MATEMATICAS I PARA PRINCIPIANTES1014

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TABLA DE CONTENIDO

OBJETIVO...........................................................................................................................................................................6

1. LOGICA...........................................................................................................................................................................7

CONCEPTO ......................................................................................................................................................7

ENUNCIADOS Y CONECTIVAS .........................................................................................................................9

TABLAS DE VERDAD ........................................................................................................................................9

NEGACIÓN .................................................................................................................................................10

CONJUNCIÓN.............................................................................................................................................10

DISYUNCIÓN ..............................................................................................................................................11

CONDICIONAL ............................................................................................................................................11

BICONDICIONAL.........................................................................................................................................12

OTRAS FORMULACIONES EQUIVALENTES DE LA PROPOSICIÓN CONDICIONAL ..........................................14

PROPOSICIÓN RECÍPROCA Y PROPOSICIÓN CONTRA RECÍPROCA .............................................................17

OTRAS PROPOSICIONES BICONDICIONAL.....................................................................................................19

2. CONJUNTOS ................................................................................................................................................................ 21

CONCEPTO ....................................................................................................................................................21

CONJUNTOS FINITOS.....................................................................................................................................22

CONJUNTOS INFINITOS .................................................................................................................................22

POR EXTENSION ............................................................................................................................................22

POR COMPRENSION ......................................................................................................................................23

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS..............................................................................................................23

UNIÓN ............................................................................................................................................................23

INTERSECCIÓN ..............................................................................................................................................24

DIFERENCIA O COMPLEMENTO RELATIVO ....................................................................................................24

DIFERENCIA SIMÉTRICA ................................................................................................................................25

COMPLEMENTACIÓN .....................................................................................................................................27

3. FUNCIONES Y EXPRESIONES ALGEBRAICAS .........................................................................................................29

CONCEPTO ....................................................................................................................................................29

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ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA ..............................................................................33

ECUACION DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES .................................................................................34

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS.......................................................................38

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS ............................................................................44

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO .............................................................................................................45

SOLUCIONA EJERCICIOS JUSTIFICANDO SUS RESPUESTAS ........................................................................50

DESIGUALDADES CON UNA VARIABLE ..........................................................................................................50

PARABOLA .....................................................................................................................................................53

CLASES DE PARABOLAS................................................................................................................................53

HIPERBOLA ....................................................................................................................................................56

TIPOS DE HIPERBOLAS..................................................................................................................................56

FUNCIÓN EXPONENCIAL ................................................................................................................................62

ECUACIONES EXPONENCIALES.....................................................................................................................68

FUNCIÓN LOGARÍTMICA.................................................................................................................................69

PROCESO DE CÁLCULO DE UN LOGARTIMO ................................................................................................70

PROPIEDADES ...............................................................................................................................................73

LOGARITMOS DECIMALES .............................................................................................................................74

LOGARITMOS NEPERIANOS...........................................................................................................................75

CAMBIO DE BASE ...........................................................................................................................................75

ANTILOGARITMO............................................................................................................................................76

COLOGARITMO ..............................................................................................................................................76

ECUACIONES LOGARÍTMICAS........................................................................................................................77

SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS.................................................................................................78

4. LIMITES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS..............................................................................................................80

CONCEPTO DE LÍMITE....................................................................................................................................80

PROPIEDADES DE LÍMITES ............................................................................................................................81

DESARROLLA LIMITES USANDO PROPIEDADES ............................................................................................83

5. DERIVADA ....................................................................................................................................................................84

CONCEPTO ....................................................................................................................................................84

DERIVADA DE UNA POTENCIA, SUMA Y RESTA .............................................................................................85

DERIVADA DE UN PRODUCTO .......................................................................................................................86

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DERIVADA DE UN COCIENTE .........................................................................................................................87

LA DERIVADA (MÁXIMOS Y MÍNIMOS) ............................................................................................................88

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OBJETIVODesarrollar competencias lógico matemáticas, como base para la toma de decisiones, la comunicación y laplanificación como herramientas de análisis que permitan algunas aplicaciones de la matemática en laadministración y la economía, especialmente las que se refieren a la maximización de beneficios, la eficienciade los procesos, y la minimización de los costos.

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1. LOGICACONCEPTO

Todos aspiramos a poder razonar y argumentar sin error y con corrección. Desde antiguo el hombre aspira aposeer un mecanismo que le permita comprender lo que se le dice, averiguar si lo que se le dice es correctoy, sobre todo, averiguar si el cómo se le transmite algo sigue reglas que permitan confiar en la coherencia delo que se le comunica.

Lógica es una palabra que tiene como raíz el vocablo griego “logos” cuyo significado es “palabra”, “idea” o“razón”. Por tanto, podemos definir Lógica como la ciencia que se plantea estudiar formas de razonamientoválidas. Según la Academia de la Lengua “Lógica” es la disciplina que estudia la estructura, fundamento yuso de las expresiones del conocimiento humano. C.L. Chang la define como “el estudio de los métodos yprincipios del razonamiento humano en todas sus posibles formas”.

Presentamos aquí una pequeña reseña histórica de la lógica. El primer sistema de lógica de predicados sedebe a Aristóteles (s. IV a. C.), quien trato de identificar las formas del razonamiento humano, para tratarde crear criterios para discernir en las discusiones filosóficas. Esta línea, que se conoce como lógica clásica(de aplicación a la filosofía), fue seguida por otros pensadores. Además fue aprovechada por SantoTomas de Aquino (s. XIII) como vehículo de discusiones teológicas.

La siguiente etapa comienza en el s. XVII donde la Lógica matemática o Lógica simbólica comienza aperfilarse con Leibniz quien expresó su deseo de extender la aplicación de la lógica a las matemáticas. Suambición era encontrar un procedimiento de comprobación de teoremas, sin embargo no pudo cumplir supropósito. Durante los siguientes 150 años ningún matemático le dio importancia a los estudios de Leibniz

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pero a finales del siglo XIX, la lógica matemática se constituyó como ciencia con los trabajos de Boole yFregge. El primero desarrollo un modelo algebraico de la lógica proposicional y Fregge formalizó la lógica depredicados, desarrollando un lenguaje formal e introduciendo el concepto de cuantificadores. En esta mismaépoca tenemos que mencionar a Augustus de Morgan, quien formulo una herramienta fundamental delcálculo lógico como es la ley de dualidad de la conjunción y la disyunción (leyes de Morgan). El comienzodel siglo XX supuso un auge de la lógica, Russell con la ayuda de Whitehead se propuso mostrar que laaritmética era una extensión de la lógica, para contestar al desafío que Hilbert hizo sobre la axiomatizaciónde las matemáticas. Sin embargo, Gödel en 1936 contestaba negativamente a este desafío.

La tercera época de la lógica comienza con la aparición de los ordenadores. Los ordenadores estabanresolviendo problemas en muchos campos y era natural que se pretendiera utilizarlos para demostrarautomáticamente los teoremas. Esta nueva época ha producido mucho resultados en el campo de lasaplicaciones prácticas como la elaboración de estrategias de programación que aprovecharon losconocimientos de la lógica. También se elaboraron lenguajes de programación especialmente adecuados ala programación lógica, como por EJEMPLO el Prolog.

Hoy en día, la lógica proposicional, que es la que estudiaremos en este capítulo, tiene una importanciasingular dada su aplicación en los llamados "circuitos lógicos" de uso en la electrónica y la informática.La lógica proposicional es la más antigua y simple de las formas de lógica. Utilizando una representaciónsimple del lenguaje, nos permite representar y manipular sentencias sobre el mundo que nos rodea. La lógicaproposicional permite el razonamiento, a través de un mecanismo que primero evalúa sentencias simplesy luego sentencias complejas, formadas mediante el uso de conectivos proposicionales, por EJEMPLO Y(AND), O (OR). Este mecanismo determina la veracidad de una sentencia compleja, analizando losvalores de veracidad asignados a las sentencias simples que la forman. Los puntos que relacionan lalógica y la informática se pueden resumir en:

Los ordenadores están diseñados para mecanizar trabajos intelectuales. Cuando pretendemos que elordenador realice por si solo razonamientos entramos en la parte de la informática conocida como“inteligencia artificial”, para esto necesitamos formalizar los razonamientos, y de esto se ocupa la Lógica.

Además, Lógica y programación también se relacionan. Los programas cada vez son más complejos,menos fiables y más difíciles de mantener. Para solucionarlo se pretende que ellos mismos determinen lasacciones necesarias para resolver un problema y no que estos programas constituyan una serie deinstrucciones que le digan al ordenador como resolver dicho problema. Así, un lenguaje mediante el cualpodamos plantear los problemas de forma rigurosa es la Lógica.

Por otra parte, el soporte tecnológico principal de los ordenadores es los circuitos de conmutación ocircuitos lógicos cuyo nombre se debe a tener en común con la Lógica el modelo matemático conocidocomo “Álgebra de Boole”

Finalmente, uno de los pilares de la informática es el estudio matemático de los lenguajes, y la Lógicapuede ser considerada como uno.

Por otra parte, las ciencias experimentales se basa en la observación de la naturaleza y utilizan unrazonamiento de tipo inductivo para poder formular teorías generales (de las observaciones particulares seextraen conclusiones generales que posibilitan predecir resultados de futuros experimentos). Las matemáticas

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siguen un modelo deductivo de razonamiento. A partir de una colección de verdades (axiomas) se obtiene,mediante reglas correctas de deducción, mas hechos verdaderos (teoremas). El objeto de la lógica esestudiar las condiciones generales de validez de estas deducciones, o demostraciones.

ENUNCIADOS Y CONECTIVAS

La lógica, o al menos la lógica matemática, consiste en examinar las reglas de deducción con precisiónmatemática. Para obtener esta precisión primero tenemos que hacer inequívoco el lenguaje que usemos, yesto lo conseguimos utilizando un lenguaje simbólico donde los símbolos tengan significados y usosprecisos.

Dada una frase en castellano, en primer lugar, podemos observar si se trata de una frase simple (unsujeto + un predicado) o de una frase compuesta (formada a partir de frases simples por medio de algúntérmino de enlace (conectiva)):

En segundo lugar, vamos a suponer que todas las frases simples pueden ser verdaderas o falsas. Ahorabien, en castellano hay frases que no son ni verdaderas, ni falsas (exclamaciones, ordenes, preguntas),por tanto, tenemos que usar otro término, hablaremos de enunciados o proposiciones (sentencias quepueden ser verdaderas o falsas). Así, distinguimos entre enunciados simples (atómicos) o enunciadoscompuestos (moleculares).

Denotamos los enunciados simples por letras mayúsculas A, B, C, D. Para construir enunciadoscompuestos introducimos símbolos para las conectivas o nexos de unión:

CONECTIVAS SIMBOLOSno. A - AA y B A ∧ BA o B A V BSi A, entonces B A→BA si, y solo si B A↔B

Llamaremos esqueleto lógico de un enunciado compuesto al resultado de simbolizar dicho enunciado.Nótese que un “esqueleto lógico” puede ser común a varios enunciados diferentes. Esto nos permiteanalizar las deducciones, pues una deducción tiene que ver con las formas del enunciado, y no con susignificado. Por tanto, estudiamos formas enunciativas y no enunciados particulares. Denotaremos conletras minúsculas p, q, r, a las variables de enunciado que designan enunciados simples arbitrarios. Estasvariables nos permitirán describir las propiedades que poseen los enunciados y las conectivas. Como todoenunciado es verdadero o falso, una variable de enunciado tomará uno u otro de entre estos dos valores deverdad: V (verdadero) o F (falso).

TABLAS DE VERDAD

Para definir con precisión el significado de los símbolos que representan las distintas conectivas, debemosconocer con precisión el significado de dichas conectivas. Consideremos una a una todas las conectivas:

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NEGACIÓN

Sea A un enunciado, denotaremos por -A a su negación. Si A toma el valor verdadero (falso resp.) entonces -A tomará el valor falso (verdadero resp.) siendo irrelevante el significado de A. Esto se puede describirmediante la tabla de verdad

p -p

V F

F V

Negación ( - ). La forma enunciativa -p permite simbolizar un enunciado del tipo:

no p;no es cierto que p;es falso que p.

CONJUNCIÓN

Sean A y B dos enunciados, denotamos por A ∧B a la conjunción de ambos. Su tabla de verdad depende delos valores de verdad que toman A y B.

p q p ∧ q

V V V

V F F

F V F

F F F

Conjunción (∧). La forma enunciativa p ∧ q, simboliza enunciados de la forma:

p y q;p pero q;p no obstante q;p sin embargo q.

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DISYUNCIÓN

Sean A y B dos enunciados. En castellano tenemos dos usos distintos para la disyunción “o”, elegimos “A oB o ambos” para nuestra disyunción que denotamos por A v B. Su tabla de verdad será:

p Q p v q

V V V

V F V

F V V

F F F

Disyunción (∨ ). La forma enunciativa p ∨ q simboliza enunciados de la forma:

p o q;al menos p o q.

CONDICIONAL

Sean A y B dos enunciados. Denotaremos por A→B para representar el enunciado “A implica B” o “si Aentonces B”. Ahora el castellano no nos ayudará a construir una tabla de verdad.

p Q p→q

V V V

V F F

F V V

F F V

Condicional (→). La forma enunciativa p → q simboliza enunciados de la forma:

si p entonces q;si p, q;p implica q;p solo si q;p suficiente para q;q si p;q necesario para p;q cuandoquiera que p;

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q siempre que p;no p a menos que q.

En lenguaje matemático A→B quiere decir que si A es verdadero, necesariamente B es verdadero o lo quees igual que es imposible que B sea un enunciado falso y A sea verdadero. No obstante, la dificultad está enasignar el valor de verdad V en el caso en el que p toma el valor F. Nótese que en matemáticas este tipo deenunciados no nos dicen nada a partir de la falsedad de A.

BICONDICIONAL

Sean A y B dos enunciados. Denotamos el enunciado “A si y sólo si B” o “A equivale a B” por A↔B.

p Q p↔q

V V V

V F F

F V F

F F V

Bicondicional (↔). p ↔ q denota enunciados de la forma:p si y sólo si q;p necesario y suficiente para q

Estas tablas también pueden construirse haciendo una interpretación de los signos lógicos, como: no, o, y,si…entonces, sí y sólo si, respectivamente. La interpretación corresponde al sentido que estas operacionestienen dentro del razonamiento.

Puede establecerse una correspondencia entre los resultados de estas tablas y la deducción lógicomatemática. En consecuencia, las tablas de verdad constituyen un método de decisión para chequear si unaproposición es o no un teorema.Para la construcción de la tabla se asignará el valor 1 (uno) a una proposición cierta y 0 (cero) a unaproposición falsa.

Negación: El valor de verdad de la negación es el contrario de la proposición negada.

P -P

1 0

0 1

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Disyunción: La disyunción solamente es falsa si lo son sus dos componentes.

P Q P v Q

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Conjunción: Solamente si las componentes de la conjunción son ciertas, la conjunción es cierta.

P Q P ∧ Q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Condicional: El condicional solamente es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente esfalso. De la verdad no se puede seguir la falsedad.

P Q P → Q

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

Bicondicional: El bicondicional solamente es cierto si sus componentes tienen el mismo valor de verdad.

P Q P ↔ Q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

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OTRAS FORMULACIONES EQUIVALENTES DE LA PROPOSICIÓN CONDICIONAL

De acuerdo a las definiciones anteriores y sus tablas de verdad podemos realizar las siguientesactividades:

Obsérvese que si p → q es verdad no puede deducirse prácticamente nada sobre los valores de verdad de py q ya que pueden ser ambas verdad, ambas falsas o la primera falsa y la segunda verdad. Ahora bien, si elcondicional p → q es falso, entonces podemos asegurar que p es verdadera y q falsa.

Otras formulaciones equivalentes de la proposición condicional p → q son:

“p solo si q”“q si p”“p es una condición suficiente para q”“q es una condición necesaria para p”“q se sigue de p”“q a condición de p”“q es una consecuencia lógica de p”“q cuando p”

Analizaremos con detalle cada uno de los cuatro casos que se presentan en la tabla de verdad.

ANTECEDENTE Y CONSECUENTE VERDADEROS

En este caso parece evidente que el condicional “si p, entonces q” se evalúe como verdadero.

Por EJEMPLO, “Si como mucho, entonces engordo”

Es una sentencia que se evalúa como verdadera en el caso de que tanto el antecedente como el consecuentesean verdaderos.

Ahora bien, obsérvese que ha de evaluarse también como verdadero un condicional en el que no exista unarelación de causa entre el antecedente y el consecuente.

Por EJEMPLO, el condicional

“Si García Lorca fue un poeta, entonces Gauss fue un matemático”

Ha de evaluarse como verdadero y no existe relación causal entre el antecedente y el consecuente. Es poresta razón que no hay que confundir el condicional con la implicación lógica.

“García Lorca fue un poeta implica que Gauss fue un matemático”

Es una implicación falsa desde el punto de vista lógico. Más adelante estudiaremos la implicación lógica.

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ANTECEDENTE VERDADERO Y CONSECUENTE FALSO

En este caso parece natural decir que el condicional se evalúa como falso.

Por EJEMPLO, supongamos que un político aspirante a Presidente del Gobierno promete:

“Si gano las elecciones, entonces bajaré los impuestos”

Este condicional ser falso solo si ganando las elecciones, el político no baja los impuestos. A nadie

Se le ocurriría reprochar al político que no ha bajado los impuestos si no ha ganado las elecciones. Obsérveseque el hecho de que p sea verdadero y, sin embargo, q sea falsa viene, en realidad, a refutar la sentencia p →q, es decir la hace falsa.

ANTECEDENTE FALSO Y CONSECUENTE VERDADERO

Nuestro sentido común nos indica que el condicional p → q no es, en este caso, ni verdadero ni falso. Pareceilógico preguntarse por la veracidad o falsedad de un condicional cuando la condición expresada por elantecedente no se cumple. Sin embargo, esta respuesta del sentido común no nos sirve, estamos en lógicabinaria y todo ha de evaluarse bien como verdadero, bien como falso, es decir, si una sentencia no esverdadera, entonces es falsa y viceversa.

Veamos que en el caso que nos ocupa, podemos asegurar que el condicional no es falso. En efecto, comodijimos anteriormente, p → q es lo mismo que afirmar que

“p es una condición suficiente para q”

Es decir, p no es la única condición posible, por lo cual puede darse el caso de que q sea verdadero siendo pfalso. O sea, la falsedad del antecedente no hace falso al condicional y si no lo hace falso, entonces lo haceverdadero.

Por EJEMPLO,

“Si estudio mucho, entonces me canso”

¿Qué ocurriría si no estudio y, sin embargo, me cansara? Pues que la sentencia no sería invalida, ya que nose dice que no pueda haber otros motivos que me puedan producir cansancio.

ANTECEDENTE Y CONSECUENTE FALSOS

La situación es parecida a la anterior. La condición p no se verifica, es decir, es falsa, por lo que elconsecuente q puede ser tanto verdadero como falso y el condicional, al no ser falso, será verdadero.

Obsérvese, anecdóticamente, que es muy frecuente el uso de este condicional en el lenguaje coloquial,cuando se quiere señalar que, ante un dislate, cualquier otro está justificado.

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“Si tú´ eres programador, entonces yo soy el dueño de Microsoft”

EJEMPLO. Sean p, q y r las proposiciones “El número N es par”, “La salida va a la pantalla” y “Los resultadosse dirigen a la impresora”, respectivamente. Enunciar las formulaciones equivalentes de las siguientesproposiciones.

a) q → p.b) -q → rc) r → (p ∨ q)

Solución

a) q→ p

Si la salida va a la pantalla, entonces el número N es par. La salida ira a la pantalla, solo si el número N es par. El número N es par si la salida va a la pantalla. Una condición suficiente para que el número N sea par es que la salida vaya a la pantalla. Una condición necesaria para que la salida vaya a la pantalla es que el número N sea par.

b) -q → r

Si la salida no va a la pantalla, entonces los resultados se dirigen a la impresora. La salida no va a la pantalla solo si los resultados se dirigen a la impresora. Los resultados se dirigen a la impresora si la salida no va a la pantalla. Una condición suficiente para que los resultados se dirijan a la impresora es que la salida no vaya a la

pantalla. Una condición necesaria para que la salida no vaya a la pantalla es que los resultados se dirijan a la

impresora.

c) r → (p ∨ q)

Si los resultados se dirigen a la impresora, entonces el número N es par o la salida va a la pantalla. Los resultados se dirigen a la impresora solo si el número N es par o la salida vaya a la pantalla. El número N es par o la salida va a la pantalla si los resultados se dirigen a la impresora. Una condición suficiente para que el número N sea par o la salida vaya a la pantalla es que los resultados

se dirijan a la impresora. Una condición necesaria para que los resultados se dirijan a la impresora es que el número N sea par o

que la salida vaya a la pantalla.

EJEMPLO. Sean las proposiciones

p: Está nevando.q: Iré a la ciudad.r: Tengo tiempo.

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a). Escribir, usando conectivos lógicos, una proposición que simbolice cada una de las afirmacionessiguientes:

a.1) Si no está nevando y tengo tiempo, entonces iré a la ciudad.a.2) Iré a la ciudad solo si tengo tiempo.a.3) No está nevando.a.4) Está nevando, y no iré a la ciudad.b) Enunciar las afirmaciones que se corresponden con cada una de las proposiciones siguientes:

b.1) q ↔ (r ∧ -p)b.2) r ∧ qb.3) (q → r) ∧ (r → q)b.4) -(r ∨ q)

Solución

a) Escribimos en forma simbólica las afirmaciones propuestas.a.1) (-p ∧ r) → qa.2) q → ra.3) -pa.4) p ∧ -q

b) Escribimos en forma de afirmaciones las proposiciones.

b.1) Iré a la ciudad si, y solo si tengo tiempo y no está nevando.b.2) Tengo tiempo e iré a la ciudad.b.3) Iré a la ciudad si y sólo si tengo tiempo.b.4) Ni tengo tiempo, ni iré a la ciudad.

PROPOSICIÓN RECÍPROCA Y PROPOSICIÓN CONTRA RECÍPROCA

Proposición Recíproca. Dada la proposición condicional p→ q, su recíproca es la proposición, tambiéncondicional, q→ p

Por EJEMPLO, la recíproca de “Si la salida no va a la pantalla, entonces los resultados se dirigen a laimpresora” será “Si los resultados se dirigen a la impresora, entonces la salida no va a la pantalla”.

Proposición Contra recíproca. Dada la proposición condicional p→ q, su contra recíproca es la proposición,también condicional, -q→-p

Por EJEMPLO, la contra recíproca de la proposición “Si María estudia mucho, entonces es buena estudiante”es “Si María no es buena estudiante, entonces no estudia mucho”.

EJEMPLO. Escribir la recíproca y la contra recíproca de cada una de las afirmaciones siguientes:

a) Si llueve, no voy.

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b) Me quedaré, solo si tú te vas.c) Si tienes cien pesetas, entonces puedes comprar un helado.d) No puedo completar la respuesta si no me ayudas.

Solución

Escribiremos la recíproca y la contra recíproca de varias formas.

a) Si llueve, no voy.

Recíproca.

Si no voy, entonces llueve. Llueve si no voy. Una condición necesaria para no ir es que llueva. Una condición suficiente para que llueva es no ir.

Contra recíproca.

Si voy, entonces no llueve. Voy solo si no llueve. Es necesario que no llueva, para que vaya. Es suficiente que vaya para que no llueva.

b) Me quedaré solo si te vas.

Recíproca.

Si te vas, entonces me quedaré. Me quedaré, si te vas. Una condición necesaria para que te vayas, es quedarme. Una condición suficiente para quedarme es que te vayas.

Contra recíproca.

Si no te vas, entonces no me quedaré. No me quedaré si no te vas. Es suficiente que no te vayas, para no quedarme.

c) No puedo completar la respuesta si no me ayudas.

Recíproca.

Si no puedo completar la respuesta, entonces no me ayudas.

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Contra recíproca.

Si puedo completar la respuesta, entonces me ayudas. Puedo completar la respuesta solo si me ayudas. Es necesario que ayudes para poder completar la respuesta.

OTRAS PROPOSICIONES BICONDICIONAL

Dadas dos proposiciones p y q, a la proposición compuesta: “p si y solo si q”, se le llama “proposiciónbicondicional” y se nota por: p ↔ q

La interpretación del enunciado es: p solo si q y p solo si q, o lo que es igual si p, entonces q y si q, entoncesp; es decir, (p → q) ∧ (q → p)

Luego la proposición bicondicional p ↔ q es verdadera únicamente en caso de que ambas proposiciones, p yq, tengan los mismos valores de verdad.

Obsérvese que la proposición condicional p → q, se enunciaba

Si p, entonces q

Siendo una formulación equivalente,

Una condición necesaria para p es q

y la proposición condicional q → p , se enunciabaSi q, entonces p

Siendo una formulación equivalente,

Una condición suficiente para p es q

Por tanto, una formulación equivalente de la proposición bicondicional en estos términos, seria:

Una condición necesaria y suficiente para p es q

EJEMPLO. Sean a, b y c las longitudes de los lados de un triángulo T siendo c la longitud mayor. El enunciado

T es rectángulo si, y solo si a2 + b2 = c2

Puede expresarse simbólicamente como

p ↔ q

Donde p es la proposición “T es rectángulo” y q la proposición “a2 + b2 = c2”. Observemos lo siguiente: Laproposición anterior afirma dos cosas

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1. Si T es rectángulo, entonces a2 + b2 = c2, o también,

Una condición necesaria para que T sea rectángulo es que a2 + b2 = c2

2. Si a2 + b2 = c2, entonces T es rectángulo o también,

Una condición suficiente para que T sea rectángulo es que a2 + b2 = c2

Consecuentemente, una forma alternativa de formular la proposición dada es, Una condición necesaria ysuficiente para que T sea rectángulo es que a2 + b2 = c2

TALLER COMPLEMENTARIO

Simbolizar completamente las proposiciones siguientes, utilizando los símbolos correspondientes a cadatérmino de enlace. Indicar las proposiciones simples sustituidas por cada letra mayúscula.

1) En el hemisferio sur, julio no es un mes de verano.2) Si dos pulsaciones se atraviesan, continúan conservando la forma original.3) O Jaime no es puntual o Tomas llega tarde.4) Ni Antonio ni Ana estudian en la universidad.5) O Pedro es presidente y Juan es tesorero, o Jaime es tesorero.6) Si este cuadro es negro entonces aquel cuadro es rojo y su rey está sobre el cuadro rojo.7) A la vez, si este cuadro es negro, entonces, aquel cuadro es rojo y su rey está sobre el cuadro rojo.8) Patinaremos sí y sólo si el hielo no es demasiado delgado.

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2. CONJUNTOSCONCEPTO

El concepto de conjunto es el más primitivo y fundamental de la estructura matemática que, no estrictamentelo definen como: una lista, colección o clase de objetos bien definidos considerados como una sola unidad, endonde los objetos que pertenecen al conjunto se llama miembro o elemento de él. Se llama conjuntos a:

Un listado de alumnos del grado once. Una familia. Los alumnos de una institución educativa. Los libros de una biblioteca. Al sistema planetario.

A los conjuntos es costumbre designarlos con letras mayúsculas, mientras que para los elementos se utilizaletras minúsculas encerrado entre llaves { }. Además si se toma una parte de elementos de un conjunto se lollama subconjunto, o sea un conjunto que está incluido en otro; que también se designará con letrasmayúsculas. Así:

El conjunto de las letras vocales se puede escribir como. A = { a, o, u, e, i } El conjunto múltiplos de 3 comprendidos entre 1 y 20. B = {3, 6, 9, 12, 18}

En general los conjuntos se dividen en dos.

Conjuntos finitos.

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Conjuntos infinitos.

CONJUNTOS FINITOS

Un conjunto es finito o infinito contable si está vacío o tiene elementos fácilmente contables, dando comoresultado un número positivo. Se puede considerar como conjuntos, a los:

Días de un mes. Alumnos de la Universidad de Nariño. Libros de la biblioteca del CESMAG. Candidatos a ser presidentes de Colombia. Niños de un barrio.

CONJUNTOS INFINITOS

Un conjunto es infinito o no contable cuando, NO se puede contar u obtener su valor con exactitud: Puedenser considerados como conjuntos infinitos a:

Peces de un lago. Arboles de una montaña. Estrellas del universo. Niños de Colombia. Habitantes del departamento de Nariño.

Cuando un conjunto es bastante grande pero se puede contar o llegar a obtener un resultado lo más cercanoposible al valor verdadero, se lo denomina conjunto infinito contable, así:

Las casas de la ciudad de Bogotá. El ganado vacuno de un departamento. Estudiantes universitarios de Colombia. Estudiantes del grado once de la Ciudad de Pasto.

Los conjuntos se pueden especificar de dos maneras:

POR EXTENSION

Consiste en escribir todos los elementos, separados por comas y encerrarlos en llaves:

A={a, o, u, e, i}B={3, 6, 9 12, 18}C={Alejandra, Marcela, Daniela, Jimena, David}

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POR COMPRENSION

Consiste en dar una propiedad común a todos los elementos del conjunto y encerrarlos en llaves; estapropiedad debe ser muy precisa; la deben cumplir todos los elementos del conjunto y solamente los elementosdel conjunto.

A = { Los números naturales }A = { x/x es un número natural }B = { Los números dígitos }B = { x/x es dígito }

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Al igual que en aritmética se puede realizar las cuatro operaciones que son suma, resta, multiplicación ydivisión; mediante los conjuntos se puede realizar algunas operaciones que son utilizadas para determinar lascorrespondientes probabilidades, ellas son:

Unión. Intersección. Diferencia. Diferencia simétrica. Complemento.

UNIÓN

Si se tiene dos o más conjuntos, la unión o reunión de éstos será otro conjunto que está conformado por loselementos de éstos o uno de ellos, matemáticamente se puede expresar, figura es 1.

A B=C={ x : x A o xB }

A B

FIGURA 1 unión de conjuntos

Sea A, el conjunto formado por los libros de física del grado diez y sea B el conjunto de libros de física delgrado once. La unión de estos será otro conjunto equivalente a sumar los del grado diez y once. La uniónpuede se puede dar entre dos o más conjuntos.

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A = {libros de física del grado diez}B = {libros de física del grado once}A B = C = {Libros de física para secundaria}

Si se toma un informe para secundaria está conformada por diferentes asignaturas que constituyen loselementos; éstas a su vez se agrupan por áreas y la unión de éstas conforma el informe.

INTERSECCIÓN

La intersección de dos o más conjuntos, es el conjunto que está conformado por los elementos comunes quepertenecen a cada uno de los conjuntos, matemáticamente la representación para dos conjuntos es:

A B=C={ x : x A y x B }

Si se cumple que A B=φ, se dice que los conjuntos son disyuntos, o sea que no existe intersección, y sepuede representar gráficamente, ver Figura 2

A BFIGURA 2. Intersección de conjuntos

EJEMPLO. Un curso está constituido por U=21 estudiantes y conforman dos equipos; al de Básquet (B)pertenecen 10 y 14 al de voleibol (V): entonces el conjunto de estudiantes que juegan basket y voleibol será(C), ver Figura 3.

U=21B V = (B V) - UB V = (10 + 14) - 21B V=24- 21 = 3 = C

V BFIGURA 3. Intersección de conjuntos

DIFERENCIA O COMPLEMENTO RELATIVO

Si se tiene dos conjuntos, sean A y B se llama diferencia o complemento relativo de A con respecto a B; alconjunto de elementos que pertenece a A y no a B, que matemáticamente se escribe:

C = 311 7

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A-B=C={ x : x A x B }

Si se escribe en proceso inverso se tendrá:

B-A=D={ x : x B x A }

Dando como resultado los conjuntos C y D que son dos conjuntos diferentes, al menos que los dos seanvacíos. Su representación gráfica está en la Figura 4

FIGURA 4. Diferencia de conjuntos

EJEMPLO. Si se considera el caso anterior, que consta de un grupo de U=21 estudiantes en donde el grupoB=10 juegan básquet y el grupo V=14 juegan voleibol; se puede hallar:

U - V, No juegan voleibol pero sí basket.U - B, No juegan básquet pero sí voleibol.

Reemplazando sus valores numéricos, se tiene:U – V = 21 – 14 = 7 Juegan únicamente básquetU – B = 21 – 10 = 11 Juegan únicamente VoleibolV + B – U = Juegan básquet y Voleibol 14+10-21=3

DIFERENCIA SIMÉTRICA

La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es la unión de los elementos de A y B; sin tener en cuenta loselementos que pertenecen a la intersección, matemáticamente se expresa:

A-B B-A

U-B=11 U-V=7

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A B=C=(x : x A x B) o (x : x A x B)

A B=C=(A-B) (B-A)

A B=C=(A B)-(A B)

Su representación gráfica se presenta en la Figura 5.

FIGURA .5 diferencia simétrica

Sean los conjuntos: A = {1, 3, 6, 9, 12} y B = {5, 9, 12, 15, 20}. Se puede hallar:

A B = (A - B) (B - A)A-B = (1, 3, 6)B-A = (5, 15, 20)A B=(1,3,6) (5,15,20)={1,3,5,6,15,20}

Graficando se tiene la Figura 6

FIGURA 6 Diferencia simétrica

La diferencia simétrica consiste en la unión de dos conjuntos menos la intersección; éste concepto es utilizadoen el desarrollo de las probabilidades.

A-B B-A

A B

1,3,65,15,20

A-B B-A

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COMPLEMENTACIÓN

Esta operación se efectúa sobre cada una de las partes del universo. Siendo A cualquier parte del universo U,su complemento se denota de diferentes maneras, así: Ac CA A'. El conjunto complementario de un conjunto A.es el conjunto de todos los individuos que pertenecen al universo y no pertenecen al conjunto A.Simbólicamente se puede escribir:

Ac = CA = A' = { x / x U x A }


1. Dados los conjuntos:

P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};Q = {2, 3, 4, 6, 8};R = {1, 2, 3, 9, 11, 12}.

Calcular:A. P-QB. Q-PC. P-(Q-R)D. (P-Q)-RE. (PQ R)-(PQ R)F. (PQ) RG. (PQ) (P R)H. PQI. Q RJ. P R

2. Dados los conjuntos:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} UNIVERSO;A = {0, 1, 2, 4, 5};B = {2, 4, 6, 8};C = {0, 1, 3, 5, 6};D = { 2 }.

Calcular:A. A'B. B'C. A BD. (A B)'E. A-BF. B-AG. A-CH. A'-C'I. A-(B C)J. A-(B-C)K. A DL. A-DM. A-D'N. (A-D)'O. (B C)-DP. (B C)-A'Q. (A C)-NR. N-A, N-BS. N-(A B C D)T. A BU. A CV. B C

3. Sean los conjuntos gedbCgfedcBdcbaA ,,,y,,,,,,, Determine:A. BA B. AB C. BC D. BCA )(E. )( CBA

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F. )()( CABA

4. Sea aaE , . Diga cuales de las proposiciones de más abajo son verdaderas:A. EaB. Ea C. Ea D. Ea E. EF. E

5. Si A = { 1, 2, 4, 5 } y B = { 3, 5 } .Determine el conjunto B - A .

6. Si A = { a, b, c, d, e } , B = { b, c, e } y C = { a, e }, entonces. Cuál es el conjunto:( A ∩ B ) - C ?A - B = ?

7. Si A = { a, b, c, d, e } , B = { b, c, e } y C = { a, e }, entonces ¿ Cuál es el conjunto ( A ∩ B ) - C ?

8. Dados los conjuntos: A = {1, 2, 3, 4 } ; B = { 2, 4, 5 } ; C = {3, 5, 7 }. Señale que operación deberáefectuarse para que el resultado sea el conjunto { 3, 5 }

9. ¿Cuál es la intersección del Conjunto H = {0,1,2} y el Conjunto vacío ?

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3. FUNCIONES Y EXPRESIONESALGEBRAICAS

CONCEPTO

En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera dependeexclusivamente del valor de la segunda. Por EJEMPLO el área A de un círculo es función de su radio r: elvalor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π·r2. Del mismo modo, la duración T de un viaje detren entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que este sedesplace: la duración es inversamente proporcional a la velocidad, T = d / v. A la primera magnitud (el área, laduración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es lavariable independiente.

El concepto de función matemática o simplemente función, es sin duda, el más importante y utilizado enMatemáticas y en las demás ramas de la Ciencia. No fue fácil llegar a él y muchas mentes muy brillantes handedicado enormes esfuerzos durante siglos para que tuviera una definición consistente y precisa.

El estudio de las propiedades de las funciones está presente en todo tipo de fenómenos que acontecen anuestro alrededor. Así, podemos nombrar fenómenos sociales relacionados con crecimientos demográficos,con aspectos económicos, como la inflación o la evolución de los valores bursátiles, con todo tipo defenómenos físicos, químicos o naturales, como la variación de la presión atmosférica, la velocidad y laaceleración, la gravitación universal, las leyes del movimiento, la función de onda de una partícula a escalacuántica, la desintegración de sustancias radiactivas o la reproducción de especies vegetales y animales. Casi

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todo es susceptible de ser tratado a través del planteamiento y estudio de una o varias funciones quegobiernan los mecanismos internos de los procesos en todas las escalas y niveles.

Otra cosa bien distinta y mucho más difícil, es determinar cuáles son las funciones que intervienen en cadaproceso en concreto. Esta, en suma, es la tarea de los científicos: descubrir la dinámica rectora de cadafenómeno y expresarla en términos de una función.

Función es una aplicación es una ley de asignación entre dos conjuntos, que pueden ser numéricos ono. Usaremos la flecha → para indicar el sentido de la aplicación, es decir, cuál es el conjunto origen ycuál el destino.

Lo denotaremos: f : X →Y

Con ello queremos expresar que la aplicación f asocia o relaciona los elementos de X (origen) con loselementos de Y (destino).

En el siglo XVII, Gottfrid Wilhelm Leibiniz, uno de los inventores del cálculo, introdujo el término función en elvocabulario matemático. El concepto de función es uno de los más básicos en todas las matemáticas yesencial para el estudio el estudio del cálculo. En forma breve, una función es un tipo especial de la relaciónde entrada-salida que expresa como como una cantidad (la salida) depende de otra (la entrada). Por ejemplo,cuando se invierte dinero a alguna tasa de interés, el interés I (la salida) depende del tiempo t (entrada) que eldinero este invertido. Para expresar esta dependencia, decimos que I es una función de t. las relacionesfuncionales como esta en general es especificada por una fórmula que muestra lo que debe hacerse con laentrada para determinar la salida.

Por EJEMPLO. Suponiendo que el valor presente (P) de $10.000.000 se invierte en una entidad financieraque reconoce una tasa de interés simple mensual (i) del 6% durante un tiempo t; los intereses se podrácalcular mediante:

I = P. i . tI = 10.000.000(0.06) t

Hallar los intereses durante a) 3 meses b) 6 meses c) 9 meses y c) 12meses.

Tiempo t (meses) 3 6 9 12Interés I ($) 1.800.000 3.600.000 5.400.000 7.200.000

En la tabla anterior para la entrada de 3 meses la salida es $1.800.000, para la entrada de 6 meses la salidaes $ 3.600.000

La expresión I = P. i . t, indica una norma específica que consiste en multiplicar las tres variables P, i, t. Lanorma asigna a cada entrada de tiempo t exactamente un número de salida I, llamado interés.

Definición. Una función es una regla que asigna a cada número de entrada exactamente un número desalida. Al conjunto de números de entrada a los cuales se aplica la regla se le llama el dominio de la función.El conjunto de salida es llamado rango.

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Para la función de interés I, el número de entrada t, no puede ser negativo ya que el tiempo negativo no tienesentido. Así que el dominio consiste en todos los números no negativos; esto es, todo t ≥ 0 y el rango losintereses I mayores igual a cero I ≥ 0. Analizar el domino para:

a) Y = X + 2b) Y = X - 5c) Y = √2 − 1d) Y = √ − 3e) Y =f) Y =g) Y =GRAFICAS EN COORDENADAS RECTANGULARES. Un sistema de coordenadas rectangulares (ocartesianas) nos permite especificar y localizar puntos en un plano. También proporciona una manerageométrica para representar ecuaciones en dos variables, así como funciones.En un plano se trazan dos rectas de números reales, llamadas ejes de coordenadas, perpendiculares entre siy de modo que sus orígenes coincidan. Su punto de intersección es llamado origen del sistema decoordenadas. A la recta horizontal se denomina eje X y la vertical el eje Y. La distancia unitaria sobre el eje Xno es la misma sobre el eje Y.El plano sobre el cual están los ejes de coordenadas es llamado plano de coordenadas rectangulares o,simplemente plano X Y. Todo punto en él puede ser etiquetado para indicar su posición. Para etiquetar porejemplo el punto P trazamos líneas perpendiculares al eje X y al eje Y que pasen por el punto P.

Ubicar las siguientes parejas de valores en un plano cartesiano para caso.

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a) (5, 9), (-9, 5), (-7, -10), (8, -9)b) (15, 6), (-10, 8), (-9, -15), (12, -10)c) (-10, 6), (9, -8), (-13, -5), (14, 9)d) (9, 9), (-9, 9), (-7, -7), (9, -9)

Intercepción y gráficas. Una intercepción X de la gráfica de una ecuación X y en Y, es el punto donde lagráfica interseca o corta al eje X. Una intercepción Y es el punto donde la gráfica interseca al eje Y. Paraencontrar las intercepciones X de la gráfica de una ecuación en X y Y, primero hacemos Y = 0 y resolvemos,para X, la ecuación resultante. Para encontrar las intercepciones Y, hacemos X = 0 y resolvemos para Y.

EJEMPLO: Determinar las intercepciones X y Y de la gráfica de Y = 2X + 6 y además trazar la gráficaasignándole valores positivos y negativos incluyendo el cero.

Solución:

Si Y = 0, entonces0 = 2X + 6, o sea que X = -3Así la intercepción X es ( - 3, 0)

Si X = 0, entoncesY = 2*0 + 6 = 6De modo que la intercepción Y es (0, 6).

X -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6Y -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Grafiando se tiene:

1 2 3 4 5 6 7 X-1-2-3-4-5-6-7

1

2

3

4

5

6

Y

-1

-2

-3

-4

-5

-6

Intercepción (0, 6)

Intercepción (-3, 0)

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Hallar la intercepciones de la gráfica de cada ecuación además intente realizar sus graficas correspondientes;con base en sus graficas identifique cual es dominio y el rango.

a) Y = Xb) Y = 3X − 5c) Y = Xd) Y = Xe) X = −3Yf) 2X + Y − 2 = 0g) Y = X + 2h) Y = 3 − 2Xi) Y =j) Y = X − 9k) X + Y = 1X

Intente graficar cada función y determine su dominio y rango. También determine las intercepciones.

a) Y = 4 −b) Y = 5 − 2c) Y = X − 4X + 1d) Y = X + 2X − 8e) Y = X(2 − X)f) Y =g) Y =h) Y = −ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA

En las matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitasque conforman un problema matemático consistente en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacendichas ecuaciones. Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del alfabeto latino, o sison demasiadas, con subíndices.

Cuando el número de variables es mayor que el de las ecuaciones, por lo general existen muchas soluciones.Por EJEMPLO, X+Y=0. En este caso, el número de soluciones es ilimitado.

Si el número de variables es menor que el de las ecuaciones, por lo general, no existe solución, porque confrecuencia existen ecuaciones contradictoras comprendidas en el sistema dado.

Por EJEMPLO, 2X = 0, y 5X = 1.

Si el número de variables es igual al de las ecuaciones, tenemos una mejor oportunidad de obtener unasolución única para el sistema.

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Encontrar la solución para cada uno de los casos siguientes

1) 2X = 62) 2X-3 =6+X3) 3X + 5 = 5X – 134) 5(7 − X) = 31 – X5) 4X + 1 = 12X – 36) 2(2X - 3) = 6 + X7) 3(4X + 7) = 4X – 258) 7X + 15 = 3(3X − 7)9) 4(2 − 3X) = −2X – 2710) 3(2X + 5) − 2(4 + 4X ) = 711) 6X − 8 = 4(−2X + 5)12) 3(2X − 2) = 2(3X + 9)13) 24 − (X + 3) = 12 + 2(9 − 2X )14) 7X + 13 − 7X = 17 − 3X15) 4(X-10)= -6(2-X)-6X16) 2(X+1)-3(X-2) = X +617) 23X + 4X − 13 = 7X + 4X – 518) 9 − 2(X + 4) − 10(25 − X + 4) = 5−3X−4(X+1)

19) 123

61

XX

20) 19()4243

XX

21)95

365

41

XXX

22)67

1445

342

713 XXXX

23)2

37

5

XX

24)2

53

4

XX

25) 2343

41

433

1632

816

XXXX

26) XXXXX 31235

32

23122

27)XXX

1

321

32

ECUACION DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal significa que es un planteamiento de igualdad, involucrandouna o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, unaecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En el sistemacartesiano representan rectas. Una forma común de las ecuaciones lineales de dos variables es Y = B + A*X

SOLUCION ECUACION GENERAL DE LA RECTA

En el estudio del álgebra se hizo un estudio de la ecuación de primer grado con dos variables X e Y,independientes y dependientes respectivamente, que al representar sus parejas de puntos en el planocartesiano forma una recta. Una línea recta es un lugar geométrico de puntos, de tal manera que tomando dospuntos diferentes P2(X2, Y2) y P1(X1, Y1) le permite calcular una constante llamada pendiente (A) por medio dela siguiente fórmula:

Cálculo de la pendiente (incremento)

A. =

Ecuación general de la recta

Y = B + A*X

Cálculo de la ecuación de una recta

Y = A(X – X1) + Y1

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Dónde: ( B ) Valor de la ordenada cuando la abscisa (X) toma el valor cero, (A) pendiente de la recta quepuede tomar dos signos:

Positivo cuando la función es creciente figura 1 Negativo cuando la función es decreciente figura 2.

En éste trabajo la ecuación de la recta que se utilizará es la siguiente:

Y = B + A*X

Dónde: A y B son coeficientes numéricos a calcular que pueden tomar signos positivos y negativos, Arepresenta a la pendiente de la recta y B valor de la ordenada para X igual a cero. En matemáticas tanto X e Ypueden tomar diferentes asignaciones. Si X es tiempo Y podrá ser: tala de bosques, nacimientos de niños,defunciones, inmigración del campo a la ciudad, solicitud de ingreso a un plantel educativo, aumento depoblación, construcción de vivienda, etc. Al tomar las variables anteriores en una ecuación se puede obteneruna relación lineal o no, el caso lineal es motivo de estudio durante ésta unidad.


I. Construir la gráfica para las siguientes expresiones lineales; asignándolo valores positivos, negativos ycero a la variable X para encontrar los valores de Y; una vez obtenido los valores de las dos variablesllevar al plano cartesiano para obtener los puntos y luego unirlos para obtener la gráfica.

a) 252XY b) 252X-Y c) 25-2XY d) 252X-Y

e) 14X37Y

f)10X

49-Y

FIGURA 1 A positiva FIGURA 2 A negativa

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g) 40X56-Y

h) 040X213-Y

i) 025-12X-2Y j) 024-18X-6Y- k) 2421X-7Y l) 08032X-8Y m) 025-5Y-4X- n) 060-3Y9X- o) 060-15Y-14X p) 3x + y = 4

q) 2x - y = 5r) 6x – 3y = 1s) 4x + 2y = 10t) 3y - 5 = 0

u) x = 32

y + 3

v) 4x - 3y - 7 = 0w) 5x – 2y + 10 = 0

x)14

x - 12

y = 1

Escriba la ecuación de la recta con la pendiente A y la ordenada al origen B, dadas.

a. A = 2, B = 3b. A = -2, B = 1c. A = 1, B = 1d. A = -1, B = 2e. A = 0, B = 5f. A = 0, B = -5

g. A = 12

, B =3

h. A = 12

, B = 2

i. A = 14

, B = -2

Escriba en la forma general la ecuación de la recta que pasa por el punto dado con la pendiente indicada.

a) (3, 4); A = 2b) (2, 3); A = 1c) (1, -2); A = 0d) (-2, 3); A = 4e) (-3, 5); A = -2f) (-3, 5); A = 0

g) (8, 0); A = 23

h) (2, 1); A = 12

i) (-6,-3); A = 43

j) (0, 0); A = 5k) ( 3

4, 25

); A = 1

l) ( 2 , - 2 ); A = 10

Escriba la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos dados, en la forma Y = B +AX

a) (-1, 2), (2, -1)b) (2, 3), (3, 2)c) (1, 1), (-1, -1)d) (3, 0), (0, -3)e) (3, -4), (0, 0)f) (-1, -13), (-8, 1)

g) ( 12

, 7), (-4, 32

)

h) (10, 27), (12, 27)i) ( 2 , 4 2 ), (3 2 , -10 2 )

II. Hallar la ecuación de la función lineal (recta) cuando se conocen dos puntos: Aplicaciones

1. En el año de 2008 la producción de un producto de la región es de 118.680 toneladas y en el año 2013 se

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registró una producción de122.480 toneladas. Según estos datos encontrar:

a) El incremento de producción anual o pendiente (A)b) La ecuación de la recta para este casoc) La producción para los años: 2006 hasta el 2016.d) Realizar la gráfica con los datos del literal C.

2. En el año de 2008 la producción de un producto de la región es de 122.480 toneladas y en el año 20129se registró una producción de118.680 toneladas. Según estos datos encontrar:

a) El incremento de producción anual o pendiente (A)b) La ecuación de la recta para este casoc) La producción para los años: 2005 hasta el 2015.d) Realizar la gráfica con los datos del literal C.

III. La ecuación de la recta cuando se conoce la pendiente(A) y el valor de un punto P. Aplicaciones

3. Se conoce que el incremento en una empresa es de 64 toneladas por año; si en el año 2010 la producciónes de 7300 toneladas: Hallar

a) La ecuación de función linealb) La producción para los años de 2008 hasta el 2016c) La gráfica para este caso.

4. Se conoce el incremento de una población en una región X es de 57 personas por año; además en el año2009 la población es de 12500 hb: Hallar

a) La ecuación de la función lineal.b) La población para los años de 2007 hasta el 2016c) La gráfica para este caso.

5. La producción de papa en el año 2008 fue de 150.000 toneladas, en el año 2015 fue de 198.000toneladas; encontrar:

a) La ecuación que representa a este casob) La producción para los años 2006, 2007, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016c) La gráfica, que representa

6. En una población Z, en año 2009 los nacimientos de niños fueron de 18950 y en el año de 2012 el númerode niños nacidos fue de 15950. Hallar

a) La ecuación que representa a este casob) En número de nacimientos para los años 2006, 2007, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 1016c) La gráfica que representad) Qué puede concluir?

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SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS

Suponiendo que se tiene dos ecuaciones como las siguientes; se debe analizar sus coeficientes y se puedeencontrar tres aspectos muy importantes que son:

El sistema tiene solución única: En este caso las dos rectas se cortan en un punto, llamado punto deintersección.

No tiene solución: En este caso las rectas son paralelas entre sí; por lo tanto no se cortan Tiene más de una solución: Cuando las dos rectas están superpuestas entre sí.

aX + bY = c 1

dX + eY = f 2

a)eb

da Entonces tiene solución única

b)eb

da

fc Entonces no tiene solución

c)eb

da

fc Entonces tiene más de una solución

Al buscar la solución de un sistema de dos ecuaciones lineales se debe tener en cuenta que:

Es importante insistir en que la solución de un sistema es una pareja de valores. Es decir la solución son dosnúmeros reales, uno de ellos es el valor de una de las incógnitas (la 'X' en la mayoría de los ejercicios) y elotro el valor de la otra (normalmente la 'Y'). Es un error muy frecuente el que alumnos como vosotros den porterminado el ejercicio al encontrar el valor de la primera incógnita.

Cada uno de los métodos que vamos a ver a continuación debe dar el mismo resultado aplicado al mismosistema. Si no es así es que hay algún error en el proceso, por lo tanto se debe buscar el error.

MÉTODOS

a) Método de igualaciónb) Método de sustituciónc) Método de reducción.d) Método gráfico.e) Método de determinantes

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MÉTODO DE IGUALACIÓN. El método de igualación se puede entender como un caso particular delmétodo de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación seigualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.

Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnitaY en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:

X322Y

31X4Y

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmarque las partes derechas también son iguales entre sí.

5X13X6514XX)322(231X4X322Y

Una vez obtenido el valor de la incógnita X, se substituye su valor en una de las ecuaciones originales, y seobtiene el valor de la Y.

La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para despejar X después deaveriguar el valor de la Y.

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN. El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuacionescualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla enotra ecuación por su valor.

En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalenteen todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema conuna ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este métodoreiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:

22Y3X 1Y3-4X

En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita Y por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nosfacilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.

X322Y

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita Y en la otra ecuación, para así obtener unaecuación donde la única incógnita sea la X.

5=X51365X6513X1-66-X1319X66-4X1X)322(3-4X

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Al resolver la ecuación obtenemos el resultado X = 5, y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor enalguna de las ecuaciones originales obtendremos Y = 7, con lo que el sistema queda ya resuelto.

MÉTODO DE REDUCCIÓN. Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales,siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñadopara sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones(generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una mismaincógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuacionesproduciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con unasola incógnita, donde el método de resolución es simple.

Por ejemplo, en el sistema:

53Y2X 46Y5X

No tenemos más que multiplicar la primera ecuación por -2 para poder cancelar la incógnita Y. Al multiplicar,dicha ecuación nos queda así:

-106Y-X4)53Y2(2X-

Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde laincógnita Y ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incógnita Y:

6X46Y5X-106Y-X4

6X

El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita X en cualquiera de las ecuacionesdonde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de Y es igual a:

317Y

MÉTODO GRÁFICO. Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema. Elmétodo (manualmente aplicado) solo resulta eficiente en el plano cartesiano, es decir para un espacio dedimensión 2.

El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resuelve en lossiguientes pasos:

1. Se despeja la incógnita (Y) en ambas ecuaciones.

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2. Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo la tabla de valorescorrespondientes.

3. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.4. En este último paso hay tres posibilidades: Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas

(X,Y). "Sistema compatible determinado". Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas

coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. «Sistema compatibleindeterminado».

Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución.

EJEMPLO. Para resolver un sistema de ecuaciones por el método gráfico debemos del sistema:+ =− + =Debemos seguir las siguientes etapas:

Primero, se despeja la incógnita y para escribirlo en la forma de una ecuación principal, como sigue:∶ = – +∶ = –Segundo. Para trazar las rectas, se asignan dos valores distintos a X, Y se calcula el correspondiente valor deY, en cada caso.

Y = –3X + 4

X -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6Y 13 10 7 4 1 -2 -5 -8 -11 14

Y = 2X – 1

X -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6Y -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9 11

Tercero. Se marcan estos los puntos en el plano cartesiano. Luego, se traza la recta que pasa por estospuntos, y se repite el procedimiento para la otra ecuación.

En este caso, en la primera ecuación,

Si X = 0, entonces Y = 4, esto corresponde al punto A(0, 4).Si X = 2, entonces Y = –2, que corresponde al punto B(2,–2).

De la misma manera, en la segunda ecuación,

Si X = 0, entonces Y = –1; esto corresponde al punto C(0, –1).

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Si X = 2, entonces Y = 3, que corresponde al punto D(2, 3).

Con esto se pueden graficar ambas rectas como lo muestra el siguiente grafico

Las rectas se intersecan en el punto E(1, 1).

Entonces, X = 1, Y = 1 es solución del sistema.

EJEMPLO. Para resolver un sistema de ecuaciones por el método gráfico:

Despejamos y en las dos ecuaciones. + = → = −− = → = –a) Dando valores a x, formamos una tabla de valores para cada una de las dos ecuaciones.

Y = 6 – X

X -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6Y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Y = X – 2

X -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6Y -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

b) Representamos estos puntos sobre un sistema de ejes.

Puede ocurrir uno de los siguientes casos:

Si las rectas no se cortan, es decir, son paralelas, el sistema es incompatible, no tiene solución.

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Si las rectas se cortan en un punto, el sistema tiene solución única. Decimos que es compatibledeterminado.

Si las dos rectas coinciden, esto es, son la misma, el sistema tiene infinitas soluciones. Es un sistemacompatible indeterminado.

En nuestro caso, las rectas se cortan en el punto (4, 2). La solución del sistema es X = 4 e Y = 2.

MÉTODO DE DETERMINANTES: para

bdaebfce

edbaefbc

X

bdaecdaf

edbafdca

Y

Como ejemplo vamos a resolver el sistema:+ =− + =Calculamos primero la X:

aX + bY = cdX + eY = f

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236

12410

)1(12.14.12.5

21-11

2415

X

Ahora calculamos la Y:

339

1254

)1(12.1)1(54.1

21-11

41-51

Y

Con lo que tenemos podemos decir que la solución al sistema, es: X = 2, Y = 3

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS


Utilizando dos de los métodos anteriores hallar la solución del sistema de ecuaciones; identificando si tienesolución única, no tiene solución o tiene múltiples soluciones para los siguientes casos

X+6Y=277X-3Y=9

3X-2Y=-25X+8Y=-60

9X+16Y=74Y-3X=0

14X-11Y=-2913Y-8X=30

15X-11Y=-87-12X-5Y=-4

6X-18Y=-8524X-5Y=-5

6X-5Y=-94X+3Y=13

7X-15Y=1-1X-6Y=8

3X-4Y=4111X+6Y=47

9X+11Y=-146X-5Y=-34

10X-3Y=362X+5Y=-4

11X-9Y=213X-15Y=-2

18X+5Y=-1112X+11Y=31

9X+7Y=-411X-13Y=-48

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1X-1Y=11X+1Y=7

1X-2Y=102X+3Y=-8

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Las ecuaciones de segundo grado son de la forma:

Ax2 + bx + c = 0, con a diferente de 0

1. Identificación de coeficientes:

Al empezar con las ecuaciones de segundo grado, resulta complicado identificar los coeficientes a, b y c. Sinembargo, es muy fácil.

Presta atención a los siguientes EJEMPLOS. En las siguientes ecuaciones de segundo grado identifica loscoeficientes a, b y c:

Las ecuaciones como las a), b), c) y d), se dice que son completas porque ninguno de sus coeficientes escero.

Las ecuaciones como la, e) y la f), se dice que son incompletas porque alguno de sus coeficientes es cero.

(Nota: el coeficiente ' a' nunca puede ser cero pues si lo fuera, la ecuación no sería de segundo grado)

2. Tipos de ecuaciones de segundo grado:

Una ecuación de segundo grado puede ser completa o incompleta. En el siguiente cuadro puede verseclaramente la clasificación de ecuaciones de segundo grado.

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Vamos a empezar por resolver las ecuaciones de segundo grado incompletas. Los métodos de resolución sondistintos según que sea b=0 ó c=0.

3. Resolución de la ecuación incompleta

3.1 La ecuación aX2 + c = 0. Para resolver:

1. Despejamos X2

2. Tomamos la raíz cuadrada de ambos miembros.

3.2 La ecuación aX2 + bX = 0. Para resolver:

1. Extraemos factor común2. Igualamos a cero cada factor.

Veamos ahora casos concretos de resolución de ecuaciones de los dos tipos.

EJEMPLO:

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:

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4. Resolución de la ecuación completa

Para hallar el valor de X que satisface la igualdad, usamos una fórmula cuya justificación no vamos a ver.Nuestro interés es sólo comprobar que la fórmula funciona:

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Esta fórmula parece complicada pero el uso nos hará ver que no lo es tanto.

Sobre la fórmula es preciso hacer algunas apreciaciones:

1. En la fórmula aparece el término ' – b'. Esto significa que se cambia el signo del coeficiente b. No cambiareste signo es uno de los errores más frecuentes al aplicar esta fórmula.

2. En la fórmula aparece el símbolo '±'. Quizá sea la primera vez que ves este símbolo. Esto significa que setoman los dos valores de la raíz, el positivo y el negativo.

En vez de escribir dos veces la misma expresión una con signo más y otra con signo menos, se escribe asípara economizar. Para que lo veas más claro, escribiremos las dos soluciones:

3. Número de soluciones: Según que la expresión que está dentro de la raíz sea mayor que cero, igual acero o menor que cero, se distinguen tres casos. La expresión de dentro de la raíz 'b2 – 4ac' se llamadiscriminante de la ecuación. De esta forma, tenemos:

Si b2 – 4ac > 0, entonces la ecuación tiene dos soluciones:

acabbX

2..42

1

a

cabbX2

..42

1

Si b2 – 4ac = 0, solo hay una solución:abXX221

Si b2 – 4ac < 0, no es posible calcular la raíz cuadrada acb 42 el radicando es negativo

Veamos ahora EJEMPLOS de resolución de ecuaciones completas:

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:

a) X2 – 4X + 3 = 0

SOLUCION:

b) X2 – 6X + 9 = 0

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SOLUCION:

c) X2 + X +1 = 0

SOLUCION:

d) 4X2 + 4X + 1 = 0

SOLUCION:

e) 6X2 –X –1 = 0

SOLUCION:

f) 2X2 –3X + 3 = 0

SOLUCION:

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SOLUCIONA EJERCICIOS JUSTIFICANDO SUS RESPUESTAS

DESIGUALDADES CON UNA VARIABLE

Usamos los símbolos de una desigualdad son: <, >, ≤, ≥; para representar la idea de que dos cantidades NOson iguales; estos leen:

a) Menor que,b) Mayor que,c) Menor o igual que,d) Mayor o igual que.

Estas expresiones se conocen como inecuaciones o desigualdades. Las inecuaciones o desigualdades algebraicas, contienen una o más variables. Resolver una desigualdad implica encontrar TODAS sus soluciones. El conjunto solución contiene todos los valores que satisfacen la desigualdad.

EJEMPLO. Hallar la solución para la siguiente desigualdad. 2X + 5 > 11

Si se sustituye X con el valor 5,la inecuación lee 2(5) + 5 > 11

Simplifica a 15 > 11,que es un enunciado verdadero; este resultado es una solución de la desigualdad.

El valor encontrado para X = 5, el resultado es 15 > 11, no es único, existen valores para X que se puede

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cumplir o no la desigualdad

Si se sustituye X con el valor 2, la inecuación lee 2(2) + 5 > 11, su resultado es 9 > 11; este resultado nocumple con la condición y así, podemos encontrar una gran cantidad de valores para X que cumplen y no.

Para hallar los diferentes valores de X que debe cumplir con la condición se debe resolver la desigualdad:

2X + 5 > 112X > 11 – 5

2X > 6

36>X

X>2

Este resultado significa que se cumple con la condición únicamente para los valores de X mayores a 2. Surepresentación gráfica es la siguiente:

La solución va desde los valores mayores que 2 hasta el infinito. (2, ∞).

Soluciones y desigualdades

Una desigualdad puede tener una infinidad de soluciones.

Por ejemplo,el conjunto de todas las soluciones de la desigualdad 2 < X < 5 consiste de todos los númerosreales entre 2 y 5,sin incluir ni el 2 ni el 5.

Llamamos a este conjunto un intervalo abier to y lo denotamos (2,5).

La gráfica del intervalo abierto (2,5) es el conjunto de todos los puntos en la recta numérica que yacen entreX= 2 y X = 5,sin incluir los extremos.

Ilustramos:

Intervalos

Las soluciones de la desigualdad 2 ≤ X ≤ 5

Incluyen X = 2 y X = 5 ,y se denotan [2,5] ,un intervalo cerrado.

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Aquí se muestra la gráfica de este intervalo cerrado

Tipos de intervalos

La tabla muestra otros tipos de desigualdades,que consideraremos:

INTERVALO DESIGUALDAD GRAFICA

1. (a, b) a< X <b

2. [a, b] a≤ X ≤b

3. [a, b) a≤ X <b

4. (a, b] a< X ≤b


Resuelva las siguientes desigualdades lineales y represente el conjunto solución en notación de intervalo ygráficamente.

1) 512X 2) X-21X2 3) 4X34 4) 4X-5X)3(2 5) X)-4(11)-X(3 6) 2X314 7) 52X)-3(32

8)231X

21

9) 4X)-(121

10) X5233-X

11) X)3(2531-X4

12)2X52X-

31

13)232-X

23

14) 5X2312

15) 421-X35

16) 32X311

17)2X5

3X

41

18)24X-22X5

19) X2231-X6

20) 151X37 21) 51X2 22) 2XX21

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23) -52-X1-X3 24) 4-3X2-X1

25) 3X1-X3X2

LA PARABOLA

Ya hemos visto que una parábola es una función cuya fórmula es una ecuación de segundo grado:

Y =aX2 + bx + c

Eje de simetría: en general, un eje de simetría de una función ode una figura cualquiera es una recta que divide a la figura endos partes iguales de manera que si doblamos el papel por dicharecta, las dos partes de la figura se superponen. Es decir, el ejede simetría actúa como un espejo.

Observa la imagen adjunta (es un dibujo de Escher) y marcaalgún eje de simetría.

En una parábola, el eje de simetría es la recta vertical que laparte en dos. En el eje, distinguimos el vértice de la parábolaque es el punto mínimo (o máximo)

CLASES DE PARABOLAS

PARÁBOLAS DE LA FORMA y = ax2 + c (no hay término en x, b = 0)

TALLER:

a) Observa las parábolas del dibujo, halla la ecuación, el vértice y eleje de simetría:

b) En los mismos ejes, dibuja y = 2x2 , y = 2x2 + 3 ¿Cuál será el ejede simetría de estas parábolas? ¿Y el vértice?

c) En una parábola de la forma y = ax2 + c ¿Cuál será el eje desimetría y el vértice?

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PARÁBOLAS DE LA FORMA y = (x+p)2

TALLER:

Repite lo mismo (ecuación, eje y vértice) en las parábolas deldibujo

Dibuja en estos ejes Y = (x + 2)2 y halla el vértice y el eje desimetría

¿Cuál será el eje de simetría y el vértice de la parábola Y =(x + p)2

PARÁBOLAS EN GENERAL y = ax2 + bx + c

En estos casos, la obtención de la ecuación a partir de lagráfica es más complicada. Encuentra el eje de simetría y elvértice.

Obtención del vértice:

Hay un truco para obtener el vértice si te dan la ecuación dela parábola y = ax2 + bx + c.

Haces x = -b/2a y sustituyes en la ecuación, obteniendo unpunto que será el vértice.

EJEMPLO. Si la parábola es Y = X2 - 4X - 5,

El vértice será X = -(-4)/2·1= 2 ySustituyendo Y = 22 - 4·2 - 5 = - 9Por tanto el vértice es el punto (2,-9)

Hallar el vértice, el eje de simetría y hacer su respectiva representación:

a) Y = X2 + 6X - 4b) Y = 2X2 - 8X + 2

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CORTES DE UNA FUNCIÓN CON LOS EJES DE COORDENADAS

TALLER. Representa las siguientes rectas y parábolas y halla, gráficamente, los puntos de corte con los ejesde coordenadas.

a) Y = 2X - 6b) Y = X2 - 4c) Y = -4X + 8d) Y = 2X2 - 8e) Y = X2 + 6X - 4f) Y = 2X + 1g) Y = X2 + 9h) Y = (X - 3)2

i) Y = X2 - 2X - 3j) Y = 3X + 2

k) Y = X2 + 3X + 2l) Y = X2 + X + 1m) Y = 2X2 + 2n) Y = 2X2 – 2o) Y = - 2X2 + 2p) Y = - 2X2 - 2q) Y= - X2 + 3X + 4r) Y=X2 + 3X + 4s) Y=X2 - 6X + 8

Para encontrar los cortes con los ejes de las funciones anteriores (analíticamente), se hace x = 0 e y = 0.

TALLER. CORTES DE UNA RECTA Y UNA PARÁBOLA

Hacer las gráficas para encontrar los respectivos cortes de:

a) Y = X2 + 1 y la recta Y = -X + 1b) Y = X2 + 3 e Y =1c) Y =X2 + 3 e Y =3d) Y = X2 e Y = 4

CORTES DE DOS PARÁBOLAS

¿Cuántos cortes tendrán dos parábolas? Trata de poner ejemplos de todas las posibilidades que se teocurran.

TALLER: Hallar los puntos de corte de las parábolas

1) Y = X2 + 9 e Y = 2X2

2) Y = X2 + 9 e Y = X2

3) Y = X2 - 3 e Y = 5X2 – 34) Y = X2 - 6X + 1 e Y = X2 - 2X - 3,

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LA HIPERBOLA

Una hipérbola es una sección cónica, una curva abierta de dosramas obtenida cortando un cono recto por un plano oblicuo aleje de simetría, y con ángulo menor que el de la generatrizrespecto del eje de revolución.

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un planotales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias ados puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre losvértices, la cual es una constante positiva.

Según la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas porMenecmo, en su estudio del problema de la duplicación del cubo,

donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cuales confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes.

Sin embargo, el primero en usar el término hipérbola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas,considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de lastangentes a secciones cónicas.

TIPOS DE HIPERBOLAS

HIPERBOLA DE LA FORMA:XKf(x)Y

Dentro de este tipo tenemos las funciones de proporcionalidad inversa sus graficas pueden ser de la siguienteforma:

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Son las más sencillas de construir y representar:Sus asíntotas son los ejes.El centro de la hipérbola, es el punto donde se cortan las asíntotas, en este caso es el origen.

EJEMPLO: Al graficar la expresión siguiente se obtiene la gráfica que se presenta a continuación:

X2f(x)Y

A partir de estas hipérbolas se obtienen otras por traslación.

HIERPOBOLA DE LA FORMA: aXKf(x)Y

El centro de la hipérbola es: ( 0 , a )Para este caso se pueden presentar dos casos que depende del signo que tome a, así:

S i a > 0, la gráfica se desplaza hacia arriba a unidades.

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EJEMPLO: Asignando valores positivo y negativos a la expresión siguiente se obtiene la correspondiente:

3X2f(x)Y

El centro de la hipérbola es: ( 0 , 3 )

Si a < 0; se la gráfica desplaza hacia abajo a unidades:

EJEMPLO: Asignando valores tanto positivos como negativos a la variable X se obtendrá la graficacorrespondiente:

3X2f(x)Y

El centro de la hipérbola es: ( 0 , - 3 )

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HIPERBOLA DE LA FORMA:bXKf(x)Y

El centro de la hipérbola es: (- b , 0 )

En este caso también se pueden presentar dos casos:

Si b > 0, la gráfica se desplaza a la izquierda b unidades.

EJEMPLO: Asignando valores tanto positivos como negativos a la variable X se obtendrá la gráficacorrespondiente:

3X2f(x)Y

El centro de la hipérbola es: ( - 3 , 0 )

Si b < 0, se desplaza a la derecha b unidades.


3X2f(x)Y

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El centro de la hipérbola es: ( 3 , 0 )

HIPERBOLA DE LA FORMA: abXKf(x)Y

El centro de la hipérbola es: ( - b , a )


43X2f(x)Y

El centro de la hipérbola es: ( 3 , 4 ).

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HIPÉRBOLA DE LA FORMA:dcXbaXf(x)Y

Para estos casos hay necesidad de dividir y expresarlo de la siguiente manera:

abXKf(x)Y

Su representación gráfica es una hipérbola de centro ( - b ,a ) y de asíntotas paralelas a los ejes.

EJEMPLO: Si obtengo la siguiente expresión, debo transformar en otra realizando la división.

1X53Xf(x)Y

Al hacer la división se puede expresar de otra forma de tal manera que permita con facilidad encontrar elcentro correspondiente dado por ( - b ,a )

EJEMPLO: Ahora si asignamos valores tanto positivos como negativos a la variable X y realizando lasoperaciones se obtendrá la gráfica correspondiente:

31X2f(x)Y

El centro de la hipérbola es: ( - 1 , 3 ).

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Elaborar las siguientes gráficas, identificar las asíntotas y el centro de la hipérbola para los siguientes casos:

1)X5f(x)Y

2)X4f(x)Y

3) 2X6f(x)Y

4) 2X6f(x)Y

5) 3X2f(x)Y

6) 3X2f(x)Y

7)2X8f(x)Y

8)3X2f(x)Y

9)3X2f(x)Y

10) 32X2f(x)Y

11) 32-X2f(x)Y

12) 43X2f(x)Y

13)52X14Xf(x)Y

14) 54X2f(x)Y

15)1X53Xf(x)Y

16)62X43Xf(x)Y

17)4X62Xf(x)Y

18) 31X2f(x)Y

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Concepto

Al bombardear un átomo de uranio con neutrones, su núcleo se divide en dos núcleos más livianos,

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liberando energía y 3 neutrones. Bajo ciertas condiciones, es decir, si existe una masa crítica de uranio, seinicia una reacción en cadena: cada uno de los neutrones liberados choca al núcleo de otro átomo, al quedividen en dos núcleos, liberando en cada colisión gran cantidad de energía y tres neutrones, y asísucesivamente, como muestra la figura.

Si construimos una tabla de valores para la función que relaciona la cantidad de neutrones liberados encada choque, con el número de choque y al choque, o momento inicial, con el neutrón que bombardea elprimer átomo y lo graficamos, obtenemos:

X: Nº de choque Y= Cantidad de neutrones

0 1 = 30

1 3 = 31

2 9 = 32

3 27 = 33

4 81 = 34

. .X 3X

Construir la gráfica.

Una función es exponencial si se expresa de la forma Y = k aX . Siendo a un número real positivo distintode 1 y k un número real distinto de cero (k ≠ 0).a se denomina base y k, coeficiente de la funciónexponencial proviene de que la variable figura en el exponente.

Analizaremos ahora la función Y= aX, donde (k = 1) Para ello graficaremos la siguiente función: Y=2X

X Y=2X

-4 2-4 = 1/16-3 2-3 = 1/8-2 2-2 = 1/4-1 2-1 = 1/20 20 = 11 21 = 22 22 = 43 23 = 8

Graficando se obtiene una función que es creciente y pasa por el punto (0,1), que es la ordenada al origen.

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Al tener asíntota en el eje de las abscisas, la función no tiene raíces.

Qué pasará ahora con la función Y = 2-X

X Y = 2 -X

-4 2-(-4) = 16-3 2-(-3) = 8-2 2-(-2) = 4-1 2-(-1)1 = 20 20 = 11 2 - 1 = 1/22 2 - 2 = 1/43 2 - 3 = 1/8

Como puedes observar, la función ahora es decreciente, pero manteniéndose las mismas característicasdel dominio, imagen, ordenada al origen y asíntota horizontal.

Es decir que ambas son simétricas con respecto al eje de las ordenadas

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Analizar el comportamiento de las gráficas: Y = 2X, Y = 3X,x

Y

23

Graficando se obtiene:

X Y = 2X Y = 3Xx

Y

23

-3 2-3 = 1/8 3-3 = 1/27

278

23 3

-2 2-2 = 1/4 3-2 = 1/9

94

23 2

-1 2-1 = 1/2 3-1 = 1/3

32

23 1

0 20 = 1 30 = 11

23 0

1 2 1 = 2 3 1 = 3

23

23 1

2 2 2 = 4 3 2 = 9

49

23 2

3 2 3 = 8 3 3 = 27

827

23 3

MATEMATICAS 1

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Los gráficos de las funciones de la forma Y= aX , con a > 1 tienen características comunes:

Las curvas tienen la misma ordenada al origen y es el punto (0; 1). Las curvas son crecientes, y crecen tanto más rápido cuanto mayor sea la base. La curva no corta al eje de las abscisas, o sea que tiene la misma asíntota y esta es y = 0

Que consideraciones podemos hacer si la base está comprendida entre 0 y 1, es decir 0 < a < 1 .

Veamos los siguientes gráficos

Los gráficos de las funciones de la forma Y = aX, con 0 < a < 1 tienen características comunes: Las curvas tienen la misma ordenada al origen y es el punto (0; 1). Las curvas son decrecientes, y decrecen tanto más rápido cuanto menor sea la base. La curva no corta al eje de las abscisas, o sea que tiene la misma asíntota y esta es y = 0

Gráfico de funciones de la forma Y = k⋅ aXcon a > 1 y k > 0

Estudiaremos que influencia tiene el coeficiente de la función exponencial (k), en la función Y = 2x , conk igual a: 5; 2; ½. Para ello haremos la siguiente tabla

X Y = 2X Y = 5 * 2X Y = 2 * 2X X221=Y

-3 2-3 = 1/8 5/8 2/8 1/16

-2 2-2 = 1/4 5/4 2/4 1/8

-1 2-1 = 1/2 5/2 2/2 1/4

MATEMATICAS 1

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0 20 = 1 5 2 1/2

1 2 1 = 2 10 4 1

2 2 2 = 4 20 8 2

3 2 3 = 8 40 16 4

Graficando, obtenemos

Si analizamos este gráfico, veremos que Las curvas cortan al eje de las ordenadas en el punto (0; k ), o sea es la ordenada al origen Las curvas son decrecientes, y decrecen tanto más rápido cuanto menor sea la base. La variable y toma todos los valores positivos, Las curvas no cortan al eje de las abscisas, es decir no tienen raíces reales; cuando los valores

positivos de x aumentan, los correspondientes valores de y se acercan a cero, pero no alcanzannunca ese valor.

TALLER

Analizar el siguiente caso; las funciones exponenciales y hacer sus gráficos para Y = k a X con k < 0,cuando k toma los valores de: -1, -2 y -4.

Analizar la función exponencial de la forma Y = a(X-C), por medio de las siguientes funcionesexponenciales: Y = 2(X + 2), Y = 2(X - 1), y su función genérica Y = 2X.

La función exponencial de la forma Y= aX + b, con su función genérica Y = aX, por medio de lassiguientesfuncionesexponenciales: Y = 2X + 3; Y = 2X - 1, y su función genérica Y = 2X.

MATEMATICAS 1

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Hacer las gráficas para los siguientes casos:

1) Y = 2Xx

Y

21

2) Y = 3Xx

Y

31

3) Y = 4Xx

Y

41

4) Y = 10Xx

Y

101

ECUACIONES EXPONENCIALES

Determina el valor de x en las siguientes ecuaciones exponenciales:

1. ax - a7 = 02. a2x = a8

3. ax+3 - a8 = 04. ax-5 = a5. b7-x = b3

6. b3-x = b6

7. 3x = 18. 2x-1 = 19. 43-x = 410. p5-x = p11. qx+1 = q12. m8x-5 = m5x+7

13. cx · cx-3 = c9

14. m3x = m18

15. a5x-3 = a14+5x · a8x+7

16. bx-1 · bx+1 = b8

17. (m5)x = m15

18. (ax-1)x-7 = (ax+1)x+3

19. (a5x+1)5 = (a7x-1)7 · (ax-6)9

20. 4x = 6421. 5x = 12522. 9x = 8123. 3-x = 924. 6-x = 125. 6x = 1/3626. 5x = 1/12527. 2x+1 = 0,25

28. 2x-3 = 1/829. 8)

41( x

30. 34371 x

31. 3241 x

32. 3264 x1

33. 816 x2

34. 216 x2

35. 927 x2

36.x8

5x

81x

37. 5x3 3x5 aa

38. 5x24 5x13 aa

39. 6 7x3 5x3 aa

40. 4 5x3 3x2 bb

41. 6 436 3x74 5x a:aa

42. 3xx2x2

238·

43

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43. x13x2

331

44. (25x-3)6 : (1252-3x)2 = 625

45.812·

41 4x

1x3

46. 813 5x2

47. (2x)x = 1648.

2713

4xx

49. (5x)x-2 = 25x

50. 324x

51.16123 x

52. 102x-1 – 10x = 053. 0366 2x32x3

54. (0,25)x+1 = (0,125)x-1

Respuestas:

1) 72) 43) 54) 65) 46) –37) 08) 19) 210) 411) 012) 413) 614) 615) –316) 417) 318) 1/319) 2

20) 321) 322) 223) –224) 025) –226) –327) –328) 029) –3/230) –331) –5/232) 6/533) 8/334) 835) 336) 1437) 938) –5

39) 1040) 3/541) 742) –343) 244) 26/1545) –3/546) 347) 248) 3 y 149) 0 y 450) 5/451) –1252) 153) 4/954) 5

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

A las operaciones, ya conocidas, de Adición, Sustracción, Multiplicación, División, Potenciación y Radicación,añadimos una nueva que llamamos Logaritmación. Los Logaritmos fueron introducidos en las matemáticascon el propósito de facilitar, simplificar o incluso, hacer posible complicados cálculos numéricos. UtilizandoLogaritmos podemos convertir: productos en sumas, cocientes en restas, potencias en productos y raíces encocientes.

Definición: Se llama Logaritmo en base a del número x al exponente b al que hay que elevar la base paraobtener dicho número; se expresa de la siguiente manera:

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Logax = b <=> ab = x

Que se lee: "el Logaritmo en base a del número x es b”, o también: "el número b se llama Logaritmo delnúmero x respecto de la base a “. Como podemos ver, un Logaritmo no es otra cosa que un exponente, hechoque no debemos olvidar cuando trabajemos con Logaritmos. La constante a es un número real positivo distintode 1, y se denomina base del sistema de Logaritmos. La potencia ab para cualquier valor real de b solo tienesentido si a > 0.

Es la función inversa de la función exponencial. La operación Logaritmación (extracción de Logaritmos, otomar Logaritmos) es siempre posible en el campo real cuando tanto la base a del Logaritmo como el númerox son positivos, (siendo, además, a distinto de 1)

PROCESO DE CÁLCULO DE UN LOGARTIMO

Al contrario de las ecuaciones de la actividad anterior, en este caso no es posible poner 5 como potenciaentera de 2, por este motivo no es posible calcular directamente el valor de x. A continuación, se calcula elvalor de x de una manera, pero no es la única forma de hacerlo.

MATEMATICAS 1

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En primer lugar, se sitúa la potencia 2x = 5 dentro de las potencias enteras de 2, es decir:

... 2-2 2-1 20 21 22 2x 23 24 ...

... 0’25 0’5 1 2 4 5? 8 16 ...

Esta tabla proporciona una primera aproximación a la respuesta: x tiene que estar entre 2 y 3 puesto que 5 loestá entre 4 y 8. Por lo tanto, se tendrá que buscar las cifras decimales a, b, c, etc del número x = 2’abcdef.....Para encontrar las cifras decimales, una opción es ir probando distintas cifras hasta dar con la buscada. Paraobtener la cifra a; se puede, por ejemplo, comenzar a probar a partir de 2’5:

22.5 = 5.656854... ;22.4 = 5.278031... ;22.3 = 4.924577...

Ya está, la cifra a tiene que ser 3. Claro, si 22.3 es menor que 5 pero 22.4 es mayor que 5 habrá que deducirque x vale 2.3bcdef...

Ahora para calcular la cifra b, se procede de modo anáLogo:

22.31 = 4.958830...;22.32 = 4.993322...;22.33 = 5.028053...

Por lo tanto, la cifra b es 2. A continuación, se busca la cifra c:

22.321 = 4.998784...;22.322 = 5.000249...

De donde deducimos que la cifra c es 1.

Ya se tiene que x = 2.321...; el procedimiento anterior se puede reiterar las veces que se necesite para Lograrla precisión que se desee alcanzar.

LA PRESION ATMOSFERICA

La presión atmosférica disminuye a medida que nos alejamos de la superficie terrestre. Al nivel del mar es de1 atmósfera, pero, aproximadamente, por cada kilómetro que se asciende su valor es 0.9 veces la existente unkilómetro más abajo.

Forma una tabla de valores que exprese esta situación.

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Altura sobre el nivel del mar (km) Presión atmosférica (atmósferas)Al nivel del mar 1

1 0,92 0.92 = 0,813 0.93 = 0,7294 0.94 = 0,6565 0.95 = 0,5906 0.96 = 0,531... ...x 0.9x

Veamos ahora el problema inverso: ¿A qué altura se encontrará un globo sonda que marca en un barómetro0.325 atmósferas?

Si representamos por x la altura, tendremos que resolver la ecuación: 0.325 = 0.9x.

Para obtener una solución aproximada podemos prolongar la tabla y vemos que el globo se encontrará entre10 y 11 km sobre el nivel del mar.

Altura sobre el nivel del mar (km) Presión atmosférica (atmósferas)8 0.98 = 0.430479 0.99 = 0.3874210 0.910 = 0.3486811 0.911 = 0.3138112 0.912 = 0.28243

El valor exacto de x se define como el Logaritmo en base 0.9 de 0.325, lo que escribimos del siguiente modo:

25.0log 9.0X

De lo anterior se deduce que: xx 9.0325.0325.0log 9.0

Nota. La extraña palabra Logaritmo fue introducida a finales del siglo XVI por el matemático inglés JohnNaiper (1550 - 1617).

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Cuando la base a = 10, se llaman Logaritmos decimales y se expresan simplemente por Log en vez deLog10

Cuando la base” a = número e”, se llaman Logaritmos neperianos y se expresan simplemente por “ln” envez de Loge

PROPIEDADES

LOGARITMO DE LA BASE A UNA POTENCIA. Es igual al exponente o potencia.

EL LOGARITMO DE LA BASE. Es siempre 1:

EL LOGARITMO DE 1. Es 0 en cualquier base.

LOGARITMO DE UN PRODUCTO. Es igual a la suma de los Logaritmos de los factores.

EJEMPLOS:

a) Log 50 + Log 20 = Log (50 · 20) = Log 1000 = 3.b) 875061,3477121,2397940,1300log25log)300·25log( c) xx log8log8log .

d) )3log(3)3)(3(log

39log)3log()9log(

22

xxxx

xxxx

LOGARTIMO DE UN COCIENTE. Es igual al Logaritmo del numerador menos el Logaritmo del denominador.

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EJEMPLOS:

a) 602060,1301030,2698970,0200log5log2005log

b) 250log82000log8log2000log

c) 12log35log1235log 2

2

xxxxxx

d) )3log(3)3)(3(log

39log3log9log

22

xxxx

xxxx

LOGARITMO DE UNA POTENCIA. Es igual al exponente por el Logaritmo de la base.

EJEMPLOS:

a) Log 128 = 8 · Log 12 = 8 · 1,079181 = 8,633448.b) 892790,478125log5log5log7 7 .c) xx log8log 8 ; 8log8log xx

d) 2log52log 252 xx

LOGARTIMO DE UNA RAIZ n. Es igual al Logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz.

EJEMPLO:

a) 5Log =b) 18Log =c) 32Log =d) 2Log =e) 1000Log =

LOGARITMOS DECIMALES

Se llaman Logaritmos decimales o vulgares a los Logaritmos que tienen por base el número 10. Al ser muyhabituales es frecuente no escribir la base.

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Ejemplo:

Logaritmo cantidadesdecimales

Logaritmo deuna potencia

Resultado

Log 1 = Log 100 = 0Log 10 = Log 101 = 1Log 100 = Log 102 = 2Log 1000 = Log 103 = 3Log 10000 = Log 104 = 4

=Log 10000….n = Log 10n = n

LOGARITMOS NEPERIANOS

Se llaman Logaritmos neperianos, naturales o hiperbólicos a los Logaritmos que tienen por base el número e =2.718281828...

NLoge eLogNLog

b

b LnX Resultado

5Log e eLog5Log

01

01 Ln5 1.609438

01Loge eLog01Log

01

01 Ln10 2.302585

51Loge eLog51Log

01

01 Ln15 2.708050

02Log e eLog02Log

01

01 Ln20 2.995732

52Log e eLog25Log

01

01 Ln25 3.218876

03Log e eLog03Log

01

01 Ln30 3.41197

53Log e eLog53Log

01

01 Ln35 3.555348

CAMBIO DE BASE

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Dónde: bd es la base deseada; normalmente las más usadas son: la base 10 o la base e; de la cualdisponemos en las calculadoras científicas.

Como en las calculadoras científicas las teclas que hay para calcular Logaritmos son de base 10 o base elnúmero e, la fórmula que nos permita calcular cualquier Logaritmo con la calculadora:

En nuestro caso cambiaremos a base 10 ó e:

EJEMPLO

321928.230103.069897.0

2log5log52log ó

321928.26931471.06094379.1

2ln5ln

52log

ANTILOGARITMO

Es el número que corresponde a un Logaritmo dado. Consiste en el problema inverso al cálculo del Logaritmode un número.

Es decir, consiste en elevar la base al número resultado

EJEMPLO.

a) AntiLog34 = 34 = 81b) AntiLog23 = 23 = 8c) AntiLog3-2 = 3-2 = 1/9d) AntiLog4/53 = (4/5)3 = 64/125

COLOGARITMO

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Se llama coLogaritmo de un número N al Logaritmo de su recíproco.

EJEMPLO:

a) CoLog525 = Log51/25 = -2 ó CoLog525 = -Log525 = -2b) CoLog28 = -Log28 = -3c) CoLog21/8 = -Log21/8 = 3

ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Aquella ecuación en la que la incógnita aparece sometida a la operación de Logaritmación. La igualdad de losLogaritmos de dos expresiones implica la igualdad de ambas (principio en el que se fundamenta la resoluciónde ecuaciones Logarítmicas, también se llama "tomar antiLogaritmos").

Frecuentemente se resuelven aplicando las propiedades de los Logaritmos antes enunciadas, en ordeninverso, simplificando y realizando transformaciones oportunas.

Las ecuaciones Logarítmicas son aquellas en las que la incógnita aparece como la base o el argumentode un Logaritmo. Para resolverlas utilizamos las propiedades de los Logaritmos hasta conseguir que enambos lados de la igualdad nos aparezca un único Logaritmo con la misma base e igualamos losargumentos.

EJEMPLO.

1) Log x + Log 5 = 22) Log x + Log(x + 3) = 2 Log(x + 1)

Soluciones

Log X + Log 5 = 2Log 5X = Log 1025X = 100X = 20

2. Log X + Log(X + 3) = 2 Log(X + 1)

Log X(X + 3) = Log(X + 1)2

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X(X + 3) = (X + 1)2

X2 + 3X = X2 + 2X + 1X = 1

SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Se llaman sistemas de ecuaciones Logarítmicas a los sistemas de ecuaciones en los que la/s incógnita/s estásometida a la operación Logaritmo. Se resuelven como los sistemas ordinarios pero utilizando las propiedadesde los Logaritmos para realizar transformaciones convenientes.

Características:

Para a>1 Los números menores que 1 tienen Logaritmo negativo. Los números mayores que 1 tienenLogaritmo positivo.

Para 0<a<1 Los números menores que 1 tienen Logaritmo positivo. Los números mayores que 1 tienenLogaritmo negativo.

TALLER.

1. Halla el valor de x en las siguientes ecuaciones:a) 3log6 xb) 5,2log5 xc) 2,03log7 xd) 4log xe) ln x = 3,2

f) f) x

321log2

g) g) x8log7h) h) x4log16

[sol] a) 216; b) 55,9; c) 0,226; d) 0,0001; e) 24,53; f) –5; g) 1,0686; h) 1/2

2. Resuelve:a) x140log6 b) 2100log x c) 7x8log 2 d) 16)1x2(log4 2

[sol] a) 2,7580; b)101 ; c) 16; d) 15/2.

3. Utilizando la fórmula del cambio de base, halla:a) Log 2 100b) Log 5 500

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c) Log 8 320.000d) Log 3 0,3

[sol] a) 6,6439; b) 3,8614; c) 6,0959; d)–1,0959 (todos redondeados)

4. Resuelve las ecuaciones:a) 3 + Log (x + 1.000) = 7b) Log (x + 6) 2 · Log (x 3) = 1c) Log (2x + 2) Log (x 3) = 1d) Log (32x – 2 + 7) = 2Log (3x – 1 + 1)

[sol] a) 9000; b) 4; c) 4; d) 2.

5. Representa gráficamente las siguientes funciones. Utiliza calculadora para determinar los paresordenados. Aproxima a las décimas.

a) Y = Log 3xb) Y = Log xc) Y = 4Log x

d) Y =Log2x

e) Y = Log (x+3)f) Y = Log Xg) Y = Log 4Xh) Y = 2Log Xi) Y = Log X2

j) Y = Log X3

k) Y = Ln Xl) Y = Ln 2Xm) Y = 2Ln Xn) Y = Log Xo) Y = Log 4X

p) f)

32logY x

q) g)

41logY x

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4. LIMITES DE EXPRESIONESALGEBRAICAS

CONCEPTO DE LÍMITE.

El primer paso necesario para conseguir descubrir el significado del término que ahora nos ocupa es apostarpor establecer el origen etimológico del mismo. Así, podemos determinar que este se encuentra en el latín, ymás exactamente en el vocablo limes, genitivo de límites, que se puede traducir como “borde o frontera”.

Un límite es una división, ya sea física o simbólica, que marca una separación entre dos territorios o naciones.Por EJEMPLO: “Las autoridades están furiosas porque afirman que el país vecino ha violado el límiteterritorial”, “¿Ves esos árboles? Son el límite de nuestra propiedad, así que no puedes jugar a la pelota másallá”, “El ecuador es una línea imaginaria que divide al planeta a la mitad”.

Las fronteras territoriales, por lo tanto, son límites que marcan la división de dos regiones. Lo habitual es quela noción de frontera refiera a algo concreto (una muralla, un alambrado, etc.), mientras que el límite puede serun accidente geográfico o algo más bien simbólico.

Límite también es el extremo al que se puede llegar desde lo espiritual o lo corporal, o el que alcanza un ciertotiempo: “He vivido una situación límite por culpa de la inacción policial”, “El límite para la entrega de trabajoses el próximo miércoles”, “No puedo seguir caminando, he llegado al límite de mis fuerzas”.

De la misma forma tampoco podemos obviar una expresión que se utiliza mucho a nivel coloquial. Se trata de“al límite”. Con ella lo que quiere manifestarse es que, por EJEMPLO, una persona se encuentra en una

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situación muy complicada que está a punto de desembocar en un auténtica tragedia. Así una oración quepuede ejemplificar dicho significado es la siguiente: “Almudena se encuentra al límite de sus fuerzas, no puedeaguantar ya tanta presión”.

Un límite, por otra parte, puede ser una restricción o una limitación. Puede hablarse de un límite legal, social ode otro tipo. Para la psicología, un límite es una represión que no siempre resulta negativa (“Hay que ponerlímites a este niño”).

En el ámbito de la matemática, por último, un límite es una magnitud fija a la que se acercan de maneraprogresiva los términos que conforman una secuencia infinita de magnitudes. De esta forma puede hablarsedel límite de una función, el límite de una sucesión, etc.

Para la matemática, un límite es una magnitud fija a la que se aproximan cada vez más los términos de unasecuencia infinita de magnitudes tanto por la derecha como por la izquierda

La expresión límite de una función se utiliza en el cálculo diferencial matemático y refiere a la cercanía entreun valor y un punto. Por EJEMPLO: si una función f tiene un límite X en un punto t, quiere decir que el valor def puede ser todo lo cercano a X que se desee, con puntos suficientemente cercanos a t, pero distintos.

En definitiva, una función f con límite X en t quiere decir que dicha función tiende hacia su límite X cerca de t,con f(x) tan cerca de X como sea posible pero haciendo que x sea distinto de t. De todas maneras, la idea decercanía es poco precisa, por lo que una definición formal requiere de más elementos.

PROPIEDADES DE LÍMITES

Sean b, c números reales y n un número entero positivo.

1. Límite de una constante. Es igual a la constante

EJEMPLO.

2. Límite de una variable que tiende a c. Es igual a c.

EJEMPLO;

3. Límite de una potencia para n positivo. Es igual a la potencia calculada en c.

bbcx

lim

44lim5

x

cxcx

lim

5lim5

x

x

nn

cxcx

lim

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EJEMPLO.

4. límite de una constate por una función. Es igual la constante por el límite de la función

EJEMPLO.

5. Límite de la suma o la diferencia de dos funciones. Es igual a la suma o la diferencia de los límites delas funciones

EJEMPLO.

6. límite de un producto de dos funciones. Es igual producto de los límites de las dos funciones

EJEMPLO.

7. Límite del cociente de dos funciones. Es igual al cociente de los límites de las funciones

(K 0)

EJEMPLO.

8. Límite de la potencia de una función. Es igual a la potencia del límite de la función.

EJEMPLO.

nn

xx 5lim

5

Lxfcx

)]([lim Kxgcx

)]([lim

bLxbfcx

))]([lim

Lxfcx

3)](3[lim

KLxgxfcx

)]()([lim

)23(lim)52(lim)]23()52[(lim 3

2

2

2

32

2xxxxxx

xxx

KLxgxfcx

)]()([lim

)23(lim)52(lim)]23()52[(lim 3

2

2

2

32

2xxxxxx

xxx

KL

xgxf

cx

)()(lim

)3(lim

)52(lim

352lim

2

2

2

x

x

xx

x

x

x

nn

cxLxf

)]([lim

3

4

3

4)]52(lim[]52[lim

xx

xx

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9. Límite de la raíz. Es igual evaluada en c, sea n un entero positivo; (si n es par, a≥0)

10. Límite de la raíz enésima de una función. Es igual a la raíz enésima del límite de la función, si n par,entonces L ≥ 0

Lim → ( ) = lim→ ( ) = √ para n positivo

TALLER COMPLEMENTARIO, DESARROLLA LIMITES USANDO PROPIEDADES

a) Lím (3X3 + 4X2 + 2X - 5)X 2

b) Lím (5X4 + 3X3 + 2X2 - 5X + 10)X 3

c) Lím (2X5 + 3X4 - 3X3 - 2X2 + 2)X 0

d) Lím 3X4 + 7XX 2

e) Lím (3X3 + 4X2 + 2X - 5)X 2

f) Lím (2X5 + 3X4 - 3X3 - 2X2 + 2)X 4

g) Lím ( 3x + 4x - 5x + 7x + 8)X 2

h) Lim

54321

1246 xxxxX 2

i) Lím442

XX

X

j) Lím61042

2

2

XX

X

k) Lím552

XX

X

l) Lím7493XX

X

m) Lím1256XX

X

n) Lím5414

XX

X

nn

cxcx

lim

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5. DERIVADACONCEPTO

Del latín derivātus, derivada es un término que puede utilizarse como sustantivo o como adjetivo. En el primercaso, se trata de una noción de la matemática que nombra al valor límite del vínculo entre el aumento delvalor de una función y el aumento de la variable independiente.

La derivada, por lo tanto, representa cómo se modifica una función a medida que su entrada también registraalteraciones. En los casos de las funciones de valores reales de una única variable, la derivada representa, enun cierto punto, el valor de la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en dicho punto.

El nacimiento y uso de las derivadas en el ámbito matemático, aunque tienen su origen en la Antigua Grecia,podemos establecer que hacen aparición como tal gracias a dos figuras históricas muy importantes: elmatemático inglés Isaac Newton y el lógico alemán Gottfried Leibniz.

Y es que los mismos partieron de las teorías y conceptos establecidos por sus antecesores en el tiempo parapoder llevar a cabo sus propias aplicaciones y métodos. Así, por EJEMPLO, Newton descubrió algoritmos,procedió a acometer la reestructuración de lo que son las bases de cálculos y creó su propio método pararealizar el cálculo de las tangentes.

Para la gramática, un vocablo derivado es aquel que se forma a través de una derivación. Este es unprocedimiento de formación de palabras a partir de la indicación de conceptos vinculados de manerasemántica con otros a los cuales se le agregan afijos. Por EJEMPLO: mensajería y mensajero son dos

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vocablos derivados de la palabra mensaje. En el mismo sentido, marítimo, marino, marea, marinero, marejaday maremoto son vocablos derivados de mar.

En este sentido, podemos establecer por tanto que existen dos tipos de palabras en líneas generales. Así, porun lado están las llamadas primitivas, que son aquellas que no proceden de ninguna otra, y por otro lado nostopamos con las derivadas que, como su propio nombre indica, son las que se forman a partir de otrasañadiéndoles prefijos o sufijos de diversa índole.

A nivel químico, un derivado es un producto que se consigue a través de otro. Así puede decirse que lamelaza es un producto líquido derivado de la caña de azúcar, o que la gasolina es una mezcla dehidrocarburos que deriva del petróleo.

En las finanzas, por otra parte, un instrumento derivado (también conocido como derivado financiero) esun producto de tipo financiero que tiene un valor basado en el precio de un recurso diferente (denominadocomo activo subyacente).

DERIVADA DE UNA POTENCIA, SUMA Y RESTA

Una función potencial con exponente real se representa por f(x)= xn y su derivada es:

ƒ΄(x) =nxn-1

Por ejemplo tomemos la función:

f(x) = x3

Lo primero que se debe hacer es "bajar" el exponente de tal forma que éste multiplique a la variable conrespecto a la cual estamos derivando, luego al mismo exponente se le resta la unidad formando uno nuevo,así:

ƒ΄(x) =3x3-1

Quedando finalmente:

ƒ΄(x) =3x2

Derivada de una constante por una función

Cuando una función esté representada por medio de f(x) = cxn, su derivada equivale a ƒ΄(x) =n(cx(n-1)) de lasiguiente manera:

Consideremos la siguiente función: f(x) =8x4, lo primero a hacer es "bajar" al exponente a multiplicar por lavariable y el coeficiente que la acompaña, y de nuevo se halla un nuevo exponente de la misma maneraexplicada anteriormente:

ƒ΄(x) =4(8x4-1)

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Para obtener

ƒ΄(x) =32x3

Cuando una constante acompaña a una variable cuyo exponente es 1 su derivada será el valor de laconstante:

f(x) = 7x

Entonces su derivada con respecto a esta variable será:

ƒ΄(x) =7

Puesto que X0 = 1


a) Y=3X2 - 5X + 7

b) Y=71 X 7 - X

c) Y=5X4 - 7X3 + X - 1

d) Y=31 X3 -

21 X2 + X + 1

e) Y=52 X4 -

25 X-3

f) Y=3X 21

- 31

Xg) Y=2 XXX 74 3

h) Y= 232

125 XXXX

DERIVADA DE UN PRODUCTO

"La derivada de un producto de dos funciones es equivalente a la suma entre el producto de la primera funciónsin derivar y la derivada de la segunda función y el producto de la derivada de la primera función por lasegunda función" Y matemáticamente expresado por la relación (f.g)΄=f΄.g + f.g΄ . Consideremos la siguientefunción como ejemplo:

h(X) = (4X + 2)(3X7 + 2)

Identificamos a f(X) = (4X + 2) y g(X) = (3X7 + 2), utilizando las reglas anteriormente expuestas, vemos que:

f΄(X) = 4 y que g΄(X) = 21X6

Por lo tanto: h΄(X) = 4.(3X7 + 2) + (4X + 2).(21X6)

Simplificando y organizando el producto obtenido nos queda:

h΄(X) = 84X7 + 12X7 + 42X6 + 8

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Sumamos términos semejantes y finalmente obtenemos la derivada:

h΄(X) = 96X7 + 42X6 + 8

Si por ejemplo tenemos la derivada del producto de tres funciones que dependen de la misma variable,podemos pensar el producto de dos de las funciones como si se tratara de una tercera función es decir(f.g.h)΄= (f.p)΄, en donde p= (g.h)΄, sin importar que dos funciones escogemos).


a) Y=3X2(8X2 - 10X)b) Y=(X - 1)(X + 1)c) Y=(X - 2)(X2 + 2X + 4)d) Y=(3X2 + 5)(3X2 - 5)

e) Y= )58)(3( 2 XXf) Y=(5X3 + 7)(1 - X2)

DERIVADA DE UN COCIENTE

La derivada de un cociente se determina por la siguiente relación:

2

'

g(x)(x)'f(x)g-(x)g(x)'f

g(x)f(x)

Para aquellos que se puedan confundir por algunas variables de más se puede escribir así:

2

'

g'gf-g'f

gf

Es decir:

"La derivada de un cociente de dos funciones es la función ubicada en el denominador por la derivada delnumerador menos la derivada de la función en el denominador por la función del numerador sin derivar, todosobre la función del denominador al cuadrado".

Este caso se relaciona mucho con la regla de derivada de un producto, pero hay que tener en cuenta la resta yel orden de los factores. Pero ya explicando lo dicho anteriormente consideremos como EJEMPLO lasiguiente función:

2x13x)(h

x

Ahora se trabaja el enunciado anterior el cual nos dice que multipliquemos el denominador que en este casoes g(x)=2X y se multiplique por la derivada del numerador que sería f΄(x) = 3; luego la segunda parte dice quetomemos la función del numerador f(x) sin derivar (3X+1) y lo multipliquemos por la derivada de g(x) =2X, quesería g΄(x)=2, todo esto lo dividimos entre el denominador al cuadrado, así:

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2(2x)1)(2)(3x-(3)(2x))('h

x

Ahora todo es cuestión de simplificar:

222 21

21

4x2-6x-6x)('h

xxx


a)XXY 1

b)13

2

XXY

c)69

33

XXY

d)XXY 3

e)99

XXY

f)3

3

XXY

LA DERIVADA (MÁXIMOS Y MÍNIMOS)

Para hallar los máximos y mínimos se debe seguir las siguientes etapas según el criterio de la primeraderivada

1. Derivar la función dada2. Igualar a cero la derivada para hallar los valores críticos3. Hallar los puntos críticos4. Ubicar en un plano los puntos críticos5. Analizar el signo ( + - ) antes y después de los valores críticos6. Identificar los máximos y mínimos en la grafica

EJEMPLO. Hallar los máximos y mínimos para la función 422 XXY

1. Derivar la función dada 422 XXY 344 XXY

2. Igualar a cero la derivada para hallar los valores críticos. Para encontrar los valores críticos igualamosa cero la derivada y buscamos las raíces

044 3 XX

0)1(4 2 XX Entonces04 X y 0)1( 2 X

Los valores críticos serán

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01 X , 12 X , 13 X

3. Hallar los puntos críticos. Reemplazando las raíces anteriores en la función original 422 XXY permite encontrar los puntos críticos, después de haber realizado las operaciones correspondientes seobtiene los resultados en la tabla siguiente:

X -1 0 1Y 1 0 1

4. Ubicar en un plano los puntos críticos.

5. Analizar el signo positivo (+) y negativo ( - ) antes y después de los valores críticos. Para este casopodemos tomar diferentes valores y reemplazar en la expresión de la derivada para determinar el signo sies positivo o negativo. Si el resultado es positivo la gráfica sube en cambio si el resultado es negativo lagráfica desciende.

Reemplazando los valores de X en la derivada: 344 XXY se obtienen los valores con suscorrespondientes signos para Y

a) -2, cantidad que se encuentra a la izquierda de -1;b) -0.5 cantidad que se encuentra entre -1 y 0;c) 0.5 cantidad que se encuentra entre 0 y 1;d) 2 cantidades que se encuentra a la derecha de 1;

Resultados que se encuentran en la tabla siguiente; los valores

X -2 -0.5 0.5 2

Y +24 -2,5 +1.5 -24

-1; 1

0; 0

1; 1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

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La grafica Sube por positivo Baja por negativo Sube por positivo Baja por negativo

Por lo tanto la gráfica definitiva será la siguiente:

6. Identificar los máximos y mínimos en la gráfica. En la gráfica anterior existen dos máximos para lospuntos (-1, 1) y (1,1); un mínimo para el punto (0, 0)


Hallar los máximos y mínimos y hacer las gráficas para las siguientes expresiones

a) Y=2X2 - X4

b) Y=X2 +X - 5c) Y=X2 - 6Xd) Y=X2 + 8X + 10e) Y=X3 - 3X + 2f) Y=X3 - 3X2 + 1g) Y=X3 - 3Xh) Y=X3 -27Xi) Y=X3 - 3X2 + 3j) Y=X4 - 4X3 + 2

-1; 1

0; 0

1; 1

-0,8-0,6-0,4-0,2

00,20,40,60,8

11,2

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