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Teorema de Pitágoras: la demostración del
presidente. por José Acevedo Jiménez.
El teorema de Pitágoras, ese que afirma que: el cuadrado de la hipotenusa,
en todo triángulo rectángulo, es igual a la suma del cuadrado de los catetos,
tiene una gran cantidad de demostraciones. Algunas son verdaderas joyas de
las matemáticas. Para empezar, aunque lo conocemos con el nombre del
icónico matemático, Pitágoras no fue el primero en presentar una
demostración del teorema que se cumple para todo triángulo rectángulo.
La “verdad demostrable” de Pitágoras supera por mucho el centenar de
demostraciones. Muchas son algebraicas, otras son geométricas, en fin, hasta
los vectores han sido de utilidad para demostrar el milenario teorema. Sin
embargo, pese al gran número de demostraciones, algunas, por su elegancia y
simpleza, merecen nuestra atención y, la demostración del presidente es una
de ellas. Pero, antes de iniciar, hablaremos un poco sobre el hombre que nos
legó tan fascinante demostración.
Fuente de la imagen: wikimedia.org
James A. Garfield (1831 – 1881) fue el vigésimo presidente de los Estados
Unidos de América. Nació en Orange, Ohio, el 19 de noviembre de 1831. Se
convirtió el segundo presidente, de la mencionada nación, en ser asesinado
antes de cumplir su mandato presidencial (Abraham Lincoln fue el primero).
Aunque Garfield pasó a la posteridad por haber alcanzado la Casa Blanca, no
vamos hablar del hombre de política, pues, Garfield tenía otra faceta, la de
matemático aficionado. He aquí la demostración del presidente:
Dado un trapecio de altura ( ), y bases y (ver imagen), se puede
demostrar el teorema de Pitágoras. En la imagen podemos notar que dicho
trapecio está compuesto por tres triángulos rectángulos, de los cuales dos son
iguales.
Fuente de la imagen: wikimedia.org
El área de un trapecio es igual a un medio d la suma de las dos bases
multiplicado por la altura. En este caso:
.
El mismo resultado lo podemos obtener si sumamos las aéreas de cada uno de
los triángulos que conforman el trapecio. De esta forma tenemos que:
, entonces:
Multiplicando ambos miembros de la igualdad por 2, nos queda:
Expandiendo el dado izquierdo tenemos:
Finalmente, restamos en ambos lado de la igualdad y… ¡Eureka!
