1. MAPAS DE PROGRESO DEL APRENDIZAJEMATEMTICA: Nmeros y operacionesPlantea y resuelve situaciones problemticas de cantidades con soluciones pertinentes al contexto,que implican la construccin del signicado y el uso de los nmeros, sus relaciones y operaciones,empleando diversas representaciones y estrategias de resolucin.

2. MATEMTICA:Nmeros y operaciones 3. Directorio:Peregrina Morgan Lora (Presidenta)Jorge Castro LenLiliana Miranda MolinaAnglica Montan LoresCarlos Rainusso YezCoordinacin Tcnica:Vernica Alvarado BonhoteEquipo Tcnico Responsable:IPEBA - PROGRAMA ESTNDARES DE APRENDIZAJECoordinacin GeneralCecilia Zevallos Atoche (Coordinadora General)Alfredo Altamirano IzquierdoLilian Isidro CmacAsesora NacionalJessica Tapia SorianoEquipo de MatemticaCecilia Zevallos AtocheJavier lvarez QuirhuayoPilar Butrn CasasLilian Isidro CmacPatricia Paz HuamnAsesores de MatemticaCecilia Gaita IparraguirreClaudio Tapia FuentesMINISTERIO DE EDUCACINDireccin General de Educacin Bsica RegularMara Isabel Daz MaguiaGabriela Rodrguez CabezudoPedro Collanqui DazRoger Saavedra SalasDireccin de Educacin Superior PedaggicaAna Mara Barboza VegaRal Hilares TrujilloDireccin General de Educacin Intercultural, Bilinge y RuralMartha Villavicencio UbillsUnidad de Medicin de la Calidad EducativaMiriam Arias Reyesrsula Asmad FalcnOlimpia Castro MoraComisin de ExpertosTeresa Arellano BadosGustavo Cruz AmpueroMnica Cabrera OrtegaClaudia Scoli PoslemanAlberto Meja ManriqueHecho el Depsito Legal en la Biblioteca Nacional del Per N 2013-11912ISBN 978-612-46406-4-3Diseo: Rubn ColoniaTiraje: 13 000 ejemplaresLima, setiembre de 2013Impresin: Centro de Produccin Editorial e Imprenta de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos (CEPREDIM) Sistema Nacional de Evaluacin, Acreditacin y Certificacin de la Calidad Educativa - SINEACE Instituto Peruano de Evaluacin, Acreditacin y Certificacin de la Calidad de la Educacin Bsica (IPEBA).Calle Ricardo Angulo 266, San Isidro. Lima 27. Per.Telfonos: / (51-1) 223-2895, Fax: (51-1) 224-7123 anexo 112E-mail: cir@ipeba.gob.pe / www.ipeba.gob.peSe autoriza la reproduccin total o parcial siempre y cuando se mencione la fuente. 4. NDICEPresentacinMapas de Progreso de MatemticaEl Mapa de Progreso de Nmeros y OperacionesGlosarioReferencias bibliogrficas5783641PrevioEjemplos de indicadores de desempeo y trabajos de estudiantes10III CicloEjemplos de indicadores de desempeo y trabajos de estudiantes14IV CicloEjemplos de indicadores de desempeo y trabajos de estudiantes18V CicloEjemplos de indicadores de desempeo y trabajos de estudiantes22VI CicloEjemplos de indicadores de desempeo y trabajos de estudiantes26VII CicloEjemplos de indicadores de desempeo y trabajos de estudiantes30DestacadoEjemplos de indicadores de desempeo y trabajos de estudiantes33 5. 4 6. 5PRESENTACINGarantizar el derecho a la educacin es un compromiso por la formacin integral de los estudiantes.Para ello, es necesario que logren los aprendizajes esperados durante su trayectoria escolar. El Ministeriode Educacin y el Instituto Peruano de Evaluacin, Acreditacin y Certificacin de la Educacin Bsica IPEBA, en un trabajo conjunto, estn elaborando los Mapas de Progreso del Aprendizaje, como unaherramienta que coadyuve a mejorar la calidad del servicio que ofrecen las instituciones educativas,pblicas y privadas, a los estudiantes del pas.Con este propsito se est desarrollando un sistema curricular destinado a asegurar los aprendizajesque requieren los nios, nias y adolescentes en el pas, y a orientar la labor de los docentes en lasaulas. Dicho sistema est compuesto, bsicamente, por el Marco Curricular, los Mapas de Progreso ylas Rutas de Aprendizaje, y se constituye en el orientador y articulador de los Currculos Regionales.El Marco Curricular comprende el conjunto de aprendizajes fundamentales que todos deben alcanzaren la educacin bsica. Los Mapas de Progreso describen con precisin lo que los estudiantes debensaber, saber hacer y valorar, de manera graduada en cada ciclo de la educacin bsica, y ofrecencriterios claros y comunes para monitorear y evaluar dichos aprendizajes. Las Rutas del Aprendizajeapoyan la labor de los docentes y orientan sus estrategias especficas de enseanza con el fin defavorecer el aprendizaje.Considerando que el aprendizaje es un proceso continuo, que se desarrolla a lo largo de la vida,los Mapas de Progreso posibilitan apreciar el avance progresivo de tal aprendizaje, facilitando laarticulacin de los niveles y etapas del sistema educativo pero, sobre todo, el acompaamiento de loslogros de los estudiantes, para que todos puedan aprender y nadie se quede atrs.La elaboracin de los Mapas de Progreso se realiza en un equipo integrado por especialistas de IPEBAy del Ministerio de Educacin, que son asesorados por expertos nacionales e internacionales. Esteproceso comprende el recojo de informacin a travs de pruebas a estudiantes de diferentes regionesdel pas, as como consultas a docentes, formadores y acompaantes de docentes, y a especialistasde Direcciones Regionales de Educacin y Unidades de Gestin Educativa Local. Adems, se trabajasobre la base de una amplia revisin bibliogrfica de experiencias internacionales y la revisin yanlisis de los resultados de las evaluaciones nacionales e internacionales aplicadas a estudiantesperuanos. Finalmente, los Mapas de Progreso son validados por una comisin de expertos, constituidapor profesionales de gran prestigio acadmico y amplia experiencia y conocimiento de las distintascompetencias que deben desarrollar los estudiantes.Los Mapas de Progreso sern entregados a los docentes a travs de fascculos coleccionables quefaciliten su buen uso.Este fascculo se propone que autoridades, docentes, estudiantes, padres y madres de familia, ascomo organizaciones de base, conozcan el Mapa de Progreso de Nmeros y Operaciones (Matemtica)atendiendo a que la sociedad tiene la responsabilidad de contribuir a la educacin y el derecho aparticipar en su desarrollo (Ley General de Educacin, artculo 3).Patricia Salas OBrien Peregrina Morgan LoraMinistra de Educacin Presidenta Directorio IPEBA 7. 6Qu son los estndares de aprendizaje nacionales?Son metas de aprendizaje claras que se espera que alcancen todos los estudiantes del pas a lo largode su escolaridad bsica. Los estndares son una de las herramientas que contribuirn a lograr laansiada calidad y equidad del sistema educativo peruano, el cual debe asegurar que todos los nios,nias y jvenes del pas, de cualquier contexto socioeconmico o cultural, logren los aprendizajesfundamentales.En el Per, se ha decidido elaborar los estndares nacionales de aprendizaje poniendo especialinters en describir cmo suelen progresar de ciclo a ciclo las distintas competencias. Por tal razn,han sido formulados como MAPAS DE PROGRESO DEL APRENDIZAJE.Cul es la estructura de un Mapa de Progreso del Aprendizaje?El MAPA DE PROGRESO est dividido en niveles. Los niveles indican lo que se espera que un estudiantehaya aprendido al finalizar cada ciclo de la Educacin Bsica Regular. Los niveles muestran estosaprendizajes de manera sinttica y empleando un lenguaje sencillo, con el fin de que todos puedancomprenderlos.V CICLO(5 y 6de primaria)VI CICLO(1 y 2de secundaria)VII CICLO(3, 4 y 5de secundaria)III CICLO(1 y 2de primaria)IV CICLO(3 y 4de primaria)PRIMARIA SECUNDARIAPrevioDestacadoCada nivel del MAPA DE PROGRESO cuenta con un conjunto de indicadores de desempeo. Estos permitirnidentif icar claramente si los estudiantes lograron lo que indica el nivel correspondiente. Adicionalmente, el MAPADE PROGRESO incluye ejemplos de trabajos de estudiantes que han logrado lo sealado en cada nivel.Por qu son tiles los Mapas de Progreso del Aprendizaje?Los Mapas de Progreso son tiles porque le permiten al docente enfocarse en los aprendizajescentrales y observar cun lejos o cerca estn sus estudiantes del logro de estas metas de aprendizaje,para poder reorientar su accin pedaggica. 8. 7MAPAS DE PROGRESO DE MATEMTICALa velocidad del desarrollo cientfico y tecnolgico demanda de la persona una serie de competenciaspara enfrentar los retos de un mundo en constante cambio. As, para hacer frente a esta realidad,se requieren, entre otras competencias, aquellas vinculadas a los aprendizajes matemticos. LaMatemtica desarrolla en el estudiante competencias que le permitan plantear y resolver con actitudanaltica los problemas de su contexto y de la realidad1, de manera que pueda usar esas competenciasmatemticas con flexibilidad en distintas situaciones.Las competencias de Matemtica se han organizado en cuatro Mapas de Progreso: Nmero y operaciones Cambio y relaciones Geometra Estadstica y probabilidadLos Mapas de Progreso de Matemtica describen el desarrollo de las competencias que requiereun ciudadano para atender las necesidades y retos de la sociedad actual. El desarrollo de estascompetencias se interrelaciona y complementa en la medida en que los estudiantes tengan laoportunidad de aprender matemtica en contextos significativos.Los Mapas de Progreso de Matemtica exigen una educacin matemtica que brinde al estudiantesituaciones de aprendizaje problemticas que lo motiven a comprometerse con la investigacin,exploracin y construccin de su aprendizaje, y que ponga nfasis en los procesos de construccinde los conceptos matemticos y en el desarrollo de las competencias matemticas, que implica queun individuo sea capaz de identificar y comprender el rol que desempea la matemtica en el mundo,para permitir juicios bien fundamentados y para comprometerse con la matemtica, de manera quecubra las necesidades de la vida actual y futura de dicho individuo como un ciudadano constructivo,comprometido y reflexivo (PISA 2003).1 Ministerio de Educacin del Per (2008). Diseo Curricular Nacional, p. 316. 9. 8EL MAPA DE PROGRESO DENMEROS Y OPERACIONESEn el mundo en que vivimos, la presencia de la informacin cuantitativa se ha incrementado en formaconsiderable. Esto demanda que el ciudadano haga uso de su razonamiento cuantitativo cuandomanifiesta el sentido numrico y de magnitud, comprende el significado de las operaciones, y aplicade diversas estrategias de clculo y estimacin.Diversas investigaciones en didctica sealan que el nmero es utilizado con distintas finalidades yde diversas formas: contar, medir, indicar una posicin, codificar, secuenciar verbalmente, etc. (Rico1987 y Castro 2001); por esta razn histricamente el nmero ha sido la base de muchos currculos dematemtica y ha constituido el ncleo de la educacin matemtica en la educacin elemental (NCTM,2000).El Mapa de Nmeros y Operaciones describe el desarrollo progresivo de la competencia paracomprender y usar los nmeros, sus diferentes representaciones y su sentido de magnitud;comprender el significado de las operaciones en cada conjunto numrico; usar dicha comprensinen diversas formas para realizar juicios matemticos; y desarrollar estrategias tiles en diversassituaciones.La progresin de los aprendizajes del Mapa de Nmeros y operaciones se describe considerando dosaspectos, cada una de los cuales se va complejizando en los distintos niveles:a. Comprensin y uso de los nmeros. Implica el desarrollo de capacidades paracomprender y usar los distintos conjuntos numricos (N, Z, Q y R), identificar suscaractersticas, usos y las relaciones que se pueden establecer entre ellos; comprender elSistema de Numeracin Decimal (SND); y las unidades de tiempo, masa, temperatura y elsistema monetario nacional.b. Comprensin y uso de las operaciones. Implica el desarrollo de capacidades paracomprender y usar los distintos significados de las operaciones aritmticas en situacionesproblemticas en las que se requiere seleccionar, adaptar, elaborar y aplicar estrategiasde solucin; justificar sus procedimientos; y evaluar sus resultados. 10. 9Descripcin de los Niveles del Mapa de Nmeros y OperacionesAgrupa objetos de acuerdo a diferentes caractersticas perceptuales, pudiendo dejar objetos sin agrupar, y explica los criterios empleadospara hacer dicho agrupamiento; identifica si muchos, pocos, uno o ninguno de los elementos de una coleccin presentan caractersticasespecficas. Cuenta cuntas cosas hay en una coleccin de hasta 10 objetos e identifica el orden de un objeto en una fila o columna hasta elquinto lugar. Compara colecciones de objetos usando expresiones como ms que, menos que y tantos como. Estima la duracin de eventosusando unidades no convencionales, y los compara y ordena usando expresiones como antes o despus; compara la masa de dos objetos,y reconoce el ms pesado y el ms ligero. Resuelve, situaciones problemticas de contextos cotidianos referidas a acciones de agregar yquitar2 objetos de una misma clase, explicando que hizo para encontrar su respuesta.Clasifica objetos que tienen caractersticas comunes y los organiza al interior reconociendo algunos subgrupos; explica los criteriosempleados para formar los grupos y subgrupos usando las expresiones todos, algunos, ninguno. Cuenta, compara y establece equivalenciasentre diez unidades con una decena y viceversa, y entre nmeros naturales hasta 100. Estima, compara y mide la masa de objetos,empleando unidades arbitrarias, y el tiempo, empleando unidades convencionales, como das o semanas. Resuelve y formula situacionesproblemticas de diversos contextos referidas a acciones de juntar, separar, agregar, quitar, igualar o comparar cantidades3, empleandodiversas estrategias; explica cmo lleg a la respuesta y si esta guarda relacin con la situacin planteada. Se aproxima a la nocin demultiplicacin como adiciones repetidas y a la nocin de mitad como reparto en dos grupos iguales.Clasifica objetos en grupos y subgrupos, los reagrupa empleando un criterio distinto y explica la relacin entre ellos. Representa las partesde un todo y una situacin de reparto mediante fracciones. Compara y establece equivalencias entre nmeros naturales hasta la unidad demillar y entre fracciones usuales4. Identifica la equivalencia de nmeros de hasta cuatro dgitos en centenas, decenas y unidades. Estima,compara y mide la masa de objetos empleando unidades convencionales como el kilogramo, el gramo y las propias de su comunidad, y laduracin de eventos usando unidades convencionales como aos, meses, hora, media hora o cuarto de hora. Resuelve y formula situacionesproblemticas de diversos contextos referidas a acciones de agregar, quitar, igualar o comparar dos cantidades5, o de repetir una cantidad paraaumentarla o repartirla en partes iguales6; empleando diversas estrategias y explicando por qu las us. Relaciona la divisin y la multiplicacincomo procesos inversos y a la divisin como un reparto en partes iguales.Representa cantidades discretas o continuas mediante fracciones, decimales y porcentaje. Compara y establece equivalencias entre nmerosnaturales, fracciones, decimales y porcentajes ms usuales7. Identifica la equivalencia de nmeros de hasta seis dgitos en centenas, decenasy unidades de millar, y de unidades en dcimos y centsimos. Estima, compara y mide la masa de objetos en miligramos; la duracin deeventos en minutos y segundos; y la temperatura en grados Celsius. Resuelve y formula situaciones problemticas de diversos contextosreferidas a acciones de comparar e igualar dos cantidades8, combinar los elementos de dos conjuntos9 o relacionar magnitudes directamenteproporcionales, empleando diversas estrategias y explicando por qu las us. Identifica la potencia como un producto de factores iguales.Representa cantidades discretas o continuas mediante nmeros enteros y racionales en su expresin fraccionaria y decimal en diversassituaciones. Compara y establece equivalencias entre nmeros enteros, racionales y porcentajes; relaciona los rdenes del sistema denumeracin decimal con potencias de base diez. Selecciona unidades convencionales e instrumentos apropiados para describir y compararla masa de objetos en toneladas o la duracin de un evento en dcadas y siglos. Resuelve y formula situaciones problemticas de diversoscontextos referidas a determinar cuntas veces una cantidad contiene o est contenida en otra10, determinar aumentos o descuentosporcentuales sucesivos, relacionar magnitudes directa o inversamente proporcionales; empleando diversas estrategias y explicando por qulas us. Relaciona la potenciacin y radicacin como procesos inversos.Interpreta el nmero irracional como un decimal infinito y sin perodo. Argumenta por qu los nmeros racionales pueden expresarsecomo el cociente de dos enteros. Interpreta y representa cantidades y magnitudes mediante la notacin cientfica. Registra medidas enmagnitudes de masa, tiempo y temperatura segn distintos niveles de exactitud requeridos, y distingue cundo es apropiado realizar unamedicin estimada o una exacta. Resuelve y formula situaciones problemticas de diversos contextos referidas a determinar tasas de inters,relacionar hasta tres magnitudes proporcionales, empleando diversas estrategias y explicando por qu las us. Relaciona diferentes fuentesde informacin. Interpreta las relaciones entre las distintas operaciones.Interpreta los nmeros reales como la unin de los racionales con los irracionales. Argumenta las diferencias caractersticas entre losdistintos conjuntos numricos. Interpreta y representa cantidades y magnitudes expresadas mediante logaritmos decimales y naturales.Evala el nivel de exactitud necesario al realizar mediciones directas e indirectas de tiempo, masa y temperatura. Resuelve y formulasituaciones problemticas referidas a las propiedades de los nmeros y las operaciones en el conjunto de los nmeros reales, empleandodiversas estrategias y explicando por qu las us.PrevioIIICICLO(1 y 2 deprimaria)IVCICLO(3 y 4 deprimaria)VCICLO(5 y 6 deprimaria)VICICLO(1 y 2 desecundaria)VIICICLO(3, 4 y 5 desecundaria)Destacado2345678910Segn la clasificacin de los PAEV: Cambio 1 y 2.Segn la clasificacin de los PAEV: Cambio 3 y 4 , Combinacin 2 y Comparacin e Igualacin 1 y 2(1/2, 1/4, 1/8, 1/5, 1/10, 1/3 y 1/6)Segn la clasificacin de los PAEV: Cambio 5 y 6, Comparacin e Igualacin 3 y 4Segn la clasificacin de los problemas multiplicativos, son problemas conocidos como de proporcionalidad simple.10%, 20%, 25%, 50%, 75%Segn la clasificacin de los PAEV: Comparacin e Igualacin 5 y 6Segn la clasificacin de los problemas multiplicativos, son problemas conocidos como de producto cartesiano.Segn la clasificacin de los PAEV, son los problemas multiplicativos de comparacin. 11. 10A continuacin, presentamos algunos ejemplos de indicadores de desempeo y de trabajos deestudiantes para cada uno de los niveles de este Mapa de Progreso.Agrupa objetos de acuerdo a diferentes caractersticas perceptuales, pudiendo dejar objetossin agrupar, y explica los criterios empleados para hacer dicho agrupamiento; identifica si muchos,pocos, uno o ninguno de los elementos de una coleccin presentan caractersticas especficas.Cuenta cuntas cosas hay en una coleccin de hasta 10 objetos e identifica el orden de un objetoen una fila o columna hasta el quinto lugar. Compara colecciones de objetos usando expresionescomo ms que, menos que y tantos como. Estima la duracin de eventos usando unidades noconvencionales, y los compara y ordena usando expresiones como antes o despus; compara lamasa de dos objetos, y reconoce el ms pesado y el ms ligero. Resuelve situaciones problemticasde contextos cotidianos referidas a acciones de agregar y quitar11 objetos de una misma clase,explicando qu hizo para encontrar su respuesta.Cuando un estudiante ha logrado este nivel,realiza desempeos como los siguientes: Forma colecciones de objetos tomando en cuenta caractersticas comunes yexpresa por qu los agrup. Ejemplo:Ante la consignaAgrupa todos los que separecen en algo,el nio agrupa todos losplomos y deja sin agruparlos blancos.Previo11 Segn la clasificacin de los PAEV: Cambio 1 y 2. 12. 11 Compara colecciones de objetos usando la correspondencia uno a uno y expresadnde hay ms que, menos que y tantos como. Ejemplo:Une a cada niocon su pelota.Qu hay ms,nios o pelotas? Expresa si muchos, pocos, uno o ninguno de los objetos de una coleccin tienenuna caracterstica sealada. Seala la posicin de un objeto en una fila, usando los ordinales primero, segundo,tercero, cuarto y quinto. Asocia una cantidad de hasta 10 objetos con el smbolo del nmero que lecorresponde. Resuelve problemas en los que requiere agregar o quitar una cantidad encolecciones de hasta 10 objetos, usando material concreto y el conteo, y explicaqu hizo para resolverlo (cambio 1 y 2)12. Ejemplo:Miguel tena 5 pelotas en su coleccinde juguetes y en su cumpleaos recibi4 pelotas ms. Cuntas pelotas tieneahora Miguel?Usando botones resuelve la situaciny da su respuesta. Ordena sus propias actividades cotidianas (levantarse, asearse, vestirse,desayunar, etc.).12 Ejemplos de otros problemas de cambio 1 y 2 los encontrar en el glosario, pgina 37. 13. 12Ejemplos de trabajos de estudiantesEn el caso de este nivel, los trabajos de los estudiantes fueron recogidos en video. Para observarejemplos de estos trabajos, por favor, ingrese a nuestra pgina web: http://www.ipeba.gob.pea) Agrupando objetos (video)Se present un grupo de bloques lgicos y se le propuso al estudiante formar grupos quetengan algo parecido; despus de formar agrupaciones el estudiante respondi a la pregunta Porqu los agrupaste as? explicando los criterios empleados.COMENTARIOEl estudiante agrupa objetos que tienen como caractersticacomn el color y los presenta en arreglos lineales: bloquesazules y bloques rojos. Deja libres todos los bloques amarillos,a los cuales no agrupa ni muestra como una coleccin ms auncuando tienen una misma caracterstica. 14. 13b) Cuntas pelotas tiene Miguel? (video)Se present una situacin problemtica que deca: Miguel tena cinco pelotas y en sucumpleaos le regalaron cuatro pelotas ms. Cuntas pelotas tiene ahora?. El estudiante resolvi lasituacin usando material concreto, en este caso botones, y respondi a la pregunta Qu hicistepara saberlo? explicando con sus propias palabras el procedimiento seguido.COMENTARIOLa estudiante resuelve situaciones problemticas referidasa agregar objetos a una coleccin; representa la situacinusando material concreto; la resuelve usando la estrategiadel conteo; y explica su respuesta indicando que aumentaronms pelotas. 15. 14III Ciclo(1 y 2 de primaria)Clasifica objetos que tienen caractersticas comunes y los organiza al interior reconociendoalgunos subgrupos; explica los criterios empleados para formar los grupos y subgrupos usando lasexpresiones todos, algunos, ninguno. Cuenta, compara y establece equivalencias entre diez unidadescon una decena y viceversa, y entre nmeros naturales hasta 100. Estima, compara y mide la masa deobjetos, empleando unidades arbitrarias, y el tiempo, empleando unidades convencionales, como daso semanas. Resuelve y formula situaciones problemticas de diversos contextos referidas a acciones dejuntar, separar, agregar, quitar, igualar o comparar cantidades13, empleando diversas estrategias; explicacmo lleg a la respuesta y si esta guarda relacin con la situacin planteada. Se aproxima a la nocinde multiplicacin como adiciones repetidas y a la nocin de mitad como reparto en dos grupos iguales.Cuando un estudiante ha logrado este nivel,realiza desempeos como los siguientes: Agrupa objetos de acuerdo a un criterio y utiliza otro para formar subgrupos alinterior, y explica los criterios empleados. Ejemplo:Luis agrup sus juguetes. l hizoun grupo de carritos y otro depelotas. Dentro del grupo delas pelotas tiene el grupo de lasgrandes y las pequeas. Resuelve problemas en los que requiere separar una de las partes de un todo, usandosoporte concreto y grfico, y explica que hizo para resolverlo (combinacin 2). Ejemplo:Compr 20 frutas para llevar alcolegio, 12 son manzanas y lasdems mandarinas Cuntas sonmandarinas? Resuelve problemas en los que requiere encontrar el valor que se agreg o quita una cantidad, usando soporte concreto, grfico y simblico, y explica qu hizopara resolverlo (cambio 3 y 4; ver ejemplos en el glosario).13 Segn la clasificacin de los PAEV: Cambio 3 y 4 , Combinacin 2 y Comparacin e Igualacin 1 y 2 16. 15 Resuelve problemas en los que requiere encontrar el valor que necesita una cantidadpara ser igual a la otra y explica qu hizo para resolverlo (igualacin 1 y 2). Ejemplo:Sofa tiene 26 monedas de unnuevo sol y su prima Danielatiene 18 Cuntas monedas msnecesita Daniela para tener tantocomo Sofa? (igualacin 1) Resuelve problemas en los que requiere encontrar la diferencia entre doscantidades, usando soporte concreto, grfico y simblico, y explica qu hizo pararesolverlo (comparacin 1 y 2). Ejemplo:Tesi y su hermano Titoprepararon helados para vender.Observa en la tabla cuntoshelados vendieron. Cuntoshelados menos vendi Tesi queTito? Resuelve problemas en los que requiere encontrar el doble o triple de unacantidad en un mbito no mayor a 50, usando adiciones repetidas, y explica quhizo para resolverlo. Resuelve problemas que requieren de dos estructuras aditivas para su solucin yexplica qu hizo para resolverlo. Ejemplo:Toms tiene 25 carritos, 8 son azules, 10 son verdes y los dems son rojos. Cuntos son rojos? Compara la masa de dos objetos en una balanza y puede decir, por ejemplo, quedos tazas pesan tanto como una botella. Resuelve situaciones en las que requiere usar el calendario para determinar laduracin de un evento en das y semanas, y la fecha en la que ocurri u ocurrirun evento en relacin a un referente. Ejemplo:El nio puederesponder que faltan18 das o tambin 2semanas y 4 das.DICIEMBRELU6132027MA7142128MI18152229JU29162330VI310172431SA4111825DO5121926Si hoy es martes 7de diciembre.Cuntos das faltanpara Navidad? 17. 16COMENTARIOEjemplos de trabajos de estudiantesEl estudiante establece equivalencias entre nmerosutilizando adiciones, sustracciones, adiciones sucesivas yalgunas operaciones combinadas, con o sin canjes. En elejemplo se aprecia que utiliza nmeros menores que 100,resta decenas sin dificultad y emplea operaciones diferentespara representar al nmero 23.a) Encontrando nmeros 18. 17COMENTARIOEl estudiante resuelve situaciones problemticas de diversoscontextos referidas a acciones de igualar, usando distintasestrategias de solucin. En este ejemplo emplea dosestrategias de solucin: primero, representa grficamente lasituacin, dibujando los botones y tachando lo que ya tieneAnita para hallar su respuesta; como segunda estrategia,emplea la sustraccin entre las dos cantidades dadasdescomponindolas en decenas y unidades.b) Los botones de Anita 19. 18Clasifica objetos en grupos y subgrupos, los reagrupa empleando un criterio distinto yexplica la relacin entre ellos. Representa las partes de un todo y una situacin de reparto mediantefracciones. Compara y establece equivalencias entre nmeros naturales hasta la unidad de millary entre fracciones usuales14. Identifica la equivalencia de nmeros de hasta cuatro dgitos encentenas, decenas y unidades. Estima, compara y mide la masa de objetos empleando unidadesconvencionales como el kilogramo, el gramo y las propias de su comunidad, y la duracin de eventosusando unidades convencionales como aos, meses, hora, media hora o cuarto de hora. Resuelvey formula situaciones problemticas de diversos contextos referidas a acciones de agregar, quitar,igualar o comparar dos cantidades15, o de repetir una cantidad para aumentarla o repartirla enpartes iguales16; empleando diversas estrategias y explicando por qu las us. Relaciona la divisiny la multiplicacin como procesos inversos y a la divisin como un reparto en partes iguales.Cuando un estudiante ha logrado este nivel,realiza desempeos como los siguientes: Explica la relacin entre grupos y subgrupos. Ejemplo: Observa la siguiente figurae indica que hay ms tulipanes que margaritas y que si agrega dos tulipanes mshabr ms flores que tulipanes. Representa un nmero natural usando combinaciones aditivas y multiplicativas. Representa cantidades continuas o discretas con fracciones, empleando materialconcreto, grfico y simblico. Ejemplo:Representa la cuarta parte de 8 canicas Identifica una unidad de millar como equivalente a 10 centenas, a 100 decenas y1000 unidades.IV Ciclo(3 y 4 de primaria)1/4 de 8 1/6 de 1(cantidad discreta)Representa la sexta parte de una torta(cantidad continua)MaterialconcretoMaterialconcretoRepresentacingrficaRepresentacingrficaRepresentacinsimblicaRepresentacinsimblica141516(1/2, 1/4, 1/8, 1/5, 1/10, 1/3 y 1/6)Segn la clasificacin de los PAEV: Cambio 5 y 6, Comparacin e Igualacin 3 y 4Segn la clasificacin de los problemas multiplicativos, son problemas conocidos como de proporcionalidad simple. 20. 19 Resuelve problemas en los que requiere encontrar la cantidad que fue aumentadao disminuida y explica el procedimiento utilizado (Cambio 5 y 6; ver en el Glosariola pgina 37). Ejemplo:Pablo tena algunas cartas. Le dio a Sofa 8 cartas. Ahora tiene 29 cartas.Cuntas cartas tena Pablo? (cambio 6) Resuelve problemas en los que requiere hallar la cantidad que se iguala a otra yexplica el procedimiento utilizado (igualacin 3 y 4; ver en el Glosario pgina 34). Resuelve problemas en los que requiere encontrar la cantidad comparada yexplica el procedimiento utilizado (comparacin 3 y 4; ver en el Glosario la pgina38). Ejemplo:Alonso tiene 12 peces. Csar tiene 9 peces ms que Alonso.Cuntos peces tiene Csar? (comparacin 3) Resuelve problemas en los que una cantidad se repite varias veces y explica elprocedimiento utilizado (multiplicativos de proporcionalidad simple, ver en elGlosario la pgina 39). Resuelve problemas en los que requiere repartir una cantidad en partes iguales oencontrar el nmero de grupos que se forma y explica el procedimiento utilizado(multiplicativos de proporcionalidad simple, ver en el Glosario la pgina 39).Ejemplo:Giordano observa en la mesa 36 botones y, adems, 6 paquetes de botonesvacos. Cuntos botones vienen en cada paquete? (Particin) Resuelve problemas que combinan estructuras aditivas y multiplicativas para susolucin. Ejemplo:Para pagar una deuda de 2180 soles, ngel paga con billetes de 10 y 50 soles,y monedas de 5 soles. Si da 14 billetes de 50 soles y 24 billetes de 10 soles,cuntas monedas de 5 soles debe de dar para cancelar la deuda? Estima los resultados que pueden obtenerse al resolver situaciones aditivas ymultiplicativas con nmeros naturales. Determina y compara la masa de objetos como bolsas de arena, bolsas demenestras, etc. que puedan expresarse como 250 g o kg, 500 g o kg, 750 g o kg, 1000 g o 1kg. 21. 20COMENTARIOEjemplos de trabajos de estudiantesa) Comparando fraccionesEl estudiante representa las partes de un todo mediantefracciones y las compara. En este ejemplo, utiliza sin dificultadel recurso grfico; para ello, representa con un rectngulouna taza de azcar y relaciona la mitad de dicho rectngulocon y 2 4tazas de azcar, las compara, y concluye queambas fracciones representan la misma cantidad. 22. 21b) Preparndonos para la kermsCOMENTARIOEl estudiante resuelve situaciones problemticas referidas aacciones de igualar y de reparto en diferentes contextos. Enel ejemplo se presentan dos actividades: la primera referida ala accin de igualar dos cantidades conociendo la diferenciaentre ellas y la segunda actividad referida a una accin dereparto, en la que el estudiante aplica la operacin inversaal reparto porque reconoce que tres veces 58 es igual a 174. 23. 22Representa cantidades discretas o continuas mediante fracciones, decimales y porcentaje.Compara y establece equivalencias entre nmeros naturales, fracciones, decimales y porcentajes msusuales17. Identifica la equivalencia de nmeros de hasta seis dgitos en centenas, decenas y unidadesde millar, y de unidades en dcimos y centsimos. Estima, compara y mide la masa de objetos enmiligramos; la duracin de eventos en minutos y segundos; y la temperatura en grados Celsius. Resuelvey formula situaciones problemticas de diversos contextos referidas a acciones de comparar e igualardos cantidades18, combinar los elementos de dos conjuntos19 o relacionar magnitudes directamenteproporcionales, empleando diversas estrategias y explicando el procedimiento seguido. Identifica lapotencia como un producto de factores iguales.Cuando un estudiante ha logrado este nivel,realiza desempeos como los siguientes: Establece equivalencias entre decimales, fracciones y porcentaje con soporteconcreto, grfico y simblico.Representa la mitad de 6 pelotas(cantidad discreta)de 6 = 0,5 de 6= 50% de 6Representacin grca Representacin simblicaRepresenta las tres cuartas partes de una torta(cantidad continua)Representacin grca Representacin simblica Representa los significados de la fraccin como operador, medida o razn.Fraccin como operador Fraccin como medida Fraccin como razn Representa con material concreto y grfico la adicin o sustraccin de fraccionesheterogneas y decimales.V Ciclo(5 y 6 de primaria)Los 3/4 de los estudiantesde sexto grado son mujeres.Si en total hay 24 estudiantes,cuntas son mujeres?La relacin del nmero dehombres al de mujeres en elaula es:3_5Para medir la longitud del lpiz en centmetros esnecesario dividir la unidad en diez partes iguales,entonces el lpiz mide 6 y 3 1 0 de cm.1_2= 0,75 = 75%3_417181910%, 20%, 25%, 50%, 75%Segn la clasificacin de los PAEV: Comparacin e Igualacin 5 y 6Segn la clasificacin de los problemas multiplicativos, son problemas conocidos como de producto cartesiano. 24. 23 Resuelve problemas en los que requiere encontrar el referente de comparaciny explica el procedimiento utilizado (Comparacin 5 y 6; ver en el Glosario lapgina 38). Resuelve problemas en los que requiere encontrar el referente de igualacin yexplica el procedimiento utilizado (Igualacin 5 y 6; ver en el Glosario la pgina 38).Ejemplo: Andrs tiene 21 chapitas. Si Andrs regala 1/3 de sus chapitas, tendrtantas chapitas como Diego. Cuntas chapitas tiene Diego? (Igualacin 6) Resuelve problemas en los que usa la multiplicacin para combinar los elementosde dos conjuntos y explica el procedimiento utilizado (Multiplicativos de productocartesiano; ver en el Glosario la pgina 39).Ejemplo: El equipo de voleybol tiene 6 camisetas diferentes que alcombinarlos con las pantalonetas permiten obtener 12 formas de vestirse.De cuntas pantalonetas diferentes dispone el equipo? (Tipo 2) Resuelve problemas que combinan dos o tres estructuras (aditivas y multiplicativas)para su solucin y explica el procedimiento utilizado.Ejemplo: En una tienda hay 60 libros colocados en 2 estanteras. En unaestantera hay 12 libros ms que en la otra. Qu porcentaje de libros hay enla estantera que tiene ms libros? Estima los resultados que pueden obtenerse al resolver situaciones aditivas ymultiplicativas con nmeros naturales. Emplea la balanza electrnica para determinar la masa de objetos pequeos,como pastillas, un puado de sal, de arroz, etc.; determina la masa de una hoja depapel a travs de mediciones indirectas. 25. 24Ejemplos de trabajos de estudiantesa) El men de la Olla de BarroCOMENTARIOEl estudiante resuelve problemas donde combina loselementos de dos conjuntos. Primero, representa grficamentela relacin entre entradas y platos de fondo del men y deduceque para hallar el total de combinaciones debe emplear lamultiplicacin. Luego, discrimina los precios ms caros y losms baratos para encontrar la diferencia entre la combinacinms cara y la ms econmica. 26. 25El estudiante compara y estableceequivalencias entre nmeros naturales,fracciones y porcentajes ms usuales.En este ejemplo identifica en el textode la noticia los datos necesarios pararesolver la situacin, y utiliza confacilidad la equivalencia entre el 25% yla cuarta parte de un todo para calcularel nmero de entradas vendidas enpreventa (93 295).COMENTARIOb) Encontrando equivalencias con porcentajes 27. 26VI Ciclo(1 y 2 de secundaria)Representa cantidades discretas o continuas mediante nmeros enteros y racionales en suexpresin fraccionaria y decimal en diversas situaciones. Compara y establece equivalencias entrenmeros enteros, racionales y porcentajes; relaciona los rdenes del sistema de numeracin decimal conpotencias de base diez. Selecciona unidades convencionales e instrumentos apropiados para describiry comparar la masa de objetos en toneladas o la duracin de un evento en dcadas y siglos. Resuelvey formula situaciones problemticas de diversos contextos referidas a determinar cuntas veces unacantidad contiene o est contenida en otra20, determinar aumentos o descuentos porcentuales sucesivos,relacionar magnitudes directa o inversamente proporcionales; empleando diversas estrategias yexplicando por qu las us. Relaciona la potenciacin y radicacin como procesos inversos.Cuando un estudiante ha logrado este nivel,realiza desempeos como los siguientes: Usa equivalencias entre nmeros enteros, racionales y porcentajes en situacionescontextualizadasEjemplo: Pedro gana S/1200, gasta el 40% en alimentacin y el 1/10 enmovilidad, qu parte de su sueldo le queda? Compara, mide y registra los cambios de temperatura de distintos lugares engrados Celsius. Resuelve problemas multiplicativos en los que requiere encontrar la cantidadcomparada o el referente de comparacin y explica la eleccin de su estrategiasustentando su respuesta, segn las condiciones del problema (multiplicativosde comparacin).Ejemplo: Pedro tiene 72,85 nuevos soles, que son 3 veces ms dinero que elque tiene Juan. Cunto dinero tiene Juan? Resuelve problemas que requieren encontrar los mltiplos o divisores comunesde varios nmeros y explica la eleccin de su estrategia sustentando su respuesta,segn las condiciones del problema (MCM y MCD).Ejemplo: Un empresario reparte canastas navideas a todos sus empleados.Este ao cuenta con 504 tarros de leche, 420 paquetes de menestras, 252bolsas de arroz y 84 panetones. Cuntas canastas puede armar? Cuntasunidades de cada producto colocar en las canastas?20 Segn la clasificacin de los PAEV, son los problemas multiplicativos de comparacin. 28. 27 Resuelve y formula situaciones proporcionalidad directa e inversa, a partirde diversos contextos y explica la eleccin de su estrategia sustentando surespuesta, segn las condiciones del problema.Ejemplo: Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200litros de capacidad cada uno. Queremos envasar la misma cantidad de vinoempleando 64 toneles. Cul deber ser la capacidad de esos toneles? Resuelve problemas que combinan varias estructuras multiplicativas para susolucin y explica la eleccin de su estrategia sustentando su respuesta, segn lascondiciones del problema. Resuelve problemas referidos a aumentos y descuentos sucesivos en el valor de unproducto, y sustenta las estrategias empleadas segn las condiciones del problema.Ejemplo: Por cierre de temporada escolar la librera El estudiante ofrecedescuentos del 20% ms el 30% en compras cuyos montos son mayores a200 nuevos soles y descuentos del 45% en compras menores a 200 nuevossoles. A qu descuento equivale cada caso? Aproxima a nmeros enteros los resultados que pueden obtenerse al resolverdiversas situaciones. Identifica el instrumento y la unidad adecuada para medir un objeto.Por ejemplo, indica que, para medir la masa de un camin, la unidad serla tonelada y se medir en una bscula; emplea lneas de tiempo por aos(y no por das) para registrar hechos histricos; utiliza el gigabyte paramedir la capacidad de almacenamiento de informacin que registran lascomputadoras. Mide y compara la temperatura de su localidad en distintos momentos del ao ylos asocia a las estaciones del ao. 29. 28Ejemplos de trabajos de estudiantesa) Relacin entre el Sistema de numeracin decimal (SND) y el Sistema monetarioCOMENTARIOEl estudiante representa cantidades continuas con nmerosracionales, establece relaciones entre el sistema monetarioy el sistema de numeracin decimal (SND) haciendo uso delas equivalencias entre nmeros decimales (racionales) yenteros. Por ejemplo, en esta tarea, el estudiante identifica,a partir del monto, la cantidad de billetes y monedas, y lasunidades del SND. Adems, expresa su valor numricoutilizando las potencias de base diez. 30. 29b) Organizando nuestro viaje de excursinCOMENTARIOEl estudiante determina cuntas veces una cantidad estcontenida en otra y establece una proporcin a partir dela razn dada. Examina las medidas existentes, discriminaentre ellas y evala dos opciones que le parece que cumplencon la condicin. Descarta la primera opcin al no conseguiruna igualdad de los productos extremos, determinando conel mismo procedimiento que las pirmides de medidas 12 my 28 m s se encuentran en razn de 3 a 7. 31. 30VII Ciclo(3, 4 y 5 de secundaria)Interpreta el nmero irracional como un decimal infinito y sin perodo. Argumenta por qulos nmeros racionales pueden expresarse como el cociente de dos enteros. Interpreta y representacantidades y magnitudes mediante la notacin cientfica. Registra medidas en magnitudes demasa, tiempo y temperatura segn distintos niveles de exactitud requeridos, y distingue cundo esapropiado realizar una medicin estimada o una exacta. Resuelve y formula situaciones problemticasde diversos contextos referidas a determinar tasas de inters, relacionar hasta tres magnitudesproporcionales, empleando diversas estrategias y explicando por qu las us. Relaciona diferentesfuentes de informacin. Interpreta las relaciones entre las distintas operaciones.Cuando un estudiante ha logrado este nivel,realiza desempeos como los siguientes: Identifica y representa cantidades mediante nmeros decimales peridicos o noperidicos en situaciones contextualizadas.Ejemplo: En un juego de Bingo el premio es de 1000 soles. Tres participantesdeben repartirse este dinero en partes iguales. Cmo escribiras estacantidad? Por qu? Identifica que , e y races cuadradas inexactas (como 2, 3, 5) son nmerosirracionales. Resuelve problemas que demandan evaluar tasas de inters y efectos de un pagoanticipado en transacciones financieras, y sustenta las estrategias empleadassegn las condiciones del problema.Ejemplo: Jorge tiene que decidir entre dos tipos de prstamos ofrecidos porun mismo banco. l pretende pagar en los prximos 6 meses todo el montodel prstamo que adeude en esa fecha.PROPUESTAABTASA INTERS ANUAL MESES DE GRACIA TIEMPO12%10%Cul de las dos propuestas le conviene ms? Sustenta tu respuesta.1 ao1 ao3 mesesSin meses de gracia 32. 31 Resuelve problemas referidos a relaciones de proporcionalidad directa o inversahasta con tres magnitudes y sustenta las estrategias empleadas segn lascondiciones del problema. Resuelve y formula situaciones problemticas que combinan variadas estructuras(aditivas, multiplicativas y de proporcionalidad) en los distintos conjuntos numricosy variados contextos, y sustenta las estrategias empleadas segn las condicionesdel problema.Ejemplo: Cuntos Kg de cobre se debern comprar para construir un cilindrode 10 cm de alto y 0,5 m de radio? Considera que la densidad del cobre es8960 kg/m3. Discrimina entre la pertinencia del clculo exacto o estimado para dar respuesta aun problema.Ejemplo: Qu aproximacin conviene hacer para que la cantidad de cobresea la ms exacta? Por qu? Reconoce que, cuando debe proporcionar una medida muy precisa, necesitaemplear dcimas, centsimas y milsimas para expresar la medicin. Identifica las dificultades que tuvo al aplicar una estrategia para resolver unproblema y reflexiona sobre otras formas de solucin. 33. 32Ejemplos de trabajos de estudiantesa) Reparticin del terrenoCOMENTARIOEl estudiante resuelve situaciones problemticas referidas a relacionar magnitudesproporcionales. Para ello, representa en el rectngulo original las condiciones del problema,expresando en smbolos los lados para relacionarlos; halla la razn de proporcionalidadempleando propiedades de radicales y simplificando expresiones numricas con valoresirracionales; y formula un ejemplo con el que verifica que las dimensiones del rectngulogenerado cumplen con las condiciones dadas. Esta tarea ejemplifica el aprendizaje esperadoen este nivel aun cuando no representa las dos soluciones (negativa y positiva) en la ecuacincuadrtica. 34. 33DestacadoInterpreta los nmeros reales como la unin de los racionales con los irracionales. Argumenta lasdiferencias caractersticas entre los distintos conjuntos numricos. Interpreta y representa cantidadesy magnitudes expresadas mediante logaritmos decimales y naturales. Evala el nivel de exactitudnecesario al realizar mediciones directas e indirectas de tiempo, masa y temperatura. Resuelve yformula situaciones problemticas referidas a las propiedades de los nmeros y las operaciones en elconjunto de los nmeros reales, empleando diversas estrategias y explicando por qu las us.Cuando un estudiante ha logrado este nivel,realiza desempeos como los siguientes: Representa conjuntos de nmeros reales usando intervalos. Argumenta por qu el conjunto de los nmeros racionales es denso, y los conjuntosde los naturales y enteros no lo son.Por ejemplo, explica que, usando la propiedad del trmino medio, siemprees posible encontrar otro nmero fraccionario entre un par de fraccioneso, lo que es lo mismo, siempre es posible encontrar un decimal entre dosdecimales continuos del mismo orden. Representa e interpreta cantidades muy grandes o muy pequeas expresadasmediante logaritmos decimales y naturales.Por ejemplo, expresa mediante potencias de 10 la distancia entre el Sol yAlpha Centauri (como 4 1013 km.). Resuelve y formula problemas referidos a nmeros perfectos, triangulares,cuadrados perfectos, etc.Ejemplo: Halle un nmero natural tal que, si su ltima cifra de la derecha semueve al primer lugar de la izquierda, se obtiene un nmero igual al dobledel original. 35. 34 Argumenta la pertinencia de un clculo exacto o estimado al dar respuesta auna situacin problemtica.Ejemplo: Un contratista calcula el costototal por remodelar un parque circularen funcin del rea. Para ello hace elsiguiente clculo.Valor contrata = 512 rea de la plaza =512.(3,15)(50)2Qu aproximacin de , es conveniente para un clculo justo?Por qu? Evala cmo puede mejorar sus recursos y estrategias para resolver problemas. Interpreta mediciones de masa, tiempo o temperatura expresados en informacionescientficas o histricas. Reconoce los errores que comete al realizar redondeos a las cifras significativas de unnmero irracional; por ejemplo, al comprobar la diferencia entre calcular la longitudde la circunferencia de objetos cilndricos de manera directa o de manera indirecta.Ejemplos de trabajos de estudiantesa) Una paradoja saltarina 36. 35COMENTARIOEl estudiante resuelve y modela situaciones problemticasreferidas a las propiedades de los nmeros y las operacionesen los distintos conjuntos numricos. Para ello, representa losvalores que van tomando las distancias que recorre el conejo enuna grfica e interpreta la tendencia hacia cero. Concluye queel conejo nunca llegar a recorrer los 8 metros porque siempresaltar la mitad de la distancia que le falta y esta cantidad sercada vez infinitamente ms pequea. 37. 36GLOSARIO1. ARGUMENTARDar razones lgicas o matemticas que permitan sustentar, probar o demostrar la veracidad o falsedad deuna proposicin o idea planteada (Ministerio de Educacin, 2004, p.28).2. CANTIDAD CONTINUALa que consta de unidades o partes que no estn separadas unas de otras; por ejemplo, el peso, la talla, elprecio en soles de un producto, la cantidad de lquido en un vaso, el tiempo, entre otras.3. CANTIDAD DISCRETALa que consta de unidades o partes separadas unas de otras; por ejemplo, el nmero de ovejas en unrebao, de hermanos, de estudiantes, de pelotas, entre otros.4. CLASIFICARDisponer un conjunto de datos o elementos en subconjuntos o clases de acuerdo a uno o varios criterios.Abarca la identificacin de propiedades de los objetos y la comparacin mediante el establecimiento dediferencias y semejanzas entre elementos (Heudebert, Chvez, 2006, p.85). La clasificacin se distingue delsimple agrupamiento en tanto que utiliza criterios que permiten incluir a todos los elementos dados enalguno de los grupos establecidos.5. COMPARAREstablecer una relacin entre lo cuantitativo o cualitativo que existe entre dos entes matemticos de unmismo conjunto o clase (Ministerio de Educacin, 2004, p.229).6. COMPROBARVerificar, confirmar la veracidad o exactitud de un objeto matemtico o situacin a travs de su conceptoo propiedades.7. CONTARAsociar cada trmino de la secuencia numrica con cada objeto de una coleccin, estableciendo lacorrespondencia biunvoca entre nmero y objeto (Castro y Castro, 2001, p.124). Se distingue de enumerarporque este trmino se refiere a recitar un trozo de la secuencia numrica por evocacin (Arellano, 2006,p.29).8. EVALUARValorar o determinar el grado de efectividad de un conjunto de estrategias o procedimientos, a partir de sucoherencia o aplicabilidad a otras situaciones problemticas.9. EXPLICARDescribir o exponer las razones21 o procedimientos seguidos para la solucin de un problema, exigiendo enel alumno establecer conexiones entre sus ideas (Bishop, 1999).21 El problema es que, en la actualidad, los objetivos de la mayora de los currculos matemticos se centran por completo en hacer y casi nada en explicar. Explicares la actividad de exponer las relaciones existentes entre unos fenmenos y la bsqueda de una teora explicativa, como la describe Horton (1967), citado enEnculturacin matemtica. La educacin matemtica desde una perspectiva cultural (Alan Bishop, Paidos, 1999, Espaa). 38. 3710. IDENTIFICARDiferenciar los rasgos distintivos de un objeto matemtico; es decir, determinar si pertenece a unadeterminada clase que presenta ciertas caractersticas comunes (Hernndez, Delgado y otros, 1999).11. INTERPRETARAtribuir significado a las expresiones matemticas, de modo que estas adquieran sentido en funcin delpropio objeto matemtico o en funcin del fenmeno o problema real del que se trate. Implica tantocodificar como decodificar una situacin problemtica (Hernndez, Delgado y otros, 1999, pp. 69-87).12. MODELARAsociar un objeto no matemtico a un objeto matemtico que represente determinados comportamientos,relaciones o caractersticas considerados relevantes para la solucin de un problema (Hernndez, Delgadoy otros, 1999, pp. 69-87).13. PROBLEMAS DE ESTRUCTURA ADITIVASituaciones problemticas que se pueden resolver con la adicin o la sustraccin.Para facilitar la comprensin de estas operaciones, existe una variedad de situaciones de estructuraaditiva que ayudan a conectar la adicin con la sustraccin; por esta razn, se recomienda ir abordndolasutilizando las siguientes situaciones: combinacin, cambio, comparacin e igualacin (Castro E., 2001).Combinacin: Situacin en la que se puede tener como dato las cantidades parciales o la cantidad total.CASO Ejemplos PARTE PARTE TODOCombinacin 1 Jorge tiene 3 pelotas y 8 carritos. Cuntosjuguetes tiene Jorge? 3 8 desconocidoCombinacin 2En mi caja hay 11 juguetes entre carritos ypelotas. Si cont 3 pelotas, cuntos carritoshay?3 desconocido 11Cambio o transformacin: Situaciones en las que hay un aumento o disminucin de una cantidad en unasecuencia de tiempo. La incgnita puede estar en el estado inicial, en el cambio o en el final. 39. 38INICIAL Cambio CantidadCASO Ejemplos CantidadFINALCambio 1 Pilar tena 14 soles; luego recibe 3 soles.Cuntos soles tiene ahora? 14 aument 3 desconocidaCambio 2 Pilar tiene 14 soles; compra una hambur-guesapor 6 soles. Cuntos soles le quedan? 14 disminuy 6 desconocidaCambio 3Cecilia tena 24 figuras en su lbum. Ricardole regal algunas figuras. Ahora tiene 32figuras. Cuntas figuras le regal Ricardo?24 desconocida 32Cambio 4Cecilia tena 24 figuras en su lbum. Le daa Ricardo algunas figuras. Ahora tiene 15figuras. Cuntas figuras le dio Ricardo?24 desconocida 15Cambio 5Rosa tena algunas galletas. Irma le dio 14galletas. Ahora tiene 23 galletas Cuntasgalletas tena Rosa?desconocida aument 14 23Cambio 6Rosa tena algunas galletas. Le dio a Irma 5galletas. Ahora tiene 23 galletas. Cuntasgalletas tena Rosa?desconocida disminuy 5 4Igualacin: Situaciones en las que se requiere igualar una cantidad con respecto a otra. La incgnita puedeestar en la referencia, en lo que se iguala o en la diferencia.CASO Ejemplos REFERENCIA COMPARADA DIFERENCIAIgualacin 1Adolfo tiene 18 chapitas. Carlos junt 12chapitas. Cuntas chapitas debe conseguirCarlos para tener tanto como Adolfo?18 12 desconocidaIgualacin 2Adolfo tiene 18 chapitas. Jos tiene 12 chapi-tas.Cuntas chapitas debe dejar Adolfo paratener tantas como Jos?18 12 desconocidaIgualacin 3Paty tiene 15 semillas. Si Luisa consigue 4semillas, tendr tantas semillas como Paty.Cuntas semillas tiene Luisa?15 desconocida 4 msIgualacin 4Paty tiene 15 semillas. Si Camila pierde 6semillas, tendr tantas semillas como Paty.Cuntas semillas tiene Camila?15 desconocida 6 menosIgualacin 5Rosa tiene 19 pulseras. Si Rosa obtiene7 pulseras, tendr tantas pulseras comoCarmen. Cuntas pulseras tiene Carmen?desconocida 19 7 msIgualacin 6Rosa tiene 19 pulseras. Si Rosa regala 3 pul-seras,tendr tantas pulseras como Carmen.Cuntas pulseras tiene Carmen?desconocida 19 3 menos 40. 39Comparacin: Situaciones en las que se comparan dos cantidades. La incgnita puede estar en la referencia,en lo que se compara o en la diferencia.CASO Ejemplos REFERENCIA COMPARADA DIFERENCIAComparacin 1Csar tiene 8 caramelos. Manolo tiene 13chocolates. Cuntos dulces tiene Manoloms que Csar?8 13 desconocidaComparacin 2Csar tiene 8 caramelos. Manuel tiene 5galletas. Cuntos dulces tiene Manuelmenos que Csar?8 5 desconocidaComparacin 3 Carola tiene 11 aos. Ernesto tiene 3 aosms que Carola. Cuntos aos tiene Ernesto? 11 desconocido 3 msComparacin 4 Carola tiene 11 aos. Vernica tiene 3 aos me-nosque Carola. Cuntos aos tiene Vernica? 11 desconocido 3 menosComparacin 5 Juan tiene 16 bolitas. Juan tiene 7 bolitasms que Percy. Cuntas bolitas tiene Percy? desconocido 16 7 msComparacin 6Juan tiene 16 bolitas. Juan tiene 6 bolitasmenos que Toms. Cuntas bolitas tieneToms?desconocido 16 6 menos14. PROBLEMAS DE ESTRUCTURA MULTIPLICATIVASituaciones que se pueden resolver con la multiplicacin o la divisin.Para facilitar la comprensin de estas operaciones, existe una variedad de situaciones de estructuramultiplicativa que ayudan a conectar la multiplicacin con la divisin. Existen tres estructuras multiplicativas:Proporcionalidad simple: Se trata de problemas en los que hay una proporcin directa entre dos cantidades.Hay tres posibilidades dentro de esta categora, segn cul de las tres cantidades sea la incgnita. Estas sonmultiplicacin, particin y cuoticin (Castro E., 2001).CASO Ejemplos N de gruposN deelementospor grupoN totalMultiplicacin Ana compra 5 paquetes de galletas; cada paquetecontiene 8 galletas. Cuntas galletas ha comprado? 5 8 desconocidoParticinAna observa en la mesa 40 galletas y, adems, 5paquetes de galletas vacos. Cuntas galletasvienen en cada paquete?5 desconocido 40Cuoticin omedidaHay 40 galletas en la mesa. En cada paquete vienen 8galletas. Cuntos paquetes se compraron? desconocido 8 40 41. 40Comparacin: Se trata de problemas en los que se comparan dos cantidades, una de las cuales es elreferente y la otra el comparado. Esta relacin da lugar a un factor de comparacin o escalar. Hay tres tiposde comparacin: de aumento, de disminucin y de igualacin.COMPARACIN DE LA FORMA Veces ms que22CASO Ejemplos Juan(referente)Factor decomparacin(escalar)Pedro(comparado)MultiplicacinJuan ahorr 320 soles y su hermano Pedro lograhorrar tres veces ms dinero que Juan. Cuntodinero tiene Pedro?320 por 3 desconocidoParticin Juan ahorr 320 soles y su hermano Pedro ahorr 960soles. Cuntas veces ms dinero tiene Pedro que Juan? 320 desconocido 960Cuoticin omedidaPedro ahorr 960 soles, que son 3 veces ms dinero queel que tiene Juan. Cunto ahorr Juan? desconocido por 3 960COMPARACIN DE LA FORMA Veces menos queCASO Ejemplos Mara(referente)Factor decomparacin(escalar)Teresa(comparado)Multiplicacin Mara tiene 72 soles y Teresa 3 veces menossoles. Cuntos soles tiene Teresa? 72 entre 3 desconocidoParticin Mara tiene 72 soles y Teresa 24 soles. Cuntasveces menos soles tiene Teresa que Mara? 72 desconocido 24Cuoticin omedidaTeresa tiene 24 soles, que son 3 veces menos eldinero que tiene Mara. Cuntos soles tiene Mara? desconocido entre 3 24COMPARACIN DE LA FORMA Veces tantas comoCASO Ejemplos Luis(referente)Factor decomparacin(escalar)Jos(comparado)Multiplicacin Luis tiene 12 figuras y Jos tiene 3 veces tantasfiguras como Luis. Cuntas figuras tiene Jos? 12 por 3 desconocidoParticinLuis tiene 12 figuras y Jos tiene 36 figuras.Cuntas veces tiene Jos tantas figurascomo Luis?12 desconocido 36Cuoticin omedidaJos tiene 36 figuras, que son 3 veces tantasfiguras como las que tiene Luis. Cuntasfiguras tiene Luis?desconocido por 3 3622 Tres veces ms que equivale a decir el triple de, segn Castro (2001) 42. 41Producto cartesiano: Situaciones referidas a las diferentes formas de combinar elementos de conjuntos;por ejemplo:CASO Ejemplos Polos Pantalones N decombinacionesTipo 1 Tengo 14 polos y 6 pantalones. De cuntasmaneras los puedo combinar para vestirme? 14 6 desconocidoTipo 2Tengo 14 polos que, al combinarlos conlos pantalones que tengo, me permiten 84formas de vestirme. De cuntos pantalonesdispongo?14 desconocido 8415. REPRESENTARElaborar una imagen, grfico o smbolo visual de un objeto matemtico y sus relaciones empleando formasgeomtricas, diagramas, tablas, el plano cartesiano, etc.16. RESOLVEREncontrar un mtodo que conduzca a la solucin de un problema matemtico23, el cual puede estarenmarcado en diferentes contextos tanto matemticos como de la vida real24 y de contextos personales,familiares, escolares o cientficos.2324Ministerio de Educacin del Per UMC. op. cit. p.229.INCE. Marcos tericos y especificaciones de evaluacin de TIMSS 2003, p.45 43. 42REFERENCIAS BIBLIOGRFICASALSINA, ngel (2009). El aprendizaje realista: una contribucin de la investigacin en Educacin Matemticaa la formacin del profesorado. En M.J. Gonzlez, M.T. GonzlezJ. Murillo (Eds.), Investigacin en EducacinMatemtica XIII, Santander: SEIEM.ANDONEGUI Martn (2006). Fracciones, concepto y su representacin. Serie Desarrollo del pensamientomatemtico Caracas: Serie Fracciones N9, http://publicaciones.caf.com/media/1209/61.pdfARELLANO Teresa (2006). Diplomado de Segunda Especialidad en Didctica de la Matemtica en laEducacin Primaria. Mdulo 3. Comprensin numrica y habilidades operatorias. 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Esta vez, se pone adisposicin de la comunidad educativa los MAPASDE PROGRESO de Lectura, Escritura y ComunicacinOral en el rea de Comunicacin; y de Nmeros yoperaciones, Cambio y Relaciones, as como los mapasde Geometra y de Estadstica y probabilidad en el reade Matemtica. Ms adelante se tiene programadopublicar los mapas de Ciencia, Ciudadana y EducacinInicial.Usted puede encontrar este MAPA DE PROGRESO, ascomo las versiones ms recientes de los dems mapasque venimos elaborando, en la web: www.ipeba.gob.pe.Ah encontrar, adems, un espacio para compartir connosotros sus impresiones y aportes sobre estos mapas.