Enseñanza de laMatemática Discreta

Diego de Pereda Sebastián

¿Qué es la Matemática Discreta?

Estudio de los conjuntos discretos:– Finitos o infinitos numerables

Trata gran cantidad de temas:– Teoría de conjuntos– Combinatoria y nociones de probabilidad– Teoría de grafos– Etc.

Fuerte relación con el mundo real– Gran importancia en la informática

Estado actual de la Educación Matemática Universitaria

Estudio desde un punto de vista demasiado formal y abstracto

Mala fama de la Matemática Aplicada– Tímidamente aplicada

Desde la teoría a la posible aplicación– Alternativa. Construir a partir del mundo real:

Lotka-Volterra para ecuaciones diferenciales Cubo de Rubik para Álgebra Juegos de azar y acertijos para Probabilidad

Motivación de la Investigación

Fuerte frustración por parte de los alumnos de la carrera de Matemáticas– Falta de elección– Sin variedad en los métodos educativos

Alejada del ser humano (No imperfecta) Estudio demasiado formal y abstracto Estudio pormenorizado, pero poco global Sin incentivar el pensamiento matemático

Falta de pensamiento crítico e ideas propias

Metodología de la Investigación

Grupo heterogéneo (12 personas)– Estudios secundarios superados

Evaluación– Preguntas previas sobre su concepción y relación

con las Matemáticas– Pregunta inicial trivial para ‘entrar en calor’– Seis problemas de distintos ámbitos de la

Matemática Discreta

Problemas elegidos

Varios tipos de cuestiones básicas intercaladas:– Conteo de posibilidades– Probabilidad condicionada

Ambos tipos bastante relacionados– La probabilidad consiste en el conteo del número de

los casos favorables entre los posibles Evaluación:

– Dependencia de los sucesos aleatorios– Diferencias en la obtención de los datos

Estrategia

Uso de la estrategia esgrimida por Platón en su obra ‘Menón, o de la virtud’– Si la respuesta es incorrecta, se realizan preguntas

que provoquen que el entrevistado se de cuenta de su error inicial y pueda rectificarlo

Métodos de conseguirlo:– Sentido lógico de la respuesta– Sobredimensionar o simplificar el problema inicial– Visualización del problema

Probabilidad: Problema 1

Evaluar: Cuestiones básicas de probabilidad

¿Cuál es la probabilidad de que al tirar dos dados salgan un 1 y un 5?

¿Cuál es la probabilidad de que al tirar un dado azul y otro rojo, salga un 1 en el azul y un 5 en el rojo?

Estrategia: Paso a paso

Probabilidad 1: Resultados

2 /361 /36(2 )

2 /361 /36(5 )

1 /361 /36(5 )

R e su lta d osE x tra ñ os

(3 )

R e su lta d osE x tra ñ os

(3 )

P rob le m a 1

Preguntar paso a paso,qué posibilidades haysi tiras un dado antes y otro después

Probabilidad: Problema 2 (I)

Evaluar: Obtención de los datos

Se encuentran dos viejos amigos:– ¡Cuánto tiempo! Lo mismo hasta tienes hijos.– Sí, dos.– ¿Alguno es niña?– Sí

¿Cuál es la probabilidad de que tenga dos niñas?

Probabilidad: Problema 2 (y II)

Otros dos viejos amigos que se encuentran:– ¡Cuánto tiempo! Lo mismo hasta tienes hijos.– Sí, dos.– ¿El mayor es una niña?– Sí

¿Cuál es la probabilidad de que tenga dos niñas?

Estrategia: Desglosar posibilidades

Probabilidad 2: Resultados

1 /31 /2(1 )

1 -> 1 /3 2 -> 1 /2(8 ) (4 d u do so s)

1 -> 1 /2 2 -> 1 /2(3 )

A A , O O , A O , O AE q u ip ro ba b les

1 -> O O 2 -> O O , O A(1 1 )

1 /2 ó 1 /41 /2(1 1 )

P rob le m a 2

Posibilidades con dos hijos. ¿Equiprobables?Casos descartados

Probabilidad de que sean dos hijas

Probabilidad: Problema 3

Evaluar: Obtención de los datos Problema:

– Estás en un concurso de televisión y tienes que elegir entre 3 puertas (A, B y C), sabiendo que detrás de una de ellas hay un coche, pero nada tras el resto. Eliges una de ellas (la A). El presentador abre otra distinta (la B), sabiendo que no hay nada detrás. Te deja cambiar de puerta.

– ¿Cambias? ¿Qué probabilidades tienes de ganar? Estrategias: Sentido lógico, sobredimensionar

y analogía con un problema conocido

Probabilidad 3: Resultados

S í. 2 /3(2 )

1 /31 /2

A rre g la(1 )

1 /21 /2(1 )

1 /31 /2

D e be ría(1 )

1 /31 /2

D e be ría(1 )

1 /29 9 /100

(2 )

1 /2N o sa be

(1 )

1 /21 /2

-(3 )

1 /29 9 /100

(1 )

1 /31 /2

D e be ría(1 )

9 9 /100(1 )

1 /31 /3N o(1 )

1 /31 /2

C a m b ia(5 )

1 /29 9 /100

(1 )

1 /21 /2

-(1 )

9 9 /100(1 )

1 /31 /3N o(1 )

1 /29 9 /100

(1 )

1 /31 /2N o(1 )

1 /31 /3

-(3 )

D a ig u a l. 1 /2(1 0 )

P rob le m a 3

Antes de abrirSi no puedes cambiar¿Cambia?

No cambiar nuncaCambiar siempre¿Suma 1 (100%)?

100 puertasAdivina el número que he pensado

Conteo: Problema 4

Evaluar: Aplicar fórmula sin pensar

Problema:– En una carretera en obras pones un cono naranja

cada 100 metros. La carretera tiene 2,5 kilómetros.– ¿Cuántos conos necesitas?

Estrategia: Simplificar el problema y visualizar la solución

Conteo 4: Resultados

2 6 (5 )

3 (1 )

3 (4 ) 2 (2 )

2 (6 )

5 (7 )

2 5 (7 )

P rob le m a 4

¿Y en una carretera de 500 metros?

¿Y en una de 200 metros?

¿En qué puntos habrá cono?Dibuja la carretera y los conos

Conteo: Problema 5

Evaluar: Crear y evaluar reglas generales

Problema:– En un congreso hay 10 personas. Si todos se dan la

mano con todos.– ¿Cuántos apretones de manos se dan?

Estrategia: Simplificar el problema, poniendo en duda la regla utilizada

Conteo 5: Resultados

4 5 ó9 + 8 + ...+1

(3 )

1 - 3 - 6A rre g la

(1 )

1 0 !(1 )

1 - 3 - 6A rre g la

(3 )

1 00A rre g la

(1 )

1 - 3 - 6N o sa be

(1 )

90(4 )

1 00A rre g la

(1 )

1 00N o sa be

(1 )

1 - 3 - 6N o sa be

(2 )

81(2 )

1 00N o sa be

(2 )

1 - 3 - 6N o sa be

(2 )

1 00(2 )

P rob le m a 5

¿Con 2 personas?¿Con 3? ¿Con 4?Regla general

Si hay 100 personas que se han dado la mano, ¿cuántos apretones nuevos hay al llegar una más?Regla general

Conteo: Problema 6

Evaluar: Asumir falsas hipótesis Problema:

– En una habitación a oscuras, hay 20 bolas iguales salvo el color: 10 son rojas y 10 azules. Tú quieres coger dos del mismo color, te da igual cuál. Vas a entrar en la habitación sin ver nada y coger las bolas.

– ¿Cuál es el número mínimo de bolas que necesitas sacar para tener dos bolas del mismo color?

Estrategia: Paso a paso

Conteo 6: Resultados

3(3 )

3(2 )

S í(2 )

6(2 )

3(1 )

S í(1 )

10(1 )

3(4 )

S í(4 )

11(4 )

3(2 )

S í(2 )

12(2 )

P rob le m a 6

¿Estás seguro?

Ve sacando las bolas una a una y preguntándote si tienes dos del mismo color.

Análisis: Respuestas iniciales

Malos resultados– 5/12 (42%) como mejor respuesta– 23% de respuestas correctas

31% en problemas de conteo 15% en problemas de probabilidad

Errores generales:– Multiplicación de probabilidades– No considerar todos los casos– Sucesos dependientes o independientes– Forma de obtención de los datos

Análisis: Rectificaciones

Gran índice de rectificación– 84% de respuestas finales correctas (23% inicial)

De un 31% a un 92% en problemas de conteo [88%] De un 15% a un 76% en problemas de probabilidad [72%]

– Mayor rectificación en problemas tangibles– Grandes dudas sobre el resultado en problemas de

probabilidad condicionada (obtención de los datos) Respuesta correcta pero insegura Respuesta inicial, a pesar de las Matemáticas

Análisis: Estrategias (I)

Problemas de Probabilidad

Problema 1: Dados– Desglose de casos

Problema 2: Niño-niña– Desglose en casos

Problema 3: Concurso– Sentido lógico (no funciona)– Sobredimensionar (ligeramente)– Sobredimensionar + Analogía con un problema real

Análisis Estrategias (y II)

Problemas de Conteo

Problema 4: Conos en la carretera– Simplificar (no funciona)– Visualización

Problema 5: Apretones de mano– Simplificar + Sentido lógico

Problema 6: Bolas de colores– Desglose de casos

Conclusiones (I)

Fuertes deficiencias en tareas básicas– Respuestas rápidamente elegidas, pero difícilmente

modificables– No considerar todas las posibilidades– Aplicar directamente una regla sin comprobar si

funciona en casos sencillos– No visualizar el problema, sino atacarlo como si de

algo abstracto se tratara– No tener en cuenta la forma de obtener la

información del problema

Conclusiones (y II)

Estrategias– El desglose por casos ayuda a obtener la respuesta

correcta, pero no siempre al entendimiento– Sobredimensionar o simplificar por sí solos no

consiguen su efecto, pero acompañados (sentido lógico, visualización, ...) consiguen convencer

Escasa enseñanza de Matemática Discreta– Conocimientos para aplicar fórmulas, pero falta de

entrenamiento del pensamiento matemático– Imposibilidad de afrontar problemas nuevos

THE ENDDiego de Pereda Sebastián