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Ejercicio 1

Instrucciones:

Lee con atención cada uno de los ejercicios que se te presentan y recuerda que entre más practiques, tu razonamiento matemático cada vez se ejercitará mejor y llegarás a dominar correctamente todos los conceptos.

1. Determina si los siguientes elementos pertenecen o no al conjunto A, donde A= {x | x

es un múltiplo de 3} y escribe en el cuadro

3 A 6 A 9 A 5 A

2. Completa la tabla señalando en la segunda columna si los conjuntos están definidos por extensión o por comprensión, y en la tercera columna si son conjuntos finitos o infinitos.

Conjunto Extensión o

comprensión Finito o infinito

a) A = { x | x enteros positivos menores a 10 }

b) El número de autos vendidos en un año

c) A= { Suma, resta, multiplicación, división }

d) E = { lápiz, pluma, borrador, lapicero }

3. Dados los siguientes conjuntos, utiliza Diagramas de Venn para realizar las operaciones correspondientes y expresar la solución en lenguaje común: U= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A= {0, 1, 3, 5} B= {2, 4, 6, 8} a) A B b) A B c) A−B d) Ac

4. En la Universidad Tec Milenio Campus Guadalupe, que cuenta con 540 alumnos, se obtuvieron los siguientes resultados aprobatorios para las siguientes materias:

223 aprobaron Matemáticas 288 aprobaron Química 235 aprobaron Física 90 aprobaron Matemáticas y Química 94 aprobaron Física y Química 67 aprobaron Física y Matemáticas 22 aprobaron las 3 asignaturas

Responde las siguientes preguntas, utilizando técnicas de conteo:

a. ¿Cuántos alumnos aprobaron sólo Matemáticas? b. ¿Cuántos alumnos aprobaron sólo Física? c. ¿Cuántos alumnos aprobaron sólo Química?



d. ¿Cuántos alumnos aprobaron Matemáticas y Química pero no Física? e. ¿Cuántos alumnos aprobaron Física y Química pero no Matemáticas? f. ¿Cuántos alumnos aprobaron Física y Matemáticas pero no Química? g. ¿Cuántos alumnos no aprobaron ninguna asignatura?

Envía el ejercicio a tu tutor, en formato de práctica de ejercicios.

Ejercicio 2

Instrucciones:

Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios:

I. Coloca cada uno de los siguientes números, según correspondan, en la siguiente tabla:

Conjunto de números Clasificación

Reales(R)

Naturales(N)

Enteros no negativos(W)

Enteros (Z)

Racionales(Q)

II. Determina si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas:

Afirmación V o F

III. Desarrolla las siguientes expresiones algebraicas, aplicando productos notables:

IV. Simplifica las siguientes expresiones algebraicas:




Ejercicio 3

Instrucciones:

Resuelve cada uno de los siguientes problemas para ello es necesario que revises y comprendas los ejemplos explicados en el material. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta.

I. Resuelve las siguientes ecuaciones, utilizando los conceptos estudiados sobre ecuaciones lineales y cuadráticas:



II. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

III. Resuelve cada uno de los siguientes problemas aplicados:

1. En Saltillo, la temperatura es de 24º C, pero decrece a razón de 2º por hora. En una población cercana, Monterrey, la temperatura es de 25º C, pero está aumentando a razón de 2.5 grados por hora.

a. Si la temperatura se representa por la variable T y el tiempo en horas como t, determina los modelos para la temperatura de las ciudades en cada instante.

b. Si la temperatura continúa disminuyendo y aumentando en la misma proporción en ambas ciudades, ¿dentro de cuánto tiempo tendrán la misma temperatura?

c. Cuando ambas ciudades tengan la misma temperatura, ¿cuál será?

2. Un químico tiene una solución de ácido al 20% y otra al 40%. ¿Qué cantidad de cada una debe mezclar para obtener 8 litros de una solución de ácido al 30%? 3. Estela quiere plantar una faja uniforme de pasto alrededor de su alberca. Si mide 20 por 30 pies y ella sólo dispone de semilla para cubrir 336 pies cuadrados, ¿cuál será el ancho de la faja uniforme?

IV. Investiga en algún medio impreso o Internet, lo siguiente: ¿Cuándo se dice que un sistema de ecuaciones es consistente, inconsistente y dependiente? Define cada concepto y representa los sistemas gráficamente.


Ejercicio 4

Instrucciones:

Resuelve cada uno de los siguientes problemas, para ello es necesario que revises y comprendas los ejemplos explicados en el material. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta. Justifica tus respuestas.

I. Determina si los siguientes conjuntos de pares ordenados representan una relación o



una función:

1. {(1,2), (2,3),(4,3),(5,3),(6,3)} 2. {(1,4),(2,4),(3,6),(6,7),(10,9)} 3. {(6,4), (6,3),(3,4),(3,6),(1,4)}

II. Determina cuál de las siguientes gráficas representa a una función:

III. Considera la función de área de un círculo como función de su radio

a. Determina los valores para b. Traza la gráfica que muestra el área como función del radio.

IV.- Resuelve el siguiente ejercicio a partir de los datos mostrados en la siguiente gráfica publicada por el INEGI. (INEGI, XII Censo General de Población y Vivienda 2000).

a. ¿Cuál es el dominio de esta función y qué representa la variable independiente? b. ¿Cuál es el rango de esta función y qué representa la variable dependiente?




Ejercicio 5

Instrucciones:

Resuelve lo que se te pide en los siguientes puntos:

I.- Obtén la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-1, 2) y (1, 3)

II.- Determina cuál de las siguientes tablas corresponden a un modelo lineal

a)

x -1 3 7 11

y 3 5 7 9

b)

t 1.1 2.2 3.3 4

y 16 21 26 31

III.- La siguiente gráfica representa la función de costos de una compañía:



a. ¿Cuál es el costo fijo de la empresa? b. ¿Cuál es el costo variable? c. Obtén una fórmula para representar el costo de la compañía en función de q. d. ¿Esta función es lineal y a su vez potencia? Justifica tu respuesta.

IV.- Resuelve los siguientes problemas: 1. Una casa tiene un valor actual de $1’500,000; si su valor aumenta en forma constante cada año en 3% del valor original:

a. Obtén una fórmula para el valor de la casa en función del tiempo. b. Utiliza la fórmula para determinar dentro de cuántos años el valor de la casa será

de $1’850,000.

2. El valor de un automóvil nuevo es de $250,000, si su valor se deprecia linealmente 12.5% del valor inicial por año, encuentra:

a. La ecuación que exprese el valor del automóvil después de t años de uso. b. ¿Cuál es el valor del automóvil después de 5 años?

V.- Grafica las siguientes funciones, para ello analiza el signo de la pendiente y la intersección con el eje de las y, además, determina su dominio e imagen:

VI. Basándote en la gráfica, contesta lo que se te pide:



a. ¿Cuál es el grado de esta función polinomial? ____________________________________

b. ¿Cuántos ceros tiene la función? ______________________________________________

c. ¿Cuántas vueltas (cretas) tiene la función? ______________________________________

d. ¿Cuáles son sus raíces? ____________________________________________________

e. ¿Cuáles son sus factores? ___________________________________________________

f. Escribe una posible fórmula para la gráfica ______________________________________

VII. Investiga en tu libro de texto u alguna otra fuente, las gráficas de la función oferta, la función demanda y su interpretación.


Ejercicio 6

Resuelve los siguientes problemas:

I. Determina cuál de las siguientes tablas corresponde a un modelo exponencial: a)

x -3 -2 -1 0

y 8 4 2 1



b)

t -3 -2 -1 0 1 2

y

1 5 25

c)

p 5 10 15 20

q 7.750 6.725 5.7 4.7

II. Dada la gráfica de la siguiente función, obtén la fórmula que la representa:

III. Resuelve los siguientes problemas: 1. Según datos publicados en un periódico local, el crecimiento de la población en la ciudad de Monterrey ha sido exponencial en el periodo de 1960 a 2000.

Año 1960 2000

Habitantes 531,958 3,326,604

a. Plantea una fórmula para la población en función del tiempo. b. De continuar esa tendencia ¿cuál será la población en 2010?

2. La población de Pakistán expresada en millones de habitantes crece exponencialmente a razón de 2.81% por año. Si en 1994 había 126.4 millones de habitantes:

a. Plantea una fórmula para la población como función del tiempo. b. Utiliza la fórmula para determinar la población en 11 años.



c. ¿En qué año la población sería de 200 millones de habitantes?

3. La demanda para un nuevo juguete disminuye exponencialmente a razón de 2.57% por cada peso que aumenta el precio del juguete.

a. Plantea una fórmula para la demanda en función del precio. b. ¿Cuál sería la demanda si el precio es de $100?

4. Una población de bacterias crece exponencialmente a razón continua cada mes. Si en 3 meses aumentó 18% de la que originalmente había:

a. Plantea una fórmula para la población en función del tiempo. b. Utiliza la fórmula para determinar en qué porcentaje aumentó la población en

un año.

5. Una caja popular paga intereses de 5.73% anual compuesto bimestralmente. ¿Qué cantidad se debe depositar si se desea tener $63,500 dentro de 12 años?

Sugerencia: utiliza la formula para obtener el saldo de una cuenta bancaria, si se hace un depósito inicial de P y se paga un r% de interés anual capitalizable n veces en el año.

IV. Traza la gráfica de las siguientes funciones, para ello te puedes apoyar con el software:

GRAPHMATICA http://graphmatica.com

GRAPH www.padowan.dk/graph/


Ejercicio 8

Instrucciones:

Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios y justifica tus respuestas:

http://graphmatica.com/

http://www.padowan.dk/graph/



I. Utiliza la gráfica de f para encontrar el valor del límite y determina la continuidad de la

función. Si es discontinua, define si es esencial o removible.

II. Encuentra el límite de las siguientes funciones, si existe:

1.

2.

3.

4.

5. ;

III. Determina si las siguientes funciones son continuas en x= a, si no lo son, especifica el tipo de discontinuidad. Traza la gráfica de las siguientes funciones, para ello te puedes apoyar en el software:


GRAPH http://www.padowan.dk/graph/

1.

2.

http://cursos.tecmilenio.edu.mx/cursos/at8q3ozr5p/prof/cn/cn09001/cel/tema8.htm




3.

4.

IV. El costo de purificar agua está dado por donde p es el porcentaje de impurezas después de la purificación. Grafica esta función con y determina

. Analiza el significado de este límite.


Ejercicio 9

Instrucciones:

I. Determina el valor del límite para los siguientes ejercicios:

1.

4.

7.

10.

2. 5. 8. 11.

3. 6.

9.

12.

II. Basándote en la gráfica, contesta lo siguiente:



III. Encuentra las asíntotas verticales y horizontales de las siguientes funciones. Además, traza la gráfica de cada una de estas funciones, para ello te puedes apoyar con el software:



1.

2.

3.

IV. Investiga en Biblioteca Digital, tu libro de texto u alguna otra fuente, los valores a los que se aproximan los siguientes límites:

a) b)

Sugerencia: puedes trazar la gráfica de estas funciones, para ello te puedes apoyar con el software











Ejercicio 10

Instrucciones:

I. Resuelve los siguientes problemas:

1. Una empresa determina que sus ingresos totales que se generan por la venta de

unidades de cierto producto, están dados por la donde , está dada en dólares.

a. ¿Qué representa ?

b. ¿Qué representa ?

c. ¿Qué representa ?

d. ¿Qué representa ?

e. Encuentra la ecuación de la recta tangente en el punto f. Traza la gráfica de la función y la ecuación de la recta tangente.

2. La siguiente tabla muestra los ingresos que recibió México (en millones de dólares), del turismo americano, durante el periodo 2007 al 2009. ¿Cuál es la rapidez a la que cambia la mensualidad en el mes 2002?

Año 2006 2007 2009

Ingresos 429 587 385

3. Un automóvil se deprecia de acuerdo a la siguiente función donde V representa el valor del automóvil, en miles de pesos, y t el tiempo, en años, a partir de su compra.

a. ¿Con qué rapidez cambia el valor del automóvil 5 años después de haberse comprado?

b. ¿Con qué rapidez cambia el valor del automóvil 7 años después de haberse comprado?

4. Encuentra la ecuación de la recta tangente en el valor indicado. Además, traza la gráfica de la función y la ecuación de la recta tangente en el punto de tangencia. Para ello te puedes apoyar con el software.



1. en t = -1

2. en x = 2

II. A partir de los datos mostrados en la siguiente gráfica publicada por el INEGI. (INEGI, XII Censo





General de Población y Vivienda 2000).

a. Estima la pendiente de la recta tangente en el año 1990. b. ¿Qué información proporciona el resultado del inciso anterior con respecto al total

de población en México en 1990?

Ejercicio 11

Instrucciones:

I. Utiliza fórmulas y propiedades para obtener la derivada de las siguientes funciones:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8) 9)

10)

II. Investiga en tu libro de texto o de apoyo, las derivadas de las siguientes funciones trigonométricas:

Función Derivada



f(x)= Cotx

f(x)= Secx

f(x)= Cscx


Ejercicio 12

Instrucciones:

Utiliza fórmulas y propiedades para obtener la derivada de las siguientes funciones:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8) 9)

10)

II. Investiga en tu libro de texto o de apoyo, las derivadas de las siguientes funciones trigonométricas:

Función Derivada

f(x)= Cot[f(x)]

f(x)= Sec[f(x)]

f(x)= Csc[f(x)]

f(x)= Loga[f(x)]


Ejercicio 13

Instrucciones:

Una vez revisado el material de apoyo que se te presenta en este tema, realiza lo siguiente:

I. Encuentra la segunda derivada para las siguientes funciones:



1.

4.

7.

2. 5.

8.

3. 6. 9.

II. Investiga en Biblioteca Digital, en tu libro de texto u alguna otra fuente electrónica, acerca de las aplicaciones de la diferenciación implícita en física.


Ejercicio 14

Instrucciones:

Una vez revisado el material de apoyo que se te presenta en este tema, realiza lo siguiente:

I. Obtén los puntos críticos de la función y utiliza el criterio de la primera derivada para

determinar si son máximos, mínimos o ninguno. Indica los intervalos en lo que es creciente y en los que es decreciente:

1. 2.

3.

II. Resuelve los siguientes problemas: 1. La ganancia en dólares que se obtiene en un restaurante está dada por la función

, donde x representa la cantidad de platillos producidos. Determina el número de platillos que deben producirse para maximizar las ganancias de esta compañía.

2. Un distribuidor ha calculado que su costo total de operación, en miles de pesos, está

dado por , donde q es el tamaño del pedido en unidades. ¿En qué nivel de distribución se minimizará el costo promedio por unidad? (Recuerda que el costo

promedio por unidad es ).


Proyecto final

Objetivos




Implementar todos los conocimientos del curso para poder resolver los siguientes problemas.

Instrucciones

Resuelve los siguientes problemas y justifica cada una de tus respuestas.

1. Se realizó una encuesta a 80 alumnos sobre el tipo de música que más les agrada y los resultados fueron los siguientes: a 30 de ellos les gusta el Pop, a 35 le gusta el Rock, a 37, el Reggetón, a 10 les gusta el Pop y el Rock, a 12 el Pop y el Reggetón, a 9 les agrada el Pop y el Reggetón a 5 les gusta los 3 estilos y a 8 otro tipo de música. Tomando en cuenta esta información, construye un diagrama de Venn y responde a las siguientes preguntas:

a. ¿Cuántos estudiantes sólo prefieren Pop? b. ¿A cuántos alumnos sólo les agrada el Rock? c. ¿Cuántos estudiantes prefieren solamente Pop y Reggetón?

2. Simplifica las siguientes expresiones algebraicas:

a.

b.

c.

d.

e.

3. Resuelve las siguientes ecuaciones o sistemas de ecuaciones lineales:

a.

b.

c. 4. Determina si las siguientes relaciones representan una función; si lo

hacen, indica su dominio y rango y si las variables son discretas o continuas.

a. A cada alumno le corresponde un número de matrícula. b.

x 2 3 4 5

y 7 12 17 22

c. Escribe una posible fórmula para la gráfica.



5. El valor de una computadora es de $15,000; si su valor se deprecia linealmente 10% del valor inicial por año, encuentra:

a. La ecuación que exprese el valor del la computadora después de t años de uso.

b. ¿Cuál es el valor del la computadora después de 5 años?

6. Una población de bacterias crece exponencialmente a razón continua cada mes. Si en 5 meses aumentó 10% de la que originalmente había:

a. Plantea una fórmula para la población en función del tiempo. b. Utiliza la fórmula para determinar en qué porcentaje aumentó la

población en dos año.

7. Encuentra las asíntotas verticales y horizontales de las siguientes funciones. Además, traza la gráfica de cada una de estas funciones:

a.

b.

8. Determina para las siguientes funciones:

a.

b.

c.

9. Una partícula se mueve conforme a la función ,



donde se expresa en metros y “ ” en segundos. Determina: a. Su posición inicial b. Su velocidad al inicio de su movimiento c. La velocidad que alcanza al transcurrir 5 segundos d. Su aceleración e. Traza las gráficas de la función distancia, velocidad y

aceleración.

10. Obtén los intervalos en lo que la función creciente, decreciente, cóncava hacia arriba, cóncava hacia abajo; máximos y mínimos locales; y puntos de inflexión. Después, traza la gráfica de la curva:

a.

b.

Envía tu proyecto final, en formato de desarrollo de proyecto.

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