Teoremas de Pitágoras

A lo largo de la historia han sido muchas las demostraciones y pruebas que

matemáticos y amantes de las matemáticas han dado sobre este teorema. Se reproducen a continuación algunas de las más conocidas.

En primer lugar deberíamos recordar un par de ideas:

o Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º.

o En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

Teorema de Pitágoras.-En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Demostración:

Si tenemos un triángulo rectángulo como el del dibujo del enunciado del teorema podemos construir un cuadrado que tenga de lado justo lo que mide el cateto b, más lo que mide el cateto c, es decir b + c, como en

la figura de la derecha. El área de este cuadrado será (b + c)2.

Si ahora trazamos las hipotenusas de los triángulos rectángulos que salen tendremos la figura de la izquierda. El área del cuadrado, que es la misma de antes, se puede poner ahora

Como la suma de las áreas de los cuatro

Triángulos rectángulos azules (base por altura partido por 2):

más el área del cuadrado amarillo . Es decir, el área del cuadrado grande también es el área del cuadrado pequeño más 4 veces el área del triángulo:

Podemos igualar las dos formas de calcular el área del cuadrado grande y tenemos:

si ahora desarrollamos el binomio , nos queda:

que después de simplificar resulta lo que estábamos buscando:

DEMOSTRACIONES GEOMÉTRICAS

PITÁGORAS.

Una de las demostraciones

geométricas mas conocidas, es la

que se muestra a continuación,

que suele atribuirse al propio

Pitágoras.

A partir de la igualdad de los triángulos

rectángulos es evidente la igualdad

a2 + b2 = c2

PLATÓN.

La relación que expresa el teorema de Pitágoras

es especialmente intuitiva si se aplica a un

triángulo rectángulo e isósceles. Este problema lo

trata Platón en sus famosos diálogos.