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Telecom
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COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat1
Comunicación II
Conferencia 5: Formateo de Señales Analógicas.UNIDAD II: FORMATEO DE SEÑALES Y CODIFICACIÓN FUENTE
Instructor: Israel M. Zamora, P.E., MS Telecommunications ManagementProfesor Titular, Departamento de Sistemas Digitales y Telecomunicaciones.
Universidad Nacional de Ingeniería
Universidad Nacional de Ingeniería
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat2
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• Codificación de Señal: Formateo• Formateo en un sistema de comunicación banda base• Generación Pulsos Digitales• Formateo A/D• Esquema básico de un sistema digital banda base• Teorema del muestro• Muestreo Instantáneo o Ideal• Muestreo natural• Efecto Alias• Operación muestreo y retención• Implementación muestreo y retención• Cuantización: uniforme, redondeo, implementación• Función de Transferencia• Codificación Binaria• Fuentes de corrupción• Error de cuantización• Cálculo del error de cuantización
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat3
Codificación de Señal: Formateo
SISTEMA REPRODUCTOR DE AUDIO: EJEMPLO
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat4
Formateo en un sistema de comunicación banda base
Muestreador Cuantificador Codificador
Binario
Codificador de línea
Transmisor
Filtropasabajos
DecodificadorBinario
Detector de línea
Receptor
Medio de transmisión
Información Digital Binaria
Información Textual o Caracteres
Información Analógica
Información Analógica
Información Textual o Caracteres
Información Digital Binaria
Formas de Onda de pulsos
...10110110001...Secuencia binariaPulsos digitales
de voltaje/corriente
La Codificación de Línea la estudiaremos
en conferencias posteriores.
Formateo: Codificación Fuente
Formateo: Codificación Fuente
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat5
Generación de pulsos Digitales
ESQUEMA DEL TRANSMISOR
Conversión A/DCódigos Binarios
Codificador de línea
Generadorde Pulsos
1 1
0 0
1
0 Tb
A
“1” lógico
0 Tb
-A
“0” lógico
Codificador de línea
Salida de pulsosdigitales
Entrada totalmenteanalógica
SeñalCuantizada
Señal muestreadora (fS):Tren de pulsos
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat6
Formateo A/D
•Procesos fundamentales en el formateo de señales analógicas:
•Muestreo (y Retención), Cuantización y Codificación Binaria
•Muestreo: Se ocupa de la representación en tiempo discreto de la señal mensaje de acuerdo al teorema de muestreo.
•Retención: Permite que los pulsos muestreados de duración muy breve puedan ser extendidos en el tiempo (retenidos) hasta la ocurrencia de la próxima muestra. El resultado es una serie de pulsos PAM de amplitud plana.
•Cuantización: En el sentido de la amplitud, es el proceso de transformar la muestra de amplitud continua en el tiempo (aunque discreta en el tiempo) de una señal mensaje en una amplitud discreta tomada de un conjunto finito de amplitudes posibles.
•Codificación binaria: Es el proceso mediante el cual las muestras cuantizadas (discretas en el tiempo y la amplitud) son mapeadas y sustituidas por un código binario (secuencia de bits).
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat7
Esquema básico de un sistema Digital Bandabase
Los elementos básicos de un sistema PCM
FiltroPasabajos
Muestreador/Retenedor
CuantizadorCodificador
Binario
Fuentes deseñales deMensaje
continuas en eltiempo
Señal Digital BB
Aplicadas a laentrada del
mediode transmisióna) Transmisor
Señal Digital BBdistorsionadaproducida a la
salida del canal
Repetidorregenerativo
Repetidorregenerativo
Señal PCM regeneradaAplicada al receptor
b) Trayectoria de transmisión
Circuito deregeneración
DecodificadorFiltro de
reconstrucciónDestino
c) Receptor
Generadorde Pulso
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat8
• Teorema o criterio de Nyquist:– Establece que la frecuencia de muestreo mínima para representar una señal
analógica a través de sus muestras debe ser al menos igual a dos veces su ancho de banda efectivo (frecuencia máxima):
• Teorema del muestreo establece:– Una señal limitada en frecuencia que no posee componentes espectrales encima de fm
Hz puede ser determinada sin ambigüedades a través de valores de su amplitud analógica que sean muestreados a intervalos uniformes de TS segundos, donde:
Teorema del muestro
uniforme muestreo del teoremael como conocido
2f1
T m
S ≤
Nyquist. de frecuencia
denominda es 2ff muestreo de frecuencia la
,2ff
mS
mS
=≥
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat9
Muestreo Instantáneo o Ideal
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat10
Muestreo Ideal
• Matemáticamente es posible comprobar que utilizando una serie de impulsos de dirac como señal muestradora es posible recuperar unívocamente la señal en el receptor. Este caso, por ser una implementación meramente matemática se conoce como muestreo ideal.
• Consideremos la forma de onda analógica x(t) acotada en el intervalo (-fm, fm) como se muestra en la figura y cuyo espectro es X(f). Las muestras
de x(t) corresponden, matemáticamente, al producto entre x(t) y la serie de impulsos xδ(t), formada por impulsos periodicos (Ts).
(t)xx(t)(t)xs δ⋅= ∑∞
−∞=δ δ=
n
)snT-(t(t)xcon
∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
δ=δ⋅=n
sn
))nT(x) sss nT-(tnT-(tx(t)(t)x
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat11
Muestreo Ideal: par de transformadas
(t)x(t)x(t)xS δ=
∑∞
−∞=δ δ=
n
)snT-(t(t)x ∑∞
−∞=δ δ=
ns
)T snf-(f(f)X1
∑∞
−∞=
=ns
s )XT snf-(f(f)X1
Aplicando transformada de Fourier:
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat12
Muestreo Ideal
0 t0
ffm-fm
x(t) |X(f)|
t
0 t-4TS -2TS 2TS 4TS
0-4TS -2TS 2TS 4TS
0 f-2fS -fS fS 2fS
(t)x(t)x(t)xS δ=
0 f-2fS -fS fS 2fS
(a)
(b)
(c)
∑∞
−∞=δ δ=
n
)snT-(t(t)x ∑∞
−∞=δ δ=
ns
)T snf-(f(f)X1
∑∞
−∞=
=ns
s )XT snf-(f(f)X1
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat13
Muestreo Natural
• Idealmente, el muestreo debiera generarse a través de un tren de impulsos (delta de Dirac), pero su implementación electrónica es impráctica.
• Los circuitos de muestreo se basan en la generación de un tren de pulsos periódicos (TS) de duración finita y tan breve como sea posible (τ). Note que fS =1/TS.
• Para una serie de pulsos xP(t) y una señal analógica fuente x(t), se tiene la versión muestreada (señal PAM) de x(t), como resultado de la multiplicación:
(t)xx(t)(t)x PS ⋅=
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat14
Muestreo Natural
• Donde:
∑∞
−∞=
⋅⋅=n
tfj2πnP
Sec(t)x n
• Y se tiene que:
∑∞
−∞=
⋅⋅=n
tfj2πnS
Secx(t)(t)x
( )SSSS
n fnsencfT
nsenc
Tc ττ =
= 1
con:
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat15
Muestreo Natural
{ }∑
∑∞
−∞=
⋅
∞
−∞=
⋅
ℑ=
⋅ℑ=
n
tfj2πnS
n
tfj2πnS
S
S
x(t)ec(f)X
ecx(t)(f)X
• Estas relaciones en el dominio de la frecuencia, y aplicando la transformada de Fourier provee la relación siguiente:
• De la propiedad de desplazamiento :
( )∑∞
−∞=
−⋅=n
S )((f)X SSS ffXfnsencf τ
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat16
Muestreo Natural
0 t0
ffm-fm
x(t) |X(f)|
t
0 t
τ
-4TS -2TS 2TS 4TS
0-4TS -2TS 2TS 4TS
0 f-2fS -fS fS 2fS
|XP(f)|∑∞
−∞=
⋅⋅=n
tfnj2πnP
Sec(t)x
(t)x(t)x(t)x PS =
0 f-2fS -fS fS 2fS
|XS(f)|
(a)
(b)
(c)
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat17
Efecto Alias o Solapamiento
•En la práctica, ni las formas de ondas de interés ingenieril, ni los filtros de banda limitada implementables electrónicamente, son perfecta y estrictamente de banda limitada.•Es decir, la señales realizables, aun cuando se supongan que son de banda limitada, en realidad siempre presentarán un nivel de solapamiento. •Estas señales y filtros, no obstante, se pueden considerar como “esencialmente” de banda limitada.•Con esto se quiere decir, que un ancho de banda puede ser definido como aquél que va mas allá donde las compomentes espectrales de frecuencias son atenuados a un nivel que pueden ser despreciables.
mS 2ff Con <
Aliasing o Solapamiento:
OCURRE CUANDO NO SE CUMPLECON EL CRITERIO DE NYQUIST, Y
SE MUESTREA A UNA TASAINFERIOR:
Aliasing o Solapamiento:
OCURRE CUANDO NO SE CUMPLECON EL CRITERIO DE NYQUIST, Y
SE MUESTREA A UNA TASAINFERIOR:
mS 2ff Con ≥
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat18
Efecto Alias o Solapamiento
mS 2ff Con =
0 fm
DSP para una señal con efecto de Aliasing debido a fS<2fm
0 fS 2fS 3fS
<2fm
DSP bandabase
0 fm 0 fS 2fS 3fS
DSP para señal muestreada a la frecuencia de Nyquist fS=2fm
2fm
DSP bandabase
mS 2ff Con <
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat19
Efecto Alias o Solapamiento
fA (max) debe leerse como fm
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat20
Implementación Muestro Natural
CIRCUITO DE MUESTREO NATURAL
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat21
Operación de muestreo y retención
• Se ha visto que tanto en el muestreo ideal como en el muestreo natural, la señal muestreada en el dominio del tiempo es una señal de impulsos o pulsos periódicos, con duración infinitesimal en el primer caso, y con duración τ segundos en el segundo caso.
• Igualmente, puede observarse que las amplitudes siguen siendo valores continuos (teorema de densidad de los números).
• La retención persigue extender la duración de tales impulsos o pulsos, por un tiempo exactamente igual a Ts, el periodo de muestreo, de modo que permita un aprovechamiento en tiempo para la sincronización, y un aplanamiento de las crestas de tales muestras, de modo que se contribuya al proceso de digitalización de la amplitud de la señal muestreada.
• La forma mas simple de demostrar matemáticamente el método de muestreo y retención es describirlo como una convolución entre el tren de pulsos o impulsos, y un pulso unitario rectangular p(t) de duración Ts.
[ ](t)xx(t)(t)x h&s δ⋅= *)t(p
∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
δ=
δ⋅=
ns
n
))nT(x)*)t(p ssh&s nT-(tnT-(tx(t)(t)x
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat22
Operación de muestreo y retención
• La transformada de Fourier, Xs(f), de la convolución en el dominio del tiempo es precisamente igual en el dominio de la frecuencia al producto aritmético de la transformada de P(f) del pulso rectangular y la señal espectral periódica correspondiente a la señal muestreada:
δℑ= ∑
∞
−∞=n
))t(x)f(P ss nT-(t(f)X
δ= ∑
∞
−∞=ns
)T)f(X)f(P ss nf-(f(f)X1
∑∞
−∞=
=ns
)XT)f(P ss nf-(f(f)X1
• Puede notarse que la forma de onda del pulso P(f) en el dominio de la frecuencia es Tssinc(fTs).
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat23
Operación de muestreo y retención
• El efecto de esta operación producto de espectros resulta en un espectro de apariencia similar al del muestreo natural mostrado en las diapositivas 11/14.
• El efecto mas obvio de la operación de retención es su atenuación considerable en las réplicas de frecuencias mas altas, lo cual es un efecto deseado en realidad.
• Normalmente se requiere de etapas adicionales de filtrado a posteriori para mejorar el proceso de filtrado y recuperación de la señal, procurando atenuar aún mas las componentes espectrales residuales que se ubican a frecuencias múltiples de la tasa de muestreo.
• Un efecto secundario de la operación de muestreo es la ganancia no uniforme en el espectro del pulso P(f) que se aplica al espectro bandabase deseado.
• La operación de postfiltrado puede ser compensada por esta atenuación al incorporar la función inversa de P(f) (ecualización) a lo largo de la señal pasabanda.
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat24
Implementación Muestro y Retención
CIRCUITO DE MUESTREO Y RETENCIÓN
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat25
Implementación Muestro y Retención
dvdt
iC ó dtdv
Ci == RCτ =Precisión (%) Tiempo de
Carga
10.00 3τ1.00 4τ0.10 7τ0.01 9τ
C = Capacitancia máxima (valor para C1).i = Corriente máxima de salida desde Z1.dv= Cambio máximo en voltaje a través de C1,dt= Tiempo de carga, el cual es igual al tiempo de apertura.τ= Constante de tiempo de carga.R= Impedancia de Salida de Z1 mas la resistencia de encendido (“on”) de Q1.
CIRCUITO DE MUESTREO Y RETENCIÓN
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat26
Implementación Muestro y Retención
Formas de Onda Muestreadas y Retenidas: (a) Entrada analógica,(b) Pulso muestreado,(c) Voltaje del Capacitor
Nota:“on”: Encendido“off”: Apagado
FORMAS DE ONDA MUESTREADA Y RETENIDA
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat27
Implementación Muestro y Retención
Implementación mas elaborada
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat28
Otro ejemplo de Implementación Muestro y Retención
Implementación mas elaborada
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat29
Otro ejemplo de Implementación Muestro y Retención
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat30
• La cuantización de amplitud se define como el proceso de transformación de las amplitudes de las muestras {x(nTS)}, de una señal mensaje x(t) en el tiempo t= nTS en una amplitud discreta xq(nTS) tomado de un conjunto finito de posibles amplitudes.
• La señal de amplitud x se especifica por el índice k si éste cae dentro de la partición:
• Donde L es el número total de niveles de amplitud usado en el cuantizador. Las muestras x de la señal mensaje corresponden a una variable aleatoria con media cero y varianza σx
2.
Cuantización
{ } L1,2,...,k ,xxx : k1-kk =≤<ℜ
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat31
t
Ts: sampling time
x(nTs): sampled valuesxq(nTs): quantized values
boundaries
Quant. levels
3.1867
2.2762
1.3657
0.4552
-0.4552
-1.3657
-2.2762
-3.1867
amplitudex(t)
Ilustración Cuantización Uniforme
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat32
Ilustración Cuantización Uniforme
CUANTIZACIÓN UNIFORME: EJEMPLO
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat33
Cuantización
En la fingura:•Cuantizador lineal de L niveles para una señal analógica•Voltaje pico a pico: Vpp=Vp-(-Vp)=2Vp
•Pulsos cuantizados pueden ser positivos o negativos•El temaño de paso o escalón es igual a “∆”.•Cuando los niveles de cuantización están uniformemente distribuidos (o sea que “∆” es constante), el cuantizador se denomina “Cuantizador Uniformeo Lineal”.•El objetivo es aproximar cada valor de amplitud de la muestra retenida al nivel de cuantización mas cercano, de modo que se minimice el error de redondeo.•El error de redondeo no puede ser mayor
de |∆/2|•La degradación (“error”) de la señal debido al proceso de cuantización estará limitado por la mitad del cuantil de intervalo, es decir
|∆/2|.
ERRATA: La variable “q” sustitúyase por “∆”
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat34
Ilustración Cuantización Uniforme
CUANTIZACIÓN UNIFORME: MAPEO
Rango de amplitudde la señal analógica
Tamaño de paso
Umbrales de decisión xk
Representación de los niveles yk
ℜk : Regiones
de decisión { }Lk para
Δ,x, xxxxx kkkkk
≤≤
=−≤<=ℜ −−
1
11
∆
∆
x0x1 x2
x3 x4 x5 x6x7 x8
y1 y2y3 y4 y5 y6
y7 y8
ℜ1 ℜ2ℜ3 ℜ4
ℜ5 ℜ6 ℜ7ℜ8
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat35
• Las amplitudes discretas xk, con k=0,1,2,...,L, en la entrada del cuantizador, se denominan niveles de decisión o umbrales de decisión.
• A la salida, el índice k se transforma en una amplitud yk que representa todas las amplitudes del conjunto ℜ k; las amplitudes discretas yk, con k=1,2,...,L, son llamadas niveles de representación o niveles de reconstrucción, y la separación entre dos niveles de representación adyacentes se llama quantum o tamaño de paso ∆ .
Cuantización
Lk Δ, parayy kk ≤≤=− − 11
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat36
• La muestra x debe redondearse a nivel mas cercano, es decir yk ó yk+1 de acuerdo con la figura de abajo.
Niveles de Cuantización: Redondeo
CuantizadorQ(*)
MuestrasContinuasx=x(nTs)
MuestrasDiscretasy=xQ(nTs)
yk-2 yk-1 yk yk+2
qy
x
ℜk-1 ℜk ℜk+1
ℜk : Regiones
de decisión
NOTA: Aquí “q” denota la variable
aleatoria que toma valores < |∆/2|.
q: error o ruido decuantización
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat37
• Se nota que yk es el nivel seleccionado el cual podemos relacionarlo con los niveles o umbrales de decisión de modo que:
• La diferencias |x- xk-1| y |x- xk| representan errores de precisión en el proceso de cuantización con relación a la señal muestreada. Estas diferencias se denotan qi y se observa el valor yk se escoge de modo que el valor de qi minimize. Matemáticamente se expresa como:
Cuantización
x-x x-x si ,x
x-x x-x si ,xy
k1-kk
k1-k1-k
k
>
<=
( )( )
( ) { }k1-ki
k1-ki
k1-ki
kk
x-x ,x-xminq min
x-x x-x siqmin-x
x-x x-x siqminxy donde yx
=
<
>+=⇒
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat38
• Los cuantizadores pueden ser del tipo uniformes o no-uniforme.
• En un cuantizador uniforme, las representaciones de los niveles se muestran uniformemente espaciados; de otra manera el cuantizador se considera no-uniforme.
• La función de transferencia de un cuantizador puede ser del tipo paso-medio (midtread) o escalón-medio (midrise).
• La figura (a) de la próxima diapositiva (40) muestra la función característica de entrada-salida de un cuantizador uniforme del tipo paso-medio (midtread), el cual se denomina así debido a el origen descansa a la mitad del paso de la gráfica que asemeja escalones.
• La figura (b) de la diapositiva 39 muestra la función característica entrada-salida correspondiente para un cuantizador uniforme del tipo escalón-medio (midriser), en cuyo caso el origen descansa en la mitad del escalón de elevación de la gráfica que asemeja escalones. Note que ambos cuantizadores paso-medio (midtread) y escalón-medio (midrise) ilustrados en las figuras (a) y (b) son simétricos respecto al origen.
Cuantización
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat39
Función de Transferencia de Cuantizadores
∆−=+= −
212
21 kxx
y kkk
{ }{ }
{ }78
1
11
71
xxx
k
xxxx
,xxx
kkk
≥=ℜ≤≤
≤<=ℜ
≤<∞−=ℜ
−
para
,,,k,kxk 210 ±±=∆=
CUANTIZACIÓN UNIFORME: MIDRISER
∆-∆
2∆ 3∆ 4∆
-2∆-3∆-4∆∆/2
3∆/2
5∆/2
7∆/2
-∆/2
-3∆/2
-5∆/2
-7∆/2
x
y
Rango dinámico del cuantizador
Excursión pico a pico de la señal
(Rango dinámico)
(x: Entrada)
(Salida)
Ejemplo de un esquema de
cuantización de L=8 niveles. En este caso las regiones de cuantización están dadas por:
Llogb ó 2L :Midriser 2b ==
figura (a)
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat40
Función de Transferencia de Cuantizadores
∆=+= − kxx
y kkk 2
1
{ }{ }
{ }68
1
11
61 para
,
xxx
k
xxxx
xxx
kkk
≥=ℜ≤≤
≤<=ℜ
≤<∞−=ℜ
−
,2 ,1 ,0 ,2
12 ±±=∆+= kk
xk
CUANTIZACIÓN UNIFORME: MIDTREAD
∆
-∆
2∆
3∆
-2∆
-3∆
∆/2 3∆/2 5∆/2 7∆/2
-∆/2-3∆/2-5∆/2-7∆/2x
y
Rango dinámico del cuantizador
Excursión pico a pico de la señal
(Rango dinámico)
(x: Entrada)
(Salida)
Ejemplo de un esquema de
cuantización de L=7 niveles. En este caso las regiones de cuantización están dadas por:
1)(Llogb ó 1-2L :Midtread 2b +==
figura (b)
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat41
Codificación Binaria (y de línea(*))
El número “L”de niveles cuantificadosdepende del tipo de cuantificador:
L=2b para MidriserL=2b -1 para Midtread
con “b” el número de bits de código binario
(*) El tema de la codificación de líneaSe estudiará en las próximas conferencias
Códigos de línea
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat42
t
Ts: sampling time
x(nTs): sampled valuesxQ(nTs): quantized values
boundaries
Quant. levels
111 3.1867
110 2.2762
101 1.3657
100 0.4552
011 -0.4552
010 -1.3657
001 -2.2762
000 -3.1867
PCMcodeword 110 110 111 110 100 010 011 100 100 011 PCM sequence
amplitudex(t)
Ilustración Codificación binaria (y cuantización)
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat43
Otra ilustración: Cuantización Uniforme y Codificada Binaria
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat44
Ilustración Muestreo/retención, Cuantización, Codificación Binaria y generación de pulsos binarios.
Pulse-code modulation:(a) Signal sampling(b) Quantization(c) Binary pulse coding
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat45
Fuentes de corrupción
• Efectos relacionados al muestreo– Ruido o error de Cuantización
– Saturación del Cuantizador
– Jitter en el temporizador
• Efectos relacionados al canal– Ruido de canal– Interferencia intersímbolo– Razón Señal-a-Ruido para pulsos cuantizados
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat46
Error de cuantificación
(Error de cuantificación) = (Señal analógica original) - (Señal cuantificada)
Señal cuantificada
Nivel cuantificado
Error de cuantificación
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat47
Error de Cuantización
Léase: 1. L niveles2. L-1 pasos3. ∆
∆
+∆/2
-∆/2 ∆
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat48
Regiones de operación del cuantizador
• Hemos considerado la operación normal del cuantizador, bajo el supuesto que el rango dinámico de la señal analógica de entrada (Vpp) calza bien en el rango dinámico del cuantizador. Esto no siempre es así por diversas razones (la señal de entrada es aleatoria).
• La región de operación normal del cuantizador, donde realiza apropiadamente su función de transferencia, es la región de operación conocida como REGIÓN DE ERROR (RUIDO) GRANULAR.
• Este error ya se espera y controlable por medio del diseño apropiado del cuantizador.
• Cuando las señales analógica de entrada al cuantizador superan el rango dinámico del mismo, se genera saturación, que produce serias distorsiones a la señal que se recupera en el receptor. La región de operación donde ocurre este tipo de error se conoce como REGIÓN DE ERROR DE SATURACIÓN o DE SOBRECARGA.
• Las ilustraciones en las diapositias 49 y 50 muestran las dos regiones de operación.
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat49
Regiones de operación del cuantizador
q(n)
REGIÓN DE OPERACIÓN CONRUIDO GRANULAR
REGIÓN DE OPERACIÓN CON
RUIDO SATURACIÓN
REGIÓN DE OPERACIÓN CON
RUIDO SATURACIÓN
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat50
Regiones de Operación
REGIÓN DE ERROR GRANULAR
REGIÓN DE ERROR
GRANULAR REGIÓN DE ERROR GRANULAR
REGIÓNERROR
DE SATURACIÓN
REGIÓNERROR
DE SATURACIÓN
RA
NG
O D
INÁ
MIC
O
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat51
Error de cuantificación “q”
• Error o ruido de cuantificación “q” – Diferencia entre la señal analógica original y versión
cuantificada– Mayor la diferencia, mas sensible a recuperación incorrecta– Es intolerable en sistemas que demandan alta fidelidad
• Parámetros que influyen en el error de cuantificación “q” – Elección incorrecta de frecuencia de muestreo “fs”
– Tamaño de paso “∆”– Número de niveles de cuantificación “L”
COM II I. Zamora Uni II - Conf5: Cod. Fte.y Fomat52
• Error de cuantización: La diferencia entre la entrada y la salida del quantizador.
)()()( txtxtq q−=
+
)(tx )()( txty q=
)()(
)()()(
tytx
txtxtq q
−=
−=
AGC
x
)(xQxy q ==Cuantizador
Proceso de ruido de cuantización
)(tx )(txq
)(tq
Modelo de ruido de cuantización
Error de cuantificación “q”
AGC: Automatic Gain Control
)(tq
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• El uso de cuantización introduce un error q definido como la
diferencia entre la señal de entrada x y la salida cuantizada que la
representa yk. Este error es normalmente llamado error de
cuantización. La figura de la siguiente diapositiva ilustra una variación típica típica del ruido de cuantización como función del tiempo, asumiendo el uso de un cuantizador uniforme del tipo paso-medio (midtread).
• Como se indicó antes, la entrada del cuantizador x es una muestra de la variable aleatoria X con media cero. Si dejamos que el error de cuantización q sea representado por una variable aleatoria Q, podemos denotar como sigue,
• o, correspondientemente,
• donde Yk es la variable aleatoria de las muestras cuantificadas de la variable aleatoria X.
Error de Cuantización
ky- xq =
kY-X Q =
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Cálculos del ruido de cuantificación(1/3)
•Consideraciones• x es el valor muestreado de una variable aleatoria X con media cero y varianza σx
2 (valor cuadrático medio de la señal analógica).
• x pertenece al conjunto de valores en ℜk = {xk-1 < x ≤ xk} con k = 1,2, ..., L (niveles)
• xk y xk-1 son los umbrales de decisión para cada evento
•Salida del cuantizador y toma los valores discretos yk, con k = 1, 2, ..., L, es decir, y = yk , Si x cae en el intervalo ℜk.
•Definamos a eq como el error de cuantización, con valores en el rango -∆/2 ≤ q ≤ ∆/2.
•Entonces podemos escribir: yk = x + q, si x cae en el intervalo ℜk
•Denotemos el error de cuantización a través de la variable aleatoria Q, y q denota su valor muestra.
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Cálculos del ruido de cuantificación(2/3)
•Asumimos que la variable aleatoria Q es uniformemente distribuida sobre los posibles rango -∆ /2 a ∆ /2, entonces podemos escribir su pdf por:
∆≤≤∆−
∆=parte otraen ,0
22,
1)( qqfQ
fQ(q)
q
∆1
2∆
2∆−
PDF del la variable aleatoria Q.
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Cálculos del ruido de cuantificación (3/3)
• Una importante figura de mérito, en general, es la varianza del ruido de cuantización, llamado también valor cuadrático medio, está definido como:
12
1)(][
22
2
2222 ∆=∆
=== ∫∫∆
∆−
∞
∞−
dqqdqqfqQE QQσ
• Para el caso de tamaño de paso uniforme, y sabiendo que en la mayoría de los casos el valor promedio de error de cuantización es cero, su varianza σQ
2 (en este caso también denominada valor cuadrático medio), está dada por:
[ ]{ } 22,
2222 )()(][ SatinLQQ dqqfqxqxEQE σσσ +==−== ∫∞
∞−
llQ
L
linL qxf
ql )(
122
1)2(
0
22
, ∑−
=
=σ Error granular Error de saturación
Este error de saturación puede evitarseo al menos reducirse con etapas de compresiónantes de cuantizar, por tanto, en generalpuede despreciarse.
lll xxq −= +1Con: Tamaño de paso
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Cálculos del ruido de cuantificación (3/3)
•Por tanto podemos definir la razón señal a ruido de cuantización (SQR) para el caso de cuantización uniforme puede aproximarse como :
[ ]{ }[ ]{ }
{ }[ ]{ }2
2
2
2
2
2
)()(
)()(
xqxE
xE
xqxE
xExESQR
Q
x
−=
−−==
σσ
2Xσ•La potencia o valor cuadrático medio de la
señal deseada es su varianza (señal ergódica):
12/)( 2
2
2
2
∆== X
Q
XSQRσ
σσ
0)( == xExµ•El valor medio de la señal se asumido igual a cero:
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