LA ENSEÑANZA DE LA PROBABILIDAD EN

EDUCACIÓN PRIMARIA

Rafael López Azuaga. 2º de Educación Primaria.

1-Ideas principales y opinión argumentada sobre esta propuesta de F. Rubio Vecino

Tras leer detenidamente cada punto, he sacado que las ideas principales sobre la propuesta de secuencia didáctica para desarrollar las primeras ideas de probabilidad creada por el Sr. Rubio son las siguientes:

1-Comenzar por dejarles claros a los niños que no son iguales todos los experimentos. Hay experimentos en los que sabemos fijo que va a ocurrir y otros en los que no sabemos con seguridad que puede ocurrir. El niño tiene que saber identificar cada tipo de experimento antes de ponerse a estimar probabilidades. En uno en que el que sabemos con seguridad que es lo que va a ocurrir, pues la probabilidad será segura y no puede comerse el coco pensando otras posibilidades.

2-Tras dejar claro el primer punto, realizar experimentos en donde no sabemos qué va a ocurrir ( lo que se conoce como experimento aleatorio ) y que los niños sepan distinguir cada resultado posible, diferenciando unos de otro en el caso de que sean parecidos ( por ejemplo, salen como resultados 3 y 4 y luego salen 4 y 3, pueden pensar que es un mismo resultado pero no lo es porque el orden ha sido diferente ). En conclusión, se trata de distinguir los posibles sucesos elementales de un experimento.

3-Aplicar la conversión de un experimento real a una simulación, de forma que empleando otras reglas y otros recursos, pueden representar un experimento diferente con todos sus posibles resultados y respetando las probabilidades de cada resultado posible.

4-Aplicar nuevas situaciones a los experimentos anteriores, de forma que tras probar el experimento original, al variar las reglas sepan como resolver el experimento. De esta forma, dejamos claro cuando un seceso es imposible, posible o incluso seguro.

5-Registrar los resultados de un experimento en tablas en donde aparezcan por un lado la frecuencia absoluta ( el número de veces que ha salido un resultado determinado durante la realización de un experimento ) y por otro la frecuencia relativa ( la relación entre las veces que ha salido un resultado y el número de veces que se ha realizado el experimento ). De esta forma y poco a poco aumentando el número de veces en que se realiza el experimento y comparando los resultados en cada proceso de experimentación ( en un proceso aparece un número de veces en que se ha realizado el experimento, pues un proceso diferente sería otra tanda de veces que se ha realizado dicho experimento pero independiente de la anterior ), podemos hacernos una idea de la probabilidad que tiene cada resultado de salir, independiente del número de veces que se haga el experimento.

6-Traducir las frecuencias relativas a probabilidades, sabiendo establecer comparaciones entre ellas, deduciendo qué probabilidad es mayor que otra, sea en el mismo experimento o en otro experimento diferente en donde aparezcan los mismos sucesos ( en otro experimento puede que la probabilidad de que salga un suceso determinado cambie por algún motivo determinado ).

Siguiendo este proceso, el niño pasa de tener claro qué es un experimento aleatorio hasta dejar zanjado el concepto de probabilidad y saber trabajar con ellas.

Estoy conforme con la propuesta que ha ideado el Sr. Rubio, ya que va de menos a más en el concepto de fracción. Vemos como primero hace que el niño detecte qué es un experimento aleatorio, en donde puede haber más de un resultado con una determinada probabilidad de salir, luego que no siempre todas las probabilidades son iguales para cada resultado ( un resultado puede tener más posibilidades que otro resultado de salir ), saber como aplicar un experimento real a una forma de representarlo en el aula o en cualquier sitio, saber establecer relaciones entre los resultados que han salido y el número de veces que se ha realizado el experimento y por último relacionarlo con el concepto de probabilidad, diferenciando entre una y otra para saber cual es mayor y cual menor.

Yo siempre digo que todo debe de enseñarse de menos a más. Hasta que no dejemos claro un concepto básico, no podemos pasar a otro puesto que no se entendería. Las probabilidades son un tema de las matemáticas bastante bonito e importante en nuestra sociedad, pero no por ello son fáciles. Si de repente el profesor pasa a explicar el concepto de probabilidad, señalando la regla de Laplace, el niño puede tener bastantes confusiones. ¿Y eso para qué es? ¿Por qué existe eso? ¿De dónde ha procedido? Esto les ayudará a entender mejor los conceptos matemáticos. Ya he llegado a decir que las matemáticas deben entenderse desde todas sus posibilidades de resultado, nunca memorizando datos y algoritmos sin entender. El hecho de poder hacer simulaciones permite que podamos hacer con los niños experimentos que tal vez en el aula no podamos hacer o resultarían más pesados de hacer. Por ejemplo, usando el método de Montecarlo ( consistente en la tabla de números aleatorios ), representar la tirada de una moneda. En vez de tirar muchas veces la moneda y apuntar que ha salido, mediante la tabla de números aleatorios podemos ir señalando cuando ha salido cara y cuando cruz, repartiendo los números de forma que coincidan con sus proporciones de resultados ( si una probabilidad es mayor que otra, le corresponderán más números a dicha probabilidad de una forma que esté proporcionada ).

Como docente, propondría diversas experiencias aleatorias de forma que el niño conozca varias de ellas y así les quede más claro el concepto de experiencia aleatoria, mezclándola con alguna determinista para “pillarle”. Dejaría que los niños reflexionasen primero sobre lo que tienen delante, que piensen qué tiene más probabilidad de salir,...para ello, no deben de conocer todavía la regla de Laplace. Primero quiero que descubran por ellos mismos el concepto de probabilidad y que examinen cada caso. En el caso de una moneda, como tiene dos caras, pensarán que puede salir o una u otra dependiendo del azar. Pero por ejemplo si les damos una urna y les metemos tres bolas y dos son azules y una roja, ya ahí pueden pensar un poco más. Siempre que hiciéramos simulaciones, las haría en grupo de forma que todos los niños participasen en la simulación y así prestarían atención, aparte de acostumbrarles a trabajar en equipo. De esta forma, lo tomarían como un juego y sería más divertido. Por ejemplo, simular en el aula qué patos han muerto al haber sido alcanzados por los cazadores puede parecerles original, sobretodo si a un niño le asignamos el papel de un cazador. Además, luego tras jugar a estas simulaciones, les daría una breve charlita amena sobre la importancia de las probabilidades en nuestra vida cotidiana. Yo siempre cuando enseño algo, quiero que mis alumnos sepan su utilidad, que no se ha inventado solamente para que nos amarguemos al estudiarlas. Si les hacemos ver la importancia que tienen, podemos motivarles para que las estudien ya que pensarán: “esto me puede venir bien”.

A continuación vienen las actividades propuestas. No he usado ninguna referencia bibliográfica para realizarlas.

2-Planteamiento de tres situaciones para Primaria que dan lugar a la distinción entre experimentos aleatorios y experimentos deterministas

Para esta actividad, he planteado tres situaciones en donde en cada una hay un experimento aleatorio y un experimento determinista, siempre ambientados ambos experimentos en el mismo contexto. Lo he hecho así para que un niño aprenda a detectar ambos experimentos en una misma experiencia o lugar: la cocina, la tienda, el dormitorio, la escuela,...De esta forma, el aprendizaje tiene más sentido y les ayudamos a que no siempre en un solo contexto se da una sola, sino pueden darse los dos tipos de experiencias.

>Situación 1:

A-Tenemos una moneda. La lanzamos al aire. ¿Es seguro de que vaya a caer al suelo, teniendo en cuenta que yo me voy a quedar quieto?

B-Tenemos una moneda. La lanzamos al aire. ¿Es seguro de que, al caer en el suelo, salga cruz?

En esta situación, el experimento se realiza con una moneda. Dependiendo de la pregunta, un resultado puede salir con seguridad siempre y otro pues puede que no. Por la ley de gravedad, al lanzar la moneda al aire caerá al suelo. Ya señalamos que yo me iba a quedar quieto, así que no haría nada para evitar de que cayera al suelo. Por ello, es seguro de que la moneda caiga al suelo. Pero en el siguiente caso, no es seguro de que salga cruz porque puede salir otro resultado: cara. La gravedad no influye a la hora de decidir que salga un resultado fijo, sino que esto es aleatorio. Por tanto, los niños distinguirán que el caso A es un experimento determinista y que el caso B es un experimento aleatorio.

>Situación 2:

A-Estamos en la cocina. Hemos puesto a hervir una cacerola con leche. Nos despistamos. ¿Es seguro que llegará un momento en el que la leche se evaporará?

B-Necesitamos un poco de sal. Nos hemos dado cuenta de que las especies y las sales no tienen nombre. Tenemos cinco frascos: dos con sal, uno con pimienta, dos con orégano y uno con pimentón. ¿Es seguro de que vayamos a acertar y coger a la primera un frasco con sal?

El primer caso, por leyes físicas, no podremos evitar que la leche se evapore si nos despistamos el suficiente tiempo para que ocurra. Pero en el segundo caso, al no tener ningún nombre los frascos, no sabremos con seguridad si vamos a acertar y coger un frasco con sal a la primera, puede que cojamos el de pimienta, el de pimentón o uno con orégano. Por tanto, el caso A es determinista ( seguro sabemos el resultado: se evaporará ) y el caso B es aleatorio ( no sabemos si a la primera cogeremos uno de sal, o a la segunda, o a la tercera,... ).

>Situación 3:

A-Hemos comprado una bolsa de gominolas de diferentes sabores en la tienda de chucherías. Están todas mezcladas. ¿Es seguro que, al coger una, saquemos fijo una de fresa?

B-Vamos a una tienda de chucherías. Nos hemos comprado una chocolatina y en la etiqueta pone “chocolate”. ¿Es seguro que al abrir la tableta, dentro haya chocolate?

En el primer caso, al haber diferentes sabores, con seguridad no sabemos si a la primera vamos a sacar una gominola de fresa así al azar. Puede darse el caso de que saquemos una de naranja o una de menta o una de limón ( por mencionar algunos posibles sabores ). En el segundo caso, evidentemente, se da por hecho de que hay chocolate dentro de la tableta ya que todos los factores están a su favor. El caso A es un experimento aleatorio, puesto que no sabemos si saldrá una gominola de fresa a la primera al haber muchas posibilidades mezcladas. El caso B es un experimento determinista ( fijo que saldrá chocolate sin ninguna duda, sino habría que denunciar al dependiente o a la empresa de la marca de las chocolatinas ). Esta vez he variado el orden de cuando aparece un tipo de experimento u otro para que el niño no se piense que siempre el experimento determinista es el que aparece en primer lugar. Sino, cuando le propongamos más ejemplos, en lugar de fijarse en el experimento en sí pues se fijará en la posición que ocupa éste, con lo que el aprendizaje sería nulo.

3-A jugar con la baraja de cartas

>”La baraja aritmética”

En este juego pueden jugar dos o más jugadores. Cogemos una baraja española. Tenemos que tener en cuenta que los números que hay en cada tipo de carta ( bastos, espadas, oro y copas ) son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12. Cada jugador debe tomar dos cartas. Para ello uno de los jugadores desordena las cartas y las pone bocabajo formando una especie de escalera. Un jugador coge dos cartas al azar y se las queda. Otro jugador hace los mismo y así con todos. Sin mirar, colocan una a la izquierda y otra a la derecha. Levantan sus cartas a la vez. Quien tenga la carta más mayor en la de la derecha, ese ha ganado. En el caso de que coincida alguno, dependerá del tipo de carta que posea en dicha carta de la derecha. El oro vale más que el basto, éste que la espada y ésta que la copa. Como no pueden haber dos cartas con el mismo número que sean del mismo tipo, resulta sencillo así distinguir al ganador. En este caso, todos los posibles resultados serían sucesos elementales.

Ahora vamos a variar las reglas del juego: tras sacar la pareja de cartas de la misma forma en que lo hicimos en la parte anterior, ahora tenemos que sumar los resultados de nuestras cartas. Hay números que tienen más probabilidades de salir que otros. Por ejemplo, que salga el 7 puede ser de la siguiente forma: 1+6, 6+1, 2+5, 5+2, 4+3, 3+4. Habrá sucesos que son imposibles. Por ejemplo, un suceso imposible sería sacar como resultado de la suma de dos números un 1. La carta más pequeña es un 1, por lo tanto como mínimo la suma ha de salir 2. Un suceso seguro es que vaya a salir un número mayor que 1. Gana aquel que tenga la mayor suma en su haber. En el caso de que haya jugadores que tengan la misma suma en su haber, para ganar esta vez,

teniendo como referencia lo que hicimos antes, sería lo siguiente: aquel en el que el segundo sumando sea mayor que el primer sumando, ese habrá ganado. Si a alguno le coincide esto, quien tenga el tipo de carta más mayor en la de la derecha ( ver los valores que le di anteriormente a cada tipo ), ese habrá ganado. Como vemos, poco a poco vamos descartando sucesos posibles para que solamente un solo suceso sea el que proclame ganador al que le haya tocado dicho suceso.

4-Simulación de un experimento aleatorio

La hucha de Manolito tiene 20 monedas. Hay tanto monedas de euro ( 1 o 2 euros ) como monedas de céntimo ( 1, 2, 5, 10, 20, 50 ). En total hay 13 monedas de céntimo y 7 de euro. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una moneda, nos salga de euro o de céntimo?

Cogemos un cuchillo y sacamos una moneda. Apuntamos a que tipo pertenece y la devolvemos a la hucha. Así lo hacemos 30 veces. Vamos apuntando los resultados en una tabla. Como son dos tipos, podemos hacer una tabla de recuento de datos normal y corriente. Imaginemos que hemos sacado 30 veces una moneda y nos han salido estos resultados:

TIPO DE MONEDA FRECUENCIA ABSOLUTA

FRECUENCIA RELATIVA

Céntimo 18 18/30Euro 12 12/30

En esta primera prueba que hemos hecho, nos han salido más veces una moneda de céntimo que una de euro. Por tanto, la probabilidad de que salga una moneda de céntimo es mayor que la de sacar euro.

Ahora hagamos otra segunda prueba, ampliando el número de veces en que repetimos la experiencia pero esta vez hagamos una simulación. Al principio he hecho la representación real para que vean los niños como se haría. Ahora utilizaré otro método. Usaré el método de Montecarlo, la que consiste en los números aleatorios. Tenemos que distribuirlos de la misma proporción que posee en la vida real las probabilidades. Como son 20 monedas, para evitar problemas, podemos asignar números de dos cifras a una sola moneda de la siguiente forma:

1-Multiplicamos por dos cada valor ( numerador y denominador ) hasta llegar a tener el 100 en el denominador ). Nos sale que como mucho, para que se cumplan las probabilidades, el denominador ha de encontrarse en el 80. Así que solamente cogemos los números del 01 al 80. Los números del 81 al 00 los tachamos. La distribución, para que sea proporcional, es la siguiente:

01 al 52 = céntimo; 53 al 80 = euro.

Cogemos dos filas de números aleatorios para que nos salga que hemos sacado una moneda más de 30 veces:

72771 11672 67492 42904 64647 94354 45994 42538 54885 15983

38472 43379 76295 69712 33567 82313 87631 03197 02438 12374

Cogiendo los números de dos en dos y descartando lo que dijimos, sale lo siguiente: euro, euro, céntimo, céntimo, euro, euro, céntimo, céntimo, céntimo, céntimo, euro, euro, euro, céntimo, euro, céntimo, NULO, céntimo, céntimo, céntimo, euro, NULO, céntimo, euro, NULO; céntimo, céntimo, céntimo, céntimo, euro, euro, céntimo, euro, NULO, céntimo, céntimo, euro, euro, céntimo, céntimo, NULO, euro, céntimo, céntimo, NULO, céntimo, céntimo, NULO, céntimo, euro. A continuación hacemos una tabla de recuento como la que hicimos en la primera prueba:

TIPO DE MONEDA FRECUENCIA ABSOLUTA

FRECUENCIA RELATIVA

Céntimo 26 26/43Euro 17 17/43

De nuevo nos vuelve a salir que la probabilidad de sacar una moneda de céntimo es mayor que la de euro. Probemos a hacer otra prueba, pero esta vez que sean 50 veces y usaremos una ruleta. La ruleta tendrá dos colores: el rojo y el azul. No pueden tener el mismo tamaño cada color, puesto que no existe en la hucha el mismo número de monedas de céntimo que de euro. Tenemos siempre que respetar la misma proporción de resultados. Para ello, nos basamos en que la ruleta tiene 360º, al ser un ángulo completo. Repartiremos los ángulos de la ruleta según la cantidad de monedas, haciendo una sencilla regla de tres:

“Si 20 monedas equivalen a 360º, entonces 13 monedas equivaldrán a 234º”“Si 20 monedas equivalen a 360º, entonces 7 monedas equivaldrán a 126º”

Creamos dos placas de colores: una roja con un ángulo de 234º y otra azul con un ángulo de 126º. La roja equivale a las monedas de céntimo y la azul equivale a las monedas de euro. Se trata ahora de girar la ruleta 50 veces y en la zona en donde caiga la flechita que poseen las ruletas para marcar donde se ha quedado cuando se ha acabado de girar, pues indicará si hemos sacado una moneda de céntimo o una moneda de euro. Para que sea divertido, podemos dejar que cada niño gire una o dos veces la ruleta y un niño que vaya apuntando en la pizarra qué es lo que ha salido. Si no poseemos ninguna ruleta, podemos reemplazar esto por la calculadora. La calculadora posee una tecla llamada “Ran#”, en donde van apareciendo números aleatorios, al azar. Es como la tabla de antes, pero más rápida y nunca salen los mismos números ( en la tabla una fila es fija siempre, en la calculadora va variando continuamente las combinaciones ). Una vez más, potenciamos la utilidad del uso de la calculadora en Educación Primaria. Lo haremos siguiendo la misma ordenación de números que seguimos la anterior vez, pero esta vez señalando además el color de la ruleta ( del 01 al 52 la roja, del 53 al 80 la azul ). Cogemos las dos primeras cifras que vienen después de la coma. Le damos a las teclas “Shift” y “Ran#” y luego continuamente a la tecla “=” y vamos representando los resultados:

0,739 = Azul 0,65 = Azul0’005 = Roja 0,963 = Nula0,129 = Roja 0,153 = Roja0,989 = Nula 0,536 = Azul0,755 = Azul 0,334 = Roja

0,381 = Roja 0,701 = Azul0,777 = Azul 0,124 = Roja0,876 = Nula 0,869 = Nula0,148 = Roja 0,994 = Nula0,418 = Roja 0,867 = Nula0,633 = Azul 0,959 = Nula0,562 = Azul 0,071 = Roja0,945 = Nula 0,641 = Azul0,757 = Azul 0,765 = Azul0,425 = Roja 0,598 = Azul0,779 = Azul 0,773 = Azul0,921 = Nula 0,791 = Azul0,187 = Roja 0,213 = Roja0,303 = Roja 0,906 = Nula0,969 = Nula 0,84 = Nula0,297 = Roja 0,33 = Roja0,837 = Nula 0,606 = Azul0,254 = Roja 0,956 = Nula0,861 = Nula 0,994 = Nula0,81 = Nula 0,87 = Nula

Hagamos otra tabla de recuento de datos como las anteriores:

TIPO DE MONEDA FRECUENCIA ABSOLUTA

FRECUENCIA RELATIVA

Céntimo 16 16/32Euro 16 16/32

En este caso, descartando los casos en que no nos ha salido moneda, casualmente nos ha salido el mismo número de monedas de céntimo que de euro. Si comparamos las tres tablas de recuento realizadas, vemos que las monedas de céntimo poseen más probabilidades de salir que las de euro.

Mediante muchas formas, podemos simular experimentos aleatorios de una forma amena y divertida para los niños. La cuestión es organizar el aula de forma que todos vayan colaborando entre sí. Por ejemplo, en la tabla de números aleatorios podemos hacer que cada niño diga una combinación de dos cifras y la vamos apuntando, según nos diga él si pertenece a las monedas de céntimo, a las de euro o si es nula. Con la ruleta ya comentamos que lo ideal sería que fueran girándola y diciendo el color y la moneda a la que pertenece. Y ya en la representación real, que entre todos dijeran el tipo de moneda en cuanto el profesor la sacara de la hucha. De esta forma, los niños atienden en clase, se divierten y no se pierden en la actividad.

5-Comparación de probabilidades en la situación propuesta de las 3 urnas

Aparecen tres urnas con las siguientes bolas:

Urna A: 1 bola negra y 3 bolas blancasUrna B: 3 bolas negras y 2 bolas blancas

Urna C: 1 bola negra y 2 bolas blancas

1-¿En cuál de las tres urnas hay mayor probabilidad de sacar una bola blanca?

Establezcamos las probabilidades de cada urna en cuanto al suceso “sacar bola blanca”:

Urna A = ¾ ; Urna B = 2/5 ; Urna C = 2/3

Comparemos las probabilidades usando la propiedad de los productos cruzados. Comparamos cada urna, una con cada una. Aquella que al aplicarse esta propiedad tenga el mayor resultado, esa es la fracción más grande y por tanto la que posee mayor probabilidad:

¾ y 2/5 → 15 y 8; ¾ y 2/3 → 9 y 8; 2/5 y 2/3 → 6 y 10

Por tanto, la probabilidad de sacar una bola blanca es mayor en la urna A, seguida de la urna C y por último la urna B.

2-¿En qué urna hay más probabilidad de que, si sacamos dos bolas, una salga negra y la otra blanca?

Para que no nos mareemos, hagamos la distribución de probabilidades en cada urna. B corresponderá a blanca y N a negra, para que así se me entienda:

Urna A: NB, NB, NB, BN, BN, BN, BB, BB, BB, BB, BB, BB ( salen repetidas porque, por ejemplo, hay tres blancas, y cada negra puede ir emparejada con cualquier blanca y

puede darse el caso de que se saquen las mismas pero en diferente orden, con las blancas igual: la blanca 1, la blanca 2 y la blanca 3 ).

Urna B: NN, NN, NN, NN, NN, NN, NB, NB, NB, NB, BN, BN, BN

Urna C: NB, NB, BN, BN, BB, BB

Contemos los resultados:

Urna A: 6 sobre 12; Urna B: 7 sobre 13; Urna C: 4 sobre 6

Aplicamos la propiedad de los productos cruzados y comprobamos que en la urna C hay más probabilidades de que salga una bola negra y una bola blanca, seguida de la urna B y acabando la urna A.

3-¿En qué urna hay más probabilidad de sacar las tres bolas blancas?

Antes que nada, miramos las bolas blancas que hay en cada urna. Solamente tiene tres bolas la primera urna, con la que definitivamente solamente podemos sacar tres bolas blancas de esa, en el resto como mucho podremos sacar dos. A veces con solo observar un poquito, ya tenemos el resultado del problema, por eso he planteado esta cuestión.

Regla de Laplace = nºcasos posibles/nºcasos totales