BLOQUE 4: DIVISIBILIDAD

Múltiplos y divisoresNúmeros primos y compuestosCalcular los divisores de un númeroCriterios de divisibilidadMáximo común divisor y mínimo común múltiploDescomponer en factores primos.

Múltiplos y divisores

Ya conocemos los conceptos de múltiplo y divisor. Si, por ejemplo, 4 divide a 28, porque 28:4= 7 y resto= 0, 4 es divisor de 28. Entonces 28 es múltiplo de 4, porque puede obtenerse multiplicando 4 por otro número. En este caso, 4x7= 28.

Números primos y compuestos

Hay números que no pueden dividirse entre ninguno que no sea el 1 o el propio número. Por ejemplo, 13 solo se puede dividir de forma exacta entre 1 o entre 13. Estos son los números primos.En cambio el número 24 puede dividirse por 1, 2, 3, 4, 6, 8, y 24. Estos son los números compuestos.

Números primos hasta el 100

Es conveniente que conozcamos cuáles son los números primos hasta el 100. Esto nos ahorrará mucho trabajo para calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor. Para ello, escribimos los números en filas de 10 del 1 al 100 y vamos eliminando los números que sabemos que son múltiplos de otros. Esto se llama la “criba de Eratóstenes”.

Criba de Eratóstenes

Para empezar, eliminamos todos los números pares, puesto que son múltiplos de 2. Eliminamos también los acabados en 5, que son múltiplos de 5. Seguimos con los múltiplos de 3, contando de 3 en 3. Eliminamos los múltiplos de 7 que nos quedan, el 49. Y los múltiplos de 11, es decir, 22, 33, 44, 55… hasta el 99. Buscamos después múltiplos de 13 y 7 a la vez, el 91 y los números que nos quedan son los números primos.

Míralo en la tabla de la siguiente diapositiva.

Cálculo de todos los divisores de un número

Lo vemos con un ejemplo. Calculamos todos los divisores de 48.48 es par, luego se divide entre 2. Y ahora, 48:2= 24. Es divisible entre 3, luego también 48:3= 16. Es divisible entre 4, y 48: 4= 12. Se divide entre 6, 48:6 = 8. Y ya tenemos todos sus divisores, puesto que no hay ninguno mayor que la mitad del número, en este caso, 24.

Divisores de 48: 1, 2, 24, 3, 16, 4, 12, 6, 8, 48.

Mínimo común múltiploEl mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor múltiplo común de ambos números.Ejemplo:Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24 …Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16…

El primer múltiplo que coincide en ambos números es el 12. m.c.m. (4, 6) = 12

Máximo común divisor El máximo común divisor de dos o más números es el mayor divisor común de esos números. Ejemplo: Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.Divisores de 16: 1, 2, 4, 8,16.

El mayor divisor común de ambos números es el 8.m.c.d. (16, 24)= 8

Descomposición en factores primos

Todo número compuesto se puede obtener como producto de varios números primos. Esto se llama descomponer el número en factores primos. Esto nos será muy útil para calcular el m.c.m. y el m.c.d de números grandes.Para abreviar los productos los expresamos como potencias.

Cálculo del m.c.m. y m.c.d. utilizando los factores primos