1. 2 PRELIMINARES Esta publicacin se termin de imprimir durante
el mes de diciembre de 2010. Diseada en Direccin Acadmica del
Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora Blvd. Agustn de
Vildsola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, Mxico La edicin consta de
10,064 ejemplares. COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE SONORA
Director General Mtro. Jorge Luis Ibarra Mendvil Director Acadmico
Profr. Julio Alfonso Martnez Romero Director de Administracin y
Finanzas C.P. Jess Urbano Limn Tapia Director de Planeacin Mtro.
Pedro Hernndez Pea MATEMTICAS 4 Mdulo de Aprendizaje. Copyright ,
2010 por Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora todos los
derechos reservados. Primera edicin 2011. Impreso en Mxico.
DIRECCIN ACADMICA Departamento de Desarrollo Curricular Blvd.
Agustn de Vildsola, Sector Sur Hermosillo, Sonora. Mxico. C.P.
83280 COMISIN ELABORADORA: Elaborador: Alma Lorenia Valenzuela
Chvez Revisin Disciplinaria: Margarita Len Vega Correccin de
Estilo: Flora Ins Cabrera Fregoso Supervisin Acadmica: Mtra. Luz
Mara Grijalva Daz Equipo Tcnico RIEMS Diseo: Joaqun Rivas Samaniego
Mara Jess Jimnez Duarte Edicin: Bernardino Huerta Valdez
Coordinacin Tcnica: Claudia Yolanda Lugo Peuuri Diana Irene
Valenzuela Lpez Coordinacin General: Profr. Julio Alfonso Martnez
Romero
2. 3PRELIMINARES Ubicacin Curricular COMPONENTE: FORMACIN BSICA
CAMPO DE CONOCIMIENTO: MATEMTICO HORAS SEMANALES: 05 CRDITOS: 10
DATOS DEL ALUMNO Nombre:
_______________________________________________________________
Plantel:
__________________________________________________________________
Grupo: _________________ Turno: _____________
Telfono:___________________ E-mail:
_________________________________________________________________
Domicilio:
______________________________________________________________
_______________________________________________________________________
3. 4 PRELIMINARES
4. 5PRELIMINARES Presentacin
.........................................................................................................................................................7
Mapa de
asignatura..............................................................................................................................................8
BLOQUE 1: RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE
FUNCIONES.......9 Secuencia Didctica 1: Relaciones y funciones
................................................................................................10
Diferencia entre relaciones y
funciones......................................................................................................12
Dominio y
rango..........................................................................................................................................21
Formas de representar una funcin
...........................................................................................................23
Secuencia Didctica 2: Clasificacin de funciones
...........................................................................................32
Segn su forma analtica
............................................................................................................................36
Segn la presentacin de su forma
analtica.............................................................................................63
Segn su
grfica.........................................................................................................................................66
Secuencia Didctica 3: Operaciones de
funciones...........................................................................................81
Suma de
funciones.....................................................................................................................................82
Resta de funciones
.....................................................................................................................................86
Multiplicacin de funciones
........................................................................................................................90
Divisin de
funciones..................................................................................................................................94
Composicin de
funciones.........................................................................................................................99
BLOQUE 2: APLICA FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES
GRFICAS..................105 Secuencia Didctica 1: Funciones
especiales
................................................................................................106
Funcin
inversa..........................................................................................................................................108
Funciones definidas por partes
.................................................................................................................122
Secuencia Didctica 2: Transformaciones de grficas de funciones
.............................................................141
Translacin horizontal
................................................................................................................................144
Traslacin
vertical.......................................................................................................................................146
Reflexin con respecto al eje
X..................................................................................................................149
Reflexin con respecto al eje
Y..................................................................................................................153
Reflexin con respecto a la recta de
45...................................................................................................156
Contraccin y expansin de funciones
.....................................................................................................157
BLOQUE 3: EMPLEA FUNCIONES
POLINOMIALES.........................................................................161
Secuencia Didctica 1: Funciones polinomiales de grados cero, uno y
dos .................................................164 Concepto
de funcin polinomial de una
variable......................................................................................166
Caractersticas de las funciones polinomiales
..........................................................................................166
Influencia de los parmetros de funciones de grados cero, uno y dos
en su representacin grfica....168 Secuencia Didctica 2: Funciones
polinomiales de grado tres y cuatro
........................................................194
Comportamiento y bosquejo de grficas de funciones polinomiales de
grados tres y cuatro ...............195 Teorema del residuo y del
factor
...............................................................................................................205
Teoremas sobre las races de una ecuacin
............................................................................................208
BLOQUE 4: APLICA FUNCIONES RACIONALES
..............................................................................215
Secuencia Didctica 1: Funcin
racional.........................................................................................................216
Concepto de funcin racional
...................................................................................................................217
Funcin racional
reducible.........................................................................................................................221
Secuencia Didctica 2: Grficas de funciones racionales
..............................................................................226
Asntotas de funciones racionales
............................................................................................................229
ndice
5. 6 PRELIMINARES BLOQUE 5: UTILIZA FUNCIONES EXPONENCIALES Y
LOGARTMICAS........................................239 Secuencia
Didctica 1: Funciones
exponenciales..........................................................................................
240 Concepto de funcin exponencial
............................................................................................................
241 Variacin exponencial
...............................................................................................................................
245 El nmero e
...............................................................................................................................................
249 Secuencia Didctica 2: Funcin
logartmica...................................................................................................
254 Propiedades de los
logaritmos.................................................................................................................
257 Concepto de funcin
logartmica..............................................................................................................
258 Grfica de la funcin logartmica
..............................................................................................................
258 Ecuaciones exponenciales y
logartmicas................................................................................................
262 BLOQUE 6: EMPLEA FUNCIONES PERIDICAS
.............................................................................269
Secuencia Didctica 1: Funciones
sinoidales.................................................................................................
270 Concepto de las funciones senoidales
....................................................................................................
272 Caractersticas de las funciones seonidales
............................................................................................
273 Secuencia Didctica 2: Graficacin paramtrica de funciones
senoidales................................................... 283
Graficacin mediante parmetros
............................................................................................................
284
Bibliografa........................................................................................................................................................
296 ndice (continuacin)
6. 7PRELIMINARES Una competencia es la integracin de
habilidades, conocimientos y actitudes en un contexto especfico. El
enfoque en competencias considera que los conocimientos por s
mismos no son lo ms importante, sino el uso que se hace de ellos en
situaciones especficas de la vida personal, social y profesional.
De este modo, las competencias requieren una base slida de
conocimientos y ciertas habilidades, los cuales se integran para un
mismo propsito en un determinado contexto. El presente Mdulo de
Aprendizaje de la asignatura Matemticas 4, es una herramienta de
suma importancia, que propiciar tu desarrollo como persona
visionaria, competente e innovadora, caractersticas que se
establecen en los objetivos de la Reforma Integral de Educacin
Media Superior que actualmente se est implementando a nivel
nacional. El Mdulo de aprendizaje es uno de los apoyos didcticos
que el Colegio de Bachilleres te ofrece con la intencin de estar
acorde a los nuevos tiempos, a las nuevas polticas educativas,
adems de lo que demandan los escenarios local, nacional e
internacional; el mdulo se encuentra organizado a travs de bloques
de aprendizaje y secuencias didcticas. Una secuencia didctica es un
conjunto de actividades, organizadas en tres momentos: Inicio,
desarrollo y cierre. En el inicio desarrollars actividades que te
permitirn identificar y recuperar las experiencias, los saberes,
las preconcepciones y los conocimientos que ya has adquirido a
travs de tu formacin, mismos que te ayudarn a abordar con facilidad
el tema que se presenta en el desarrollo, donde realizars
actividades que introducen nuevos conocimientos dndote la
oportunidad de contextualizarlos en situaciones de la vida
cotidiana, con la finalidad de que tu aprendizaje sea
significativo. Posteriormente se encuentra el momento de cierre de
la secuencia didctica, donde integrars todos los saberes que
realizaste en las actividades de inicio y desarrollo. En todas las
actividades de los tres momentos se consideran los saberes
conceptuales, procedimentales y actitudinales. De acuerdo a las
caractersticas y del propsito de las actividades, stas se
desarrollan de forma individual, binas o equipos. Para el
desarrollo del trabajo debers utilizar diversos recursos, desde
material bibliogrfico, videos, investigacin de campo, etc. La
retroalimentacin de tus conocimientos es de suma importancia, de ah
que se te invita a participar de forma activa cuando el docente lo
indique, de esta forma aclarars dudas o bien fortalecers lo
aprendido; adems en este momento, el docente podr tener una visin
general del logro de los aprendizajes del grupo. Recuerda que la
evaluacin en el enfoque en competencias es un proceso continuo, que
permite recabar evidencias a travs de tu trabajo, donde se tomarn
en cuenta los tres saberes: el conceptual, procedimental y
actitudinal con el propsito de que apoyado por tu maestro mejores
el aprendizaje. Es necesario que realices la autoevaluacin, este
ejercicio permite que valores tu actuacin y reconozcas tus
posibilidades, limitaciones y cambios necesarios para mejorar tu
aprendizaje. As tambin, es recomendable la coevaluacin, proceso
donde de manera conjunta valoran su actuacin, con la finalidad de
fomentar la participacin, reflexin y crtica ante situaciones de sus
aprendizajes, promoviendo las actitudes de responsabilidad e
integracin del grupo. Nuestra sociedad necesita individuos a nivel
medio superior con conocimientos, habilidades, actitudes y valores,
que les permitan integrarse y desarrollarse de manera satisfactoria
en el mundo laboral o en su preparacin profesional. Para que
contribuyas en ello, es indispensable que asumas una nueva visin y
actitud en cuanto a tu rol, es decir, de ser receptor de
contenidos, ahora construirs tu propio conocimiento a travs de la
problematizacin y contextualizacin de los mismos, situacin que te
permitir: Aprender a conocer, aprender a hacer, aprender a ser y
aprender a vivir juntos. Presentacin
7. 2 PRELIMINARES Grado de 0 a 4 Cuyo anlisis particularizado
conduce al estudio de Limitadas a Las cuales se clasifican en Su
inversa Con el fin de En especial Contiene FUNCIONES Compuestas por
las funciones ExponencialesPolinomiales Racionales Bases 10 y e
RESOLVER PROBLEMAS Logartmicas Senoidales Seno Coseno MATEMTICAS 4
Con el fin de Funciones algebraicas Funciones trascendentes
Irracionales Las cuales se clasifican en
8. Reconoce y realiza operaciones con distintos tipos de
funciones. Competencias disciplinares bsicas: Construye e
interpreta modelos matemticos mediante la aplicacin de
procedimientos aritmticos, algebraicos, geomtricos y variacionales,
para la comprensin y anlisis de situaciones reales, hipotticas o
formales. Formula y resuelve problemas matemticos, aplicando
diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos
mediante procedimientos matemticos y los contrasta con modelos
establecidos o situaciones reales. Argumenta la solucin obtenida de
un problema, con mtodos numricos, grficos, analticos o
variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemtico y el uso de
las tecnologas de la informacin y la comunicacin. Analiza las
relaciones entre dos o ms variables de un proceso social o natural
para determinar o estimar su comportamiento. Cuantifica, representa
y contrasta experimental o matemticamente las magnitudes del
espacio y las propiedades fsicas de los objetos que lo rodean.
Interpreta tablas, grficas, mapas, diagramas y textos con smbolos
matemticos y cientficos. Unidad de competencia: Construye e
interpreta modelos algebraicos y grficos, aplicando relaciones
funcionales entre magnitudes para representar situaciones y
resolver problemas, tericos o prcticos, de su vida cotidiana y
escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad.
Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicacin de modelos
funcionales, en el contexto de las situaciones reales o hipotticas
que describen. Interpreta diagramas y textos que contienen smbolos
propios de la notacin funcional. Atributos a desarrollar en el
bloque: 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones
lingsticas, matemticas o grficas. 5.1 Sigue instrucciones y
procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cmo cada uno de
sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4 Construye
hiptesis y disea y aplica modelos para probar su validez. 5.6
Utiliza las tecnologas de la informacin y comunicacin para procesar
e interpretar informacin. 6.1 Elige las fuentes de informacin ms
relevantes para un propsito especfico y discrimina entre ellas de
acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 7.1 Define metas y da
seguimiento a sus procesos de construccin de conocimientos. 8.1
Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto
en equipo, definiendo un curso de accin con pasos especficos. 8.2
Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras
personas de manera reflexiva. 8.3. Asume una actitud constructiva,
congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta
dentro de distintos equipos de trabajo. Tiempo asignado: 21
horas
9. RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE
FUNCIONES10 Secuencia didctica 1. Relaciones y funciones. Inicio
Desarrolla lo que se pide. I. Lee con atencin el siguiente texto y
responde los cuestionamientos posteriores. Mnica organiz en su saln
la actividad del amigo secreto, que consiste en seleccionar
aleatoriamente una persona para enviarle diariamente un presente;
el ltimo da de clases, cada participante descubre quin era su amigo
secreto. Cuando se hizo el sorteo, Juan se qued con dos papelitos y
no aguant la tentacin de abrirlos, por supuesto, sin que nadie se
diera cuenta. Al leer los nombres se sorprendi, porque era Claudia
y Esteban, sus dos mejores amigos, por lo que decidi callar y
regarle a ambos, ya que no poda decidirse por alguno. 1. Qu podra
pasar en la actividad que organiz Mnica, con el proceder de Juan?
Si la lista de participantes es la siguiente, relaciona con una
flecha la forma en que podra quedar el reparto, si no descubren a
Juan. Persona que regala Persona que recibe el regalo Gustavo
Gustavo Mara Mara Juan Juan Sonia Sonia Mnica Mnica Claudia Claudia
Sandra Sandra Carlos Carlos Esteban Esteban 2. Qu condicin debe
existir para que la actividad resulte? Relaciona con una flecha una
forma en la que podra quedar el reparto de tal manera que funcione.
Persona que regala Persona que recibe el regalo Gustavo Gustavo
Mara Mara Juan Juan Sonia Sonia Mnica Mnica Claudia Claudia Sandra
Sandra Carlos Carlos Esteban Esteban Actividad: 1
10. BLOQUE 1 11 Evaluacin Actividad: 1 Producto: Cuestionario y
ejercicios de relacionar. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental
Actitudinal Comprende la diferencia entre relaciones y funciones.
Identifica la diferencia entre una relacin y una funcin. Muestra
disposicin al realizar la actividad. Autoevaluacin C MC NC
Calificacin otorgada por el docente 3. De acuerdo a lo anterior,
cmo definiras una relacin entre dos conjuntos? 4. De igual forma,
cmo definiras una relacin funcional entre dos conjuntos? II.
Relaciona los siguientes conjuntos mediante flechas, escribiendo en
la lnea la palabra relacin o relacin funcional, dado el caso.
Vegetales Tipos Figuras geomtricas Nmero de lados
__________________________________
__________________________________ Chcharo Avena Toronja Rbano
Tomate Cereal Fruta Verdura Leguminosa Ctrico Tubrculo 0 1 2 3 4 5
6 7 Actividad: 1 (continuacin)
11. RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE
FUNCIONES12 Desarrollo Diferencia entre relaciones y funciones. A
lo largo de tu vida has relacionado eventos o fenmenos para poder
comprender las situaciones, como por ejemplo, cuando se reparten
los temas de una exposicin en equipo, cuando asignan la posicin que
tomarn los jugadores de futbol, la distancia que recorre un
automvil al transcurrir el tiempo, la velocidad de un objeto que
cae a una altura determinada, etc.; estos eventos suceden debido a
que es un mundo cambiante, donde existe un sinfn de magnitudes que
varan, como: el tiempo, la posicin de la luna, el precio de un
artculo, la poblacin, entre otras. A continuacin se definirn los
conceptos principales para desarrollar esta asignatura, como el
concepto de relacin y funcin, y la diferencia que hay entre ellos.
Relaciones. La relacin entre dos conjuntos es la correspondencia
que existe entre los elementos de un primer conjunto llamado
dominio, con uno o ms elementos de un segundo conjunto llamado
contradominio o codominio. Una relacin se puede representar
utilizando las siguientes formas: Mediante un criterio de seleccin
o regla de asociacin, el cual se puede presentar en forma de
enunciado o una expresin analtica (frmula), que explicita la
relacin entre los elementos de los dos conjuntos. Mediante un
diagrama sagital, el cual relaciona los elementos de dos conjuntos
por medio de flechas. Mediante un diagrama de rbol, el cual es una
representacin grfica que muestra el desglose progresivo de la
relacin que existe entre los elementos de dos conjuntos. Mediante
un producto cartesiano, el cual consiste en obtener todos los pares
ordenados posibles, cuya primera coordenada es un elemento del
primero conjunto y la segunda coordenada es un elemento del segundo
conjunto. Si los conjuntos a relacionar son A y B, el producto
cartesiano entre ellos se denota como A x B. Mediante una tabla, la
cual es la organizacin de los conjuntos en columnas, relacionando
as los elementos de los mismos mediante las filas. Mediante una
grfica, la cual es una representacin de elementos, generalmente
numricos, mediante lneas, superficies o smbolos, para ver la
relacin que guardan entre s. Todas las formas de correspondencia
entre dos conjuntos se pueden expresar mediante pares ordenados; si
la asociacin se da mediante un enunciado, se requiere obtener
primero los elementos de cada conjunto para establecer entre ellos
la relacin y describir los pares ordenados. A continuacin se
mostrarn ejemplos de las diferentes formas de representar una
relacin. Ejemplos de relacin mediante un criterio de seleccin o
regla de asociacin. La relacin que existe entre los estados
colindantes a Durango y sus capitales. La relacin que hay entre las
asignaturas de cuarto semestre del Colegio de Bachilleres del
Estado de Sonora, con el nmero de horas a la semana en las que se
imparten. La relacin entre los jugadores de la seleccin mexicana,
con su posible posicin en el juego contra Sudfrica en el mundial
del 2010. La relacin que existe entre los kilmetros que recorre un
automvil con el tiempo que transcurre, si ste se mueve a una
velocidad de 90 Km/h y tiene que recorrer 252 Km para trasladarse
de Ciudad Obregn a Hermosillo. La relacin que hay entre un nmero y
su cuadrado aumentado en dos unidades. Un conjunto es una coleccin
de personas, animales u objetos con caractersticas similares.
12. BLOQUE 1 13 La relacin que existe entre los resultados que
se obtienen en el primer lanzamiento de una moneda, con su segundo
lanzamiento. La relacin que existe entre las variables de la
ecuacin 3x2y Ejemplos de relacin mediante un diagrama sagital.
Chihuahua Sinaloa Coahuila Zacatecas Nayarit Saltillo Tepic
Zacatecas Chihuahua Culiacn Estados Capitales (Chihuahua,
Chihuahua), (Sinaloa, Culiacn), (Coahuila, Saltillo), (Zacatecas,
Zacatecas), (Nayarit, Tepic) (ESEM, 4), (M4, 5), (B2, 4), (L2, 4),
(F2, 5), (AP, 3), (LAE 4), (CPT A, 4), (CPT B, 3) Asignaturas Nm.
de horas E. socio-econmica de Mxico (ESEM) Matemticas 4 (M4)
Biologa 2 (B2) Literatura 2 (L2) Fsica 2 (F2) Actividades
paraescolares (A. P.) Lengua adicional al espaol 4 (LAE 4)
Capacitacin para el trabajo A (CPT A) Capacitacin para el trabajo B
(CPT B) 3 4 5 Primer lanzamiento Segundo lanzamiento A S A S (A,
A), (A, S), (S, A), (S, S) Jugadores Posiciones Guillermo Ochoa
Paul Aguilar Carlos Salcido Ricardo Osorio F. Javier Rodrguez Efran
Jurez Rafael Mrquez Gerardo Torrado Giovani dos Santos Carlos Vela
Guille Franco Portero Defensa Medio campista Delantero (G. Ochoa,
Portero), (P. Aguilar, Defensa), (P. Aguilar, Medio), (C. Salcido,
Defensa), (R. Osorio, Defensa), (FJ, Rodrguez, Defensa), (E. Jurez,
Defensa), (E. Jurez, Medio), (R. Mrquez, Defensa), (R. Mrquez,
Medio), (G. Torrado, Medio), (GD. Santos, Medio), (GD. Santos,
Delantero), (C. Vela, Medio), (C. Vela, Delantero), (G. Franco,
Delantero)
13. RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE
FUNCIONES14 Ejemplos de relacin mediante diagrama de rbol. Ejemplos
de relacin mediante un producto cartesiano. 1. Se lanza una moneda
dos veces, expresar el producto cartesiano de los resultados del
lanzamiento. A:1er. lanzamiento B: 2do. lanzamiento Producto
cartesiano A x B = {(s, s), (s, c), (c, s), (c, c)} . (A, A), (A,
S), (S, A), (S, S) A S A S Primer lanzamiento Segundo lanzamiento A
S Blusas Pantalones Blanca Negra Naranja Mezclilla Vestir Capri
Mezclilla Vestir Capri Mezclilla Vestir Capri (Blanca, Mezclilla),
(Blanca, Vestir), (Blanca, Capri), (Negra, Mezclilla), (Negra,
Vestir), (Negra, Capri), (Naranja, Mezclilla), (Naranja, Vestir),
(Naranja, Capri)
14. BLOQUE 1 15 2. Expresar el producto cartesiano de los
resultados del lanzamiento de dos dados. A: Primer dado. B: Segundo
dado. 6,6,5,6,4,6,3,6,2,6,1,6 6,5,5,5,4,5,3,5,2,5,1,5
6,4,5,4,4,4,3,4,2,4,1,4 6,3,5,3,4,3,3,3,2,3,1,3
6,2,5,2,4,2,3,2,2,2,1,2 6,1,5,1,4,1,3,1,2,1,1,1 BxA Ejemplos de
relacin mediante una tabla. ESTADO CAPITAL Chihuahua Chihuahua
Sinaloa Culiacn Coahuila Saltillo Zacatecas Zacatecas Nayarit Tepic
x 3x2y 1 1 0 3 1 5 2 7 3 9 (Chihuahua, Chihuahua), (Sinaloa,
Culiacn), (Coahuila, Saltillo), (Zacatecas, Zacatecas), (Nayarit,
Tepic) (-1, 1), (0, 3), (1, 5), (2, 7), (3, 9)
15. RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE
FUNCIONES16 Ejemplos de relacin mediante una grfica. t (hrs) d (Km)
x y x y Es muy importante que comprendas que no todas las
relaciones se pueden representar mediante las formas antes
mencionadas, como por ejemplo, la relacin que existe entre los
jugadores y su posible posicin, no se puede representar mediante
una ecuacin; tampoco tendra sentido intentar formar un diagrama de
rbol o un producto cartesiano, por lo que slo se puede representar
en forma de enunciado o diagrama sagital. Una tabla proporciona una
relacin directa, donde cada elemento del primer conjunto est
asociado con un elemento del segundo conjunto, de forma ordenada;
al igual que la tabla, la representacin grfica proporciona una
relacin directa entre los elementos de los conjuntos, sin embargo,
tanto la tabla como la grfica pueden carecer de informacin
suficiente como para describir su comportamiento mediante una
expresin analtica, por ello, la representacin analtica es la ms
completa, de ella se puede derivar una tabla, un grfica, una
expresin verbal y un diagrama sagital. El diagrama de rbol y el
producto cartesiano se utiliza, en su mayora, para obtener espacios
muestrales y eventos probabilsticos, como los que abordaste en el
ltimo bloque de la asignatura de Matemticas 2. Cita dos ejemplos de
cada una de las formas de representar la relacin entre dos
conjuntos. 1. Enunciado. Actividad: 2
16. BLOQUE 1 17 2. Representacin analtica. 3. Diagrama sagital.
4. Diagrama de rbol. Actividad: 2 (continuacin)
17. RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE
FUNCIONES18 Evaluacin Actividad: 2 Producto: Diseo de ejemplos.
Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Reconoce las
diferentes formas de representar la relacin entre conjuntos.
Ejemplifica las diferentes formas de representar la relacin entre
conjuntos. Aprecia la utilidad de las diferentes formas de
representar una relacin entre conjuntos. Autoevaluacin C MC NC
Calificacin otorgada por el docente 5. Producto cartesiano. 6.
Tabla. 7. Grfica. Actividad: 2 (continuacin)
18. BLOQUE 1 19 Funciones. Ahora se abordar el concepto de
funcin, la cual es un tipo especial de relacin, su definicin es:
Una funcin es una relacin en la cual a cada elemento del primer
conjunto (dominio) le corresponde uno y slo un elemento del segundo
conjunto (contradominio). Anota en la lnea la palabra RELACIN o la
palabra FUNCIN segn corresponda y justifica tu respuesta. x y
______________________________________
______________________________________ Justificacin: Justificacin:
x 3x2y -1 1 0 3 1 5 2 7 3 9 ______________________________________
______________________________________ Justificacin: Justificacin:
Mara Carlos Francisco Manuel Lupita Javier 1 2 3 5 6 7 8 9 Fam.
Zrate Asignaturas Chihuahua Sinaloa Coahuila Zacatecas Nayarit
Saltillo Tepic Zacatecas Chihuahua Culiacn Estados Capitales
Actividad: 3
19. RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE
FUNCIONES20 Evaluacin Actividad: 3 Producto: Ejercicios de
relacionar y respuesta breve. Puntaje: Saberes Conceptual
Procedimental Actitudinal Enuncia las caractersticas de una relacin
y de una funcin. Argumenta la diferencia entre una funcin y una
relacin. Expone sus ideas con claridad. Autoevaluacin C MC NC
Calificacin otorgada por el docente 010y4x3yx 22
6,4,5,0,4,1,3,4,2,5,5,1R ______________________________________
______________________________________ Justificacin: Justificacin:
x y ______________________________________
______________________________________ Justificacin: Justificacin:
Actividad: 3 (continuacin) Jugadores Posiciones Guillermo Ochoa
Paul Aguilar Carlos Salcido Ricardo Osorio F. Javier Rodrguez Efran
Jurez Rafael Mrquez Gerardo Torrado Giovani dos Santos Carlos Vela
Guille Franco Portero Defensa Medio campista Delantero
20. BLOQUE 1 21 Dominio y rango. En el estudio de las
relaciones y las funciones, algunos conceptos deben quedar
suficientemente claros para ser utilizados correctamente. Entre
ellos se encuentran el concepto de dominio y contradomonio o
codominio, mencionados anteriormente, los cuales se definen a
continuacin. Dominio (Dom): Es el conjunto de elementos a los que
se les aplica la relacin. Contradominio o codominio: Es el conjunto
al que son enviadas, mediante la relacin, los elementos del
dominio. Argumentos: Son los elementos del dominio, es decir, los
valores que se toman para construir la relacin. Imgenes: Son los
elementos del contradominio o codominio que estn asociados con algn
argumento. Rango: Es el subconjunto del codominio o contradominio
que contiene a todas las imgenes o valores de la relacin. En el
siguiente ejemplo visualizars estas definiciones. Los conjuntos se
expresan de la siguiente forma: Dom={Ana, Yolanda, Conchita, Karla,
Laura, Sofa} Contradominio={101 M, 102 M, 103 M, 104 M, 105 M, 106
M} Rango={101 M, 102 M, 103 M, 104 M} Ana Yolanda Conchita Karla
Laura Sofa 101 M 102 M 103 M 104 M 105 M 106 M Equipo de danza
Grupos DOMINIO (conjunto) CONTRADOMINIO (conjunto) Argumentos
(elementos) Ana Yolanda Conchita Karla Laura Sofa 101 M 102 M 103 M
104 M 105 M 106 M Equipo de danza Grupos Imgenes (elementos) RANGO
(conjunto)
21. RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE
FUNCIONES22 Evaluacin Actividad: 4 Producto: Ejercicios de
relacionar. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal
Identifica el dominio, contradominio y rango de relaciones y
funciones. Escoge los elementos del dominio, contradominio y rango
de relaciones y funciones. Aprecia a las relaciones y funciones
como parte de su vida cotidiana. Autoevaluacin C MC NC Calificacin
otorgada por el docente Marca con si los conjuntos corresponden a
una funcin o relacin; determina el dominio, contradominio y rango
de cada una de ellas. Funcin Relacin Dom: Contradominio: Rango:
Funcin Relacin Dom: Contradominio: Rango: Funcin Relacin Dom:
Contradominio: Rango: Docentes Categoras Francisco Durn Javier
Sandoval Marco Ramos Jos Luis Gutierrez Susana Herrera Jess Leyva
Jos Armenta Antonio Ricardez Titular A Titular B Titular C CB I CB
II CB III CB IV CB V CB V 0 1 2 3 4 5 6 7 Figuras geomtricas Nm. de
lados Actividad: 4 Antonio Manuel Yolanda Conchita Jess Karla
$5,000 $7,500 $8,000 $10,500 $12,000 $14,100 Empleado Sueldo
22. BLOQUE 1 23 Formas de representar una funcin. Una funcin f
que relaciona a un conjunto X con un conjunto Y se denota de la
siguiente forma: f : X Y Se lee: funcin f de X a Y. Como se
observa, a cada elemento del conjunto X le asocia un elemento del
conjunto Y mediante la funcin f, por lo tanto, se pueden relacionar
de forma individual, de la siguiente forma. f(1) = A f(2) = B f(3)
= D f(4) = C f(5) = B En general si se desea relacionar cualquier
elemento del dominio con su correspondiente imagen, se denotara de
la siguiente forma: f(x)=y Se lee: f de x es igual a y". Si se
expresa la funcin como pares ordenados se obtiene: f(x)={(1, A),
(2, B), (3, D), (4, C), (5, B)} Tambin se puede representar la
funcin en forma de tabla, como se observa a continuacin. La
representacin analtica no se puede expresar, debido a que no se
tiene una regla de asociacin que describa la correspondencia entre
los elementos. Es necesario aclarar que una funcin no slo se denota
con la letra f, se puede utilizar cualquier letra del alfabeto en
mayscula o minscula, as como tambin con letras griegas. Cuando el
problema es aplicado en alguna situacin se acostumbra a utilizar la
letra de la funcin que se est aplicando, como por ejemplo: si el
problema indica expresar al volumen como funcin de x, la funcin se
expresa como V(x). x f(x) 1 A 2 B 3 D 4 C 5 B X Y 1 2 3 4 5 5 A B C
D F f
23. RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE
FUNCIONES24 A B Gabriel Sonia Javier Humberto 12 13 14 15 16 17 18
E Cuando una funcin est expresada en forma de enunciado se puede
escribir su representacin analtica o viceversa, como en los
siguientes ejemplos: 1. Si el enunciado es: El cubo de un nmero ms
cinco, entonces su representacin analtica es: 5x)x(f 3 . 2. Si el
enunciado es: El triple del cuadrado de un nmero ms el doble del
mismo, entonces su representacin analtica es: x2x3)x(g 2 . 3. Si la
representacin analtica es: 7 4 x )x(T , el enunciado
correspondiente es: la cuarta parte de un nmero disminuido en 7
unidades. 4. Si la representacin analtica es: 1x)x(V , el enunciado
correspondiente es: la raz cuadrada de la diferencia de un nmero
con uno. A continuacin se mostrar algunos ejemplos aplicados, en
los que se expresan las diferentes formas de denotar y representar
una funcin. Ejemplo 1. La edad de los hijos de Doa Luca de Valdez.
Los conjuntos A y B se relacionan mediante la funcin E, la edad;
sta es funcin dado que a los hijos de Doa Luca le corresponde slo
un nmero, debido a que ninguna persona puede tener dos edades. La
funcin se denota como: E: A B De manera que si se aplica la funcin
E al conjunto A, se obtiene el elemento correspondiente de B. Una
forma de relacionar a cada argumento con su imagen mediante la
funcin es: E(Gabriel) = 12 E(Sonia) = 14 E(Javier) = 14 E(Humberto)
= 18 Lo ms enriquecedor de descubrir la correspondencia entre los
elementos de dos conjuntos mediante una relacin o funcin es el
anlisis o conclusiones que se pueden desprender de ella, como es en
este caso las siguientes deducciones: Doa Luca pari en tres
ocasiones. Sonia y Javier provienen de un embarazo mltiple. La
diferencia entre el mayor y sus hermanos es mnimo de 5 aos.
24. BLOQUE 1 25 Ejemplo 2. El tanque de gasolina de un automvil
contiene 10 litros. Si su rendimiento es de 12 Km/L, la tabla
muestra la cantidad de gasolina contra la distancia, medida cada 24
km. En este caso cada columna representa un conjunto por lo que la
funcin se representa de la siguiente forma. F: L D Donde L
representa al conjunto de los litros y D al conjunto de las
distancias. Debido a la descripcin del problema y la informacin que
se tiene de la tabla, se puede representar la forma analtica de la
funcin, de hecho, el comportamiento es lineal, a medida que se
consumen 2 litros el automvil avanza 24 kilmetros. Como recordars,
en Matemticas 1 y 3 aprendiste a modelar y graficar funciones
lineales, por lo tanto, la funcin quedara: F(l)=12l Utilizando la
tabla se puede trazar la representacin grfica de la funcin. l d De
acuerdo a las caractersticas del problema, el dominio de la funcin
no se puede describir de forma puntual, es decir, citando los
elementos uno a uno como se muestra en la tabla, sta es una muestra
de los posibles valores que puede tomar; entonces el dominio se
describe por intervalo, el cual va de cero a 10 litros, por lo
tanto el rango abarca el intervalo de 0 a 120 Kilmetros.
Posteriormente se proporcionar una notacin ms apropiada,
matemticamente hablando, de la forma de expresar el dominio y el
rango de una funcin en intervalos. Litros (l) Distancia (d) 2 24 4
48 6 72 8 96 10 120
25. RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE
FUNCIONES26 Resuelve lo que se pide. I. Considera la funcin 3x2xxg
3 para contestar los siguientes incisos: a) Completa cada una de
las imgenes de la funcin para los argumentos indicados, sigue el
ejemplo que se muestra a continuacin. 132222g 3 1g 0g 1g 2g b)
Forma los pares ordenados con las imgenes obtenidas en el problema
anterior. )},(),,(),,(),,(),1,2{(xg c) Expresa el enunciado que
describe a la funcin anterior. II. Completa la siguiente tabla. x
23xxf 2 1 2 3 4 5 a) Expresa el enunciado que describe a la funcin
anterior. b) Escribe los pares ordenados que se forman en la tabla.
c) Grafica los puntos que representan los pares ordenados.
Actividad: 5
26. BLOQUE 1 27 Evaluacin Actividad: 5 Producto: Ejercicios.
Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Ubica las
diferentes formas de representar una funcin, as como el dominio y
rango de la misma. Construye las diferentes representaciones de una
funcin, as como el dominio y rango de la misma. Es creativo y
propositivo al realizar la actividad. Autoevaluacin C MC NC
Calificacin otorgada por el docente III. Realiza la representacin
sagital de la regla de asociacin el doble de un nmero ms 4
unidades, usa los primeros cinco nmeros naturales. IV. Dados los
pares ordenados )}15,3(),10,2(),5,1(),0,0(),5,1(),10,2{(xH a)
Escribe un enunciado que corresponda a los pares ordenados. b)
Expresa la funcin que modele los pares ordenados. c) Expresa el
dominio y el rango de la funcin. V. La renta de una habitacin en el
hotel Costa Marfil es de $450 como pago inicial ms $300 por cada da
transcurrido. a) Escribe la representacin analtica de la renta de
una habitacin en funcin de los das transcurridos, R(t). b)
Representa mediante una tabla, seis valores de la funcin anterior.
t tR c) Determina el dominio y el rango de R(t). Actividad: 5
(continuacin)
27. RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE
FUNCIONES28 En equipo, elaboren una caja sin tapa con una hoja de
papel tamao carta. Para formar la caja, se recortan cuadros de las
esquinas como se muestra en la figura, el profesor les asignar a
cada equipo la longitud del lado del cuadrado (1 cm, 2 cm, 3cm,
4cm, etc.) que deben de recortar para formarla. x x 1. Calcula el
rea de la caja y el volumen de la misma. 2. Los equipos mencionarn
los resultados obtenidos y llenarn la siguiente tabla. x rea
Volumen 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3. Graficar en un plano cartesiano el rea
contra la longitud del lado del cuadrado recortado. Actividad:
6
28. BLOQUE 1 29 Evaluacin Actividad: 6 Producto: Prctica.
Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Identifica
las diferentes formas de expresar una funcin. Construye las
diferentes formas de expresar una funcin. Presenta disposicin al
trabajo colaborativo con sus compaeros. Coevaluacin C MC NC
Calificacin otorgada por el docente 4. Graficar en el plano
cartesiano el volumen contra la longitud del lado del cuadrado
recortado. 5. Escribir la forma analtica del rea y el volumen como
una funcin que depende de la longitud del lado del cuadrado
recortado. 6. Escribe el dominio y el rango de cada una de las
funciones antes obtenidas. 7. Qu anlisis y conclusiones puedes
establecer de las representaciones antes obtenidas? Actividad: 6
(continuacin)
29. RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE
FUNCIONES30 Cierre Dadas las siguientes funciones, realiza la
representacin correspondiente. 1. 2 xxf 2. x3xg 3. 1x2xh 4. xxT a)
Mediante un diagrama sagital. b) Mediante una tabla de valores. x 2
xxf x x3xg x 1x2xh x xxT c) Mediante pares ordenados.
)},(),,(),,(),,(),,(),,{(xf )},(),,(),,(),,(),,(),,{(xg
)},(),,(),,(),,(),,(),,{(xh )},(),,(),,(),,(),,(),,{(xT X Y f X Y g
X Y h X Y T Actividad: 7
30. BLOQUE 1 31 Evaluacin Actividad: 7 Producto:
Representaciones. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental
Actitudinal Reconoce las diferentes formas de representar a una
funcin. Representa de diferentes formas una funcin. Aporta puntos
de vista personales con apertura y considera los de otras personas.
Autoevaluacin C MC NC Calificacin otorgada por el docente d)
Mediante una grfica. x f (x) x g (x) x h (x) x T (x) e) Mediante un
enunciado. 1.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
2.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
3.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
4.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
______ Actividad: 7 (continuacin)
31. RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE
FUNCIONES32 Secuencia didctica 2. Clasificacin de funciones. Inicio
Contesta lo que se pide en cada seccin. I. Observa las siguientes
grficas y escribe en la lnea la palabra Funcin o Relacin segn sea
el caso; justifica tu respuesta.
_________________________________________________________
Justificacin:______________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
_________________________________________________________
Justificacin:______________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
_________________________________________________________
Justificacin:______________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
Actividad: 1 x f(x) x f(x) x f(x)
32. BLOQUE 1 33 II. Analiza la forma que tienen las siguientes
grficas y de la clasificacin que se da posteriormente, escribe en
la lnea las que pienses que cumplen cada una de ellas.
Clasificacin: Creciente, Decreciente, Constante, Continua,
Discontinua. x f (x) x f (x)
________________________________________
_________________________________________
________________________________________
_________________________________________ x f (x) x f (x)
________________________________________
_________________________________________
________________________________________
_________________________________________ x f(x) x f (x)
________________________________________
_________________________________________
________________________________________
_________________________________________ Actividad: 1
(continuacin)
33. RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE
FUNCIONES34 Evaluacin Actividad: 1 Producto: Reactivos de respuesta
breve. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal
Describe el comportamiento de las funciones. Explica el
comportamiento de las funciones. Muestra inters al realizar la
actividad. Autoevaluacin C MC NC Calificacin otorgada por el
docente x f (x) x f (x) ________________________________________
_________________________________________
________________________________________
_________________________________________ x f (x) x f (x)
________________________________________
_________________________________________
________________________________________
_________________________________________ Actividad: 1
(continuacin)
34. BLOQUE 1 35 Desarrollo En asignaturas anteriores te has
encontrado con problemas que se tienen que modelar mediante una
expresin algebraica y que pueden ser representados con grficas para
poder darles solucin, es por ello que el uso de las funciones para
construir modelos de la vida real es de suma importancia. Para
hacer un uso adecuado de las funciones debes poseer habilidades
para distinguir sus caractersticas, as como tambin para lograr una
mejor interpretacin. En virtud de lo anterior, en este tema se
analizarn las caractersticas ms importantes de las funciones, las
cuales permiten su clasificacin. A continuacin se presenta un
esquema de la forma en que se clasifican las funciones, para que
tener un panorama general de lo que se abordar en esta secuencia. A
continuacin se mostrarn las caractersticas de cada una de las
clasificaciones y en los bloques posteriores se estudiarn
detalladamente. Se mostrarn tambin grficas de cada una de ellas
para que te vayas familiarizando, asociando la representacin
analtica con la grfica, adems de su variacin, entre otras cosas. Al
igual que en asignaturas anteriores, a la variable x se le denomina
variable independiente y a la variable y se le conoce como variable
dependiente, en pocas palabras, debido a que la variable y depender
del valor que se asigne a la variable x. Hay que recordar que la
variable y est en funcin de x. Para facilitar el lenguaje, de ahora
en adelante se utilizara la palabra funcin para referirse a y y la
palabra variable para referirse a x. Clasificacin de funciones Su
forma analtica Algebraicas Trascendentes Polinomiales Irracional
Trigonomtricas Exponenciales Logartmicas Racional La presentacin de
su forma analtica Explcitas Implcitas La forma de correspondencia
entre sus conjuntos Inyectiva Sobreyectiva Biyectiva Su grfica
Continuas Discontinuas Por su trazo Por su variacin Crecientes
Decrecientes Segn
35. RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE
FUNCIONES36 Segn su forma analtica. Funciones Algebraicas. Son
aquellas funciones que estn compuestas por trminos algebraicos
mediante operaciones como la suma, resta, multiplicacin, divisin,
potenciacin y extraccin de races. Las funciones algebraicas se
dividen en polinomiales, racionales e irracionales. A continuacin
se definirn cada una de ellas. Funciones polinomiales. Estas
funciones tienen como forma general la siguiente: 01 2 2 3n 3n 2n
2n 1n 1n n n axaxa...xaxaxaxaxf Donde an, an.1,, a1, a0 son
constantes y n es un nmero no negativo. El dominio de las funciones
son aquellos valores que pueden sustituirse en la funcin y sta es
verdadera, por lo tanto el dominio de las funciones polinomiales es
el conjunto de los nmeros reales. Las funciones polinomiales que se
tratarn en esta asignatura son hasta de grado cuatro. En seguida se
mostrarn la forma general de cada una de ellas y sus nombres.
0aconedxcxbxaxxfcurticaFuncin 0acondcxbxaxxfcbicaFuncin
0aconcbxaxxfcuadrticaFuncin 0mconbmxxflinealFuncin
axftetanconsFuncin espolinomialFunciones 234 23 2 Si te dars
cuenta, las tres primeras funciones las manejaste en las
asignaturas anteriores, pero de igual forma se ejemplificar cada
una de ellas en esta secuencia y se retomarn en los bloques
posteriores para abordarse con mayor profundidad. Funcin constante.
Esta funcin tiene como imagen el mismo nmero; su dominio son todos
los nmeros reales y a todos ellos se les asocia el mismo elemento,
el cual es el rango. Para darle mayor claridad se mostrarn algunos
ejemplos. Ejemplo 1. Graficar la funcin 4xf , determinar su dominio
y rango. Se utilizar una tabla para poder ubicar las coordenadas de
algunos puntos de la funcin. Si observas en la tabla se eligen los
valores de la variable ms comunes como 2, 1. 0, 1, 2, y a todos
ellos al sustituirlos en la funcin les asigna el 4. Como su nombre
lo dice, la variable x es independiente, por lo que se puede elegir
cualquier nmero perteneciente a los nmeros Reales y a todos ellos
les asignar el mismo valor, 4; por lo que la grfica es una recta
horizontal que corta al eje Y en 4, como se muestra a continuacin
en su grfica. x 4xf 2 4 1 4 0 4 1 4 2 4
36. BLOQUE 1 37 x f(x) En la grfica es ms sencillo visualizar
el dominio y el rango de la funcin. La notacin que se us tanto en
el dominio como en el rango la puedes verificar en el anexo A, al
final de tu mdulo. Ejemplo 2. Expresa la funcin y traza la grfica
si su dominio son los nmeros reales y el rango es 2 9 . Sabiendo
que todos los valores de la funcin es el nmero 2 9 , se puede
trazar la lnea horizontal a esa altura y extenderse a los lados
desde hasta , como lo determina el dominio, por lo tanto, la grfica
queda: Como para cualquier valor de x el valor de la funcin es 2 9
, por consiguiente la funcin queda: 2 9 xf El dominio y el rango se
expresan de la siguiente forma: ,:Dom 2 9 Rango x f(x) Rango= 4 Dom
= , x f(x)
37. RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE
FUNCIONES38 Funcin lineal. La funcin lineal es una funcin
algebraica cuyo grado es 1, y se puede visualizar en los siguientes
ejemplos. Ejemplo 1. Graficar la funcin 4x3xg , as como determinar
su dominio y su rango. Como recordars, esta funcin se abord tanto
en Matemticas 1 como en Matemticas 3, en ellas aprendiste
diferentes formas de graficar una funcin lineal, por medio de una
tabla, de las intersecciones de la funcin con los ejes coordenados,
as como tambin a utilizar los parmetros m (pendiente) y b (ordenada
en el origen). Utilizando una tabla para encontrar los valores se
tiene: Graficando los puntos se obtiene: Al tener la funcin, se
puede calcular cualquier valor de x que se desee, enteros,
racionales inclusive los irracionales, por lo tanto se deben unir
los puntos mediante una lnea recta. Con ello se comprueba que su
dominio son los nmeros reales, como se observa a continuacin. x
4x3xg 2 10 1 7 0 4 1 1 2 2 3 5 4x3xg 104232g 74131g 44030g 14131g
24232g 54333g x g(x) Rango= , Dom = , x g(x)
38. BLOQUE 1 39 Ejemplo 2. Graficar la funcin xxf , describir
su dominio y rango. Se utilizar de nuevo una tabla para trazar su
grfica. x xxf 3 3 2 2 1 1 0 0 1 1 2 2 En ella se observa que tanto
la variable como la funcin tienen el mismo valor, es por ello que
se le denomina funcin identidad o idntica. Posteriormente te dars
cuenta que la funcin identidad es muy importante para identificar
la inversa de una funcin. Su grfica describe una recta con un ngulo
de inclinacin de 45. x f(x) Al igual que todas las funciones
lineales, su dominio y rango es el conjunto de los nmeros reales.
Tanto el dominio como el rango se pueden escribir de dos formas:
Forma de intervalo ,Rango ,Dom Forma de conjunto. Rango Dom
39. RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE
FUNCIONES40 Funcin cuadrtica. La funcin cuadrtica es de segundo
grado y es de la forma 0aconcbxaxxf 2 , su grfica describe una
parbola, como a continuacin se muestra en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 1. Graficar la funcin 1x4xxT 2 ; obtener el dominio y el
rango. Se utiliza una tabla para determinar la grfica de la funcin.
Su grfica es: Consulta el anexo A al final de tu mdulo, para que
verifiques cmo se representa el Dominio y Rango en forma de
intervalo. Ejemplo 2. Graficar la funcin 3xxH 2 ; encontrar el
dominio y el rango. Se sustituyen los valores en la funcin para
encontrar los puntos. x 1x4xxT 2 4 1 3 2 2 3 1 2 0 1 1 6 114444T 2
213433T 2 312422T 2 211411T 2 110400T 2 611411T 2 x T(x) Rango= ,3
Dom = ,
40. BLOQUE 1 41 Su grfica es: Funcin cbica. La funcin cbica es
una funcin polinomial de tercer grado, es de la forma
0acondcxbxaxxf 23 . Para conocer su grfica se requiere
ejemplificar. Ejemplo 1. Graficar la funcin 6x12x6xxD 23 ; obtener
el dominio y el rango. Se utiliza una tabla para determinar la
grfica de la funcin. x 3xxH 2 2 1 1 2 0 3 1 2 2 1 x 6x12x6xxD 23
0.5 1.375 1 1 1.5 1.875 2 2 2.5 2.125 3 3 3.5 5.375 1322H 2 2311H 2
3300H 2 2311H 2 1322H 2 375.165.0125.065.05.0D 23 161121611D 23
875.165.1125.165.15.1D 23 262122622D 23 125.265.2125.265.25.2D 23
375.565.3125.365.35.3D 23 363123633D 23 x H(x) Rango= 3, Dom =
,
41. RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE
FUNCIONES42 Su grfica es: Ejemplo 2. Graficar la funcin 1x 3 1 xK 3
; obtener el dominio y el rango. En este caso, la funcin no tiene
el trmino cuadrtico y lineal, pero sigue siendo una funcin cbica. x
1x 3 1 xK 3 3 8 2 3 5 1 3 2 0 1 1 3 4 2 3 11 3 10 1013 3 1 3K 3 3
11 12 3 1 2K 3 3 4 11 3 1 1K 3 110 3 1 0K 3 3 2 11 3 1 1K 3 3 5 12
3 1 2K 3 813 3 1 3K 3 Rango= , Dom = , x D(x)
42. BLOQUE 1 43 Su grfica es: Funcin curtica. La funcin curtica
es una funcin polinomial de cuarto grado, es de la forma:
0aconedxcxbxaxxf 234 . Cualquiera de los trminos b, c, d o e pueden
valer cero, pero no as el coeficiente a, a continuacin se
ejemplificar su grfica. Ejemplo 1. Graficar la funcin 3x2x2x6x4xf
234 ; obtener el dominio y el rango. Se utiliza una tabla para
determinar la grfica de la funcin. x 3x2x2x6x4xf 234 1 11 0.5 0.5 0
3 0.5 4 1 5 1.5 1.5 x K(x) Rango= , Dom = , 113)1(21216141f 234
5.03)5.0(25.025.065.045.0f 234 33)0(20206040f 234 53)1(21216141f
234 43)5.0(25.025.065.045.0f 234 5.13)5.1(25.125.165.145.1f
234
43. RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE
FUNCIONES44 Su grfica es: Este tipo de funciones, como en las
cuadrticas, se requiere otro proceso para encontrar el punto ms
bajo con el fin de determinar con certeza el rango, como se muestra
en la grfica; esto lo aprenders en el bloque correspondiente a las
funciones de tercer y cuarto grado, as como tambin, en la
asignatura de Clculo Diferencial e Integral I. Ejemplo 2. Graficar
la funcin 4 21 xx 4 1 xG 4 ; obtener el dominio y el rango. En este
caso, se carece del trmino cbico y cuadrtico, pero sigue siendo una
funcin curtica. x 4 21 xx 4 1 xG 4 2 4 3 1 4 0 4 21 1 6 2 4 13
Rango= ,5 Dom = , x f(x) 4 4 21 11 4 1 1G 4 75.0 4 3 4 21 22 4 1 2G
4 25.5 4 21 4 21 00 4 1 0G 4 6 4 21 11 4 1 1G 4 25.3 4 13 4 21 22 4
1 2G 4
44. BLOQUE 1 45 Su grfica es: Funciones racionales. Son las
funciones que estn formadas por el cociente de dos funciones
polinomiales, son de la forma: xQ xP xf donde xP y xQ son funciones
polinomiales slo que 0xQ . En el caso de que xQ sea constante, se
obtiene una funcin polinomial, como se muestra al simplificar la
funcin 2 1x8x4 xf 2 . Para simplificarla es necesario realizar la
divisin. 2 1 x4x2xf 2 1 x 2 8 x 2 4 xf 2 1x8x4 xf 2 2 2 Se obtiene
una funcin cuadrtica y su grfica es la siguiente: Su dominio y
rango es: , 2 5 Rango ,:Dom Rango= 6, Dom = , x G(x) x f(x)
45. RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE
FUNCIONES46 En esta seccin se ejemplificar la forma que tienen las
funciones racionales con denominador diferente a una funcin
constante y en el bloque 4 se abordar ms a fondo este tipo de
funciones. Ejemplo 1. Graficar la funcin 2x 4x xf 2 ; determinar su
dominio y su rango. Se utiliza una tabla para conocer algunos de
los puntos que pertenecen a la funcin. Al graficar se obtiene: Como
se observa en la grfica, el comportamiento de los puntos parece ser
una recta, pero cuando la variable toma el valor de 2, el cociente
tiene divisor cero, por lo tanto, se indefine. Para poder
determinar el comportamiento alrededor de la indefinicin, se
requiere tomar valores cercanos a x=2, como se observa en la
siguiente tabla. x 2x 4x xf 2 4 6 3 5 2 No est definido 1 3 0 2 1 1
2 0 6 2 12 24 44 4f 2 5 1 5 23 43 3f 2 definidoestNo 0 0 22 42 2f 2
3 1 3 21 41 1f 2 2 2 4 20 40 0f 2 1 3 3 21 41 1f 2 0 4 0 22 42 2f 2
x f(x)
46. BLOQUE 1 47 Al graficarse la tabla con los valores ms
cercanos a 2, se observa lo siguiente: El comportamiento sigue
siendo lineal, y se puede seguir graficando valores de x ms
cercanos a 2, para comprobar que efectivamente ese comportamiento.
Por lo tanto, se dibuja la lnea pero con un punto hueco a la altura
de 4. El dominio y el rango se componen de una unin de dos
intervalos, como se observa en la grfica. ,44,Rango ,22,Dom o bien
4Rango 2Dom x 2x 4x xf 2 2.8 4.8 2.6 4.6 2.4 4.4 2.2 4.2 2 No est
definido 1.8 3.8 1.6 1.6 1.4 3.4 1.2 3.2 8.4 8.0 84.3 28.2 48.2
8.2f 2 6.4 6.0 76.2 26.2 46.2 6.2f 2 definidoestNo 0 0 22 42 2f 2
2.4 2.0 84.0 22.2 42.2 2.2f 2 8.3 2.0 76.0 28.1 48.1 8.1f 2 6.3 4.0
44.1 26.1 46.1 6.1f 2 2.3 8.0 56.2 22.1 42.1 2.1f 2 4.3 6.0 04.2
24.1 44.1 4.1f 2 4.4 4.0 76.1 24.2 44.2 4.2f 2 x f(x) ,4 4, 2, ,2 x
f(x)
47. RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE
FUNCIONES48 Ejemplo 2. Graficar la funcin 1x x xL ; determinar su
dominio y su rango. Se utiliza una tabla para conocer algunos de
los puntos que pertenecen a la funcin. Al graficar se obtiene: La
grfica de los puntos no dice mucho, por lo tanto, se requiere tomar
valores cercanos a x=1, para ver su comportamiento, as como tambin
valores en los extremos, para ello consideraremos la siguiente
tabla. x 1x x xL 3 0.75 2 0.67 1 0.5 0 0 1 No est definido 2 2 3
1.5 4 1.3 75.0 4 3 13 3 3L 67.0 3 2 12 2 2L 5.0 2 1 11 1 1L 0 1 0
10 0 0L definidoestNo 0 1 11 1 1L 2 1 2 12 2 2L 5.1 2 3 13 3 3L 3.1
3 4 14 4 4L x L(x)
48. BLOQUE 1 49 Segn los puntos obtenidos, quedan distribuidos
de la siguiente forma: Al seguirse graficando puntos ms cercanos al
1, se tiene que a su derecha tienden a irse a infinito ( ) y al
acercarse por la izquierda del 1, tienden a irse a menos infinito (
). Al igual que en los extremos, entre ms grande el nmero, el valor
de la funcin se acerca al 1 por arriba, y entre ms pequeo es el
nmero, el valor de la funcin se acerca a 1 por abajo, por lo tanto,
la grfica completa quedara as: Las lneas punteadas se llaman
asntotas, la vertical representa el valor que no puede tomar la
variable y la horizontal representa el valor que no puede tomar la
funcin, es por ello que su dominio y rango son: ,11,Rango ,11,Dom o
bien 1Rango 1Dom x 2x 4x xf 2 6 0.86 5 0.83 0.5 1 0.8 4 1 No est
definido 1.2 6 1.5 3 5 1.25 6 1.2 83.0 6 5 15 5 5L 1 5.0 5.0 15.0
5.0 5.0L 4 2.0 8.0 18.0 8.0 8.0L 6 2.0 2.1 12.1 2.1 2.1L
definidoestNo 0 1 11 1 1L 3 5.0 5.1 15.1 5.1 5.1L 25.1 4 5 15 5 5L
2.1 5 6 16 6 6L 86.0 7 6 16 6 6L x L(x) ,1 1, 1, ,1 x L(x)
49. RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE
FUNCIONES50 As como estos dos ejemplos, que son tan diferentes en
sus grficas, encontrars que las funciones racionales son muy
variadas en su comportamiento, todo depende del tipo de funciones
polinomiales que contengan en su numerador y denominador. Funciones
irracionales. Son las funciones que se identifican por poseer races
que involucran a la variable, este tipo de funciones no se pueden
expresar como funciones racionales. Algunos ejemplos de funciones
irracionales son: 5x2xf 3x2xg 2 3 2 4xxh Se debe descartar aquellas
funciones en las que se pueda extraer la variable de la raz, como
por ejemplo. En la funcin 4 8 x4xf , se puede extraer la raz
dividiendo la potencia entre el radical y se obtiene como resultado
244 8 x4x4xf , dejando ver que se trata de una funcin polinomial.
La funcin 6x5x3xf 22 se puede expresar como 6x5x3xf 2 , que resulta
ser una funcin polinomial. Se ejemplificarn algunas funciones
irracionales para observar su comportamiento. Ejemplo 1. Graficar
la funcin 2xxf , as como determinar su dominio y su rango.
Utilizando una tabla para encontrar las coordenadas de los puntos.
Como se observ, los valores que se pueden sustituir en la funcin
son aquellos en los cuales el radicando sea un nmero no negativo,
puesto que la raz cuadrada de un nmero negativo pertenece al
conjunto de nmeros imaginarios, no a los nmeros reales. x 2xxf 1 No
es nmero real 0 No es nmero real 1 No es nmero real 2 0 3 1 4 1.4 5
1.7 6 2 realnmeroesNo3211f realnmeroesNo2200f realnmeroesNo1211f
00222f 11233f 4.12244f 7.13255f 24266f
50. BLOQUE 1 51 Al ubicar los puntos en el plano cartesiano se
tiene: x f(x) Para unir los puntos se debe considerar que los
valores donde existe la funcin son mayores o iguales a 2 ( 2x ),
por lo tanto, la lnea se traza a partir del punto ( 2, 0 ) hacia la
derecha y hacia arriba, quedando la grfica de la siguiente forma: x
f(x) El dominio y el rango son: x f(x) Dom = ,2 Rango= ,0
51. RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE
FUNCIONES52 Ejemplo 2. Graficar la funcin 3x42xL , as como
determinar su dominio y su rango. Para resolver este ejemplo, se
utiliza una tabla para encontrar las coordenadas de los puntos. Al
ubicar los puntos en el plano cartesiano se obtiene: x L(x) De
acuerdo al comportamiento de la funcin, los valores que hacen que
sea verdadera son para x menores o iguales de 4 ( 4x ), por lo
tanto se grafica a partir de ( 4, 3 ) a la izquierda y hacia abajo,
quedando la grfica de la funcin como sigue: x 3x42xL 2 1.9 1 1.5 0
1 1 0.5 2 0.2 3 1 4 3 5 No es nmero real 5.135231421L 9.136232422L
134230420L 5.033231421L 2.032232422L 131233423L 330234424L
realnmeroesNo31235425L x L(x) Dom = 4, Rango= 3,
52. BLOQUE 1 53 Funciones Trascendentes. Son aquellas cuya
regla de correspondencia no es algebraica, como las funciones
trigonomtricas, las cuales conociste en Matemticas 2; tambin se
consideran trascendentes las funciones exponenciales y logartmicas.
A continuacin se presentan algunos ejemplos de cada una de ellas.
Funciones trigonomtricas. En ellas se utilizan las relaciones
trigonomtricas de seno, coseno, tangente, cotangente, secante o
cosecante, as como tambin las trigonomtricas inversas. Hay que
recordar que las funciones trigonomtricas surgen de la comparacin
por divisin de las magnitudes de un tringulo rectngulo. En el
bloque 6 conocers a detalle las funciones trigonomtricas,
entretanto, se graficarn algunos ejemplos para visualizar su
comportamiento, y para ello se requiere el uso de la calculadora,
en modo de radianes (Rad), como lo aprendiste en matemticas 2.
Ejemplo 1. Graficar la funcin xsen)x(f , determinar su dominio y
rango. Al graficar los puntos se obtiene la grfica: x f(x) x
xsen)x(f 6 0.28 4 0.76 2 0.91 0 0 2 0.91 4 0.76 6 0.28 x a b c b a
xcot a b xtan a c xsec c a xcos b c xcsc c b xsen 28.06sen6f
76.04sen4f 91.02sen2f 00sen0f 91.02sen2f 76.04sen4f 28.06sen6f
53. RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE
FUNCIONES54 En matemticas 2, aprendiste a graficar estas funciones
utilizando los valores que provocan cambios importantes en ellas,
los cuales son los mltiplos de 90, stos se grafican en el plano
cartesiano en radianes como mltiplos de 2 ; a continuacin se
muestra se muestra la tabla en estos trminos. Graficando estos
puntos con los anteriores se tiene un mejor panorama del
comportamiento de la grfica, el cual es peridico. Al graficar la
funcin y ubicar solamente los mltiplos de 2 queda: x xsen)x(f 2 0 2
3 1 0 2 1 1 0 0 2 1 1 0 2 3 1 2 0 02sen2f 1 2 3 sen 2 3 f 0senf 1 2
1 sen 2 1 f 00sen0f 1 2 1 sen 2 1 f 0senf 1 2 3 sen 2 3 f 02sen2f x
f(x) x f(x) x f(x) Dom = , Rango= 1,1
54. BLOQUE 1 55 Ejemplo 2. Graficar la funcin 1xcos3)x(T ,
determinar su dominio y rango. Tomando en cuenta que el
comportamiento de las funciones trigonomtricas cambia en los
mltiplos de , la tabla queda: Al ubicar los puntos y trazar la lnea
se obtiene la grfica: x 1xcos3)x(T 2 2 2 3 1 4 2 1 1 0 2 2 1 1 4 2
3 1 2 2 x T(x) Dom = , Rango= 2,4 212cos32T 11 2 3 cos3 2 3 T
41cos3T 11 2 1 cos3 2 1 T 20cos30T 11 2 1 cps3 2 1 T 41cos3T 11 2 3
cos3 2 3 T 212cos32T
55. RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE
FUNCIONES56 Funciones exponenciales. Son las funciones cuya
variable se ubica en el exponente, como por ejemplo: 1x2 exf 3x2
2xf x 3 1 xf En las funciones anteriores A continuacin se muestran
ejemplos de grficas de funciones exponenciales para conocer a
grandes rasgos su comportamiento y establecer su dominio y rango.
Para encontrar los valores de la funcin, se requiere utilizar
calculadora. Ejemplo 1. Graficar la funcin 23xf x , determinar su
dominio y rango. Utilizando una tabla para determinar el
comportamiento se tienen los siguientes puntos. Ubicando los puntos
se obtiene la grfica: Se observa en la grfica, entre menor sea el
valor de x, la funcin se acerca al valor de 2, de hecho, jams va a
tomar el valor de 2, esto se puede visualizar analizando la funcin.
Como la funcin es exponencial, el valor del exponente es el que
vara. 23xf x Si la x es grande, el valor de x 3 crece muy rpido, si
la x es cero, su valor es 130 , si el valor es negativo significa
que se puede expresar como: 4 4 3 1 3 , se hace casi cero, pero
jams ser cero ni negativo. Por lo tanto, si x 3 no puede ser cero,
23x no podr tomar el valor de 2, ni tampoco nmeros menores que este
valor. Se podra decir que existe una recta asntota a la altura de
y=2, que impide que la funcin toque ese valor. x 23xf x 5 1.996 4
1.988 3 1.963 2 1.889 1 1.667 0 1 1 1 2 7 3 25 996.1235f 5
988.1234f 4 963.1233f 3 889.1232f 2 667.1231f 1 1230f 0 1231f 1
7232f 2 25233f 3 x f(x)
56. BLOQUE 1 57 Ejemplo 2. Graficar la funcin 3exP x ,
determinar su dominio y rango. Utilizando una tabla para determinar
el comportamiento se tienen los siguientes puntos. x 3exP x 5 2.993
4 2.982 3 2.95 2 2.865 1 2.9 0 2 1 0.282 2 4.389 3 17.086 x f(x)
Dom = , Rango= ,2 El nmero e es un nmero irracional famoso, y es
uno de los nmeros ms importantes en matemticas. Las primeras cifras
son: 2.7182818284590452353 Se le conoce tambin como el nmero de
Euler por Leonhard Euler. 933.23e5P 5 982.23e4P 4 95.23e3P 3
865.23e2P 2 632.23e1P 1 23e0P 0 282.03e1P 1 389.43e2P 2 086.173e3P
3
57. RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE
FUNCIONES58 x P(x) Al igual que el ejemplo anterior, esta funcin
est delimitada por una asntota, la cual est ubicada a una altura de
y=3. Por lo tanto, la grfica se visualiza de la siguiente forma: x
P(x) Dom = , Rango= 3,
58. BLOQUE 1 59 Funciones logartmicas. stas son las funciones
inversas a las funciones exponenciales, su definicin y propiedades
se retomarn ms adelante, mientras tanto, slo se ejemplificar su
forma, para ello, se requiere utilizar la calculadora cientfica.
Las funciones logartmicas ms usadas son las que tienen base 10 o
base e, y se escriben: 10logLog elogLn Algunos ejemplos de ellas
son: xLnxf 1xlog2xf xlog3xf En las funciones anteriores A
continuacin se muestran ejemplos de grficas de funciones
logartmicas para conocer, a grandes rasgos, su comportamiento y
establecer su dominio y rango. Ejemplo 1. Graficar la funcin xLn2xf
, determinar su dominio y rango. Utilizando una tabla para
determinar el comportamiento se tienen los siguientes puntos. Al
sustituir los valores negativos en el logaritmo natural de tu
calculadora, te das cuenta que no existe la funcin, esto es porque
as como en la funcin exponencial, para cualquier valor que
sustituyas en el exponente nunca ser cero ni negativa, la funcin
logartmica al ser su inversa, no podrs sustituir valores negativos
o el cero. Esto te quedar mucho ms claro cuando veas ms
detalladamente los temas de funciones inversas, funciones
exponenciales y logartmicas. Continuando con la grfica, se ubican
los puntos y se obtiene: En esta ocasin, la asntota es vertical y
se ubica exactamente en el eje Y, puesto que no se encuentra valor
de la funcin para x negativa o cero. x xLn2xf 0.5 No existe 0 No
existe 0.1 4.61 0.3 2.40 0.5 1.39 1 0 2 1.39 3 2.20 4 2.77 5 3.22
39.15.0Ln25.0f existeNo5.0Ln25.0f existeNo0Ln20f 01Ln21f 39.12Ln22f
20.23Ln23f 40.23.0Ln23.0f 61.41.0Ln21.0f 77.24Ln24f 22.35Ln25f x
f(x)
59. RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE
FUNCIONES60 Por lo tanto, su grfica queda: Ejemplo 2. Graficar la
funcin 21xLogxS , determinar su dominio y rango. Utilizando una
tabla para determinar el comportamiento se tienen los siguientes
puntos. Los puntos quedan de la siguiente forma: En esta ocasin la
asntota est ubicada en x=1, dado que en la funcin, cuando x=1, se
tiene que obtener el valor de log(0) y ste no existe, as como
tambin, valores de x mayores que 1 se tendra log( negativo), por lo
tanto, no existe. x 21xLogxS 5 2.78 4 2.70 3 2.60 2 2.48 1 2.30 0 2
0.5 1.70 0.8 1.30 0.9 1 1 No existe 2 No existe x f(x) Dom = ,0
Rango= , 78.2215Log5S 70.2214Log4S 60.2213Log3S 48.2212Log2S
30.2211Log1S 2210Log0S 70.1215.0Log5.0S 30.1218.0Log8.0S
1219.0Log9.0S existeNo211Log1S existeNo212Log2S x S(x)
60. BLOQUE 1 61 Trazando la lnea se obtiene la siguiente
grfica: Dom = 1, Rango= , x S(x) Sitios Web recomendados: Ingresa a
estos sitios para que refuerces tus conocimientos acerca de la
clasificacin de funciones.
http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/funciones_elem.htm#La%20funci
n%20seno
http://www.ditutor.com/funciones/funcion_trascendente.html
61. RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE
FUNCIONES62 Evaluacin Actividad: 2 Producto: Complementacin de la
tabla. Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal
Reconoce la clasificacin de las funciones, as como el dominio y
rango de ellas. Clasifica las funciones y calcula el dominio y
rango de las mismas. Expresa sus dudas y corrige sus errores.
Autoevaluacin C MC NC Calificacin otorgada por el docente Clasifica
las siguientes funciones y expresa su dominio mediante intervalos.
Funcin Clasificacin Nombre Dominio x 3x xf 3x2xxr 2 xtanxH 7xN 24xF
x 2x6xxk 24 3x 9x xg 2 1x32xq 1xsen4xt 13xLnxs 6x5xL 52x4xw 3
Actividad: 2
62. BLOQUE 1 63 Segn la presentacin de su forma analtica. De
acuerdo con lo que se ha presentado hasta ahora, se entiende que
una funcin es de la forma xfy , pero no todo el tiempo es expresada
igual. En ella se observa claramente que x es la variable
independiente (como se ha visto desde Matemticas 1), y y es la
variable dependiente, porque est en funcin de x. Es por ello que es
fcilmente identificable cuando se tiene una funcin de esta forma;
sin embargo, cuando se posee una expresin en la que la variable
dependiente no est despejada, no es tan sencillo visualizarla, es
por ello que para hacerlo se tiene que despejar. A estas dos formas
de presentar una funcin se les conoce como funciones explcitas y
funciones implcitas; a continuacin una breve explicacin de cada una
de ellas. Funciones explcitas. Son aquellas que se representan
mediante una igualdad en la que aparece la variable dependiente
despejada en uno de sus miembros y en el otro una expresin en
trminos de la variable independiente, como por ejemplo. 1. 2x3xy 2
2. 11x2y 3. 13xf x En realidad, todas las funciones que se
describieron en el tema anterior fueron expresadas en su forma
explcita, debido a la sencillez que proporciona esta forma en la
sustitucin de valores. Funciones implcitas. Son aquellas que se
representan por medio de una ecuacin en donde la variable
dependiente e independiente aparecen mezcladas en uno o ambos
miembros de la igualdad, como se muestra a continuacin. 1. 08y3x4
2. 8y4x6y2x32 3. 1yx 22 4. 06y3x2x2 5. 0x3yx2 6. 06y4x2y2 Cuando se
tiene una funcin implcita y se desea conocer algunos puntos que
pertenezcan a la funcin, es recomendable despejar la variable
dependiente para transformarla en una funcin explcita y llevar a
cabo de forma ms simple, la sustitucin de valores, aunque en
algunas ocasiones se complica el despeje de la variable
dependiente, como sera el caso de la funcin nmero 5, en la cual se
tiene y2 y y, se tendra que utilizar un mtodo de factorizacin para
llevar a cabo el despeje. El saber despejar una variable ser
fundamental para encontrar la funcin explcita, pero an ms, para
expresar la inversa de una funcin, como se ver en el siguiente
bloque. La notacin implcita se utiliza mucho en asignaturas
posteriores, como en Clculo diferencial e integral I y II. A
continuacin se transformarn las funciones implcitas anteriores en
funciones explcitas, utilizando despeje simple en algunas de ellas,
hasta el mtodo de completar trinomio cuadrado perfecto, como es el
caso de la sexta funcin.
63. RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE
FUNCIONES64 Funcin implcita Funcin explcita. Nombre 08y3x4 3 8 x 3
4 xf 3 8 x 3 4 y 3 8x4 y 8x4y3 08y3x4 Funcin lineal 8y4x6y2x32
1xf1y 8y8 8x6x6y4y4 8y4x6y4x6 8y4x6y2x32 Funcin constante 1yx 22
1xy 1xy 1xy 1yx 2 22 22 22 De sta se derivan dos funciones .
1xxf1xy 1xxf1xy 22 22 Funcin irracional 06y3x2x2 2x 3 2 x 3 1 xf2x
3 2 x 3 1 y 3 6x2x y 6x2xy3 06y3x2x 22 2 2 2 Funcin cuadrtica
0x3yx2 22 2 2 x 2x3 xf x 2x3 y 2x3yx 2x3yx Funcin racional 06y4x2y2
2x210xf2x210y 2x210xf2x210y 2x210y x2102y x2102y 4x264y4y x26y4y
06y4x2y 2 2 2 2 Funcin irracional
64. BLOQUE 1 65 Evaluacin Actividad: 3 Producto: Ejercicios.
Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Identifica la
forma explcita e implcita de una funcin. Obtiene la forma explcita
de una funcin, a partir de su forma implcita. Expresa la
importancia del manejo del lgebra en la obtencin de funciones
explcitas. Autoevaluacin C MC NC Calificacin otorgada por el
docente Convierte las siguientes funciones implcitas en explcitas.
1. 09y2x4 2. 05y2x 2 3. 011y3 4. 01x3xy12xy3 2 5. y44xy4yx2
Actividad: 3
65. RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE
FUNCIONES66 Segn su grfica. En los temas anteriores se han dibujado
varios tipos de funciones, en ellas se ha visto cmo el dominio y el
rango van cambiando dependiendo de qu valores se puedan sustituir
en la funcin y qu se obtiene de la misma; tambin se vieron
funciones en las que para ciertos valores de x la funcin no existe
o bien se acota mediante rectas imaginarias (asntotas), pues bien,
ahora existe otra clasificacin y sta se refiere al comportamiento
de su grfica y slo contempla dos tipos, aquellas que su grfica
nunca se interrumpe o las que sufren cortes o saltos, es decir,
continuas o discontinuas. A continuacin se proporcionar una
definicin intuitiva de estos dos conceptos. Funciones continuas.
Son aquellas que pueden dibujarse sin levantar el lpiz del papel,
stas no sufren ninguna separacin, salto o hueco. Ejemplo de ellas,
son todas las funciones polinomiales, la funcin seno y coseno,
pertenecientes a las funciones trigonomtricas, as como tambin las
funciones logartmicas y exponenciales. A continuacin se mostrarn
algunas grficas de funcione continuas. x f(x) x f(x) x f(x)
Funciones discontinuas. Son las que presentan una ruptura en su
trazo, ya sea por medio de un salto o un punto hueco, como se
observa en las siguientes grficas. x f(x) x f(x) x f(x) Cuando se
tiene la representacin analtica de la funcin, la discontinuidad
existe para aquellos valores de x en donde la funcin se indefine,
como es el caso de las funciones racionales, las cuales se
indefinen para aquellos valores donde el denominador es cero.
66. BLOQUE 1 67 Desarrolla lo que se pide en cada seccin. I.
Escribe en la lnea debajo de cada grfica, si la funcin es continua
o discontinua, expresa su dominio y rango con intervalos. x f(x) x
L(x) ______________________________________
______________________________________ Dom: ___________________
Dom: ____________________ Rango:__________________ Rango:
___________________ x M(x) x T(x)
______________________________________
______________________________________ Dom: ___________________
Dom: ____________________ Rango:__________________ Rango:
___________________ Actividad: 4
67. RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE
FUNCIONES68 II. Dadas las siguientes funciones, determina si son
continuas o discontinuas (justifica tu respuesta), en el caso de
ser discontinuas, determina para qu valores se da la
discontinuidad. 1) x 3x xf 2) 3x2xxr 2 3) x 2 sen4xH 4) y44xy4yx2
5) 7xN 6) 24xF x Actividad: 4 (continuacin)
68. BLOQUE 1 69 Evaluacin Actividad: 4 Producto: Ejercicios.
Puntaje: Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Reconoce la
diferencia entre una funcin continua y discontinua. Diferencia
funciones continuas de funciones discontinuas y establece el
dominio y rango de las funciones. Practica con entusiasmo los
ejercicios y se muestra interesado en las aportaciones del grupo en
la retroalimentacin de la actividad. Autoevaluacin C MC NC
Calificacin otorgada por el docente 7. 3x 9x xg 2 8. 1x32xq 9.
13xLnxs 10. 6x5xL Actividad: 4 (continuacin)