LA PARÁBOLA

DEFINICIÓN:

La parábola es una curva abierta y plana,

que se define como el lugar geométrico

de los puntos del plano que equidistan de

un punto denominado foco, y una recta

denominada directriz, observando la

figura, FP = PQ = r.

El eje de la parábola es la recta perpendicular

a la directriz, que pasa por el foco F. La

distancia FD, del foco a la directriz, se

denomina parámetro de la parábola, el punto

medio del segmento FD, es el punto V, que se

denomina vértice de la parábola.

ELEMENTOS• El punto F se denomina foco

• La recta l es la directriz

• La recta que contiene el foco y es perpendicular a la

directriz se llama eje focal o eje de simetría E.

• El punto de corte de la parábola con el eje se denomina

vértice V, y equidista del foco y la directriz.

• Se denomina parámetro a la distancia del foco a la

directriz y se expresa como 2p.

• La cuerda AB que pasa por el foco y es perpendicular al

eje focal se llama lado recto

ECUACIÓN CANONICA DE LA PARÁBOLA

Supongamos que F tiene coordenadas (0, p) y la recta d tiene

ecuación y = − p con p > 0. Observe la gráfica:

Observe que d (P,F) = (x − 0)2 + ( y − p)2 y que d (P,l) = y + p .

Igualando distancias y resolviendo:

Observe que d (P,F) = [ (x − 0)2 + ( y − p)2 ] y que d (P,l) = y + p .

Igualando distancias y resolviendo:

d(P,F) = d (P,l )

[ (x − 0)2 + ( y − p)2 ] = y + p

( [ (x − 0)2 + ( y − p)2 ])2 = (y + p)2

x2 + y2 – 2py + p2 = y2 + 2py + p2

x2 = 4py

Observe que para la parábola anterior el eje focal es el eje y , el vértice es el punto (0,0) y además que la parábola es cóncava hacia arriba. Se denomina parábola vertical (eje y)

p < 0 abre hacia arriba

p > 0 abre hacia abajo

ECUACIÓN CANONICA PARÁBOLA HORIZONTAL (EJE

X) CON VÉRTICE (0,0)

y ² = 4px

Vértice (0,0)

Para hallar el foco:

F = (p, 0)

Para hallar la directriz:

x = - p

p < 0 abre a la izquierda

p > 0 abre a la derecha

ECUACIÓN CANONICA PARÁBOLA VERTICAL CON VÉRTICE (H,K)

Si se desplaza una parábola con vértice en elorigen h unidades de manera horizontal yluego k unidades de manera vertical, el resultado de estoes una parábola con vértice en (h,k) y eje de simetríaparalelo a uno de los ejes coordenados.

Si consideramos la ecuación y ² = 4px y reemplazamosx por x-h y y por y-k tenemos

(x - h)² = 4p(y - k)²

Con esta ecuación se halla el foco: (h, k + p)

Con esta la directriz: Y = k - p

p < 0 abre hacia abajo

p > 0 abre hacia arriba

ECUACIÓN CANONICA PARÁBOLA HORIZONTAL CON VÉRTICE (H,K)

Si se desplaza una parábola con vértice en elorigen h unidades de manera horizontal y luego k unidadesde manera vertical, el resultado de esto es una parábolacon vértice en (h,k) y eje de simetría paralelo a uno de losejes coordenados.

Si consideramos la ecuación y ² = 4px y reemplazamos xpor x-h y y por y-k tenemos

(y - k)² = 4p(x - h)

Para hallar el foco:

F = (h +p, k)

Para hallar la directriz:

x= h - p

p < 0 abre a la izquierda

p > 0 abre a la derecha

APLICACIONES PRÁCTICAS

Las aplicaciones prácticas son muchas: las antenas

satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio

concentrando señales recibidas desde un emisor

lejano en un receptor colocado en la posición del

foco.

La concentración de la radiación solar en un punto,

mediante un reflector parabólico tiene su aplicación

en pequeñas cocinas solares y grandes centrales

captadoras de energía solar.

EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL Y ARQUITECTÓNICO DE

PUENTES

CONSTRUCCIÓN PLEGANDO PAPEL

https://www.youtube.com/watch?v=UDgMlSlDSEw