Introducción al programa Cabri Geometri II PlusProfr. Maximiliano Olivas Soto

A principios de los años 80, Cabri-Graph es concebido por el equipo EIAH del

Laboratorio Leibniz, en Grenoble, Francia, para trabajar teoría de gráficas. Unos años

más tarde, se pensó en un paquete que permitiera crear, modificar y manipular figuras

geométricas en tiempo real. El programa Computacional Cabri Geometry nace a

finales de la década de los 80 en el seno de un laboratorio asociado al Centro de

Investigación Científica y a la Universidad Joseph Fournier de Grenoble, de Francia,

fue desarrollado por el investigador Jean-Marie Laborde, y contó con la colaboración

de su tesista Frank Bellemain.

Cabri Geometry es un paquete de cómputo de geometría dinámica interactiva en

tiempo real. Permite hacer la geometría de una manera muy particular: el usuario

puede animar una figura desplazándola o deformándola y el resultado se presentará

inmediatamente en la pantalla de la computadora. Esta libertad de movimiento permite

rebasar los límites impuestos por el papel y el lápiz de la geometría tradicional. Es un

medio de trabajo donde el estudiante tiene la posibilidad de experimentar con una

materialización de los objetos matemáticos, de sus representaciones y de sus

relaciones, de tal forma que los estudiantes puedan vivir un tipo de experimentación

matemática que no es posible tener de otra forma.

La filosofía de Cabri II Plus es de permitir el máximo de interacciones (ratón,

teclado…) entre el usuario y el software, y en cada caso, de hacer lo que el usuario

espera que haga el software, respetando por una parte los comportamientos usuales

de las aplicaciones y del sistema, y por otra el comportamiento matemático más

plausible.

Un documento Cabri II Plus está compuesto de una figura construida libremente sobre

una hoja única de papel virtual de un metro cuadrado (1 m por 1 m). Una figura está

compuesta de objetos geométricos (puntos, rectas, círculos, …) e igualmente de otros

objetos (números, textos, fórmulas, …).

Un documento puede también incluir macro-construcciones, que permiten,

memorizando construcciones intermedias, extender las funcionalidades del software.

La aplicación permite abrir simultáneamente varios documentos y soporta el Cortar-

Copiar/Pegar entre documentos abiertos. (Manual de Cabri Geometry)

En México, el programa EMAT inicia el uso de Cabrí Geometry, como una propuesta

para la enseñanza de la geometría en un ambiente computacional donde el estudiante

de secundaria pudiera manipular, de manera controlada, las versiones electrónicas de

los objetos geométricos. Principalmente para desarrollar conceptos geométricos de

acuerdo a las reglas de la geometría euclidiana, explorar y elaborar conjeturas para la

verificación práctica de sus teoremas, así como lograr la manipulación directa de los

objetos matemáticos permitiendo cerrar la brecha entre percepción y geometría, al

contar con elementos del software que brindan la posibilidad de animar las

construcciones y percibir transformaciones de trazos y figuras geométricas, lo cual

sería imposible con el trabajo en papel y lápiz. (Programa EMAT)

Las clases que se preparan con el programa Cabri Geometry como recurso didáctico

en la enseñanza y el aprendizaje, consideran aspectos en donde los alumnos

visualizan diferentes representaciones del objeto matemático en cuestión, estas son

aquellas en donde el profesor integra a su cátedra la utilización de archivos creados

previamente y muestra a sus alumnos los puntos considerados como relevantes. Otra

modalidad es donde el alumno, mediante una hoja de trabajo, a través de la

interacción en el programa con el objeto construido, descubre y hace conjeturas sobre

los conceptos matemáticos estudiados. Otra más es la combinación de ambas.

El programa Cabri Geometry presenta una gran facilidad de adaptación al interés de

los maestros, razón por la que en la actualidad es uno de los programas más utilizados

en la enseñanza de las matemáticas en el nivel de secundaria.

Tutorial

El programa Cabri Geometry es muy fácil de usar, es como si estubiera haciendo geometría con lápiz y papel, por lo que se recomienda conocer las herramientas mediante la exploración e inmediatamente contruir y ponerle imaginación. En la WEB se encuentran un gran cantidad de tutoriales y ejemplos, aquí te presentamos una sintesis de la barra de herramientas en donde puedes localizar algunos de los aspectos de las mismas, también las puedes encontrar en la ayuda de la barra de menus.

La barra de herramientas del programa Cabri Geometry II Plus presenta por defecto 11 secciones agrupadas en 5 categorías:

Manipulación.

Apuntador: Señala y mueve.Giro: gira un objeto alrededor de su centro de gravedad o de un punto.Dilata y reduce: cambia el tamaño de un objeto alrededor de su

centro de gravedad o de un punto. Gira y dilata: Conjunta las dos anteriores.

Punto.Punto: Construye un punto cualquiera o sobre un objeto o sobre una intersección.Punto sobre un objeto: Construye un punto sobre un

objeto.Punto(s) de intesección: Construye los puntos de intersección de dos objetos.

Líneas.

Recta: Construye una recta con un punto y su dirección o con dos puntos.Segmento: Construye un segmento determinado por dos puntos.Semirecta: Construye una semirecta con su origen y su dirección o con dos puntos.Vector: Construye el vector determinado por dos puntos.Triángulo: Construye el triángulo determinado por tres puntosPolígono: Construye un polígono de n lados.Polígono regular: Construye polígonos regulares de hasta 30 lados.

Curvas.Círculo: construye el círculo con un centro y un punto que determina el radio.Arco: Construye un arco con tres puntos.Cónica: Construye una cónica

determinada por cinco puntos.

Construcciones.Recta perpendicular: Construye la recta que pasa por un punto y es perpendicular a una dirección.Recta paralela: Construye la recta que pasa por un punto y es paralela a una dirección.Punto medio: Encuentra el punto medio de dos puntos, un segmento o lado de un polígono.Mediatriz: Construye la

mediatriz de dos puntos, un segmento o lado de un polígono.Bisectriz: Construye la bisectriz de un ángulo definido por tres puntos.Suma de dos vectores: Suma dos vectores y origina la resultante a partir su origen.Compás: Construye el círculo definido por un radio.Trasferencia de medidas: Trasfiere una longitud determinada por un número, a una semirecta, un vector, un eje, un polígono o un círculo.Lugar: Construye el lugar geométrico de un objetoRedefinir un objeto: Modifica las propiedades geométricas de un objeto utilizadas al momento de construcción.

Trasformaciones.Simetría axial: Construye la imagen de un objeto en una simetría axial.Simetría central: Construye la imagen de un objeto en una simetría central.Traslación: Construye la imagen por traslación de un

objeto con respecto a un vector dado.Rotación: Construye la imagen de un objeto, marcando el centro y el ángulo.Homotecia: Construye una figura homotética a partir de la razón y el centro.Inversión: Construye la imagen de un círculo en una inversión.

Macros

Se utiliza para la creación de macros.

Propiedades¿Alineados?: verifica si tres puntos están alineados¿Paralela?: verifica si dos objetos son paralelas.¿Perpendicular?: Verifica si dos objetos son perpendiculares.Equidistante: Verifica si un punto

esta equidistante de otros dos.¿Pertenece?: Verifica si un punto pertenece a un objeto.

MedidasDistancia o longitud: Determina la distancia entre dos puntos, una longitud o un perímetro.Área: Determina el área de polígonos, círculos y elipses.Pendiente: Determina la pendiente de una recta, segmento, semirecta o vector.

Media de ángulo: Mide el ángulo definido por tres puntos, uno es el vértice.Coord. o Ecuación: Hace visibles las coordenadas de un punto o la ecuación de una recta, círculo o cónica.Calculadora: Hace visible una calculadora.Aplicar una expresión: Aplica una expresión a números de una figura.Tabla: Produce una tabla en la cual se pueden colocar números sucesivos surgidos de un objeto.

Texto y símbolosNombrar: Nombra un objetoTexto: Escribe un comentario.Número: Edita un valor numéricoExpresión: Edita una expresión para evaluarse posteriormente.Marcar un ángulo: Marca un ángulo definido por tres puntosFijar/Liberar: Bloquea o libera

un punto.Traza: hace visible la traza de un objeto.Animación: Anima un objeto.Animación múltiple: Anima varios objetos.

AtributosOcultar/Mostrar: Oculta y hace visible los objetos.

Color: permite cambiar el color de los objetos.Rellenar: Permite cambiar el color de los polígonos, círculos o un texto.Color del texto: Cambia el color del texto.Espesor: cambia el espesor de los objetos.Punteado: Modifica el punteado de un trazo.Aspecto: Cambia el aspecto de los puntos y las marcas.Mostrar los ejes: Muestra los ejes en el plano cartesiano.Nuevos ejes: Adiciona ejes.

ActividadesCon el propósito de conocer las herramientas del programa y lograr integrarlo como recurso didáctico en la práctica docente, realiza las actividades que se te piden y guárdalas en una carpeta con tu nombre para que sean evaluadas posteriormente:

1. Construye un cuadrado a partir de una de sus diagonales.

2. Construye un triángulo cualquiera y encuentra su incentro y su circuncentro y traza las circunferencias inscrita y circunscrita a ese triángulo.

3. Juega y construye. Trata de construir una bicicleta con las instrucciones siguientes:

Traza un punto O y una recta horizontal l que pase por O. De preferencia en la parte baja de la pantalla.

Coloca un punto sobre la recta l y etiqueta con móvil. Traza una recta perpendicular a l por móvil. Coloca un punto C sobre la recta perpendicular anterior. Traza una circunferencia con centro en C y radio hasta móvil. Mide desde O hasta móvil y trasfiere esa medida a la circunferencia

anterior, etiqueta con A. Simetría axial de A con respecto a Cmóvil. Etiqueta con A’. Simetría central de A’ y traza el segmento de A’ a su simétrico. Traza la mediatriz de ese segmento y encuentra sus intersecciones con

la circunferencia para trazar otro segmento. Si ocultas la mediatriz te quedan dos rayos de lo que será la rueda

trasera de la bicicleta, puedes agregar más rayos encontrándolos con la bisectriz del ángulo que forman los rayos ya trazados.

Oculta los trazos empleados para formar los rayos de la rueda. Traza un vector de O hasta un punto sobre l. realiza la trasferencia del

punto C, de la circunferencia y de los rayos con respecto a ese vector para formar la rueda delantera.

Localiza el punto medio entre los centros de las dos ruedas, traza un segmento de C al PM encontrado y una circunferencia con radio el segmento trazado y centro en C.

Traza otras dos circunferencias con el mismo radio que las demás, una con centro en el centro de otra rueda y otra con centro en el extremo de segmento que sirvió de radio y que no es C.

Localiza los puntos superiores de la intersección entre las tres circunferencias anteriores y úsalos para completar un paralelogramo que será el cuadro de la bicicleta.

Oculta las tres circunferencias anteriores. Encuentra el punto medio de la diagonal secundaria del paralelogramo

y el punto medio entre él y el vértice superior izquierdo.

Encuentra el simétrico de este último punto con respecto al vértice superior izquierdo.

Traza un segmento del último punto encontrado y el vértice inferior derecho del paralelogramo.

Encuentra el punto medio entre el centro de la segunda rueda y el vértice superior derecho del paralelogramo y el punto medio entre el obtenido y vértice superior derecho.

Encuentra el simétrico entre este último punto y el vértice superior derecho y traza un segmento del simétrico al centro de la rueda.

Traza la recta que pase por los dos puntos que se encuentran en la parte superior de la construcción (en donde se colocara el asiento y los manublios).

Traza una circunferencia con centro en el punto superior izquierdo (asiento) y radio hasta el vértice superior izquierdo del paralelogramo.

Traza un segmento entre los puntos de intersección de la circunferencia y la última recta trazada (asiento).

Traza de la misma forma una circunferencia en el punto superior derecho (manublios) pero el segmento trázalo del centro de la circunferencia a la intersección derecha de ésta con la recta y sobre la circunferencia un arco para completar los manublios.

Oculta la recta y las circunferencias. Ahora solo faltan los pedales y la cadena, constrúyelos y manipula el

movimiento de la bicicleta. Si lograste la construcción, ahora puedes ocultar puntos, etiquetas y

trazos auxiliares, además, cambiar los atributos de los trazos que quedaron para resaltar las partes de la bicicleta.

Como reto ¿Podrías poner al ciclista?... de tarea.

4. Estudia una ecuación polinómica de grado 3. Gracias a su sistema de ejes y a la herramienta expresión, Cabri II Plus

permite fácilmente tanto construir la gráfica de una función como de estudiarla.

En primer lugar, haga visibles los ejes de coordenadas, con [Atributos]Mostrar los Ejes .

Seguidamente, escribe la expresión correspondiente en la pantalla trabajo. Una expresión que se encuentre en la pantalla puede enseguida ser calculada para diferentes valores de sus variables. En éste caso, active [Texto y Símbolos]Expresión, e introduzca x^3 - 2*x + 1/2. Los nombres de las variables admitidas en las expresiones son las letras a,b,c,...,z.

Coloque un punto P sobre el eje de las abscisas (con la herramienta [Puntos]Punto ).

Obtenga sus coordenadas utilizando [Medida]Coordenadas o Ecuación y seleccionando P. El texto que muestra las coordenadas está inicialmente unido a P, y se desplazará con el punto. Con la herramienta [Manipulación]Apuntador, se pueden desunir las coordenadas del punto P y colocarlas donde quiera. Se puede igualmente reunirlas de nuevo aproximándolas al punto.

Calculemos enseguida el valor de f(x) donde x representa la abscisa de P. Para esto, active la herramienta [Medida]Aplicar una Expresión , y seleccione la abscisa de P en el texto que muestra sus coordenadas.

Transfiera a continuación este valor al eje de las ordenadas, con la herramienta [Construcciones]Transferencia de Medidas , seleccionando el valor a transferir y el eje de las ordenadas.

Es suficiente con construir paralelas a los ejes que pasen por estos dos puntos ([Construcciones]Recta Paralela ), y obtener en su intersección el punto M de coordenadas (x , f(x)). En caso de necesitarse mueve el P de manera de hacer visible el punto del eje de las ordenadas obtenido por transferencia de medidas.

La gráfica de la función se obtiene generando el lugar del punto M cuando P recorre el eje de las abscisas. Este lugar se construye con la herramienta [Construcciones]Lugar seleccionando M y luego P. A fin de encuadrar mejor la parte que nos interesa de la gráfica de la función, se puede desplazar el origen del sistema de coordenadas y las graduaciones, con deslizar-depositar el origen del sistema de coordenadas o cualquiera de las marcas de la graduación.

La gráfica de la función se obtiene generando el lugar del punto M cuando P recorre el eje de las abscisas. Este lugar se construye con la herramienta [Construcciones]Lugar seleccionando M y luego P. A fin de encuadrar mejor la parte que nos interesa de la gráfica de la función, se puede desplazar el origen del sistema de coordenadas y las graduaciones, con deslizar-depositar el origen del sistema de coordenadas o cualquiera de las marcas de la graduación.

Vamos a construir una aproximación de la tangente a la curva en un punto. Para h pequeño, se sabe que

. Desde el punto de vista

geométrico, esta aproximación consiste en tomar como dirección de la tangente en el punto de la curva de abscisa x, la dirección de la recta que une los puntos de abscisas x- h y x+ h.

Con la herramienta [Texto y Símbolos]Número , asigne un valor para h, por ejemplo 0.3, que conviene en este caso para estas construcciones. Se podrá luego editarlo para reemplazarlo por un valor más pequeño que dé una mejor aproximación.

Construya a continuación un punto A en el eje de las abscisas, y el círculo de centro A y de radio h. Este círculo se obtiene con la herramienta [Construcciones]Compás seleccionando h y luego A. Las dos intersecciones del círculo de centro A y de radio h con el eje de las abscisas tienen por abscisas x- h y x+ h, siendo x la abscisa de A.

Trace las tres rectas paralelas al eje de las ordenadas ([Construcciones]Recta Paralela ) y que pasen por los dos puntos de intersección, y el punto A. Las intersecciones de estas tres rectas con la curva producen los puntos B-, B, B+ de la curva, de abscisas respectivas x- h, x, y x + h.

Como la figura empieza a resultar un poco compleja, oculte los elementos que no sirvan más. Active la herramienta [Atributos]Ocultar/Mostrar , y seleccione los elementos a ocultar. En este caso, oculte P, M, las dos rectas de construcción de M, las coordenadas de P y la imagen de la abscisa de P por la función. Los objetos ocultos se ven punteados solamente cuando la herramienta [Atributos]Ocultar/Mostrar está activa. Para hacer visible un objeto oculto, es suficiente con seleccionarlo otra vez con esta misma herramienta.

Tomando las intersecciones del círculo de centro A y de radio h así como su centro se han construido los tres puntos de la curva de abscisas x-h, x, y x+h. La aproximación de la tangente en B es paralela a la recta B-B+ que pasa por B. Construya esta recta con la herramienta [Líneas]Recta luego la paralela con [Construcciones]Recta Paralela .

Oculte a continuación la recta B- B+ y los otros elementos de construcción para dejar visible solamente h, A, B y la tangente en B. Observe que el valor h=0.3 proporciona ya una muy buena aproximación de la tangente. Se puede no obstante mejorarla disminuyendo h, por ejemplo haciéndolo 0.0001. El desplazamiento del punto A sobre el eje permite determinar visualmente las tres raíces de la ecuación f(x)=0, los dos extremos locales de f, y el punto de inflexión de la curva. Las tres soluciones de f(x) pueden determinarse de forma aproximada.

5. Elabora la planeación de una clase que incluya la utilización del programa Cabri Geometry para que el alumno visualice representaciones del objeto matemático en estudio.

6. Elabora una hoja de trabajo para que el alumno con ayuda del programa Cabri Geometry, construya, manipule y haga conjeturas sobre las propiedades y/o características de un objeto matemático.

Hojas de trabajoPara asegurar el uso coherente de las tecnologías en el proceso de aprendizaje se recomienda el uso de las hojas de trabajo, como mediador entre el recurso tecnológico empleado y el estudiante, con la finalidad de que se cumplan los objetivos planeados en la actividad.Las hojas de trabajo se pueden estructura de muy variadas formas, dependiendo de la actividad, de los propósitos de la misma o de la herramienta tecnológica utilizada, en todos los casos, será la experiencia del profesor en el uso de la herramienta quien determina la manera de usarla. Se recomienda, sin que sea estricto, que la actividad contemple los siguientes apartados:

1. Objetivo2. Se plantea una situación problemática en un contexto real.3. Se formulan preguntas que ayuden a reflexionar sobre el problema o

contenido.4. Se plantean preguntas sobre los resultados.5. Se plantean retos.6. Trabajo extra.7. Discusión y conclusiones.