LÓGICA 2011-2012

ÍNDICE

I. EL LENGUAJE FORMAL. LA LÓGICA. 1.- Lenguaje natural y lenguaje artificial. a) El lenguaje natural. 2.- El lenguaje formal. a) Noción de lenguaje formal. b) Componentes del lenguaje formal: c) Las reglas de transformación. 3.- La Lógica. a) Objeto de la lógica. b) Verdad y validez o corrección. II. CÁLCULO LÓGICO. LÓGICA DE PROPOSICIONES. 1.- Nociones básicas de cálculo lógico y de lógica proposicional. a) Cálculo lógico. b) La lógica proposicional. 2.- La lógica proposicional y las tablas de verdad. a) Definición de los conectores y sus tablas de verdad. b) La utilización de símbolos auxiliares. Corchetes y paréntesis. c) Tablas de verdad de cualquier fórmula dada. d) Tautología, contradicción e indeterminación. III. Utilización de las tablas de verdad para la comprobación de la validez de los razonamientos.

1. Conversión de un razonamiento en una fórmula condicional. 2. Comparación de los valores de verdad de las premisas y los valores de verdad de la conclusión.

IV. Utilización de las reglas de transformación de fórmulas. V. La lógica informal.

I. EL LENGUAJE FORMAL. LA LÓGICA.

1.- Lenguaje natural y lenguaje artificial.

a) El lenguaje natural.

El castellano, el francés, el euskera, el italiano, el catalán, el ruso, el gallego, el inglés, etc., son lenguas naturales. Por lengua natural (también llamado lenguaje ordinario) se entiende la lengua utilizada normalmente en una comunidad de individuos para la comunicación entre sí. Las características del lenguaje natural son:

- El lenguaje natural se caracteriza, en primer lugar, por su enorme capacidad y riqueza comunicativa. El lenguaje natural es flexible, permite jugar con las palabras y con las expresiones produciendo metáforas de inigualable fuerza expresiva.

- Frente a su riqueza expresiva y su plasticidad, el lenguaje natural tiene algunas características menos satisfactorias:

* Muchas palabras de la lengua ordinaria son ambiguas, poseen más de un significado. Esto puede dar lugar a equívocos que dificultan la exactitud de las informaciones y la corrección de los razonamientos.

* En el lenguaje natural pueden producirse extremas situaciones como las denominadas paradojas. Una paradoja se produce cuando dos proposiciones contradictorias se implican mutuamente.

* El lenguaje natural es muy poco operativo. Utilizando el castellano y ateniéndonos a las reglas de su sintaxis es muy difícil operar con rapidez y eficacia.

De todo lo anterior se deduce que si bien el lenguaje natural es un instrumento idóneo para ciertos propósitos, no es igualmente apropiado para otros menesteres como la ciencia, en que se desea un máximo de exactitud y operatividad.

b) El lenguaje artificial.

Consideraciones como las anteriores han empujado a la construcción de lenguas artificiales para ciertos propósitos, lenguas no naturales sino artificiales en las que sea posible operar con exactitud y eficacia. Sobre el lenguaje artificial han de tenerse en cuenta las dos observaciones siguientes:

- En primer lugar, que no se trata de suplantar totalmente el lenguaje natural: el lenguaje natural es insustituible en la inmensa mayoría de las circunstancias. El hombre utiliza el lenguaje no solamente para transmitir información científica y para razonar a niveles complicados, sino también para rogar, para condenar o alabar, para mandar, para preguntar, para contar chistes, para expresar sus sentimientos, etc., y en todos estos casos el lenguaje natural parece insustituible.

- En segundo lugar, cuando hablamos de lenguaje artificial (teoría de conjuntos, álgebra, lógica) no nos referimos a nada parecido a cierto tipo de idiomas como el esperanto. El esperanto no se inventa con el fin de suplir las deficiencias que hemos señalado en el lenguaje natural, sino porque existen tantas lenguas distintas sobre la tierra que la comunicación entre hablantes de distintas áreas lingüísticas resulta casi imposible.

2.- Lenguaje formal.

a) Noción de lenguaje formal.

Hoy día la lógica cuenta con un sistema de símbolos especialmente inventado y construido para lograr la precisión y la operatividad. La lógica se expresa, pues, en un lenguaje artificial. El lenguaje de la lógica es, además, un lenguaje formal. Trataremos de aclarar qué es un lenguaje formal.

Supongamos que se nos plantea el siguiente problema: “Pedro tiene cuatro manzanas más que Juan y entre ambos tienen veinte. ¿Cuántas tiene cada uno?”. El problema es fácil y el ejemplo es absolutamente trivial, pero nos serviremos de él para observar cómo actuamos al intentar resolverlo.

- El primer paso consistirá en plantearlo de modo correcto. Para ello puede recurrirse a un sistema de ecuaciones:

x - y = 4 x + y = 20

LÓGICA 2011-2012

- Una vez planteado se realizan una serie de operaciones encaminadas a hallar el valor de una de las dos incógnitas.

x = 4 + y 4 + y + y = 20 2y = 20 - 4 y = 16/2 y = 8

- Conocido ya el valor de y se procede a encontrar el valor de x:

x + 8 = 20 x = 20 - 8 = 12

Si volvemos la mirada al proceso que hemos seguido para la solución de este problema, observaremos lo siguiente:

1) En primer lugar, hemos recurrido a un lenguaje artificial que posee unos signos peculiares: x, y, números, signos como +, -, =, etc., posee también unas reglas para manejar estos signos. 2) En segundo lugar, en este lenguaje se prescinde del significado de los símbolos. No importa lo más mínimo se x o y son manzanas, pesetas, peras o kilos de café. 3) El prescindir del significado, nos hemos atenido únicamente a los símbolos y a las reglas según las cuáles se opera con ellos.

Estas tres observaciones pueden resumirse diciendo que hemos utilizado un lenguaje formal. Un lenguaje formal es un lenguaje artificial que: 1) está construido eligiendo arbitrariamente ciertos símbolos y reglas; 2) en él se prescinde del significado, y 3) se atiende exclusivamente a los símbolos y a las reglas establecidas. La lógica, como las matemáticas, es un lenguaje formal.

b) Componentes de un lenguaje formal.

Un lenguaje formal está compuesto por los siguientes elementos:

a) Un conjunto de símbolos que constituyen su vocabulario. Estos símbolos suelen denominarse símbolos primitivos y el vocabulario que forman, vocabulario primitivo. En el lenguaje formal el vocabulario es mucho más reducido que en el lenguaje natural; los símbolos en un lenguaje formal carecen de significado: las letras x e y del problema que planteábamos más arriba no dignificas nada, carecen de significado. El vocabulario primitivo en los sistemas formales suele estar constituido por letras del abecedario.

b) Un conjunto de operadores. En toda lengua existen unos símbolos especiales que sirven precisamente para enlazar, para relacionar entre sí los símbolos que forman el vocabulario. En el ejemplo que proponíamos al comienzo del apartado anterior, los símbolos =. +, - cumplían la función de enlazar entre sí las letras (x,y) y los números. En el lenguaje formal los símbolos de enlace se denominan operadores.

c) Reglas de formación de fórmulas. Además del vocabulario y de los operadores, todo lenguaje consta de un conjunto de reglas para la formación de fórmulas. En el lenguaje formal las frases bien construidas se denominan fórmulas. Las reglas de formación de fórmulas son aquellas que especifican qué frases están bien construidas y qué frases no están bien construidas.

c) Las reglas de transformación.

Con el vocabulario primitivo, los operadores y las reglas de formación de fórmulas tenemos ya un lenguaje formal. Éste se utiliza fundamentalmente para operar. En el ejemplo de las ecuaciones no nos limitábamos a utilizar símbolos y operadores en fórmulas, sino que operábamos; para operar se necesitan unas reglas que se denominan reglas de transformación.

Las reglas de transformación permiten pasar de unas fórmulas a otras.

3.- LA LÓGICA.

a) Objeto de la lógica.

La lógica es una ciencia que estudia el razonamiento correcto. Hay razonamientos correctos y razonamientos incorrectos:

- Si el señor García se salta el semáforo en rojo, al señor García le ponen una multa. El señor García se ha saltado el semáforo en rojo, Luego, al señor García le ponen una multa. - Si el señor García se salta el semáforo en rojo, al señor García loe ponen una multa, Al señor García le ponen una multa, Luego, el señor García se ha saltado el semáforo en rojo.

El primero de estos razonamientos es correcto. En efecto: si partimos de que el señor García se ha saltado un semáforo en rojo y de que si se lo salta, le ponen una multa, hemos de concluir necesariamente que al citado ciudadano se le viene encima la multa correspondiente.

El segundo razonamiento es incorrecto, a pesar de su aparente semejanza con el anterior.

Aparte de subrayar que hay razonamientos correctos y razonamientos incorrectos, los ejemplos anteriores nos permiten poner de manifiesto dos aspectos importantes de la lógica:

1. En primer lugar, existe un uso natural y espontáneo de la lógica: en sus razonamientos, todo hombre normal usa y aplica un conjunto de leyes lógicas, aun cuando carezca de un conocimientos completo y sistemático de las mismas. La ciencia de la lógica estudia de forma completa y sistemática las leyes del razonamiento correcto.

2. La lógica sólo puede analizar los razonamientos para juzgar acerca de su corrección o incorrección si los razonamientos están expresados lingüísticamente. El razonamiento puede interpretarse como un proceso mental consistente en partir de ciertas aseveraciones para concluir en otra aseveración. En cuanto procesos mentales, los razonamientos tienen lugar en la mente y no son manifiestos para los demás. Y los razonamientos solamente son manifiestos cuando están expresados, formulados en signos lingüísticos.

b) Verdad y validez o corrección.

A veces se dice que un razonamiento es verdadero cuando es correcto, válido, e igualmente que es falso, cuando es incorrecto, inválido. Hablando con precisión, sería mejor no decir de un razonamiento que es verdadero o falso, sino decir que es correcto o incorrecto, válido o inválido.

- Si la Tierra es un planeta, entonces la Tierra gira alrededor del Sol; la Tierra es un planeta, luego: la Tierra gira alrededor del Sol.

- Si la Tierra es un satélite, entonces la Tierra gira alrededor de un planeta; la Tierra es un satélite, luego: la Tierra gira alrededor de una planeta.

Si atendemos a la verdad, entre los dos razonamientos existe una notable diferencia: en el primero de ellos, tanto las premisas como la conclusión son verdaderas; en el segundo, al contrario, son falsas una premisa (la Tierra es un satélite) y la conclusión.

Si atendemos a la validez o corrección, entre ambos razonamientos no existe diferencia ninguna: ambos son válidos, correctos, ya que las premisas de que parten uno y otro permiten extraer sus respectivas conclusiones.

LÓGICA 2011-2012

Anteriormente hemos afirmado que el lenguaje lógico es formal, que en él se prescinde del significado. Aunque aún no hemos estudiado los símbolos de la lógica, vamos a tratar de expresar estos razonamientos en lenguaje formal:

1. p q (si p, entonces q) 2. p ( p ) __________ q ( luego q )

Si se observa el segundo de los razonamientos propuestos, su expresión lógica, formal es exactamente la misma que la del primero. Se trata, pues, de la misma forma de razonamiento que es válida. Una vez que nos hemos situado en este lenguaje formal, se prescinde en absoluto de a qué enunciados se aplicará cada cual esta fórmula. La lógica no puede decidir acerca de la verdad de los enunciados. No puede pronunciarse acerca de si es verdad o no que la Tierra es un satélite o si no lo es. La lógica se limita a establecer cuándo unas determinadas premisas - sean verdaderas o no- permiten extraer una determinada conclusión. Si es así, el razonamiento será válido, correcto, si no es así, el razonamiento será inválido, incorrecto.

II. CÁLCULO LÓGICO. LÓGICA DE PROPOSICIONES.

1.- Nociones básicas de cálculo lógico y de lógica proposicional.

a) Cálculo lógico.

Un cálculo es una operación formal con símbolos sin interpretar. Si multiplicamos 246 por 125, obtendremos como resultado 30750. Estos símbolos podrán ser interpretados de mil maneras, como pesetas, como litros, etc; la operación de multiplicar prescinde, si embargo, de cualquier interpretación de los símbolos. Lo mismo ocurría con el razonamiento expuesto al final del apartado anterior:

1. pq 2. p ________ q

en el cual deducimos la conclusión (q) de las dos premisas dadas. Para construir un cálculo lógico se necesitan los elementos que en el tema anterior señalábamos como elementos del lenguaje formal, es decir, se necesitan un vocabulario primitivo, unos operadores, unas reglas de formación y unas reglas de transformación de fórmulas. Se necesitan, además, unos axiomas, de esta forma se constituye un sistema completo y el cálculo lógico será el conjunto de operaciones que es posible realizar dentro de este sistema.

El sistema formal en el que se realiza un cálculo lógico debe cumplir ciertas condiciones: consistencia, completud, decibilidad.

b) La lógica proposicional.

La lógica proposicional es aquella que estudia las proposiciones sin analizar.

* ¿Que és una proposición o enunciado?:

Todas las plantas son vivientes. El Madrid no ganará la liga. El aire contiene oxígeno. Los estudiantes de bachillerato se van a Cádiz de viaje. ¡Cállate! ¡Ojalá te calles! ¿Te callas? ¡Que pesado eres!

De estas ocho oraciones, las cuatro primeras afirman o niegan algo, por lo tanto pueden ser verdaderas o falsas. Por el contrario, las cuatro últimas no afirman ni niegan algo, sino que expresan un mandato, un deseo, una pregunta y una exclamación: ninguna de ellas puede ser verdadera o falsa. Las cuatro últimas oraciones no son proposiciones, las cuatro primeras si son proposiciones.

Una proposición o enunciado es una oración en la que se afirma o se niega algo y por tanto es verdadera o falsa. La verdad o falsedad de una proposición se denomina en lógica su valor de verdad; puesto que una proposición o es verdadera o es falsa, pero no ambas cosas a la vez, sólamente existen dos valores posibles de verdad, verdadero o falso, que simbolizaremos con los números 1 y 0:

p ________ 1 0

* ¿Que es una proposición sin analizar?

Tomemos la primera proposición “Todas las plantas son vivientes”, esta proposición puede ser analizada, descompuesta en tres elementos: sujeto (todas las plantas), cópula (son) y predicado (vivientes). Este análisis puede servir como punto de partida para un estudio lógico de las relaciones existentes entre los elementos que integran tal proposición. Es posible también prescindir de tal análisis y considerar a la proposición como un todo; en este caso la proposición queda sin analizar.

La diferencia entre el estudio lógico de una proposición analizándola y el estudio lógico de la misma proposición sin analizarla se pone de manifiesto en el modo de simbolizarla. Formas de simbolizar:

a) En lógica de clases A B (la clase de las plantas está incluida en la clase de los vivientes).

b) En lógica de predicados: x (PxVx), (para todo objeto x, si x es una planta, entonces x es un viviente).

c) En lógica proposicional: p.

* Proposiciones atómicas y proposiciones moleculares.

Una proposición atómica es una proposición simple que no puede descomponerse en varias proposiciones (“hace buen tiempo”, “iré al cine”); una proposición molecular es una proposición compleja compuesta de varias proposiciones simples enlazadas entre sí (“si hace buen tiempo, entonces iré al cine”).

* Los símbolos en la lógica proposicional.

Los elementos integrantes de un lenguaje formal son los símbolos que forman el vocabulario primitivo, los operadores y las reglas de formación de fórmulas:

- los símbolos del vocabulario primitivo, son las letras minúsculas a partir de la p (p,q,r,s,etc..) y que simbolizan proposiciones. Estas letras se denominan variables proposicionales.

- En lógica proposicional los operadores sirven para enlazar, para relacionar proposiciones entre sí. En lógica proposicional los operadores se denominan conectores o conectivas; los conectores más comunes son: el negador (¬), el conjuntor (), el disyuntor (), el condiciomal () y el bicondicional ().

LÓGICA 2011-2012

2.- La lógica proposicional y las tablas de verdad.

a) El negador: ¬

Se lee: no, no es el caso que. Es aquel conector que convierte a un enunciado falso en verdadero y a un enunciado verdadero en falso: si p es verdadero, entonces ¬p será falso.

Tabla de verdad:

p ¬p 1

0 0 1

b) Conjuntor:

Se lee: y. Es aquel conector que da lugar a una proposición molecular (pq) que es verdadera solamente en el caso de que las dos proposiciones que la integran sean ambas verdaderas, y es falsa en los otros tres casos.

Tabla de verdad:

p q pq 1

1 0 0

1 0 1 0

1 0 0 0

En castellano existen otras conjunciones como “pero, sin embargo, aunque” etc, que son lógicamente equivalentes a la conjunción.

c) Disyuntor:

Se lee: o. Es aquel conector que da lugar a una proposición molecular (pq) que es verdadera cuando uno de los dos enunciados que la forman es verdadero o los dos lo son, y solamente es falsa cuando los dos enunciados que la forman son falsos.

Tabla de verdad: p q pq 1

1 0 0

1 0 1 0

1 1 1 0

d) Condicional:

Se lee: si....entonces. Si tenemos el enunciado “si llueve en otoño, entonces habrá buena siembra” lo simbolizaremos de la siguiente forma: pq donde p es el antecedente y q es el consecuente del condicional.

El condicional es aquel conector que da lugar a una fórmula que es verdadera siempre que no se dé el caso de que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso.

Tabla de verdad:

p q pq 1

1 0 0

1 0 1 0

1 0 1 1

e) Bicondicional:

Se lee: si y solo si. Es aquel conector que da lugar a una fórmula o proposición molecular (pq) que es verdadera cuando sus dos componentes tienen el mismo valor de verdad, y falsa cuando uno de sus componentes es verdadero y el otro falso.

Tabla de verdad:

p q pq 1

1 0 0

1 0 1 0

1 0 0 1

La proposición bicondicional “el cazador dispara si y solo si ve una perdiz”, equivale a la conjunción de estos dos condicionales: “si el cazador dispara entonces ve una perdiz y si ve una perdiz, entonces el cazador dispara”; es decir, pq equivale a la conjunción (pq)(qp).

3.- La utilización de símbolos auxiliares. Corchetes y paréntesis.

Los símbolos auxiliares son : [ corchetes y ( ) paréntesis. La función que desempeñan estos símbolos consiste en indicar:

a) cómo están agrupados los componentes de una fórmula.

b) cuál es el conector principal (denominado también dominante) en una fórmula o en un conjunto de fórmulas.

Sobre esto último pueden establecerse las siguientes normas de carácter general:

es dominante en cualquier fórmula.

domina a

tienen la misma fuerza

¬ puede dominar a todos los demás conectores.

Ejemplos:

(pq)r (si p y q , entonces r)

( pq)(rs) ( p y q o r y s)

¬[(pq)(rs) ( no es el caso que si, si p, entonces q, entonces si r y s)

4.- Tablas de verdad de cualquier fórmula dada.

La utilización de estas tablas de verdad sirve para hallar la tabla de verdad de cualquier fórmula; cada una de las variables puede obtener dos valores de verdad: 1 y 0, por tanto, el número de combinaciones posibles es de 2 2 = 4. Si en lugar de dos variables proposicionales utilizásemos 3 (p, q, r), las combinaciones posibles serían 23 = 8. Para n variables será: 2n .

5.- Tautología, contradicción e indeterminación.

- Tautología, es una fórmula que es siempre verdadera, sean cuales sean los valores de verdad de las proposiciones que la integran.

- Contradicción, es una fórmula que es siempre falsa, sean cuales sean los valores de verdad de las proposiciones que la integran.

- Indeterminación, es una fórmula que puede ser verdadera o falsa, según qué valores de verdad correspondan a las proposiciones que la integran.

LÓGICA 2011-2012

III. UTILIZACIÓN DE LAS TABLAS DE VERDAD PARA LA COMPROBACIÓN DE LA VALIDEZ DE LOS RAZONAMIENTOS.

1.- Conversión de un razonamiento en una fórmula condicional y comprobación de su validez mediante tablas de verdad.

1.1. Conversión de un razonamiento en una fórmula condicional.

Por definición podemos hacer la siguiente equivalencia: todo razonamiento equivale a una fórmula condicional cuyo antecedente está formado por la conjunción de las premisas del razonamiento, y cuyo consecuente es la conclusión de dicho razonamiento.

El razonamiento:

(1) pq (2) p ____________ __ q

puede transformarse en una fórmula condicional de la siguiente manera: 1) Se toman las premisas y se forma con ellas una conjunción:

(pq)p 2) Se compone la nueva fórmula condicional, que tiene por antecedente la conjunción de las premisas y por consecuente la conclusión que de ellas se derivaba:

[(pq)pq

Esta nueva fórmula es equivalente al razonamientos anterior.

1.2 Comprobación de la validez de un razonamiento mediante las tablas de verdad.

Por definición: una conclusión se deriva de algunas premisas, cuando el condicional formado por la conjunción de tales premisas y la conclusión es una tautología. Para comprobara que tal fórmula condicional es una tautología utilizaremos una método ya conocido: las tablas de verdad.

Si tomemos la fórmula anteriormente obtenida y calculemos su tabla de verdad:

p q pq (pq)p [(pq)pq 1

1 0 0

1 0 1 0

1 0 1 1

1 0 0 0

1 1 1 1

Por lo tanto:

a) la conclusión se deriva de las premisas. b) luego el razonamiento es correcto.

Si el resultado de la tabla fuese una contradicción o una indeterminación, el razonamiento sería no-válido.

2.- Comparación de los valores de verdad de las premisas con los valores de verdad de la conclusión.

Por definición: un razonamiento es válido cuando de premisas verdaderas no se deducen conclusiones falsas.. Por tanto, si se diera el caso de que todas las premisas tienen valor de verdad 1 y la conclusión tiene valor de verdad 0, el razonamiento sería no-válido. Si, por el contrario, no se da el caso de que las premisas tengan valor de verdad 1 y la conclusión valor de verdad 0, el razonamiento será válido o correcto.

Tomemos el razonamiento anterior:

(1) pq (2) p __________ --- q

Coloquemos los valores de verdad de las premisas y de la conclusión:

pq p q

1 0 1 1

1 1 0 0

1 0 1 0

Viendo atentamente el último gráfico se observa: que no hay ninguna fila en la cual las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa

IV. UTILIZACIÓN DE LAS REGLAS DE TRANSFORMACIÓN PARA COMPROBAR LA VALIDEZ DE UN RAZONAMIENTO.

En la parte precedente hemos expuesto dos métodos sencillos para comprobar la validez de los razonamientos utilizando la construcción de tablas de verdad. El primero de ellos consiste en convertir todo el razonamiento en una fórmula condicional y comprobar a continuación se tal fórmula es una tautología: si lo es, el razonamiento es válido; si no lo es, el razonamiento en inválido. El segundo método consiste sencillamente en hallar las tablas de verdad de cada una de las premisas y de la conclusión y comprobar a continuación si no hay ninguna línea en la cual todas las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa: si no hay ninguna línea en que ocurra esto, el razonamiento es válido; si en alguna línea (aunque sea solamente en una) todas las premisas tienen valor de verdad 1 y la conclusión tiene valor de verdad 0, el razonamiento no es válido.

Estos dos métodos de comprobar la validez de un razonamiento dado son rigurosos y fáciles pero tienen el inconveniente de que a medida que intervienen más variables proposicionales se hacen más complicados. A partir de tres variables proposicionales (p, q, r) es posiblemente más cómodo recurrir a las reglas de transformación. El alumno ya sabe qué son las reglas de transformación en un lenguaje formal: son aquellas reglas que permiten operar, pasando de unas fórmulas a otras, transformando unas fórmulas en otras. Recuerda el ejemplo de las ecuaciones que proponía en el tema anterior.

El proceso de transformación de fórmulas exige utilizar unas reglas de inferencia. Hasta ahora el alumno solamente conoce los símbolos del vocabulario primitivo y las conectivas. A partir de ahora no tendrá más remedio que conocer también las reglas de inferencia.

1.- Regla, ley y esquema de inferencia.

De todas las formas de deducción posibles dentro de la lógica proposicional, el alumno solamente ha tenido ocasión de asomarse a una relacionada con las proposiciones condicionales:

(1) Si la Tierra es un planeta, entonces la Tierra gira alrededor del Sol. (2) la Tierra es una planeta ________________________________________________________ ---- la Tierra gira alrededor del Sol.

LÓGICA 2011-2012

a) Este razonamiento es correcto porque se acomoda a una regla de inferencia (denominada Modus Ponens). Una regla es una información que nos indica cómo se puede operar para pasar de unas proposiciones a otras en una deducción, de manera siempre válida. Las reglas se formulan en lenguaje no-formal.

b) Toda regla puede expresarse en un esquema de inferencia. Así, la regla anterior (Modus Ponens) puede expresarse en el siguiente esquema:

(1) pq (2) p ___________ ---- q

Un esquema es una regla puesta de tal modo que en ella se reflejen las premisas y la conclusión, separadas aquéllas de ésta por una línea horizontal llamada línea de inferencia.

c) Todo razonamiento equivale a una fórmula condicional cuyo antecedente está formado por la conjunción de las premisas y cuyo consecuente es la conclusión.

Puesto que el esquema en que se expresa una regla de inferencia es siempre válido, la fórmula condicional del mismo es siempre una tautología, una ley. De ahí que:

* en lógica se denomina ley a una tautología; * los esquemas de inferencia pueden expresarse en forma de leyes.

Al expresar la regla y su esquema correspondiente en forma de leyes, tendremos una fórmula condicional que es una tautología.

2.- Reglas de transformación de fórmulas.

ESQUEMA REGLA

1. De la negación

a) p

__________

p

b) p

__________

p

Doble negación (DN). Si tenemos la premisa p, se puede concluir su doble negacion, y a la inversa.

ESQUEMA REGLA

2. De la conjunción

a) p q

__________

p

b) p p

__________

q

Simplificación (S). Si tenemos como premisa una conjunción, se puede inferir por separado cualquiera de las dos proposiciones atómicas que la forman.

(1) p

(2) q

_________

p q

Conjunción (Con). Si tenemos como premisas dos proposiciones atómicas, se puede inferir como conclusión la conjunción de las dos.

p q

________

p

Idempotencia (Id). De la conjunción de una proposición atómica consigo misma, se infiere dicha proposición separadamente.

3. De la disyunción

a) (1) p q

(2) p

__________

q

b) (1) p q

(2) q

__________

p

Silogismo disyuntivo (SD). Si tenemos como premisas una disyunción (pq) y la negación de una de las dos alternativas, ( p), (q), se infiere la afirmación de la otra alternativa de la disyunción, (p), (q).

ESQUEMA REGLA

p

________

p q

Adición (Ad). Si tenemos como premisa una fórmula atómica (p), se puede inferir la disyunción de tal fórmula atómica (p) con cualquier otra proposición.

p p

________

p

Idempotencia (Id). De la disyunción de una proposición atómica consigo misma, se infiere dicha proposición separadamente.

LÓGICA 2011-2012

4. Del condicional

(1) p q

(2) p

__________

q

Modus ponens (MP). Teniendo como premisas una fórmula condicional y su antecedente, podemos inferir como conclusión el consecuente del condicional.

(1) p q

(2) q

__________

q

Modus tollens (MT). Si las premisas son una fórmula condicional y la negación del consecuente, podemos inferir como conclusión la negación del antecedente del condicional.

(1) p q

(2) q r

__________

p r

Transitividad (Tr). Teniendo como premisas dos fórmulas condicionales de las que el consecuente de la primera es el antecedente de la segunda, se infiere una nueva fórmula condicional con el antecedente de la primera condicional y el consecuente de la segunda.

ESQUEMA REGLA

5. Del bicondicional

a) p q

__________

p q

b) p q

__________

q p

c) p q

_________________

(pq) (qp)

Bicondicionalidad (Bi). De una premisa bicondicional se infieren: a) cualquiera de las dos proposiciones condicionales que la forman; b) la conjunción de las condicionales que la forman.

6. Otras reglas

(1) p q

(2) p r

(3) q s

__________

r s

Dilema (Dil). Teniendo como premisas una disyunción y dos condicionales, cuyos antecedentes son las proposiciones atómicas que forman la disyunción, se puede inferir una nueva disyunción con los consecuentes de las dos condicionales.

SQUEMA REGLA

a) p q

__________

q p

b) p q

__________

q p

Conmutativa (Co). Si tenemos una conjunción, se infiere de ella otra conjunción en la cual las proposiciones atómicas que la forman cambian su posición respectiva. (Esta regla vale también para la disyunción)

a) p (q r)

______________

(p q) r

b) p (q r)

______________

(p q) r

Asociativa (As). Teniendo como premisas la conjunción de una proposición atómica y otra molecular conjuntiva, se puede inferir una nueva conjunción en la cual las conjunciones que la forman se agrupan de distinto modo. (Esta regla es válida también para la disyunción)

a) p (q r)

_________________

(p q) (p r)

b) p (q r)

_________________

(p q) (p r)

Distributiva (Dis). a) De la conjunción respecto a la disyunción: de la conjunción de una proposición atómica y de otra molecular, se puede inferir la disyunción de dos fórmulas moleculares que son conjuntivas. b) De la disyunción respecto a la conjunción: de la disyunción de una proposición atómica y de otra molecular conjuntiva, se puede inferir la conjunción de dos fórmulas moleculares que son disyuntivas.

LÓGICA 2011-2012

V. LA LÓGICA INFORMAL

La lógica formal permite comprobar la validez de los argumentos que pueden utilizarse en cualquier tipo de proceso comunicativo. Pero también podemos comprobar que la utilización de argumentos formalmente válido no es suficiente para asegurar el éxito en la comunicación. Un argumento puede ser formalmente válido a pesar de que alguna de las premisas y la conclusión sean falsas y, en cuanto descubrimos eso, el argumento deja de ser convincente.

En la vida cotidiana utilizamos a menudo argumentos que no son formalmente válidos, pero que consideramos razonablemente correctos. Algunos autores llaman argumentaciones correctas a los argumentos en los que la conclusión se apoya en las premisas, aunque tal apoyo se entienda en un sentido amplio. Son argumentos cuya fuerza probatoria depende de que se cumplan o no ciertas condiciones ligadas al contexto concreto en el que se utilizan, (por ejemplo, los argumentos utilizados en un proceso judicial). La lógica informal estudia las condiciones que deben cumplir los argumentos para ser correctos: el diálogo argumentativo.

El diálogo argumentativo es un juego lingüístico en el que dos o más participantes intercambian mensajes respetando ciertas reglas que les comprometen a cooperar para que se alcance el objetivo del diálogo.

Reglas del diálogo argumentativo.

Principio cooperativo: contribuye a que la conversación se desarrolle tal y como lo exige el objetivo o propósito que le corresponda (éste será distinto en función del contexto de la conversación: en un tribunal, en una reunión de delegados, en una comida familiar,...). Este principio implica obligaciones como las siguientes: no utilices premisas no admitidas por los demás interlocutores para apoyar una conclusión que pretendes que sea admitida por todos; define, aclara o justifica el significado de los términos que utilices, lleva el peso de la prueba cuando te corresponda, no hagas que tu interlocutor lleve el peso de la prueba cuando no le corresponda, no intentes forzar prematuramente la clausura del diálogo.

Regla de la cantidad: proporciona tanta información como sea necesaria para mantener tu punto de vista.

ESQUEMA REGLA

a) p q

_________________

( p q)

b) p q

_________________

( p q)

c) (p q)

_________________

p q

d) ( p q)

_________________

p q

De Morgan (DM). a) De una disyunción se puede inferir una conjunción en la cual queda negada toda la fórmula y también cada una de las proposiciones que la forman.

b) De una conjunción se puede inferir una disyunción en la cual queda negada toda la fórmula y también cada una de proposiciones que la forman.

(Obsérvese que en c y d se han seguido los tres pasos dados en a y b)

Regla de la cualidad: no digas lo que creas que es falso y no trates de mantener a toda costa una opinión de la que no tengas pruebas suficientes.

Regla de la relevancia: debes ser relevante, esto es, centra tu intervenciones en el asunto sobre el que se dialoga y no cambies de tema sin permiso.

Regla de modo: explícita con claridad, sin ambigüedades, con brevedad y ordenadamente.

Los errores en la argumentación o falacias.

La palabra “falacia” se utiliza para designar aquellas argumentaciones que son incorrectas, pero que parecen correctas. Se llaman sofismas a las falacias que se expresan intencionalmente y paralogismos a las que se expresan sin intención. Las falacias son maneras de razonar que violan las reglas del diálogo argumentativo.

Preguntas complejas: son preguntas que conllevan presuposiciones. Ejemplo: “¿Se ha arrepentido usted de ese crimen atroz?”, presupone que el individuo ha cometido el crimen.

En ocasiones puede ser adecuado hacer este tipo de preguntas, pero a menudo se hacen para tender una trampa y ofuscar al interlocutor.

Argumento ad ignorantiam: se pretende que un enunciado sea falso porque nadie ha demostrado que es verdadero, o a la inversa. Ejemplo: “No se ha podido demostrar que los extraterrestres no existen, por tanto existen”.

En algunas ocasiones este argumento puede ser utilizado, (en un juicio cuando no se aporta ninguna prueba que inculpe al acusado el juez puede declararlo inocente). Pero en muchas ocasiones estos argumentos violan las reglas de la argumentación porque pretenden que sea el interlocutor el que aporte las pruebas, que lleve el peso de la prueba.

Argumento circular: consiste en hacer una declaración y defenderla presentando “razones” que significan lo mismo que la primera aserción. Ejemplo: “¿Por qué la porcelana se rompe tan fácilmente?. Porque es frágil”.

Los argumentos de esta clase son defectuosos porque no ayudan a conseguir el objetivo del diálogo, que es probar una tesis partiendo de premisas aceptadas por todos los interlocutores, puesto que con tales argumentos no se prueba nada.

Argumento ad hominem: se pretende refutar la opinión ajena atacando a la persona que la mantiene, sin entrar en el tema de la discusión. Ejemplo: ”Roberto ha dicho que mañana hay clase, pero seguro que no hay, porque Roberto es un mentiroso”.

Este recurso tiene cierto valor en determinadas situaciones, por ejemplo en las discusiones sobre cómo debemos comportarnos; pero no es válido en absoluto en otras situaciones, como un discurso político.

Argumento de autoridad: se trata de intentar defender una opinión son presentar las pruebas pertinentes, apelando únicamente a la autoridad que la defiende o la ha defendido. Ejemplo: si ignoramos totalmente algo acerca de la mecánica relativista es bastante lógico apelar a Einstein para defender una tesis que también ha defendido él.

Es un argumento falaz cuando se intenta justificar una opinión que pertenece a cierto campo del saber, apelando a la autoridad de alguien que es una eminencia en un campo distinto; o cuando se insiste excesivamente en al referencia a la autoridad y trata de suprimir las respuestas críticas que se le puedan presentar.

Argumento ad baculum: (el bastón). Son los que presentan algún tipo da amenazas como si fueran razones para apoyar una determinada opinión o consejo. Ejemplo: Anuncio de Tráfico: “Las imprudencias las pagas tú”.

Podrá ser criticado de consejo poco conveniente o poco eficaz, pero no siempre es incorrecto. Se convierte en un argumento falaz cuando no deja libertad a los demás para decidir libremente si aceptan o no la conclusión. Argumento ad populum: se recurre a provocar el entusiasmo u otros sentimientos de las personas

con el fin de que otorguen su asentimiento a lo que sostiene el hablante sin aportar pruebas. Ejemplo: argumentos de chantaje afectivo, publicidad, campañas electorales, etc.

Son falaces porque impiden que se avance en la consecución del objetivo del diálogo razonado: dar buenas razones para apoyar las opiniones y creencias.

LÓGICA 2011-2012

Argumento ex populo: consiste en defender un determinado punto de vista alegando que todo el mundo está de acuerdo con esa opinión. Ejemplo: “Todo el mundo admite que Dios existe, pues Dios existe”.

Son argumentos que, aunque no son deductivamente válidos, tienen mucha fuerza persuasiva. Argumento post hoc, ergo propter hoc, de la falsa causa: es estos argumentos se dice que A es la

causa de B, porque A precede en el tiempo a B. Ejemplo: “Antes de que desapareciera el pastel José pasó por allí. Así que, José se ha comido el pastel”.

El error de este argumento consiste en establecer una relación causa-efecto sin una base empírica. Está muy relacionado con el surgimiento de las supersticiones.

La generalización apresurada o indebida: consiste en pasar de una proposición particular a una proposición universal. Ejemplo: “Algunos alumnos de 1º BH han roto la puerta. Es que todos los alumnos de 1º BH son unos salvajes”.

Este paso sería correcto si se comprobase en todos los caso, pero como la mayoría de las veces esto es imposible, suele ser un argumento falaz.

Argumento de la pendiente resbaladiza: se trata de argumentos basados en el llamado “efecto dominó”. Ejemplo: “Si suspendo el examen, repetiré curso. Si repito curso, mi padre me castigará sin vacaciones. Si no voy de vacaciones, no veré a mi novio. Si no veo a mi novio, se irá con otra”.

En ocasiones puede ser razonable la utilización de una estrategia argumentativa como esta, puesto que muchas veces los sucesos se encadenan unos con otros. Pero otras veces se utilizan estos argumentos de un modo tramposo, afirmando la existencia de una conexión entre dos hechos sin aportar prueba, o siendo éstas de muy poco valor.

Algunos ejemplos de paradojas.

Una de las características de los lenguajes naturales es su universalismo; el lenguaje puede expresar cualquier cosa. El precio que paga por ello es su ambigüedad, concretamente la existencia de paradojas. Veamos algunas de las paradojas más célebres:

a) La paradoja del barbero de Russell: El alcalde de un pueblo ordena que ningún hombre se afeite a sí mismo y que todos sean afeitados por el barbero del pueblo. La paradoja, en forma de dilema, se le presenta al propio barbero. La orden del alcalde le prohíbe expresamente afeitarse a sí mismo y a la vez se lo ordena.

b) Cervantes apunta otra paradoja: en el extremo de un puente había una mesa con un juez y una horca a su lado; la orden que tenía el juez era la de interrogar a los caminantes que cruzaban el puente. Si decían la verdad, podían continuar tranquilamente. Si mentían, serían ahorcados. La paradoja estriba en el dilema que se le planteó al juez cuando preguntó a un viandante a dónde iba, y este le respondió que iba a ser ahorcado. Si el juez le dejaba marchar, era evidente que había mentido y por ello debía ser ahorcado; sin embargo, si le ahorcaba realmente, cometía injusticia manifiesta, pues le ahorcaba por decir la verdad.

c) Hay abundantes paradojas gramaticales. Por ejemplo: “el adjetivo inglés no es inglés”; “el término bisílabo no es bisílabo”, etc. Son dos ejemplos de una caso más general: la paradoja de los adjetivos heterólogos de Grelling. Heterólogo es aquel adjetivo calificativo que no puede calificarse a sí mismo. Los adjetivos inglés y bisílabo son heterólogos, porque no se califican a sí mismos. El adjetivo castellano es autólogo porque se califica a sí mismo, es decir, es castellano; el adjetivo polisílabo es polisílabo. Pero el propio adjetivo heterólogo, ¿es heterólogo, o no lo es?. La paradoja consiste en que si heterólogo es heterólogo, entonces no es heterólogo; y si heterólogo no es heterólogo, entonces es heterólogo.

d) Las paradojas son habituales en el lenguaje corriente: el lenguaje es vehículo y a la vez obstáculo, como decía Unamuno. “Si el alma es la que habla, entonces ya no es el alma la que habla”. Mandatos como “¡Sé espontáneo!”, a la vez que ordena la espontaneidad, por la misma razón nos la impide. El cartel que prohíbe fijar carteles en una pared es otra contradicción.

Las paradojas son consecuencia de la universalidad y ambigüedad del lenguaje natural: el lenguaje natural posee la propiedad de ser reflexivo, tiene la propiedad de poder hablar acerca de sí mismo. Por eso es necesario distinguir entre el metalenguaje y el lenguaje objeto: el lenguaje en el que se dice que un hecho es verdadero no puede ser del mismo orden o nivel que el lenguaje con el que se expone este hecho y del cual se dice que es verdadero, sino de orden inmediatamente superior.