M A T R I C E S

Matriz es un ordenamiento rectangular de términos llamados elementos, limitados entre paréntesis rectangulares [ ], circulares ( ) o dos líneas verticales .

Su uso principal es para facilitar el estudio de problemas en los cuales la relación entre los elementos es fundamental.

Un ejemplo de este tipo de relación es la solución de ecuaciones lineales simultáneas.

Las matrices no tienen valor numérico como los determinantes; y estos a diferencia de los determinantes, pueden ser cuadrados o rectangulares.

Una matriz cuadrada es la que tiene un mismo número de filas y de columnas y su grado u orden será N x N; pero si tiene M filas y N columnas entonces se dice que es de orden M x N, siempre pondremos primero en número de filas y luego el número de columnas.

Ejemplo:Es una matriz cuadrada de orden 3x3

1 1 1

2 2 2

3 3 3

a b c

a b c

a b c

÷ ÷ ÷

3x3

Es una matriz rectangular de orden 3x4

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a b c d

a b c d

a b c d

3x4

La posición de los elementos de una matriz se determina con dos subíndices, los cuales indicarán la fila y la columna en donde esté el elemento de referencia.

Ejemplo:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

÷ ÷ ÷

11 1

1

n

m mn

a a

a a

÷ ÷ ÷

K

M O M

L

En toda matriz existen relaciones entre sus elementos:

Los elementos de una matriz cuadrada pueden por su ordenamiento, considerarse como el determinante de una matriz.

Únicamente las matrices cuadradas pueden tener determinante.

Matriz Transpuesta:

Si los elementos de una matriz intercambian su posición de manera que las filas sean columnas y las columnas filas, esta matriz se llama matriz transpuesta. Si la matriz se representa por A, su transpuesta será A’.

Ejemplo:

A = 1 1 1

2 2 2

a b c

a b c

y A’= 1 2

1 2

1 2

a a

b b

c c

2x3 3x2

Matriz Adjunta o Comatriz

Es una matriz cuadrada formada por los cofactores de la matriz transpuesta de la

matriz cuadrada original, se representa por [ ]A r.

Para comprender este tipo de matriz es necesario recordarlo qué es un cofactor.Cofactor de un elemento de una matriz, es lo mismo que el menor de un determinante con respecto a un elemento determinado, anteponiéndole el signo que le corresponde, de acuerdo a la regla de los signos.

Ejemplo:

Sea la matriz [ ]A

A=

3 1 2

5 1 0

0 2 4

−

3x3

Fila

3 3

1 1 1

2 2

3

a b

a c

b c

c

a

÷ ÷ ÷

O

Columna

Diagonal Principal

Diagonal Secundaria

Sea la matriz transpuesta [ ]'A

A’=

3 5 0

1 1 2

2 0 4

−

3x3

Sea la matriz adjunta o comatriz rA

rA =

1 2 1 2 1 1

0 4 2 4 2 04 8 2

5 0 3 0 3 520 12 10

0 4 2 4 2 010 6 2

5 0 3 0 3 5

1 2 1 2 1 1

− − + − + − − + + − + − = − + − − + − + − −

La matriz Adjunta buscada:

rA =

4 8 2

20 12 10

10 6 2

− − − − −

3x3Multiplicación de una matriz por otra:

Para efectuar esta operación es necesario que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz:

Ejemplo:

A (M x N) y B (N x J) la matriz resultante será C (M x J).

En la multiplicación de matrices no se puede aplicar la “propiedad conmutativa” A x B ≠ B x A

A= 1 2

2 4

−

B=3 5

1 1

2x2 2x2

Encontrar A x B= C (multiplicamos fila por columna)

C=1 2 3 5 (1)(3) ( 2)(1) (1)(5) ( 2)(1) 1 3

2 4 1 1 (2)(3) (4)(1) (2)(5) (4)(1) 10 14

− + − + − = = + +

C= 1 3

10 14

2x2

Multiplicar D3x3 x E3x1 =F3x1

D=

5 1 3

1 3 5

2 2 1

− − − − −

x E=

4

2

0

+ − +

3 x3 3x1

F=

5 1 3 4 ( 5)(4) (1)( 2) ( 3)(0) 22

1 3 5 2 (1)(4) ( 3)( 2) ( 5)(0) 10

2 2 1 0 (2)(4) ( 2)( 2) (1)(0) 12

x

− − + − + − + − − − − − = + − − + − = + − + + − − + +

F=

22

10

12

− + +

3x1