FRACCIONES

ÍNDICE

Significados del concepto de fracción

Fracciones equivalentes: concepto y propiedad fundamental

Obtención de fracciones equivalentes por amplificación

Obtención de fracciones equivalentes por simplificación

Simplificar fracciones por divisiones sucesivas

Simplificar fracciones por eliminación de factores

Reducción a común denominador

Comparación y ordenación de fracciones

Suma y resta de fracciones

Cálculo rápido de la suma / resta de entero y fracción

Multiplicación de fracciones

Fracción inversa

División de fracciones

Operaciones combinadas

Problemas

RECUERDA …

Una fracción sirve para representar una cantidad que no está formada por unidades completas

4

3

Una fracción es un operador que transforma los números 154

3.2020de

4

3

Una fracción es también una forma de expresar un cociente, una división4

34:3

Observa que en las fracciones equivalentes se cumple que al multiplicar los términos en cruz se obtiene el mismo resultado 2 . 8 = 16 y 4 . 4 = 16 . Esto nos va a servir para reconocer si dos fracciones son equivalentes y para calcular un

término desconocido en una pareja de fracciones equivalentes.

FRACCIONES EQUIVALENTES

Dos fracciones son equivalentes si expresan la misma cantidad.

4

2

8

4

Por ello escribimos:

1

4

28

4=

representan la misma cantidad

y decimos que son equivalentes.

Ejemplos:

6

10y

3

5son equivalentes porque 5 . 6 = 30 y 3 . 10 = 30

7

6y

4

3no son equivalentes porque 3 . 7 = 21 y 4 . 6 = 24

3

x

6

4 como son equivalentes el valor de x ha de ser 2 . Lo podemos obtener 2

6

4.3x

EJEMPLOS

¿ Son equivalentes las parejas de fracciones siguientes ? :

8

6y

4

3Sí porque 3 . 8 = 24 y 4 . 6 = 24

7

10y

4

5No porque 5 . 7 = 35 y 4 . 10 = 40

¿ Cuánto vale x en cada caso ? :

6

8

3

x 4 , y lo podemos hallar así 4

6

8.3x

x

6

6

4 9 , y lo calcularemos así 9

4

6.6x

MEDIOS Y EXTREMOS

Si las fracciones y son equivalentes, a y d reciben el nombre de extremos y b y c

el de medios. Por ello, podremos decir que en una pareja de fracciones equivalentes “el

producto de extremos es igual al producto de medios”.

b

a

d

c

OBTENCIÓN DE FRACCIONES EQUIVALENTES

a) AMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES

Si se multiplican los dos términos de una fracción por un mismo número, se obtiene una fracción equivalente.

Si en la fracción multiplicamos el 2 y el 3 por 2, por 3, por 4, etc. obtendremos fracciones

equivalentes a ella (y por ello equivalentes entre sí).

3

2

.....12

8

9

6

6

4

3

2

¿ Cuantas fracciones equivalentes a una fracción podemos encontrar por amplificación ?

infinitas

(Elige cualquier par de fracciones de la serie anterior y comprueba que son equivalentes)

X 2

X 3

X 4

OBTENCIÓN DE FRACCIONES EQUIVALENTES

b) SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES

Si se dividen los dos términos de una fracción por el mismo número, se obtiene una fracción equivalente.

Sea la fracción ; si dividimos numerador y denominador por 3 obtenemos la fracción y

podemos comprobar que 18

12

6

4

18

12

6

4= porque 12 . 6 = 72 y 18 . 4 = 72

La obtención de fracciones equivalentes dividiendo numerador y denominador por el mismo

número recibe el nombre de simplificación de fracciones. La fracción que no se puede

simplificar se llama irreducible.

¿ Puedo obtener infinitas fracciones equivalentes a una fracción por simplificación ?

No, el número de fracciones es limitado y si la fracción es irreducible no puedo obtener ninguna

9

2,

5

7,

4

3son irreducibles.

SIMPLIFICAR FRACCIONES (1)

Simplificar una fracción es encontrar la fracción equivalente a ella que es irreducible. Hay tres métodos:

a) Por divisiones sucesivas : Es el más indicado para números pequeños. Consiste en ir obteniendo fracciones equivalentes con términos más pequeños mediante divisiones sucesivas de numerador y denominador hasta llegar a la irreducible.

3

2

9

6

18

12

:2

:2

:3

:3

( es irreducible )3

2

SIMPLIFICAR FRACCIONES (2)

b) Por eliminación de factores : Descompondremos numerador y denominador en factores

primos y eliminaremos los factores iguales en numerador y denominador. Es el más indicado para fracciones con términos grandes.

Ejemplo: Simplificar 600

480

b) Escribimos la fracción expresando los números descompuestos en factores y eliminamos los factores que sean iguales en numerador y denominador.

480 2.5 600 2.5

48 2 60 2.5

24 2 6 2

12 2 3 3

6 2 1

3 3

1

a) Descomponemos en factores primos

5

4

5

2.2

5.5.3.2.2.2

5.3.2.2.2.2.2

600

480

REDUCCIÓN A COMÚN DENOMINADOR

Reducir fracciones a común denominador es encontrar fracciones equivalentes a ellas con el mismo denominador.

. el denominador común será el m.c.m. de 4, 3 y 2 que es 12

. el numerador de la primera fracción es 12:4 = 3 3.3 = 9

. el numerador de la segunda fracción es 12:3 = 4 4.2 = 8

. el numerador de la tercera fracción es 12:2 = 6 6.5 = 30

2

5,

3

2,

4

3

Ejemplo: Reducir a común denominador 2

5

3

2

4

3,,

(Recuerda que para hallar el m.c.m. descomponemos en factores primos y cogemos los factores comunes y los no comunes con mayor exponente. Si se trata de números pequeños, como en el ejemplo, lo hacemos mentalmente).

12 12 12

9 8 30, ,

COMPARACIÓN Y ORDENACIÓN DE FRACCIONES

Para comparar u ordenar fracciones de distinto denominador las reduciremos a común denominador y a partir de ellas compararemos u ordenaremos las que nos han propuesto.

Ejemplo: Escribe < , > o = entre 6

5,

4

3

4

3

12

10,

12

9

6

5,

4

3 <

6

5.el m.c.m. de 3 y 4 es 12 , por tanto:

Ejemplo: Ordena de menor a mayor 10

3,

2

3,

4

3,

5

2

.el m.c.m. de 5 , 4 , 2 y 10 es 20 , por tanto:

2

3

4

3

5

2

10

3

20

6,

20

30,

20

15,

20

8

10

3,

2

3,

4

3,

5

2 < < <

2 OPERACIONES CON FRACCIONES

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

4

5

4

2

4

3

m.c.m. = 12

. si tienen el mismo denominador se suman (si es una suma) o se restan (si es una resta) los numeradores y se deja el mismo denominador.

. si tienen distinto denominador, se reducen a común denominador y después se suman (o se restan) como en el punto anterior. En estas sumas es muy cómodo reducir con “una sola raya larga” (fíjate en el ejemplo) y así el denominador sólo se pone una vez.

. para operar fracciones y números enteros, estos se escriben como fracciones con denominador 1.

4

1

3

2

2

3

12

381812

29

CÁLCULO RÁPIDO DE LA SUMA / RESTA DE ENTERO Y FRACCIÓN

Si seguimos todos los pasos para sumar / restar un entero y una fracción tendremos que hacer algo como lo siguiente:

5

13

5

310

5

3

1

2

5

32

Si observas la suma que hay encima de la “raya larga” verás que:

- el primer número es 10 y que es el resultado de multiplicar el entero (2) por el denominador de la fracción(5)

- el segundo número es 3, es decir, el numerador de la fracción

- el denominador es 5, el mismo que tenía la fracción

Por tanto, para calcular mentalmente operaciones de este tipo tendremos en cuenta que:

- un numerador es el producto del entero por el denominador de la fracción

- el otro numerador es el de la fracción

- el denominador es el de la fracción

- haremos con los numeradores la operación de la que se trate teniendo en cuenta los signos y cómo esté planteada la operación (recuerda que la resta no es conmutativa)

5

34

5

23 34

3

4

15

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

FRACCIÓN DE FRACCIÓN

Para multiplicar dos fracciones se multiplican los numeradores y se multiplican los denominadores.

14

60

7

4.5.

2

3

8

15

2

3.

4

5

35

6

7.5

3.2

7

3.

5

2

d.b

c.a

d

c.

b

a

La fracción de otra fracción equivale a la fracción producto de ambas.

Este cálculo tendremos que utilizarlo en la resolución de algunos problemas.12

6

3.4

2.3

3

2de

4

3

En el rectángulo,

pintamos de rojo

los

3

2

De esos

pintamos de

verde los

3

2

4

3

Del rectángulo inicial, la

zona que finalmente

aparece señalada

corresponde a los 12

6

FRACCIÓN INVERSA

Dos fracciones son inversas cuando su producto es una fracción cuyo valor es 1.

La fracción inversa de es porque 5

3

3

51

15

15

3

5.

5

3

¿ Qué fracción es la inversa de …?

7

5

5

7

7

17 3

3

1

En general, la inversa de es b

a

a

b

DIVISIÓN DE FRACCIONES

Para dividir dos fracciones se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda.

En la práctica, esto equivale a multiplicar los términos en cruz.

8

15

2

5.

4

3

5

2:

4

3 según la definición

8

15

5

2:

4

3: en la práctica

x

OPERACIONES COMBINADAS (1)

Para resolver operaciones combinadas con fracciones hemos de proceder como siempre, es decir, el orden será: paréntesis, multiplicaciones y divisiones, sumas y restas.

Hay que tener en cuenta que siempre que nos aparezca una suma o una resta con distinto denominador, habrá que reducir a común denominador. Cuando aparezcan sumas o restas de entero y fracción lo más rápido es aplicar el cálculo mental (aunque si tenemos alguna dificultad, le ponemos a los enteros denominador 1 y procedemos con el cálculo normal). En algunos casos, puede ayudar hacer los cálculos en sentido vertical, utilizando una línea para cada paso.

Ejemplos:

2

3

5

2

3

2

4

3c)

10

154

12

89

10

11

12

17

60

6685

60

151

4

5

5

3

2

1

5

3a)

4

5

10

3

5

3

20

25612

20

2518

20

7

4

5:

2

3

10

3

2

3b)

10

12

10

3

2

3

10

12-315

10

1218

10

6

5

3

Vamos a resolver problemas relacionados con los números fraccionarios. En algunos ejemplos verás que se pueden resolver de dos formas: sin utilizar fracciones en los cálculos o utilizándolas. En ambas formas nos ayudaremos de un dibujo para reflejar los datos. Sin embargo, en otros ejemplos sólo utilizaremos fracciones y no nos ayudaremos de dibujo porque reflejar los datos en uno puede ser muy complicado.

Ejemplo 1: Dada la cantidad total hallar la cantidad que corresponde a una fracción de ella

A Pedro le dan de paga semanalmente 24 € y se gasta los . ¿ Cuánto se gasta ?

4

3

24 €

x 24 : 4 = 6

6 . 3 = 18

Solución:

Gasta 18 €

24 €

x18

4

3.2424de

4

3

Solución:

Gasta 18 €

3 PROBLEMAS

PROBLEMAS (2)

Ejemplo 2: Dada la cantidad que corresponde a una fracción, hallar el total.

Pedro se gastado los de su dinero en un regalo para su hermana. Si el regalo le ha costado

90 € , ¿cuánto dinero llevaba?5

3

90 € x90 : 3 = 30

30 . 5 = 150

Solución:

Llevaba 150 €

90 € x

1503

5.90x

90xde5

3

Solución:

Llevaba 150 €

PROBLEMAS (3)

Ejemplo 3: Distintas fracciones del total.

Pedro tiene ahorrados 120 €. Piensa gastarse de ese dinero en un videojuego y en un cd.

¿Qué fracción del total le quedará? ¿Cuánto dinero le quedará? 3

1

5

2

Videojuego --

Cd --

Total 120 €

3

1

5

215

11

15

65

5

2

3

1

gasta en total

15

4

15

11

15

15 le quedan

3215

4.120120de

15

4

Solución:

Le quedan del total, que son 32 €15

4

PROBLEMAS (4)

Ejemplo 4: Fracción de fracción.

Pedro tiene ahorrados 180 €. Piensa destinar a un regalo para su hermana y los de lo que le

quede para invitar a sus amigos el día de su cumpleaños. ¿Qué fracción de su dinero le quedará?

¿Cuánto dinero le quedará al final?

6

1

3

2

regalo

invitación

Le quedan 18

5

5018

5.180180de

18

5

Solución:

Le quedan que son 50 €18

5

regalo 6

1

invitación de

lo que queda3

2

6

5

6

1

6

6

18

10

6

5de

3

2

quedan

invitación

18

13

18

103

18

10

6

1

gasta en total

18

5

18

13

18

18 le quedan

5018

5.180180de

18

5

Solución:

Le quedan que son 50 €18

5

HAS LLEGADO AL FINAL ….