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Límites de funciones
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LÍMITES DE FUNCIONES
El concepto de límite en Matemáticas tiene el sentido de “lugar” hacia el
que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito.
Debes saber:
CÁLCULO DE LÍMITES:
1. Límites de polinomios: El límite de cualquier polinomio cuando x tiende a
siempre es o , dependiendo del coeficiente del término de mayor grado del
polinomio:
Ejemplos.
2. Indeterminación
: Si tenemos que hacer el límite cuando x tiende a de un
cociente de polinomios nos encontraremos con esta indeterminación, la forma de
resolverla es dividir numerador y denominador por el monomio de mayor grado, pero
siempre siguen la siguiente regla:
2
Ejemplo.
3. Indeterminación : En esta indeterminación podemos tener dos casos, tener
una resta de cocientes en cuyo caso se pone común denominador y se hace la resta,
o tener una raíz, en tal caso hay que multiplicar y dividir por el conjugado de la resta
que aparece: *No entra para 1º matemáticas C.S.
Ejemplos.
La resolución de estos límites se limita a los 3 casos anteriores puesto que:
Ejemplo.
3
1. Límites laterales: Se define el límite lateral por la derecha de la de la función f(x), y se
expresa como:
Al límite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a y toma valores mayores que .
Por ejemplo si tomaremos un valor muy cercano a 2 por la derecha, 2’01.
De igual modo, Se define el límite lateral por la izquierda de la de la función f(x), y se
expresa como:
Al límite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a y toma valores menores que .
Por ejemplo si tomaremos un valor muy cercano a 2 por la izquierda, 1’99.
Propiedad: Para que una función f(x) tenga límite en x = a es necesario y suficiente
que existan ambos límites laterales y coincidan, es decir:
2. Indeterminación
: Se da cuando hacemos el límite del cociente de dos polinomios
y el numerados no se anula pero el denominador sí, en este caso sabemos que el
límite es , pero para resolverlo hay que hacer los límites laterales como se explica
en el punto anterior
Ejemplo.
4
3. Indeterminación
: Se da cuando hacemos el límite del cociente de dos polinomios
y tanto el numerados como el denominador se anulan, en este caso debemos
factorizar (normalmente por el método de Ruffini) numerador y denominador para
poder simplificar el cociente y volver a hacer el límite.
Ejemplo.
En este caso el denominador no se puede factorizar pero el numerador sí, y queda:
Para practicar:
1. 163lim 2
1
xx
x
2. 12lim 2
xxx
3. xxx
33lim
4. 1
lim5
24
x
xx
x
5. xx
x
x 5
25lim
2
2
5
6. 12
3lim
2
25
x
xx
x
7. 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8.
43
3 3
1lim
x
x
x
9. 13
2lim
4
24
x
xx
x
10. 1
1lim
5
2
1
x
x
x