Integrales Impropias

Que es la integral impropia?

Una integral impropia es el limite de una integral definida cuando uno o ambos extremos del intervalo de integración se acercan a un número real específico, a ∞, ó a −∞. Además una integral definida es impropia cuando la función integrando de la integral definida no es continua en todo el intervalo de integración. También se pueden dar ambas situaciones.

b

a x dxf

Limites infinitos de integraciónLas integrales impropias más básicas son integrales como:

 éstas no necesitan ser definidas como una integral impropia, ya que pueden ser construidas como una integral de Lebesgue. Sin embargo, para propósitos de calcular esta integral, es más conveniente tratarla como un integral impropia, i.e., evaluarla cuando el límite superior de integración es finito y entonces coger el límite ya que este límite se acerca a ∞. La primitiva de la función que está siendo integrada es arctan x. La integral es

por lo que el área bajo la curva nunca puede ser definida de forma verdadera

Carácter y Valor de las Integrales Impropias

Si la integral que nos ocupa es de fácil resolución podemos determinar su carácter mediante el cálculo de la integral impropia. Según el resultado que obtengamos sabremos si es convergente o divergente.

A continuación veremos un breve ejemplo de los 3 casos

Dada la Interal se pueden presentar tres casos:Si el limite superior se convierte en mas infinito (b = + ), nos queda

Si el límite inferior se convierte en infinito (a = - ), nos queda

Si ambos límites se convierten en infinito ( b = + ) y ( a = - ), debemos recordar que el intervalo de integración son todos los reales, por lo tanto se puede dividir en una serie de intervalos, integrar y luego sumar cada uno de ellos. En este caso lo dividimos en dos intervalos para no hacer tan tedioso el cálculo, tomamos un valor “c” como punto intermedio, de tal manera que “c” esté dentro del intervalo (- , + ). Para simplificar los cálculos, se escoge el valor c = 0.

Esto ha sido todo, espero que les sirva de ayuda.