MATEMÁTICA FINANCIERA

Prof. Carlos A. BlancoI.E.S. María de Molina (Zamora)

MATEMÁTICA FINANCIERA

En esta presentación trataremos los siguientes apartados:

• Interés simple

• Interés compuesto

• Anualidades de capitalización

• Anualidades de amortización

• Parámetros económicos y sociales (TAE, IPC, Euribor,…)

INTERÉS SIMPLESi depositamos una cantidad de dinero en un banco, al

cabo de un determinado periodo, el banco nos da una cantidad de dinero en concepto de pago por el préstamo realizado al banco. Esta cantidad de dinero se denomina interés.

El interés simple es aquel interés que se genera sobre un capital que permanece constante en el tiempo.

• Denotaremos por Ci al capital inicial• Denotaremos por r al interés producido por 100€ y es el

rédito o tanto por ciento.• Denotaremos por I al interés producido por el capital.• Denotaremos por CF al capital final, que será la suma del

capital inicial más los intereses producidos.

INTERÉS SIMPLEEn el interés simple, los intereses producidos en cada

periodo no se suman al capital inicial y por tanto no generan intereses en el siguiente periodo.

De este modo, los intereses son directamente proporcionales al número de años que dura el préstamo.

En esta fórmula, el rédito está expresado en tanto por uno y el tiempo tiene que estar dado en años:• Si el tiempo está dado en meses, se expresará en años

dividiendo entre 12• Si el tiempo está dado en días, se expresará en años

dividiendo entre 360

𝐼=𝐶𝑖𝑟𝑡 𝐶𝐹=𝐶𝑖+𝐼

INTERÉS SIMPLECalcula los intereses que producen 6000€ depositados a un interés simple del 5% durante 4 años:

𝐼=𝐶𝑖𝑟𝑡=6000 ·0,05 ·4=1200Calcula cuánto dinero debemos depositar a un interés simple del 3% durante 5 años para obtener unos intereses de 240€

𝐼=𝐶𝑖𝑟𝑡⇒240=𝐶𝑖 ·0,03 ·5⇒𝐶𝑖=2400,03 ·5=1600

Halla el rédito al que tenemos que depositar 5000€ durante 6 años para que produzcan unos intereses de 1200€

𝐼=𝐶𝑖𝑟𝑡⇒1200=5000 ·𝑟 ·6⇒𝑟=12005000 ·6=0,04⇒𝑟=4%

INTERÉS COMPUESTOSi al cabo de cada periodo de tiempo los intereses se

acumulan en el capital inicial para seguir generando intereses, a estos periodos de tiempo los llamamos periodos de capitalización.

Se llama interés compuesto al interés que se genera sobre el capital inicial además de sobre los intereses generados en cada periodo de capitalización.

Observamos la evolución con periodos de capitalización de 1 año a lo largo de t años.

𝐼=𝐶𝑖𝑟𝐶𝑖

1 Año𝐶𝐹=𝐶𝑖+𝐶𝑖𝑟

𝐶𝐹=𝐶𝑖 (1+𝑟 )

2 Años

𝐼=𝐶𝑖 (1+𝑟 )𝑟

𝐶𝐹=𝐶𝑖 (1+𝑟 )2

…

…

…

…

t Años

𝐶𝐹

𝐼=𝐶𝑖 (1+𝑟 )𝑡−1𝑟

𝑪𝑭=𝑪 𝒊 (𝟏+𝒓 )𝒕

INTERÉS COMPUESTOSi los periodos de capitalización son distintos de un año, y

suponemos que hay k periodos de capitalización en un año:

• Por una parte habrá que calcular el rédito para cada periodo de capitalización, que se hace dividiendo el rédito anual entre el número de periodos de capitalización que haya en un año.

• Por otra parte habrá que considerar que en t años habrá k veces más periodos de capitalización.

La fórmula por tanto será:

𝐶𝐹=𝐶𝑖(1+ 𝑟𝑘 )𝑡 ·𝑘

INTERÉS COMPUESTOCalcula el capital final que se obtiene al depositar 7500€ al 4% anual durante 3 años, con capitalizaciones bimensuales:

𝐶𝐹=𝐶𝑖(1+ 𝑟𝑘 )𝑡 ·𝑘

=7500(1+ 0,046 )3 ·6

≅ 8452,86€

Calcula el rédito al que hay que colocar 4000€ para que al cabo de 6 años se obtenga un capital final de 6000€

Halla el tiempo que deben estar depositados 5000€ al 3% de interés anual para que se conviertan en 6149,37€

ANUALIDADES DE CAPITALIZACIÓNLas operaciones de capitalización son operaciones en las

que se entrega un capital cada periodo de tiempo de forma que, al finalizar la operación, se consigue un capital que es la suma de los capitales entregados más los intereses generados.

Cuando se ingrese siempre la misma cantidad y los periodos sean anuales, serán anualidades de capitalización.

Ejemplos de este tipo de operaciones son los planes de pensiones y las cuentas ahorro vivienda.

ANUALIDADES DE CAPITALIZACIÓNSuponemos que entregamos al principio de cada año la

misma cantidad, que denotaremos por a.

𝐶𝐹=𝑎 (1+𝑟 ) (1+𝑟 )𝑡−𝑎 (1+𝑟 )

(1+𝑟 )−1=¿

𝑎 (1+𝑟 )𝑡+1−𝑎 (1+𝑟 )𝑟

Año 1

Año 1

Año 2

Año 2

Año t

Año t

𝑎

Inicio

𝑎

Inicio

𝑎Inicio

𝑎 (1+𝑟 )𝑡

𝑎 (1+𝑟 )

𝑎 (1+𝑟 )𝑡− 1

Fin

𝑎 (1+𝑟 )2

𝑎 (1+𝑟 )

Fin

𝑎 (1+𝑟 )Fin

… ……………

…

…

…

…

…

…

…

El capital final es la suma de los capitales de última columna, que forman una progresión geométrica de razón

ANUALIDADES DE CAPITALIZACIÓNCalcula el capital con el que se contará tras ingresar 400€ al principio de cada año durante 20 años al 5% de interés.

𝐶=𝑎 [ (1+𝑟 )𝑡+ 1− (1+𝑟 ) ]

𝑟 =400 [ (1 ,05 )21− (1 ,05 ) ]

0,05≅ 13887,70 €

Calcula durante cuántos años hay que ingresar 400€ anuales para reunir 4185,55€ si el interés es del 3% anual.

Calcula qué cantidad hay que ingresar al principio de cada año durante 5 años al 5% para reunir 50000€

ANUALIDADES DE AMORTIZACIÓN

En esta ocasión es el banco el que nos ha prestado un dinero y nosotros debemos devolver el préstamo mediante el pago de una cantidad fija cada año, que se llamará anualidad de amortización.

Al final, la suma de las cantidades aportadas más los intereses generados por dichas cantidades deberá ser igual a la cantidad prestada, más los intereses que hubiera generado dicha cantidad.

El ejemplo más común de préstamo es el préstamo hipotecario, que es el que se concede para la compra de una vivienda.

ANUALIDADES DE AMORTIZACIÓNEn esta ocasión, los pagos se realizan al finalizar cada

periodo. Llamaremos a a la cantidad que se paga.• Al final de primer periodo ingresamos la cantidad a, que se

convertirá al final de la operación en:

• Al final del segundo periodo ingresamos la cantidad a, que se convertirá al final de la operación en:

• Así sucesivamente con cada periodo, hasta el penúltimo periodo que ingresamos la cantidad a que se convierte al final de la operación en:

• La operación concluye con el último pago de la cantidad a.

ANUALIDADES DE AMORTIZACIÓNComo se ha comentado, la suma de todas las cantidades

anteriores deber ser igual al capital prestado más los intereses que hubiera generado: Es decir:

𝑎+𝑎 (1+𝑟 )+…+𝑎 (1+𝑟 )𝑡−1=𝐶 (1+𝑟 )𝑡

Vemos que a la izquierda hay la suma de t términos de una progresión geométrica de primer término a y de razón 𝑎 (1+𝑟 )𝑡−𝑎

(1+𝑟 )−1=𝐶 (1+𝑟 )𝑡⇒

𝑎 [ (1+𝑟 )𝑡−1 ]𝑟 =𝐶 (1+𝑟 )𝑡⇒

𝑎=𝐶𝑟 (1+𝑟 )𝑡

(1+𝑟 )𝑡−1

Si hubiera k periodos de capitalización al año, nos quedaría:

𝑎=𝐶 𝑟𝑘 (1+ 𝑟𝑘 )

𝑡 ·𝑘

(1+ 𝑟𝑘 )𝑡 ·𝑘−1

ANUALIDADES DE AMORTIZACIÓNCalcula la anualidad que deberá pagarse para devolver un préstamo de 120000€ en 20 años al 4% de interés anual.

𝑎=𝐶𝑟 (1+𝑟 )𝑡

(1+𝑟 )𝑡−1=120000 ·0,04 ·1,04

20

1,0420−1≅ 8829,81 €

Halla el importe máximo del préstamo que podemos solicitar si se va a pagar en 15 años, al 5% anual, y si podemos pagar 900€ cada tres meses como máximo.

PARÁMETROS ECONÓMICOS• El TAE

En algunas operaciones financieras los periodos de capitalización son diferentes de un año.

Podemos observar que para un mismo rédito, el capital final es mayor cuánto menor sea el periodo de capitalización.

La Tasa Anual Equivalente (TAE) es el rédito que produciría el mismo capital si el periodo de capitalización fuera de un año.

En la fórmula anterior, el TAE está dado en tanto por uno. Para verlo como tanto por ciento, multiplicaremos por 100

PARÁMETROS ECONÓMICOS• Números índice

Los números índice expresan la variación de una magnitud económica relativa a un momento concreto del tiempo que llamaremos referencia o base.

El número índice correspondiente al momento respecto a un momento dividiremos el valor de la magnitud correspondiente al momento entre el valor de la magnitud correspondiente al momento .

Para ver este número como un porcentaje, multiplicamos por 100.

PARÁMETROS ECONÓMICOS• El índice de precios al consumo (IPC)

Se trata de un caso particular de número índice, donde se comparan los precios en un tiempo con los precios en un tiempo

Los precios utilizados para el IPC son los que se consideran representativos del consumo habitual. Cada uno de ellos con un peso o ponderación según su importancia:

• y son los precios y sus ponderaciones en el año • y son los precios y sus ponderaciones en el año

PARÁMETROS ECONÓMICOS• El índice de desarrollo humano (IDH)

Es un indicador socioeconómico elaborado por la ONU para medir el grado de desarrollo de los diferentes países.

Se trata de la media aritmética de tres indicadores:• La esperanza de vida al nacer o longevidad (L)• El nivel de estudios académicos (E), que mide su nivel

cultural.• La renta per cápita (R), que mide el nivel económico de los

habitantes.Cada uno de los indicadores se expresa en un número

entre 0 y 1, siendo 1 el nivel más alto.

PARÁMETROS ECONÓMICOS• El Euribor

Se trata de la principal referencia sobre el tipo de interés al que se presta dinero en la zona euro.

El la media aritmética simple de los tipos de interés que aplican los principales bancos de la zona euro cuando se prestan dinero entre ellos.

El Euribor es el acrónimo de European Interbank Offered Rate, que significa “tipo europeo de oferta interbancaria”

PARÁMETROS ECONÓMICOSCalcula el TAE equivalente al 6% anual con capitalizaciones bimensuales

𝑇𝐴𝐸=(1+ 0,066 )6

−1≅ 6,15 %

En la tabla se dan las poblaciones de una ciudad a lo largo de los últimos años. Calcula la variación relativa al año 2011

𝑁𝐼 20102011=6599865525 ·100≅ 100,72%

Año Población

2010 65998

2011 65525

2012 65362

2013 64986

2014 64423

𝑁𝐼 20122011=6536265525 ·100≅ 99,75%

𝑁𝐼 20132011=6498665525 ·100≅ 99,18 %

𝑁𝐼 20142011=6442365525 ·100≅ 98,32%

PARÁMETROS ECONÓMICOSEn la tabla se muestran los precios del carburante durante los meses de enero y febrero de 2015 en la provincia de Zamora. Se muestra también su ponderación. Calcula el IPC del carburante del mes de febrero

Enero Febrero Ponder.

SP 95 1,120 1,207 30%

Diésel 1,081 1,152 50%

SP 98 1,240 1,327 5%

Dies. Cal 1,149 1,222 15%

𝐼𝑃𝐶=𝑝1𝑡1 ·𝑞1

𝑡1+…+𝑝𝑛𝑡1 ·𝑞𝑛

𝑡1

𝑝1𝑡 0·𝑞1

𝑡 0+…+𝑝𝑛𝑡0 ·𝑞𝑛

𝑡 0=30 ·1,207+50 ·1,152+5 ·1,327+15 ·1,22230·1,120+50 ·1,081+5 ·1,240+15 ·1,149

⇒

⇒𝐼𝑃𝐶 ≅ 1,0692=106,92%Así que los precios subieron un 6,92% en febrero de 2015.