas como la resistencia del aire, cualquier energía potencial, que se pierde a medida que el objeto se mueve hacia el piso se transforma en energía cinética. A esto se le conoce como Energía Mecánica Total=E, la cual permanece constante y es en si la suma de las energía cinéticas y potenciales.Debido a que la energía mecánica total EuEkE += , se tiene según el principio de conservación de energía donde el trabajo de W otras (como el Trabajo Externo, la Fricción y la Energía Elástica) es cero se tiene:

(2.) ffii EuEkEuEk +=+ [3.]Si la fuerza del peso es la única que realiza trabajo dentro de un sistema entonces la energía mecánica total del sistema permanece constante, y el principio de Conservación de la Energía Mecánica Toma la forma de:

(3.) ffii mgymvmgymv +=+2

1

2

1[3.]

Fuerza Elástica en la Energía Potencial Gravitatoria:La ecuación de la Fuerza Elástica dice que cuanto mas se comprima el resorte menos fuerza posee y por ende debemos aplicarle mayor fuerza.

Para hallar una expresión para la energía potencial asociada con la fuerza del resorte, llamada Energía Potencial Elástica, determinar el trabajo necesario par comprimir un resorte desde su posición de equilibrio hasta alguna posición arbitraria final x (en este caso y por que va en el eje vertical propenso a la fuerza del peso, en caso tal que se le agregue un peso al resorte) es fundamental. En dicha situación no se puede usar el concepto de trabajo conocido como W=Fx para calcularlo en el resorte porque la fuerza no es constante, cuando el resorte esta siendo comprimido. La fuerza que se le debe aplicar a la variación es a la Fuerza desde 0 hasta F=kx en la máxima compresión de elongación (encogimiento). Por tanto usamos la fuerza media F durante el desplazamiento. Como la fuerza aumenta linealmente con la posición (F=x). En física, la ley que habla de la fuerza aplicada al fenómeno de elasticidad es la Ley de Hooke, originalmente formulada para casos del estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario que experimenta un material elástico es directamente proporcional a la fuerza

aplicada . [4.]

La fuerza elástica, es definida como la fuerza media que se le aplica al resorte por intervención de elongación y encogimiento del resorte y es representada así:

(4.) kxkxFxF

F o

2

1

2

0

2=+=+= [4.]

Por lo tanto el trabajo realizado por la fuerza aplicada, la energía

de deformación o energía potencial elástica xUE , asociada al

estiramiento del resorte viene dada por la siguiente ecuación:

(5.) 2

2

1*

2

1kxxkxW == [4.]

Entonces se tiene que:

(6.) 2

2

1kxEux = [4.]

La forma en que esta energía potencial elástica almacenada se puede recuperar. Cuando el bloque se suelta, el resorte regresa de golpe a su longitud original y la energía potencial elástica almacenada en el resorte es cero de nuevo frente al punto de origen que es donde se mide la elongación pero si se aleja o se encoje de su posición de equilibrio se va volviendo máxima, de tal forma se puede expresar lo siguiente “La energía potencial elástica es máxima cuando el resorte ha llegado a su máxima compresión o extensión.” Esto ocasiona que la energía potencial sea siempre positiva cuando el resorte no se encuentra en su punto inicial o de equilibrio, porque PE, es proporcional a x2.Esta nueva forma de energía esta incluido en la ecuación como otro termino en la Conservación de la Energía Mecánica, obteniéndose de esta manera:

(7.) xfgffxigii EuEuEkEuEuEk ++=++ [4.] donde

xUE es la Energía Potencial Elástica y gEu es la Energía

Potencial Gravitatoria. [3.]

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE:

2

El movimiento armónico simple es un movimiento periódico, oscilatorio y vibratorio. Para deducir y establecer las ecuaciones que rigen el movimiento armónico simple (unidimensional) es necesario analizar el movimiento de la proyección, sobre un diámetro de una partícula que se mueve con movimiento circular uniforme (bidimensional). El movimiento armónico simple se puede estudiar desde diferentes puntos de vista: cinemático, dinámico y energético. Entender el movimiento armónico simple es el primer paso para comprender el resto de los tipos de vibraciones complejas. El más sencillo de los movimientos periódicos es el que realizan los cuerpos elásticos.

Una clase muy especial de movimiento ocurre cuando la fuerza sobre un cuerpo es proporcional al desplazamiento del cuerpo desde alguna posición de equilibrio. Si esta fuerza se dirige hacia la posición de equilibrio hay un movimiento repetitivo hacia delante y hacia atrás alrededor de esta posición.

La fuerza F recuperadora, de la cual se habla es proporcional al desplazamiento X pero de sentido contrario a él, pudiéndose escribir que:

(8.) XkF = [7.]Esta relación conocida como la ley de Hooke indica que la fuerza es proporcional al desplazamiento y el signo (-) se coloca para señalar que la fuerza tiene sentido contrario al desplazamiento, que es una de las características más importante del M.A.S. Todos los cuerpos elásticos que cumplan la Ley de Hooke, al ser

sometidos a una fuerza vibran con M.A.S. [7.]

Potencial Gravitatoria.

3. Aspectos Experimentales

3.1 Materiales:

3.1.1. Movimiento armónico:• Balanza

• Pesas de 20 g a 500 g

• Regla

• Resortes de 9 cm-12.5cm

3.1.2. Movimiento acelerado:• Carro experimental

• Pesas de 20 g a 500 g

• Pista de trayectoria inclinada

• Polea

• Regla

3.2 Procedimientos:3.2.1. Movimiento armónico:

1. Tomar los resortes indicados para medir su longitud con una regla.

2. Acomodar seguidamente los resortes de forma tal para poder tomar medidas precisas de longitud del resorte con peso aplicado.

3. Tener lo resortes acomodados, y así empezar a aplicarle los pesos indicados para determinar su constante de elongación, midiendo la longitud nueva.

4. Calcular k. de elongación con los datos ya obtenidos.

3.2.2. Movimiento acelerado:1. Pesar el carro experimental para tener en cuenta su

masa durante la toma de datos.

2. Inclinar la pista a unos grados en específico (determinado por nosotros) midiendo con una regla la altura para tener en cuenta el ángulo, en los cálculos.

3. El carro experimental amarrado por una cuerda en un extremo y en el otro extremo aplicando un peso, de una determinada masa para dejarla “caer” y asi hacer q el carro se mueva a través de la pista.

4. Calculamos el tiempo transcurrido del carro sobre la pista

5. El mismo procedimiento lo aplicamos con diferentes masas y diferente ángulo de inclinación.

4. Análisis de Resultados:

1.1. Movimiento armónico:

De acuerdo a la formula de sumatorias de fuerzas en un sistema masa-resorte, en el que la Fuerza elastica la cual es igual a k*X menos el peso es igual a un sistema de equilibrio es decir a 0. De la siguiente manera:

(9.) 0=−=∑ WFeFy

Donde kxFe −= , según la Ley de Hooke, y reemplazando se obtiene

0=−=∑ mgkxFy

Y despejando la Constante elástica ( k ), tenemos:

(10.) x

mgk =

Se realizo la tabla de datos para la Constante y la grafica referente a la práctica que se llevo a cabo con dos resorte de tamaños diferentes, y elasticidad diferente, con el objetivo de halla su constante de elongación variando el peso puesto al resorte, y con esto obtuvimos los siguientes datos:

Tetrahedron

Fig.1[6.]

RESORTE 1 (GRIS)

MASA (Kg)

DISTANCIA DE ELONGACION (x)(m)

Fuerza E (N)

K elastica (M*g/x) N/seg^2

0,00 0,00 0,00 0,0

0,10 0,01 0,98 98,0

0,20 0,04 1,96 49,0

0,30 0,07 2,94 43,2

0,40 0,10 3,92 39,2

0,50 0,13 4,90 39,2

Tabla 1.

RESORTE 2 (NEGRO)

MASA (Kg)

DISTANCIA DE

ELONGACION (x)(m)

Fuerza E (N)

K elastica (M*g/x) N/seg^2

0,0 0,0 0,0 0,0

0,1 0,0 1,0 28,0

0,1 0,1 1,3 19,6

0,2 0,1 1,7 16,7

0,2 0,1 2,0 15,1

0,2 0,1 2,1 15,2 Tabla 2.

Donde la F elástica corresponde al producto entre la masa M y la fuerza de gravedad (9,8 m/s2). Y la distancia de elongación se refiere a la distancia que se estira el resorte cuando se pone a un extremo la masa M.

Gráfica 1. Fuerza vs. Elongación resorte 1

Gráfica 2. Fuerza vs. Elongación resorte 2

1.2. Movimiento acelerado:

- POR LEYES DE NEWTON Y CINEMATICA:

Se realizo la grafica de la Guía del Informe haciendo 4 veces la experiencia cada una con 50, 100 y 130 gr. respectivamente, y se obtuvieron los siguientes datos

4

Tabla 3.

Masa del carro: 132,5 gr.Angulo=sin-1(Altura/Hipotenusa), siendo la hipotenusa la distancia en el Riel Dinámico.

Para hallar las velocidades finales que es lo que toca identificar, partiendo del reposo (velocidad inicial=0), lo primero que se hace es aplicar el sistema de resolución de ecuaciones aplicando las Leyes de Newton, en primer termino procurando hallar la aceleración, y luego aplicando la formula de Velocidades de la Cinemática, en función de la aceleración y el tiempo, para

identificar esta.[1.2]Sabiendo que en un sistema de plano inclinado con una polea las dos masas están sujetas por una cuerda que no se estira (sin elongación es decir sin presentar fuerzas de estiramiento), y cuya fricción es despreciable. Se puede deducir que por influencia de la gravedad, estos objetos van a tener una aceleración de similar proporción y magnitud. Este es el siguiente esquema (extraído del libro Serway Tomo 1) para representar el movimiento en el laboratorio:

[2.3]Fig. 2Se utilizan fuerzas, masas y aceleración propias de la Segunda Ley de Newton, de esta forma tenemos para las masas las siguientes ecuaciones en forma de sumatoria de fuerzas en el eje x y y:

Fig. 3

(11.)∑ ==−= amamTgsenmFx x 111 θ(12.)∑ =−= 0cos1 θgmNFy

En (12.) sustituimos ya con a porque la aceleración tiene

solo un componente en x .

Fig. 4[1.2]Para el caso de la masa 2 (suspendida en gravedad), tenemos:

(13.)∑ =0Fx

(14.)∑ ==−= amamgmTFy y 222

En (14.) Sustituimos ya con a porque la aceleración tiene

solo un componente en y .Despejando T de (9.) y (11.) e igualando se obtiene:

amgsenmT 11 −= θgmamT 22 +=

(15.) gmamamgsenm 2211 +=−θDespejando a , obtenemos:

amamgmgsenm 1221 +=−θ)( 1221 mmagmgsenm +=−θ

(16.))( 12

21

mm

gmgsenma

+−= θ

[1.2]

Según esta ecuación podemos hallar las aceleraciones para cada uno de los objetos según la masa y el ángulo de inclinación, al cual fue sometido:

Aceleraciones según Masa y Ángulos (m/seg2)

1 VEZ

2 VEZ

3 VEZ

4 VEZ

Max (m/seg)

Prom. (m/seg)

-0,46 -0,46 -0,46 -0,46 -0,46 -0,461,49 -1,49 -1,49 -1,49 -1,49 -1,49

-1,40 -1,40 -1,40 -1,40 -1,40 -1,40Tabla 4.

Estas son las graficas que representan los datos de Tiempo Vs aceleración, para los cuales los valores deben ser de un solo plano aproximadamente, debido a que es un movimiento uniformemente acelerado:

Tiempo total gastado por el carrito en una distancia de 99,5 mt. (seg)Altura (cm)

D (cm)

Ang (°)

Masa (gr)

1 VEZ

2 VEZ

3 VEZ

4 VEZ

Max (seg)

Prom. (seg)

28,05 99,5 18,2 50 11,37 11,47 11,98 11,98 11,98 11,7044,1 99,5 29,2 100 1,21 1,11 1,08 1,06 1,21 1,1263,8 99,5 44,3 130 1,16 1,21 1,21 1,11 1,21 1,17

Tetrahedron

Tiempo Vs. Aceleracion Masa 50 gr.

11,37; -0,4611,47; -0,46 11,98; -0,4611,98; -0,46

-0,50

-0,45

-0,40

-0,35

-0,30

-0,25

-0,20

-0,15

-0,10

-0,05

0,00

11,30 11,40 11,50 11,60 11,70 11,80 11,90 12,00 12,10

Tiempo (Seg.)

Acele

rac

ion

(m

/seg

^2)

Tiempo Vs. Aceleracion Masa 50 gr.

1

Tiempo Vs. Aceleración 2

1,21; -1,491,11; -1,491,08; -1,491,06; -1,49

1,16; -1,40 1,21; -1,401,21; -1,401,11; -1,40

-1,50

-1,48

-1,46

-1,44

-1,42

-1,40

-1,38

1,04 1,06 1,08 1,10 1,12 1,14 1,16 1,18 1,20 1,22

Tiempo (seg)

Acele

rac

ión

(m

/seg

^2)

Aceleracion Vs. Tiempo Masa 100 gr.

Aceleracion Vs. Tiempo Masa 130 gr.

Grafica 1.1 y 1.2Para hallar las velocidades finales según los datos de aceleración dados, e involucrando el tiempo tomado en la experiencia que gasta cada uno en subir, se realiza con la siguiente ecuación de cinemática, para movimientos uniformemente acelerados:

(17.) gtf =V

Velocidades según Tiempo de los Carros (m/seg)1 VEZ

2 VEZ

3 VEZ

4 VEZ

Max (m/seg)

Prom. (m/seg)

-5,27 -5,31 -5,55 -5,55 -5,27 -5,42-1,81 -1,66 -1,61 -1,58 -1,58 -1,66-1,62 -1,69 -1,69 -1,55 -1,55 -1,64

Tabla 5.

Ya con la Velocidad se hallan la siguiente grafica, la que demuestra la proporcionalidad lineal de la velocidad en un movimiento uniformemente acelerado:

Aceleracion (m/seg^2) Masa de 50 gr

11,37; -5,27

11,47; -5,31

11,98; -5,5511,98; -5,55

-5,60

-5,55

-5,50

-5,45

-5,40

-5,35

-5,30

-5,25

11,30 11,40 11,50 11,60 11,70 11,80 11,90 12,00 12,10

Tiempo (seg)

Vel

oci

dad

(m

/seg

)

Aceleracion (m/seg^2) Masa de 50 gr

Aceleracion de Carritos 2

1,21; -1,81

1,11; -1,66

1,08; -1,61

1,06; -1,58

1,16; -1,62

1,21; -1,691,21; -1,69

1,11; -1,55

-1,85

-1,80

-1,75

-1,70

-1,65

-1,60

-1,55

-1,50

1,04 1,06 1,08 1,10 1,12 1,14 1,16 1,18 1,20 1,22

Tiempo (Seg.)

Vel

oci

dad

(m

/seg

)

Aceleracion Masa 100 gr (m/seg^2)

Aceleracion Masa 130 gr (m/seg^2)

Grafica 2.1 y 2.2

Las energías cinéticas correspondientes para cada caso (tanto para el Carrito como para las masas), se hallan con la siguiente ecuación:

(18.) 2

2

1E mvk =

Energía Cinética para el Carrito (J)1 VEZ 2 VEZ 3 VEZ 4 VEZ Max (J) Prom. (J)

1,84 1,87 2,04 2,04 1,84 1,950,22 0,18 0,17 0,17 0,17 0,180,17 0,19 0,19 0,16 0,16 0,18

Tabla 6.

Energia Cinetica para las pesas (J)1 VEZ 2 VEZ 3 VEZ 4 VEZ Max (J) Prom. (J)

0,69 0,71 0,77 0,77 0,69 0,730,16 0,14 0,13 0,13 0,13 0,140,17 0,19 0,19 0,16 0,16 0,18

Tabla 7.

Las graficas para el carrito de Velocidad Vs. Energía Cinética, estan dadas de la siguiente forma, siendo de similaridad u

homogeneidad de datos la de las pesas:

Velocidad Vs. Ek 1

-5,27; 1,84

-5,31; 1,87

-5,55; 2,04-5,55; 2,04

1,80

1,85

1,90

1,95

2,00

2,05

2,10

-5,60 -5,55 -5,50 -5,45 -5,40 -5,35 -5,30 -5,25

Velocidad (m/seg)

En

erg

ia C

ine

tic

a (

J)

Velocidad Vs. Ek Masa 50 gr.

6

Velocidad Vs. Ek 2

-1,81; 0,22

-1,66; 0,18-1,61; 0,17

-1,58; 0,17-1,62; 0,17

-1,69; 0,19-1,69; 0,19

-1,55; 0,16

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

-1,85 -1,80 -1,75 -1,70 -1,65 -1,60 -1,55 -1,50

Velocudad (m/seg)

En

erg

ia C

ien

tica

(J)

Velocidad Vs. Ek Masa 100 gr.

Velocidad Vs. Ek Masa 130 gr.

Grafica 3.1 y 3.2

Y con la altura, la gravedad y las masas se hallan las energías potenciales de cada elemento(tanto para el Carrito como para las masas):

(19.) mghu =E

Energía Potencial para el Carrito (J)

1 VEZ 2 VEZ 3 VEZ 4 VEZ Max (J)Prom. (J)

-80,45 -80,45 -80,45 -80,45 -80,45 -80,45-31,69 -31,69 -31,69 -31,69 -31,69 -31,69

-2,44 -2,44 -2,44 -2,44 -2,44 -2,44Tabla 8.

Energía Cinética para las pesas (J)1 VEZ 2 VEZ 3 VEZ 4 VEZ Max (J) Prom. (J)

48,76 48,76 48,76 48,76 48,76 48,7697,51 97,51 97,51 97,51 97,51 97,51

126,76 126,76 126,76 126,76 126,76 126,76Tabla 9.

La relación de Conservación de la energía entre la Energía Cinética dada y la Potencial, tanto para el carrito como para las pesas, da unas grafica similares a las siguientes:

Grafica 4.1 y 4.2.

- POR CONSERVACION DE LA ENERGIA:

Para el cálculo de velocidades por Energía en un plano inclinado con polea, se hacen los siguientes cálculos:

Sentido del movimiento: Sistema en reposo (Fig. 5): [5.]

Fig. 5

)(*)(* 111 αα sengmsenPT ==gmPT 222 ==

, por tanto al dejar el sistema en libertad la polea girará en sentido de las agujas del reloj, luego el bloque 2 se desplazará un espacio d hacia abajo con una velocidad v y el bloque 1 subirá por el plano inclinado la misma distancia con igual velocidad que el bloque 1 (figura 2). Aplicando el principio de Conservación se obtiene:

Fig. 6

(19.) EuEkW ∆+∆=∆Cálculo del trabajo: Bloque 1 (Fig. 6):

Fig. 7

Peso W no se tiene en cuenta pues está incluido en 1Eu∆ :

(20.)TdTdWt =°= )0cos(*

0)90cos(* =°=TNWN

0)cos(*1 =−= αgdmWX

Bloque 2 (figura 4):

Fig. 8

W peso no se tiene en cuenta pues está incluido en 2Eu∆ :(21.)

)cos(*)cos(* 11 αµαµ gdmTdgdmTdW =−−=∑

Ek Vs. Ep de Pesas

0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

120,00

140,00

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80

Ek

Conservacion de la Energí a

Ek Vs. Ep de Carrito

-100,00

-80,00

-60,00

-40,00

-20,00

0,00

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00

Ek

Ep Conservacion de la

Energía

Tetrahedron

Teniendo las ecuacion de conservación de la energía, y sabiendo que la velocidad inicial es igual a 0, se obtiene lo siguiente:

22

22

21

21 2

1

2

1

2

1

2

1Ek vimvfmvimvfm +=+=∆

222

22

21

21 )/0(

2

1

2

1)/0(

2

1

2

1Ek segmmvfmsegmmvfm −=−=∆

22

21 2

1

2

1Ek vfmvfm +=∆

(22.) 221 )(

2

1Ek vfmm +=∆

ghomghfmghomghfm 2211Eu +=+=∆ghommgmghommgm 2211 )0()0(Eu +=+=∆

(23.)

))(*()(*Eu 2121 msenmgdgdmsengdm −=−=∆ αα(23.) ))(*(Eu 21 msenmgd −=∆ α

De la Ek∆ y la Eu∆ se tiene:

)cos(*1 αµ gdm− = 221 )(

2

1vfmm + +

))(*( 21 msenmgd −αDespejando Vf se obtiene:

221211 )(

2

1))(*()cos(* vfmmmsenmgdgdm +=−−− ααµ

Factorizando Se obtiene:

2

21

211

)(

)))(*()cos(*(2vf

mm

msenmmgd =+

−−− ααµ

)(

)))(()cos(((2

21

122

mm

msenmgdvf

++−= ααµ

)(

)))(()cos(((2

21

12

mm

msenmgdvf

++−= ααµ

Como el coeficiente de fricción se desprecia: µ =0

)(

)))(()cos()0(((2

21

12

mm

msenmgdvf

++−= αα

24.)(

)))((((2

21

12

mm

msenmgdvf

+−= α

[5.]

Según esta ecuación se obtienen las siguientes velocidades:

Velocidades según Conservación de Energía de los Carros (m/seg)

Angulo (rad) (Grados)

Masa del carro (g)

1 VEZ

2 VEZ

3 VEZ

4 VEZ

Máx. (m/seg)

Prom. (m/seg)

0,32 132,5 9,60 9,60 9,60 9,60 9,60 9,600,51 132,5 17,22 17,22 17,22 17,22 17,22 17,220,77 132,5 16,68 16,68 16,68 16,68 16,68 16,68

Tabla 10.

Según esta se obtiene los siguientes datos para Conservación de Energía Cinética y Potencial, enunciando antes las ecuaciones correspondientes para cada una ((20). y (21). respectivamente):

(22.) 221 )(

2

1Ek vfmm +=∆

Energía Cinética según Velocidades y Masas del Carro (J)

Masa 2 (gr)Masa 1 (Kg) 1 VEZ2 VEZ3 VEZ4 VEZMax (J) Prom. (J)

0,05 0,13 8,40 8,40 8,40 8,40 8,40 8,40

0,10 0,13 34,48 34,48 34,48 34,48 34,48 34,48

0,13 0,13 36,53 36,53 36,53 36,53 36,53 36,53Tabla 11.

(23.) ))(*(Eu 21 msenmgd −=∆ αEnergía Potencial según h, G y M del Sistema (Julies=Nm)

Masa 1 (Kg)

Masa 2 (Kg)

1 VEZ

2 VEZ

3 VEZ

4 VEZ

Max (J)

Prom. (J)

0,13 0,05 -0,08 -0,08 -0,08 -0,08 -0,08 -0,08

0,13 0,10 -0,34 -0,34 -0,34 -0,34 -0,34 -0,34

0,13 0,13 -0,36 -0,36 -0,36 -0,36 -0,36 -0,36Tabla 12.

La relación de Conservación de la energía entre la Energía Cinética dada y la Potencial, para este caso da una grafica similar a la siguiente:

Conservación de la Energia

-0,40

-0,35

-0,30

-0,25

-0,20

-0,15

-0,10

-0,05

0,00

0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00 40,00

Energía Cinetica

En

erg

ía P

ote

nci

al

Gráfica 5.

-CALCULO DE ERRORES:Según el cálculo de errores para los tiempos dados en cada caso de masa respectiva, encontramos cuatro tipos de errores de los cuales son:Error Cuadrático:Podemos plantearnos ahora el problema de acotar el error del promedio, este es el error cuadrático medio del promedio. Se halla con la siguiente formula:

(24.) ∑

= −−

=∆N

n

ptom

nn

ttt

1

2

)1(*

)(

Se obtiene para los tiempos anteriores, los errores cuadráticos correspondientes con la formula de la ecuación 10:

Error Cuadrático Error Cuadrático Total

1 VEZ

2 VEZ

3 VEZ

4 VEZ

Max (seg)

Prom. (seg)

0,08 0,04 0,06 0,06 0,06 0,06 0,490,01 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,100,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,07

Tabla 13.

- Error Absoluto (E): Es la diferencia entre el valor verdadero (V) y el valor medido(Vm). Pero se sabe que por más exacto que sea el instrumento, por más experimentados que haga el operador, y aún condicionando otras circunstancias, el valor verdadero de una magnitud física no existe, Por lo que el error

8

absoluto no pasa de ser una definición teórica que podemos estimar con el error de apreciación:

(25.) VmVvEA −=Error Absoluto Error

Absoluto Total1 VEZ2 VEZ3 VEZ4 VEZMax (seg)Prom. (seg)

0,33 0,23 0,28 0,28 0,28 0,00 1,060,09 0,01 0,04 0,06 0,09 0,00 0,440,01 0,04 0,04 0,06 0,04 0,00 0,39

Tabla 14.

- Error Relativo: Es el cociente entre el error absoluto y el valor medido.

(26.) Vm

EAER =

Error Relativo Error Relativo Total1 VEZ2 VEZ3 VEZ4 VEZMax (seg)Prom. (seg)

0,03 0,02 0,02 0,02 0,02 0,00 0,310,08 0,00 0,03 0,05 0,08 0,00 0,410,01 0,03 0,03 0,06 0,03 0,00 0,36

Tabla 15.

- Error Relativo Porcentual:Se obtiene multiplicando el error relativo por 100% para que de en porcentajes.

(27.) %100*ERERP =Error Relativo Porcentual Error

Relativo Porcentual Total

1 VEZ

2 VEZ

3 VEZ

4 VEZ

Max (seg)

Prom. (seg)

2,90 2,01 2,34 2,34 2,34 0,00 3,107,85 0,45 3,24 5,19 7,85 0,00 4,091,08 3,10 3,10 5,63 3,10 0,00 3,59

Tabla 16.

Para el Calculo de Errores del Movimiento Armónico Simple se aplicaron las mismas formulas tomando como referencia para el Valor Medido: la Constante del calculo de Sumatoria de Fuerzas y como el Valor Verdadero como el valor de la pendiente de la grafica de la función de Elongación Vs. Fuerza Elástica, para lo cual se obtuvieron los siguientes resultados:

Tabla de Errores Resorte 2K de

Grafica (N/seg^2)

K Elástica (N/seg^2)

E. Cuad.

E. Abs.

E. Rel. E. %

13,836 0,000 143,576 13,836 1,000 100,000

13,836 28,000 150,464 14,164 1,024 102,371

13,836 19,600 24,918 5,764 0,417 41,659

13,836 16,660 5,981 2,824 0,204 20,411

13,836 15,077 1,155 1,241 0,090 8,969

13,836 15,244 1,488 1,408 0,102 10,180

5. Conclusiones

- La ley de Hooke o Ley de la elasticidad establece que la Fuerza de elasticidad es igual a la elongación por la constante, que en si en un estado de reposo es mínima y al estar mayormente elongada o comprimida es máxima

es decir a medida que se aleja del estado de reposo, por ende se puede identificar esta Ley con la sumatoria de Fuerzas en Y dando la Constante igual a la masa por la gravedad sobre la elongación (Ecuación (10.)), lo cual en la experiencia se pudo demostrar con el despeje de sumatorias del eje y, donde la k elástica, era igual al peso sobre la elongación.

- Por medio de las Leyes de Newton y la Cinemática se puede hallar un movimiento uniformemente acelerado producto de la gravedad en un mecanismo de plano inclinado con poleas (despreciando la fricción y elasticidad del hilo), con lo cual al realizar diagramas de cuerpo libre (Fig. 2., 3., y 4.) y sumatoria de fuerzas (Ecuación (11., 12., 13. y 14.)), se halla la aceleración total del sistema (Ecuación (16.)), y luego con formulas de velocidad del MUA (Ecuación (17.)), se hallan las velocidades (Tabla 5.).

- La conservación de la Energía mecánica se da cuando la energía cinética inicial mas la energía potencial inicial es igual a la energía cinética final y la energía potencial final, y esta se conserva en energía potencial gravitatoria, en la cual puede incluir la energía elástica, para el caso de un plano inclinado sin o con fricción se usa la conservación para hallar la velocidad (Tabla 10.) (Ecuación (24)), según unas componentes de tensión debidas a las poleas y al propio peso de los cuerpos, utilizando diagramas de cuerpo libre igualmente (Fig. 5., 6., 7. y 8.) y hallando sumatoria de trabajos (Ecuación (19., 20., 21.,22. y 23.)).

- Se pudo demostrar según las graficas que en un movimiento uniformemente acelerado la Velocidad es proporcional y crece o decrece de manera lineal (Grafica 2.1 y 2.2), mientras la aceleración se mantiene constante. (Grafica 1.1 y 1.2), y la relación de Energía Cinética decrece de manera directamente proporcional con la Velocidad, pues una es variable directa de la otra.

- Como lo demuestra la graficab 4.1, 4.2 y 5 de Conservación de Energía en movimiento acelerado, la relación energía cinética es inversamente proporcional a la energía potencial, debido que entre menor altura mas rápido se mueven los cuerpos y mas gana energía cinética (Perdiendo potencial), esto para el caso de un objeto en caída libre o que intervenga la gravedad y por ende su propio peso.

6. Bibliografía:

- [1.] FISICA TOMO I Para Ciencias e Ingenierías. ED.

THOMPSON. SERWAY, RAYMOND A.. [1.1] Pág. 238

(Fuerzas Conservativas y No conservativas) y [1.2] Pág. 139 (Ejercicio 5.10. Aceleración de Dos Objetos Conectados Por una Cuerda).

- [2.] Física II. Ed. Santillana. Mauricio Bautista Ballen.-http://www.icarito.cl/enciclopedia/articulo/segundo-ciclo-basico/ciencias-naturales/fuerza-y-movimiento/2009/12/61-5128-9-el-momentum.shtml.

- [3.] es.wikipedia.org/wiki/Conservación_de_la_energía

- [4.] es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Hooke

- [5.] http://www.elsaposabio.com/fisica/?p=798

- [6.] http://html.rincondelvago.com/000577881.jpg

- [7.]

Tetrahedron

http://www.proyectosalonhogar.com/enciclopedia_ilustrada/ciencias/movimiento_armonico.htm Fundación Educativa Héctor A. García

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