La Integral Definida

• Curso: Cálculo Integral CB131U

• Prof: Peña Quiñones, Celestina

• FIIS - UNI

La integral DefinidaEl símbolo de Sumatoria

Definición.- Dado n números reales , para expresar la

suma de éstos números se emplea el símbolo y se lee como la suma de los desde hasta , i.e

Ejemplo.- La suma de los primeros n enteros se expresa como

igualmente la suma de los cuadrados de los

primeros n enteros es

naa ,,1

n

iia

1ia 1i ni

nin

i

11 22

1

2 1 nin

i

n

n

ii aaa

1

1

Propiedades de la Sumatoria

1. Ley conmutativa

n

kkn

n

kk aa

11

1

2.

n

kk

n

kk acca

11

3. Ley distributiva

n

kk

n

kk

n

kkk baba

111

4.

n

k

cnc1

5. Propiedad Telescópica 01

1 aaaa n

n

kkk

Algunas veces se expresa como kfak ka

Por medio de éstas propiedades se pueden obtener fórmulas para:

n

k

k1

,

n

k

k1

2

,….,

n

k

nk1

Así tenemos que

n

k

nnk

12

1 ,

n

k

nnnk

1

2

6

121,

2

1

3

2

1

n

k

nnk

Particiones, Suma superior y Suma inferior

Partición.- Dado un intervalo [a, b], donde a<b, el conjunto de

puntos recibe el nombre

de partición del intervalo dado. Geométricamente tenemos:

bxxxabaxP ni 10/,

0xa 1x ix1ix bxn

Toda partición P de un intervalo [a, b], divide a éste en n sub-intervalos no necesariamente de igual longitud nixx ii ,,1,,1

La longitud del i-ésimo sub-intervalo se denota por

y la longitud de la partición P se denota por

nixxx iii ,,1,1

nixP i ,,1/max

Partición Regular.- Dado un intervalo [a, b] una partición P se dice que es regular si todos los sub-intervalos tienen la misma longitud. Para una partición con n+1 puntos, la longitud de cada sub-intervalo se denota por es decir, [a, b] se divide en n partes iguales,

siendo los puntos de la partición:n

abxi

nin

abiaxi ,,1,

Refinamiento de una partición.- Dado una partición P de [a, b], ésta se puede hacer más fina agregando mas puntos. Si P1 se obtiene de P añadiendo por lo menos un punto, entonces 1PP

Ejemplos.- Para el intervalo [0, 4] los siguientes conjuntos representan particiones:

P1 = { 0, 1, 2, 3, 4}, P2 = { 0, 1, 3/2 ,4}, P3 = { 0, 2, 5/2, 3, 7/2, 4},

P4 = { 0, 1, 3/2, 2, 3, 7/2, 4}

Siendo P4 un refinamiento de P1,

Función Acotada

Una función se dice que es acotada sobre un intervalo [a, b], si existen números reales m, M tales que

Dada una partición P de [a, b], y f una función acotada sobre [a, b],

entonces f es acotada sobre cada sub-intervalo en consecuencia números reales mi, Mi tales que

verificándose la desigualdad

:f baxMxfm ,,

nixx ii ,,1,,1

iii xxxxfm ,/inf 1

iii xxxxfM ,/sup 1

niMMxfmm ii ,,1,

NOTA.- Si la función f es continua sobre [a, b], entonces

Mi = valor máximo de f sobre [a, b] y mi = valor mínimo de f

Suma superior y Suma inferiorDada una partición P del intervalo [a, b] y f una función acotada sobre éste intervalo, la suma superior de f con la partición P se denota por SS(f, P) y se define mediante:

Análogamente la suma inferior de f con P se denota por SI(f, P) y se define mediante:

n

kkkk xxMPfSS

11,

n

kkkk xxmPfSI

11,

Ejemplos.- Hallar la suma superior y la suma inferior de las siguientes funciones.

1. f(x) = x2 sobre [-6, 6], a) tomando una partición regular de longitud 2, b) tomando la partición P = {-6, -4, -3, -1, -0.5, 0.5, 2, 3, 5, 6}

2. f(x) = x3 sobre el intervalo [-4, 6]

3. f(x) = [x] sobre el intervalo [-5, 4]

Solución: En la solución de éstos ejemplos debemos tener en cuenta que las funciones son continuas, y los intervalos donde crece o decrece

ya que: mi = f(xi-1), Mi = f(xi) si la función es creciente, caso contrario si fuera decreciente.

ix

ixf

-6 -4 -2 0 2 4 6

36 16 4 0 4 16 36

)16400416(2, PfSI

)3616441636(2, PfSS

OBSERVACION.- Como y

sumando esta desigualdad desde i = 1 hasta i = n se obtiene

(*)

Donde es el conjunto de todas las posibles particiones de [a, b]

niMMxfmm ii ,,1, 01 ii xx

PabMPfSSxxxfPfSIabm ii

n

i

,,, 11

Ya que (*) se cumple para elemento de , se generan dos conjuntos acotados de números reales

PPfSI /, PPfSS /,y

Integral superior e integral inferior

Integral superior de f sobre el intervalo [a, b] denotado por

Integral inferior de f sobre el intervalo [a, b] denotado por

PPfSIfb

a/,sup

PPfSSfb

a/,inf

Definición.- Una función acotada sobre [a, b] se dice que es integrable según Reimann, si las integrales superior e inferior coinciden

lo que se denota por:

Y se lee como la integral definida de la función f desde a hasta b.

La integral definida es un número real que se obtiene poniendo juntas partes de algo conocido como proceso de integración, el cual se simboliza por una S alargada

:f

b

adxxf

ix ix1ix 1ix 'ix

Lema.- Si P1 , P2 son dos particiones del intervalo [a, b] tales que , entonces para toda función f acotada sobre [a, b] se cumple:

1.

2.

21 ,, PfSIPfSI

21 ,, PfSSPfSS

21 PP

Teorema 1.- Si f es una función acotada sobre [a, b] , entonces

abMdxxfdxxfabmb

a

b

a

Teorema 2.- Si f es integrable sobre [a, b] entonces

PabMPfSSdxxfPfSIabmb

a,,,

NOTA.- Como entonces

Es decir con un error máximo de

PfSSdxxfPfSIb

a,,

PfSIPfSSPfSIPfSSdxxfb

a,,

21

,,21

SISSdxxfb

a 2

1 SISS

21

Ejemplos.- Suponiendo que las siguientes funciones son integrables. Hallar un valor aproximado de:

1.

a) Una partición regular de longitud 1

b) Con la partición P = {0, 0.5, 1, 1.5, 2, 3, 3.5, 4, 5}

2. con una partición regular de longitud 15°

3. con una partición regular de longitud 0.5

5

0 21

1dx

x

20

2cos1 dxx

dxx3

3

3

Solución 1 a:

ix

ixf

0 1 2 3 4 5

1 0.5 0.2 0.1 0.05 0.03

35.11

15

0 2

dxx

con un error máximo de 0.22, ya que

Teorema 3.- Toda función f acotada sobre [a, b] es integrable sobre éste intervalo, sí y sólo si para tal que P,0 PfSIPfSS ,,

Teorema 4.- Toda función f continua sobre [a, b] es integrable sobre éste intervalo.

Teorema 5.- Si f es una función continua sobre [a, b], entonces para

cada , y todos los

b

a

n

iiii xxxfdxxf

11

*

iii xxx ,1*

0 PP /

OBSERVACION.- Por el teorema anterior, la integral definida se puede

expresar como:

En particular, si P es una partición regular con n+1 puntos, entonces

es equivalente a y como

xi* podría ser uno de los extremos del i-ésimo intervalo, i.e

ó de modo que

b

a

n

iiii

Pxxxflímdxxf

11

*

0

0, Pnab

P n iii xxx ,1*

abni

axi * abni

axi 1*

b

a

n

in nab

abni

aflímdxxf1

b

a

n

in nab

abni

aflímdxxf1

1

Area bajo una curva

Se conoce como área bajo la curva y = f(x), al área de la región acotada por las rectas x = a, x = b, el eje X y la gráfica de la función y = f(x).

a) Si sobre el intervalo [a, b], entonces el área de la región es

b) Si sobre el intervalo [a, b], entonces el área de la región es

Ejemplos.-

A. Mediante el límite de una suma hallar el área bajo las siguientes curvas:

1. y = x2, para x en el intervalo [- 4, 2]

2. y = 3 + 2x - x2, para x en el intervalo [-1, 5]

3. para x en el intervalo [-5, 3]

b

adxxfRA

0xf

b

adxxfRA

0xf

0,12

0,19

2

2

xsix

xsix

xf

B. Expresar como una integral definida las siguientes sumas

1.

2. P una partición de [1, 3]

3.

4.

5. P una partición de [0,1]

6. P una partición de [-2, 6]

n

in ni

ninlím

13

3

n

i i

ii

P x

xxlím

12

1

1

0 1

n

in inn

inlím

133

2

4

4

n

in in

ilím

122

n

iii

Psenxsenxlím

11

0

n

iii

Pxxlím

1

21

2

0

PROPIEDADES BASICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA

1. Si f es una función constante sobre [a, b], entonces

2. Si f es integrable sobre [a, b], entonces cf es integrable sobre [a, b]

3. Si f es integrable sobre [a, b], y , entonces f es integrable

sobre [a, c] y sobre [c, d], además

4. Si f , g son integrables sobre [a, b] , entonces es integrable

5. Si f , g son integrables sobre [a, b], entonces

b

aabcc

b

a

b

afccf

b

a

b

c

c

afff

b

a

b

a

b

agfgf

b

a

b

agf

bac ,

gf

gf

PROPIEDADES ……….. (continuación)

6. Si f es integrable sobre [a, b], es integrable sobre [a, b]

7. Si f es una función par sobre [a, b] ( ), y [a, b] es un intervalo simétrico respecto del origen, entonces

8. Si f es una función impar sobre [a, b] ( ), y [a, b] es un intervalo simétrico respecto del origen, entonces

b

a

b

aff

f

baxxfxf ,,

baxxfxf ,,

dxxfdxxfbb

a 0

2

0 dxxfb

a

Ejemplos.- Utilizando propiedades de la integral definida hallar

1. ,

2.

3. .

63, 26

6 xxxfsidxxf xxsenxxxf 63 23

1

1

214

1

1

21

21

421

dxxxxsenx

xdxxxxsen

dxxx

xxsendxx

xxsen

1

0 2

10

1 2

1 41

1

1

1