Explicació de les taules de veritat (Àlex Lluch)

Una taula de veritat és un procediment per determinar el valor de veritat d'una fórmula lògica en funció de les proposicions que la componen.

Taula de veritat de les proposicions moleculars

1. Fixa't en el número de proposicions atòmiques (p, q...) que tens.2. Proposicions atòmiques i files:

a) Si hi ha 1 proposició atòmica, hauràs de fer 2 files.

p proposició 1

1 fila 1

0 fila 2

b) Si en tenim 2, cal fer-ne 4.

p q proposicions 2

1 1 fila 1

1 0 fila 2

0 1 fila 3

0 0 fila 4

c) Si n'hi ha 3, necessitaràs 8 files.

p q r proposicions 3

1 1 1 fila 1

1 1 0 fila 2

1 0 1 fila 3

1 0 0 fila 4

0 1 1 fila 5

0 1 0 fila 6

0 0 1 fila 7

0 0 0 fila 8

d) Quan hi haja n proposicions atòmiques n'hauràs de fer una taula amb 2n files.

3. Un volta tingues construïda la taula, hauràs de donar tots els valors possibles a cadascuna deles proposicions atòmiques. Per a cadascun d'aquestos conjunts de valors hauràs de calcular el valor de veritat dels connectors que els relacionen en la fórmula. a) És necessari introduir els valors de veritat tal com estan en l'exemple.

Explicació de les taules de veritat (Àlex Lluch)

Aplicarem les taules de veritat als connectors lògics que hem estudiat.

Negació Per a qualsevol proposició p, el valor de veritat de ¬p és el contrari del que tinga p.El que aquesta taula vol dir és que, si p és veritable, llavors ¬p és falsa. En canvi, si p és falsa, ¬p ésveritable. La taula ens permet representar això mateix d'una manera molt més clara i visual.

p ¬p

1

0

ConjuncióEn el cas de la conjunció, la taula de veritat ha d'incloure els possibles valors de les dues proposicions p i q. Per això necessitem 4 files, ja que per a cada un dels dos possibles valors de veritat de p tenim també dues possibles valors de veritat per q.Com pots veure, la conjunció només és vertadera si p i q són dues veritables. En tots els altres casosla conjunció és falsa.

p q p ^ q

1 1

1 0

0 1

0 0

DisjuncióLa taula de veritat de la disjunció també té 4 files:Perquè la disjunció siga vertadera, cal que almenys una de les dues proposicions siga vertadera. La disjunció només és falsa quan tant p com q són falses.

p q pvq

1 1

1 0

0 1

0 0

Explicació de les taules de veritat (Àlex Lluch)

Implicació (o condicional)La implicació només és falsa quan p (l'antecedent) és veritable i q (el conseqüent) és falsa. En tots els altres casos la implicació és veritable.

p q p→q

1 1

1 0

0 1

0 0

Coimplicació (bicondicional)La coimplicació o bicondicional és vertader sempre que p i q siguen les dues vertaderes o les dues falses.

p q p↔q

1 1

1 0

0 1

0 0

4. Al desenvolupar una taula de veritat més complexa és molt important tindre en compte l'ordre. Cal respectar els parèntesis i la prioritat dels distints connectors possibles.

Sempre has de començar per l'interior dels parèntesis, deixant per més tardel càlcul dels connectors que lliguen els parèntesis entre si. Es recomananumerar l'ordre dels càlculs que cal realitzar.

Exemple

p q pvq ¬p (pvq) ^ ¬p Considerem la fórmula (pvq) ^ ¬p. En aquest cas, com tenim 2 proposicions moleculars p, q, necessitarem una taula amb 22 = 4 files.

1. Haurem de calcular el valor de veritat de (pvq), que apareix entre parèntesis.

2. Després, caldrà calcular el valor de veritat de ¬p.3. Finalment, haurem de calcular el valor de veritat de la

conjunció d'aquestes dues fórmules.El resultat de la taula ens permet afirmar que la fórmula (pvq) ^ ¬p únicament és veritable quan p és falsa i q és veritable.

1 1 1 0 0

1 0 1 0 0

0 1 1 1 1

0 0 0 1 0

Explicació de les taules de veritat (Àlex Lluch)

Tautologies, contradiccions i indeterminacions

Al realitzar la taula de veritat d'una expressió lògica, el que estem calculant és el valor de veritat que té la proposició representada per aquesta fórmula. Aquest valor de veritat es mostra en l'última columna que hem calculat en la taula. I això ens pot conduir a tres situacions diferents.

TautologiaQuan a la columna corresponent a la fórmula tots els resultats siguen 1, això voldrà dir que l'expressió sempre és veritable siga quin siga el valor de veritat de les proposicions que la componen. Aquestes fórmules es denominen tautologies. En lògica, les tautologies són particularment importants per trobar lleis lògiques i formes vàlides de raonament.

Una tautologia és una proposició que sempre és veritable

p ¬p pv¬p

1 0

0 1

ContradiccióSi a la columna de la fórmula tots els resultats són 0, llavors l'expressió és sempre falsa. Aquestes fórmules es diuen contradiccions.

Una contradicció és una proposició que sempre és falsa

p ¬p p^¬p

1 0

0 1

IndeterminacióEn el cas que la columna de la fórmula tinga 1 i 0, diem que l'expressió és indeterminada, perquè enalgunes ocasions és vertadera i en altres és falsa.

Una indeterminació és una proposició que pot ser veritable o falsa segons el cas

p ¬q p^¬q

1 1

1 0

0 1

0 0

Explicació de les taules de veritat (Àlex Lluch)

ExempleAquesta taula d'expressió (p→q)^p→q què és? Tautologia, contradicció o indeterminació?

p q p→q (p→q)^p (p→q)^p→q

1 1

1 0

0 1

0 0