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GENERALIDADES
PORCENTAJE
TANTO POR 100% A 1%
3 % = 0.03
8 % = 0.08
3.5 % = 0.035
514
%= 0,0525
978
% = 0,09875
674
% =0,0775
475
% = 0,054
TANTO POR 1% A 100%
0.035 = 3.5%
0.973% = 97.3%
2.75 = 275%
EJERCICIOS
1) RESOLVER EL 3% DE 200
200 100%
X 3%
X=200(3 %)
100%
X= 6
2) RESOLVER EL 834
% DE 930
X= 930 (0.086)
X= 79.98
3) RESOLVER EL 756
% DE 1000
X= 0.082(1000)
X= 82
4) RESOLVER EL 634
% DE 500
X= 0.0675 (500)
X= 33.75
5) RESOLVER EL 956
% DE 700
X= 700(0.0983)
X= 32.71
6) RESOLVER 598
% DE 534
X = 534(0,06125)
X = 32,71
7) RESOLVER 679
% DE 480
X = 480(0,067777777)
X = 32,53
8) QUÉ PORCENTAJE DE 1000 ES 250
1000 100%
250 X
X= 250(100 %)
1000
X= 25%
9) PORCENTAJE DE 500 ES 150
X= 150(100%)
X= 3%
10) PORCENTAJE DE 2500 ES 300
X= 300(100 %)
2500
X= 12%
11) PORCENTAJE DE 3000 ES 80
X= 80(100 %)
3000
X= 2.66%
12) PORCENTAJE DE 200.35 ES 3.701
X= 3.701(1000 %)
200.35
X=1.85%
13) DE QUÉ CANTIDAD ES EL 8 EL 25%
8 25%
X 100%
X= 8(100 %)
25 %
X= 32
14) DE QUE CANTIDAD ES 0.54 EL 1.6%
X= 0.54(100 %)
1.6 %
X= 33.75
15) DE QUE CANTIDAD ES 0.65 EL 15%
X= 0.65(100 %)
15 %
X= 4.3
16) DE QUE CANTIDAD 55 EL 327
%
X= 55(100 %)
27 /7%
X= 1673.91
17) DE QUE CANTIDAD ES 77 EL 427
%
X= 77(100 %)
30/7%
X= 1796.67
IMPUESTOS Y DESCUENTOS
IMPUESTOS: aumentamos (1+)
DESCUENTOS: restamos (1-)
EJEMPLOS
(1+0,12) = 1,12
(1-0,07) = 0,93
(1+0,05) = 1,05
(1+0,08) = 1,08
(1+0,02) = 1,02
(1-0,09) = 0,91
(1-0,13) = 0,87
(1-0,016) = 0,84
Una empresa ofrece una venta de electrodomésticos cuyo precio de lista es 700 dólares con
un descuento del 15% y el respectivo impuesto. Determine el valor de la factura y el
descuento en efectivo y el porcentaje efectivo que beneficia al cliente.
(1-0,15) = 0,85
(1+0,12) = 1,12
X= 700(1+0,12) (1-0,15)
X = 700(1,12) (0,85)
X = 666,40 VALOR DE LA FACTURA
X = 700-666,40
X = 33,60 DESCTO. DE LA FACTURA
X = 33,60/700
X = 4,8% BENEFICIO AL CLIENTE
Un almacén ofrece cocinas cuyo precio de lista es 850 dólares con una rebaja del 13 1/8%
por la venta al contrato y su respectiva impuesto
13 1/8% = 0,13125
X= 850(1+0,12) (1-0,13125)
X = 700(1,12) (0,86875)
X = 827,05 VALOR DE LA FACTURA
X = 850 – 827,05
X = 22,95 DESCTO. EN EFECTIVO
X = 22,95/850
X = 2,7% BENEFICIO AL CLIENTE
Una tienda ofrece un producto cuyo precio de lista es 310 dólares con su respectivo
impuesto y descuentos especiales del 5% 17% de sus compras al contado page el precio de
la factura.
X= 310(1+0.12)(0.95)(0.83)
X= 273.76
Una persona acude a un centro de cómputo y la proforma establecida que el precio es 950
dólares con una rebaja de 6% si la proforma es fechada el 5 de octubre del 2014 y se ofrece
un descuento especial del 4% para aquellas personas que adquieren en los próximos 8 días
siguientes. Halle el precio de la factura si esta persona compra este equipo el 10 de octubre
de 2014
X= 950(0.94)(0.96)
X = 857.28
FÓRMULA
PV= PC+U
- Un comerciante compra mercadería en $ 2500 y la vende en $ 3000. Hallar:
a) La utilidad
b) El % de utilidad con relación al precio de venta
c) El % de ésta en relación al precio de venta.
a) U = P.V - P.C
U = 3000 – 2500
U= 500
b) 5000/3000
X = 16,67%
c) 500/2500
X = 20%
DEPRECIACIÓN
Pérdida del valor de un bien por el uso a través del tiempo.
MÉTODO DE LÍNEA RECTA
C.D = Cargo de depreciación
P.B = Precio del bien
V.R = Valor residual o de salvamento
Se adquiere un vehículo en $ 50000 con un valor residual del 10% sobre el precio de
compra del bien.
Años Depreciación anual Depreciación
acumulada
Valor en
libros
0 0 0 9000
1 9000 9000 41000
2 9000 18000 32000
3 9000 27000 23000
4 9000 36000 14000
5 9000 45000 5000
El propietario de un aserradero adquiere una máquina cuyo costo es $15000 y su valor de
rescate se estima en $ 2300 después de haber trabajado 20000 horas. Elabore una tabla
donde se muestre el valor en libros si la producción promedio por años es 4000 unidades.
C.D = 0,635
C.D = 0,635*4000=2540
COSTO=15000
V.R= 2300
# HORAS DE TRABAJO = 20000
Años Unidades
Producidas
Depreciación anual Depreciación
acumulada
Valor en
libros
0 0 0 0 15000
1 4000 2540 2540 12460
2 4000 2540 5080 9920
3 4000 2540 7620 7380
4 4000 2540 10160 4840
5 4000 2540 12700 2300
Una fábrica adquiere una maquinaria en $25000 y se estima su valor del salvamento será
del 15% después de haber producido 300000. Elabore una tabla que muestre el valor en
libros si las unidades producidas fueron 10000, 20000, 5000, 8000 en los primeros años
respectivamente.
P.B = 25000
V.R = 3750
# DE UNID. PROD.= 300000
UNIDADES PROD. = 43000
C.D = 0,070833333
C.D = 0,070833333*10000 = 708,33
C.D = 0,070833333*20000= 1416,67
C.D = 0,070833333*5000 = 354,17
C.D = 0,070833333*8000 = 566,67
Años Unidades
Producidas
Depreciación anual Depreciación
acumulada
Valor en
libros
0 0 0 0 25000
1 10000 708,33 708,33 24291,67
2 20000 1416,67 2125 22875
3 5000 354,17 2479,17 22520,83
4 8000 566,67 3045,84 21954,16
CALCULO DE “i”
(1 + i) = 23.7580
i= 23.7580
i= 2275.80%
(1+i)10=¿ 23 ,7090(1 /10)-1
i= 37.24%
8,35 + (1+i)−170 = 15,60 – 3,8027
(1+i) -170 = 15,60 – 3,8027 – 8,35
(1+i) -170 =3,4473
i= 3,4473 (1/-170)-1
I= 0, 72%
(1+i)29 = 28.67+ ¾
3/4 +28.67=29.42
1+i = 29.49
1+i = (29.42) = 1.1236
i= 1.12
i= 12.37%
(1+0 .053)n= 64.2530
n= log 64.2530
log 1.053
n= 80.61
(1+0 .97 )−n= 0.625
-n= log 0.625log 0.97
-n= 0.693
(1+0 .270 )n= 0.290 + 7/8
1+27 = 1.165
n= log 1.165log 1.27
n= 0.06389
PROGRESIONES
PROGRESIONES ARITMÉTICAS
Progresión creciente:
2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30
6, 15, 24, 33, 42, 51
70, 63, 56, 49, 42
Progresión decreciente:
80, 75, 70, 65, 60
8/7, 9/5, 10/3, 11
CÁLCULO DE LA DIFERENCIA
Seleccione dos términos consecutivos y reste el segundo menos el primero
Ejemplo:
2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30
d= 18-14
d=4
6, 15, 24, 33, 42, 51
d= 51-42
d= 9 PROGRESIÓN CRECIENTE
70, 63, 56, 49, 42
d= 42-49
d= -7 PROGRESIÓN DECRECIENTE
Progresión aritmética creciente: su diferencia es positiva
Progresión aritmética decreciente: su diferencia es negativa
GENERALIZACIÓN DE PROGRESIONES
1T 2T 3T 4T 5T…………………….
a+d a+2d a+3d a+ad …………………
FÓRMULAS:
u= a+ (n-1) d
Para hallar el último término
S= n2
(a+u)
Cuando se conoce el primer y el último término
S= n2
[2a+ (n-1) d]
Cuando se conoce el primer o el último término.
u= último término.
a=primer término.
n= # de términos.
d= diferencia
s= suma
Hallar el termino 19 y la suma de los 19 primeros términos de la siguiente progresión
2, 7, 12, 17 d= 5
u= a+ (n-1) d
u= 2+ (19-1)5
u= 2+ (18)5
u= 2+ (90)
u= 92
S= n2
(a+u)
S= 192
(2+92)
S= 192
(94)
S= 893
Una persona adquiere un terreno y se compromete a cancelar 200 el primer mes 270 el
segundo mes 340, determine el costo total del terreno si esta persona realizó pagar por 3.5
años
200, 270, 340 d= 270-200 d=70
u= a+ (n-1) d S= n2
(a+u)
u= 200+ (42-1)70 S= 422
(200+3070)
u= 200+ (41)70 S= 722,5
u= 200+ 2870
u= 3070
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
3, 12, 48, 192, 768……………………..
6, 42, 294, 2058…………………………
81, 27, 9, 3, 1/3, 1/9…………………….
10, -40, 160, -640, 2560, -10, 240……….
CÁLCULO DE LA RAZÓN
Seleccionar dos términos consecutivos y divida el segundo para el primero y se obtiene la razón.
5, 12, 48, 192,768
r=192/48
r= 4
6, 42, 294, 2058
r= 2058/294
r= 7
81, 27, 9, 3, 1, 1/3, 1/9, 1/27, 1/81
r= 1/27/1/81
r= 1/3
Progresión geométrica creciente: cuando la razón es una fracción
Progresión geométrica decreciente: cuando la razón es un entero
FÓRMULAS
S= a−a . rn
1−ru= a . r
n
r
a= primer termino
u= ultimo termino
r= razón
n= total de términos
Hallar la suma y el término 20 de la siguiente progresión
3, 18, 108
S= a−a . rn
1−r
S= 3−3 (6 )20
1−6
S= 2.19x1015
u= a . rn
r
u= 3.6(20−2)
r 6
u= 1.82x1015
MÉTODO DE DEPRECIACIÓN DE PORCENTAJE FIJO
S= C (1-d ¿¿n
S= valor de salvamento
C= costo del bien
N= número de años (vida útil)
D= tasa de depreciación
Una persona adquiere una maquina en 9000 y se estima que su valor de salvamento es igual
al 20% del costo de 5 años de vida. Elabore el cuadro de depreciación
S= C (1-d ¿¿n
1800= 9000 (1-d ¿¿5
d=1−(1800)
900014
d= 0.2752
Años Depreciación anual Depreciación acumulada Valor
0 0 0 9000
1 2476.80 2476.80 6523.20
2 1795.18 4271.80 4728.01
3 1301.14 5573.12 3426.86
4 943.07 6516.19 2483.86
5 683.53 7200 18000
Comprobación
r= 1-0.275 u= a.r(n−1)
r= 0.7248u= 6523,20.(0.7248)(4−1) u= 2483.79
Una persona adquiere una maquina en 20000 y después de 7 años de uso, su valor de
rescate se estima en 1500. Hallar el cuadro de depreciación.
S= C (1-d ¿¿n
C= 20000 1500= 20000 (1-d ¿¿7
S= 1500d=1−(1500)
20000174
d= 0.2752 d= 0.3093
n= 7
Años Depreciación anual Valor
0 0 20000
1 6186 13814
2 4272.68 9541.32
3 2951.13 6590.19
4 2038.35 4551.84
5 1407.88 3143.96
6 972.43 2171.53
7 671.53 1500
MÉTODO DE DEPRECIACIÓN POR LA SUMA DE DÍGITOS
Se trabaja con una fracción, el numerador es el año correspondiente pero en forma inversa y el
denominador es la suma de los años.
Ejemplo:
6 años
D= 6+5+4+3+2+1
D= 21
6/21; 5/21; 4/21; 3/21; 2/21; 1/21
Una empresa adquiere una máquina en $ 17000 y se estima que su valor de salvamento es
2000 después de 5 años de uso. Elabore el cuadro de depreciación.
D = C- V.R
D = 17000-20000
D = 15000
AÑOS FRACCIÓN DEP. ANUAL DEP. ACUM V. EN LIBROS
0 0 0 0 17000
1 5/15 5000 5000 12000
2 4/15 4000 9000 8000
3 3/15 3000 12000 5000
4 2/15 2000 14000 3000
5 1/15 1000 15000 2000
Una persona adquiere una máquina en $ 23000 se estima que su valor de salvamento es
6000 después de 7 años de uso. Elabore el cuadro depreciación.
D = 23000-7000
D = 17000
AÑOS FRACCIÓN DEP. ANUAL DEP. ACUM V. EN LIBROS
0 0 0 0 17000
1 5/15 5000 5000 12000
2 4/15 4000 9000 8000
3 3/15 3000 12000 5000
4 2/15 2000 14000 3000
5 1/15 1000 15000 2000
DEPRECIACIÓN POR EL MÉTODO DE AMORTIZACIÓN
D= Depreciación
C= Costo
V= Valor
i= Tasa de interés
n= Años de vida
Una persona adquiere una máquina en $ 15000 y se estima que su valor de salvamento es
3000 después de 4 años de uso. Elabore el cuadro de depreciación mediante el método de
fondo de amortización suponiendo que la tasa de interés es el 4%.
AÑOS PAGO AL
FONDO
INT. FONDO
ACUM
DEP.
ANUAL
DEP.
ACUM.
V. EN
LIBROS
0 0 0 0 0 1500
1 2825,88 0 2825,88 2825,88 12174,12
2 2825,88 113,04 2938,92 5764,80 9235,20
3 2825,88 230,59 3056,47 8821,27 6178,73
4 2825,88 352,85 3178,73 12000,00 3000,00
Una persona adquiere una máquina en $ 17000 y se estima que su valor de salvamento es el
30% del costo inicial después de 5 años de uso. Elabore el cuadro de depreciación si se
estima que la tasa de interés es del 8%.
AÑOS PAGO AL
FONDO
INT. FONDO
ACUM
DEP.
ANUAL
DEP.
ACUM.
V. EN
LIBROS
0 0 0 0 0 17000
1 2028,43 0 2028,43 2028,43 14971,57
2 2028,43 162,27 2190,70 4219,13 12780,87
3 2028,43 337,53 2365,96 6585,10 10414,90
4 2028,43 526,81 2555,24 9140,33 7859,67
5 2028,43 731,23 2759,66 11899,99 5100,01
INTERES SIMPLE
I = Interés Simple
C = Capital
i = Tasa de interés
t = Tiempo
Hallar el interés simple de un capital de $ 5300 colocadas al 7 ¼ % durante 3 años.
C = 5300
i= 0, 0725 I = 5300*0,0725*3
t = 3 I = 1152,75
Hallar el interés simple de un capital de $ 13500 colocadas al 9 ¾ % durante 5 años.
C = 13500
i= 0,0975 I = 13500*0,0975*5
t = 5 I = 6581,25
Hallar el interés simple de un capital de $ 11600 colocadas al 13% durante 11 meses.
C = 11600
i= 0, 13 I = 11600*0,13*11/12
t = 11 I = 1382,33
Hallar el interés simple de un capital de $ 25000 colocadas al 19% durante 7 meses.
C = 25000
i= 0, 19 I = 25000*0,19*7/12
t = 7 I = 2770,83
Hallar el interés simple de un capital de $ 300 colocadas al 7% durante 5 meses.
C = 300
i= 0, 07 I = 300*0,07*5/12
t = 5 I = 8,75
Hallar el interés simple de un capital de $ 7350 colocadas al 16% durante 230 días.
C = 7350
i= 0, 16 I = 7350*0,16*230/360
t = 230 I = 751,33
CLASIFICACIÓN DEL INTERÉS SIMPLE
Se clasifica en 2 tipos:
1. Interés simple exacto (ISE): Año calendario (365) o en caso de año bisiesto (366).
2. Interés simple ordinario (ISO): Año comercial (360).
CÁLCULO DEL TIEMPO
Puede ser por el tiempo exacto o tiempo ordinario, para cualquiera de las 2 formas se resta la
fecha final menos la fecha inicial.
Hallar el tiempo transcurrido desde el 5 de mayo del 2003 hasta el 29 de diciembre del
mismo año en sus 2 formas.
Para calcular el tiempo exacto: Estos datos se basan en una tabla en el que se encuentran los
meses del año con sus respectivos días.
TIEMPO APROXIMADO:
AÑO MES DÍA
2003 12 29
2003 05 05
0 07 24
T.A = 7(30)+24
T.A = 234 días
TIEMPO EXACTO:
24 de dic. 363
05 de mayo 125
238 días
Hallar el tiempo transcurrido desde el 20 de marzo hasta el 3 de septiembre del mismo año.
TIEMPO APROXIMADO:
AÑO MES DÍA
2014 08 33
2014 03 20
0 05 13
T.A = 5(30)+13
T.A = 163 días
TIEMPO EXACTO:
03 de sep. 246
20 de marzo 140
106
Hallar el tiempo transcurrido desde el 6 de noviembre del 2006 hasta el 3 de febrero del
siguiente año:
TIEMPO APROXIMADO:
AÑO MES DÍA
2006 13 33
2006 11 06
0 02 27
T.A = 2(30)+27
T.A = 87 días
TIEMPO EXACTO:
03 de feb 34
06 de nov. -310
365
89 días
Hallar el tiempo transcurrido desde el 29 de mayo del 2007 hasta el 01 de abril del siguiente
año:
TIEMPO APROXIMADO:
AÑO MES DÍA
2007 15 31
2007 05 29
0 10 02
T.A = 10(30)+2
T.A = 303 días (se suma 1 porque es año bisiesto)
TIEMPO EXACTO:
01 de abril 91
29 de mayo -149
366
308 días
Hallar el interés (ISO – ISE) con sus dos formas con tiempo (T.A – T.E) de un capital de $
4800 colocadas al 9 ¼ % desde el 5 de septiembre el 2001 hasta el 20 de mayo del siguiente
año.
TIEMPO APROXIMADO:
AÑO MES DÍA
2009 17 10
2009 09 05
0 08 05
T.A = 8(30)+5
T.A = 245 días
TIEMPO EXACTO:
20 de mayo 130
5 de sept. -248
365
247 días
ISE CON T.A:
I = 4800*0,0925*245/365
I = 298,03
ISE CON T.E
I = 4800*0,0925*247/365
I = 300,46
ISO CON T.A:
I = 4800*0,0925*245/360
I = 302,07
ISO CON T.E:
I = 4800*0,0925*247/360
I = 304,63
Determine el ISO y el ISE con T.E y T.A de un capital de $ 5900 colocados al 7% desde el
07 de julio del 2009 hasta el 20 de abril del 2011.
TIEMPO APROXIMADO:
AÑO MES DÍA
2009 28 20
2009 07 07
0 21 13
T.A = 21(30)+13
T.A = 643 días
TIEMPO EXACTO:
20 de abril 110
07 de julio -188
730
652 días
ISE CON T.A:
I = 5900*0,07*643/365
I = 727,56
ISE CON T.E
I = 5900*0,07*652/365
I = 737,74
ISO CON T.A:
I = 5900*0,07*643/360
I = 737,66
ISO CON T.E:
I = 5900*0,07*652/360
I = 747,99
CALCULO DEL MONTO
M= C+I
M=C +I (T)
M=C (1+I (T))
Hallar el monto de un capital de 8500 colocados al 13% durante 8 meses
M=C +I (T)M=C +I
M= 8500(0.13) (8
12¿ M=8500+736.67
M= 736.67 M=9236.67
M=C (1+I (T))
M=8500(1+0.13(1812
¿
M=9236.67
Hallar el monto de un capital de 8000 al 13% durante 179 días.
M=C (1+I (T))
M=800(1+0.13(179360
¿
M=8517.11
Hallar el monto de un capital de 12800 al 3% mensual durante 130 días.
M=C (1+I (T))
M=12800(1+0.03(13030
¿
M= 1293,67
Hallar el monto de un capital de 7200 colocados al 5% desde el 3 de mayo del 2011 hasta el
5 de marzo del 2012
M=C (1+I (T))
M=7200(1+0.05(307366
¿
M=7501,97
CÁLCULO DEL TIEMPO
T= IC .T
Hallar el tiempo para que un capital de 9600 produzca un interés de 305 al 4%
T= IC .T
T= 305
9600(0.04 )
T= 0.7943
T= 9 meses
En qué tiempo un capital de 5900 genera 1300 colocados al 16%
T= IC .T
T= 1300
5900(0.16)
T= 1 año, 4 meses, 16 dias
En qué tiempo un capital de 8200 se triplicara una tasa al 19%
T= M−CC . I
T= 24600−82008200(0.19)
T= 10 años, 6 meses, 9 días
En qué tiempo un capital de 8300 se convertirá en 15300 colocados al 1.3% mensual
T= M−CC . I
T= 15300−83008300(0.13)
T= 6 años, 4 meses, 26 días
CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS
I= C.i.t
i= 𝑰 /𝒄.𝒕A que tasa de interés se coloca un capital de $ 5000 para que genere un interés de $ 230 en
215 días.
i= 𝑰/ 𝒄.𝒕i= 230/ 5000(215/360)
i = 0,0770
i = 7,7023%
A que tasa de interés mensual se debe colocar un capital de $ 5800 para producir $ 390 en
190 días.
i= 390/5800( 190/30 )
i = 1,0667% mensual
A que tasa de interés mensual se coloca un capital de $ 8.100 para que se convierta en $
11.100 desde el primero de marzo hasta el primero de julio del mismo año.
TIEMPO
01 de julio 182
01 de 03 - 60
122 días
i= 11100−8100/8100(122/30)
i = 9,1074%
A que tasa de interés un capital de $ 13000 se convierte $ 11700 durante 11 meses.
i= 17100−13000/13000( 11/12 )
i = 34,4055%
CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE
GRÁFICA DE TIEMPOS Y VALORES
Valor Presente
Valor
Tiempo
Fecha de Negociación
Determine el valor actual el día de hoy de un documento de $ 1700 que se vence en 220 días
con una tasa de interés del 8%.
1700
0 220
C= 1700/ (1+0,08( 220/360 )
C = 1620,76
El 15 de mayo se suscribe un documento por $ 3000 sin interés a 270 días plazo. Calcule el
valor actual el 25 de julio del mismo año, con un interés del 11%
3000 1700
135 203 270
C= 3000/(1+0,11( 199/360))
C = 2828,04
Valor Nominal Valor de Vencimiento
Fecha de Suscripcio Fecha de
Vencimiento
El 15 de mayo se suscribe un documento de $ 3800 con vencimiento de 190 días con una
tasa del 2% mensual. Determine el valor actual el 6 de agosto del mismo año si se aplica
una tasa de interés del 11%.
M= C (1+i*t)
M = 3800(1+0,02(190/360))
M = 4281,33
C = 4145,79
Un pagaré firmado el 9 de mayo por $ 5600 a 230 días plazo con una tasa del 17% es
negociado 110 días antes de su vencimiento con una tasa el 2% mensual. Halle el valor de
estas transacciones.
M= C (1+i*t)
M = 5600(1+0,17(230/360))
M = 6208,22
C = 5784,06
Un documento por $ 3800 se suscribe el 5 de febrero con una tasa de interés del 15% a 330
días si este documento se negocia el 5 de abril del mismo año con una tasa del 7%
trimestral hallar el valor del dicho pago.
M= C (1+i*t)
M = 3800(1+0,15(330/360))
M = 4322,50
C = 3570,02
Un documento de $ 1300 firmado el 20 de mayo con vencimiento a 170 días plazo con una
tasa del 3% mensual desde su firma es vendido el 5 de agosto del mismo año con una tasa
del 17% trimestral. Determine:
a) La fecha de vencimiento:
140+170 = 310 6 de noviembre
b) El monto
M= C (1+i*t)
M = 1300(1+0,03(170/30))
M = 1521
c) El tiempo transcurrido entre la fecha de negocio y de vencimiento
310 – 217 = 93 días
d) El valor actual
C=1521/(1+0.17 (93/4)
C = 1293,73
SALDOS DEUDORES
1) Método de acumulación de interés (Método de Lagarto)
2) Método de saldos deudores
Una persona adquiere un préstamo por $ 7000 a 4 años plazo con una tasa del 17%
determine el valor de la cuota mensual que debe cancelar por medio de los 2 métodos.
1) Método de acumulación de interés (Método de Lagarto)
M= C (1+i*t)
M = 7000(1+0,17(4))
M = 11760
Valor de la cuota mensual:
CM=11760/48
C.M = 245
I = M – C
I = 11760 – 7000
I = 4760
2) Método de Saldos Deudores:
# DE CUOTA = PAGO SIN INTERÉS + INTERÉS GENERADO
I1= 7000*0,17*1/12
I1 = 99,17
C1 = 145,83+99,17
I2 = 6584,17*0,17*1/12
I2 = 97,10
C2 = 145,83+97,10
C2 = 242,93
d = 242,93-245
d = - 2,07
u = a+(n-1) d
u = 245+ (47) (-2,07)
u = 147,71
S = n/2(a+u)
S = 48/2 (245+147,71)
S = 9425,04
C.M = 196,36
Para comprobar:
I = M – C
I = 9425,04 – 7000
I = 2425,04
TASA:
i = 8,66% anual
i = 7,22% mensual
Una casa de cambio vende automóviles a $ 18000 con el 15% de entrada y el resto a 5 años
plazo con una tasa del 2% mensual. Hallar el valor de la cuota fija mensual por los dos
métodos.
1) Método de acumulación de interés (Lagarto)
M= C (1+i*t)
M = 15300(1+0,02(60))
M = 33660
Valor de la cuota mensual:
C.M = 561
I = M – C
I = 33660 – 15300
I = 18360
2) Método de Saldos Deudores:
# DE CUOTA = PAGO SIN INTERÉS + INTERÉS GENERADO
I1= 15300*0,02*1
I1 = 306
I2 = 15045*0,02*1
I2 = 300,90
C2 = 255 + 300,90
C2 = 555,90
d = 555,90 - 561
d = - 5,10
u = a+(n-1) d
u = 561+ (59) (-5,10)
u = 260,10
S = n/2(a+u)
S = 60/2 (561+260,10)
S = 24633
C.M = 410,55
Para comprobar:
C.M = 410,55
I = M – C
I = 24633 - 15300
I = 9333
TASA:
i = 1,02% mensual
Una empresa vende artículos cuyo precio es $ 25000 a 4 años plazo con una tasa del 11%.
Determine el valor de la cuota mensual que debe pagar una persona por los dos métodos.
1) Método de acumulación de interés (Lagarto)
M= C (1+i*t)
M = 25000(1+0,11(4))
M = 36000
Valor de la cuota mensual:
C.M = 750
I = M – C
I = 36000-25000
I = 11000
2) Método de Saldos Deudores:
# DE CUOTA = PAGO SIN INTERÉS + INTERÉS GENERADO
I1= 25000*0,11*1/12
I1 = 229,17
C1 = 520,83+229,17
I2 = 24479,17*0,11*1/12
I2 = 224,39
C2 = 520,83+224,39
C2 = 745,22
d = 745,22-750
d = - 4,78
u = a+(n-1) d
u = 750+ (47) (-4,78)
u = 525,34
S = n/2(a+u)
S = 48/2 (750+525,34)
S = 30608,16
C.M = 637,67
Para comprobar:
C.M = 637,67
I = M – C
I = 3608,16 – 25000
I = 5608,16
TASA:
i = 5,61% anual
i = 4,67% mensual
DESCUENTOS
1) Descuento racional o simple
2) Descuento bancario o bursátil
1) Descuento racional o simple:
Dr = M – C
Calcular el descuento racional de un documento de $ 3600 firmado el 5 de mayo a 190 días
plazo si se descuenta el 2 de septiembre del mismo año con una tasa del 9%
C = 3538,08
Dr = M – C
Dr = 3600 – 3538,08
Dr = 61,92
Para comprobar:
I = 3538,08*0,09*70/360
I= 61,92
Hallar el descuento racional de una serie de bonos que totalizan $ 5000 y cuyo vencimiento
es dentro de 2 meses suponiendo una tasa de interés del 9%.
C = 4926,11
Dr = M – C
Dr = 5000 – 4926,11
Dr = 73,89
Para comprobar:
I = 4926,11*0,09*2/12
I = 73,89
Un pagaré por $ 9600 se firma el 6 de octubre a 260 días plazo con una tasa de interés del
25% semestral; se descuenta el 15 de diciembre del mismo año con una tasa del 32%
trimestral. Halle el importe de esta operación.
M= C (1+i*t)
M = 9600(1+0,25(260/180))
M = 13066,67
C = 7798,41
Dr = 13066,67 – 7798,41
Dr = 5268,26
I = 7798,41*0,32*190/90
I = 5268,26
2) Descuento bancario o bursátil
Db= M*d*t
C = M – D
C = M – M*d*t
C = M (1-d*t)
Cuál es el descuento bancario que un banco aplica a un cliente que descuenta un pagaré de
$ 7000 el día de hoy a 130 días plazo considerando una tasa de descuento del 11%
Db = M*d*t
Db = 7000*0,11*130/360
Db = 278,06
Calcular el descuento bancario de un documento de $ 6300 firmado el 12 de marzo a 220
días plazo si se descuenta el 20 de junio del mismo año con una tasa del 17%.
Db = M*d*t
Db = 6300*0,17*120/360
Db = 357,00
Determine el valor efectivo que recibe una persona de una entidad financiera por $ 12000 a
270 días plazo si se aplica una tasa de descuento del 11%.
C = 12000*0,11*270/360
C = 11010
D = M – C
D = 12000 – 11010
Cuánto dinero debe solicitar una persona a una institución financiera para obtener $3500
pagaderos en 190 días plazo con una tasa de descuento del 15%.
M = 3800,90
Hallar el descuento racional y el descuento bancario de un pagaré de $ 7600 a 310 días
plazo si se descuenta 40 días antes de su vencimiento con una tasa del 2,6%
C = 7345,36
Dr = M - C
Dr = 7345,36 – 7600
Dr = 254,64
I = 7345,36*0,026*40/30
I = 254,64
Cb = M (1-d*t)
Cb = 7600(1-0,026*40/30)
Cb = 7336,53
Db = M *d* t
Db = 7600*0,026*40/30
Db = 263,47
FÓRMULA DE LA TASA:
Cuando es tasa de interés.-
i= 𝒅/ 𝟏−𝒅∗𝒕Cuando es tasa de descuento.-
i= 𝒅/𝟏−𝒅∗𝒕A que tasa de interés es equivalente una tasa de descuento del 19% durante 130
i= 0,19/(1−0,19( 130/360))
i= 20,39%
A que tasa de interés equivale una tasa de descuento del 11% durante 7 meses.
i= 0,11/(1−0,11( 7/12))
i= 11,754%
A que tasa de descuento equivale una tasa de interés del 9,35% durante 130 días.
d= 0,0935/(1+0,0935( 130/360))
d= 9,0446%
A que tasa de descuento equivale una tasa de interés del 11,75% durante 11 meses.
d= 0,1175/(1+0,1175( 11/12))
d= 10,607%
REDESCUENTO
Una persona realiza el redescuento de una letra de cambio suscrita a 200 días plazo por el
valor de $ 1900, 50 días antes de su vencimiento con una tasa de descuento del 6% el mismo
día el Banco Internacional redescuenta ese documento en el Banco Central con una tasa del
2%
a) ¿Cuánto recibe la persona?
b) ¿Cuánto recibe el Banco Central?
Cb = M(1-d*t)
Cb = 1900(1-0,06*50/360)
Cb = 1884,17 PERSONA
Cb = M(1-d*t)
Cb = 1900(1-0,02*50/360)
Cb = 1894,72 BANCO
ECUACIONES DE VALOR
MONTO X CAPITAL
Fecha focal
MONTO CAPITAL
M= 𝑪/𝟏−𝒅𝒕
M = C ( 1+i*t)
Una empresa tiene las siguientes obligaciones $ 3200 a 70 días plazo; $ 5000 a 130 días
plazo; $ 8000 a 220 días plazo y $ 9000 a 310 días plazo la empresa debe reemplazar todas
estas obligaciones por un solo pago con una tasa del 7% en:
a) El día de hoy
b) A los 330 días
c) A los 200 días
a) X= 3200/(1+0,7( 70/360)) + 5000/(1+0,7( 130/360)) + 8000/(1+0,7( 220/360)) + 9000/(1+0,7(
310/360))
X= 24193, 91
b)
X= C ( 1+i*t) + C ( 1+i*t)+ C ( 1+i*t) + C ( 1+i*t)
X=200(1+0,07*260/360))+5000(1+0,07*200/360))+8000(1+0,07*110/360))
+9000(1+0,07*20/360
X= = 3200/(1+0,07*260/360)) + 5000/(1+0,07*200/360)) + 8000/(1+0,07*110/360)) +
9000/(1+0,07*20/360)
X = 25762,33
c) X = 3200(1+0,07*130/360))+5000(1+0,07*30/360))+…..
X = 129,48
Una persona debe $ 3000 a 50 días plazo con el 15% mensual; $ 1500 a 130 días plazo con
una tasa del 4% trimestral; $ 3600 a 210 días plazo con una tasa del 9% semestral; $ 9000 a
260 días plazo con una tasa del 14%, esta persona desea saldar sus obligaciones por un
solo pago a los 190 días con una tasa del 17% semestral.
M = C (1+i*t)
M = 3000(1+0,015*50/360))
M = 3045
M = 1500(1+0,04(130/90))
M = 1586,67
M = 3600(1+0,09(210/360))
M = 3978
M= 9000(1+0,14(260/360))
M = 9910
X = M1+M2+ C3+C4
X=3075(1+0,17*140/180))+1586,67(1+0,17*60/180)) +
X = 18655,32
Una persona debe $ 1000 pagaderos dentro de 6 meses con una tasa del 3% mensual; $
2000 al 4% pagaderos dentro de 1 año y medio; $ 4600 pagaderos dentro de 300 días con
una tasa del 1% mensual. Esta persona desea saldar sus deudas por un solo pago a los 5
meses con una tasa de descuento del 7%.
M = C (1+i*t)
M = 1000(1+0,03*6)
M = 1180
M = 1500(1+0,04(540/360))
M = 2120
M = 4600(1+0,01(300/30))
M = 5060
X = C1+C2+C3
X = 1180(1-0,07*6/12))+ 2120(1-0,07*18/12))+5060(1-0,07*10/12))
X = 7800,93
Una persona tiene las siguientes obligaciones $ 2000 a 50 días plazo; $ 3000 a 110 días plazo
con una tasa del 11%; $ 4000 a 190 días plazo con una tasa del 20% trimestral; $ 6000 a
220 días plazo con una tasa del 18% mensual. Esta persona desea liquidar sus deudas por 2
pagos iguales a los 130 y 250 días con una tasa del 19% semestral si la fecha focal es 130
días.
M = C (1+i*t)
M = 2000
M = 3000(1+0,11*110/360))
M = 3100,83
M = 4000(1+0,20(190/90))
M = 5688,89
M = 6000(1+0,18(220/30))
M = 13920
X = M1+M2+ C1+C2- C3
X = 2000(1+0,19*80/180))+3100,83(1+0,19*20/180))+ + -
X +0,8876 X = 23397,56
1,8876 X = 23397,56
X = 12395,90
Viviana desea vender un terreno y recibe 3 ofertas:
1) $ 2000 al contado, $ 2000 a 11 meses plazo al 3% mensual
2) $ 1000 al contado y dos letras iguales de $ 1500 a los 3 y 7 meses
3) $ 3000 al contado y dos letras de $ 500 cada uno a los 9 y 14 meses de plazo
¿Cuál de las ofertas le sugiere usted si se recarga una tasa del 3% mensual?
1)
X = 3503,76
2)
X = 3615,82
3)
X = 3745,81
La oferta que se le sugiere es la tercera opción.
Una persona tiene las siguientes obligaciones $ 2000 a 130 días plazo con una tasa del 2%
de interés mensual; $ 3000 a 170 días; $ 4000 a 220 días plazo con una tasa del 13%
trimestral, esta persona desea saldar todas sus deudas por 2 pagos iguales a los 190 y 300
días respectivamente con una tasa del 14%. Tome como fecha focal 190 días.
M = C (1+i*t)
M = 2000(1+0,02*130/30))
M = 2173,33
M = 3000
M = 4000(1+0,13(220/90))
M = 5271,11
X = M1+M2+ C1- C2
X = 2173,33(1+0,14*60/360))+3000(1+0,14*20/360))+ -
X +0,9589 X = 10457,70
1,9589 X = 10457,70
X = 5338,56
Una persona desea vender una casa por lo cual recibe 3 ofertas; la primera por $ 4000 al
contado y una letra de cambio a 9 meses por $ 4000, la segunda opción $ 5000 al contado y
dos letras de $ 1500 a los 7y 9 meses respectivamente; la tercera opción por $ 2000 al
contado, un pagaré de $ 4000 dentro de 1 mes y 2 letras de cambio por $ 1000 cada una al 3
y 7 mes respectivamente, si se cobra un recargo con una tasa del 3,5% mensual. Halle el
precio y sugiere cuál de las ofertas le conviene
1) X = 7041,83
2) X = 7345,50
3) X = 7572,92
La tercera oferta que le conviene al vendedor es el número 3.
María realiza depósitos sucesivos de $ 2000 cada uno durante cada mes con una tasa del 1
½% mensual. Determine el monto acumulado si estos depósitos los hizo durante 5 meses.
X= C (1+i*t) + C (1+i*t)+ C (1+i*t) + C (1+i*t)
X= 2000(1+0,015*4)+2000(1+0,015*3)+2000(1+0,015*2)+2000(1+0,015*1)
X = 10500
CÁLCULO DE CAPITALES
Alejandra realiza una serie de 4 pagos mensuales de $ 6000 cada uno para cancelar una
deuda con una tasa del 2% mensual. Determine el valor original de una deuda.
X = 22867,52
En el problema anterior determine el valor original de la deuda si la tasa de interés es del
7% en forma adelantada.
X = 23792,82
CUENTAS DE AHORRO
Depósito: Interés a favor (+)
Retiro: Interés en contra (-)
Tiempo: Fecha final – Fecha inicial
El tiempo en semestres:
1) 30 de junio (181) F.F
2) 31 de diciembre (365) F.F
Margarita abre una cuenta de ahorros el 9 de enero con $ 3000; el 2 de febrero retira $
500; el 5 de marzo deposita $ 700; el 20 de abril retira $ 1200; el 9 de junio retira $ 150. Si
la cuenta de ahorro gana una tasa del 7% determine el saldo a final
F.F = 181
INTERÉS A FAVOR INTERÉS EN CONTRA
I = 3000*0,07*170/360 I = 500*0,07*148/360
I = 100,33 I = 14,39
I = 700*0,07*117/360 I = 1200*0,07*71/360
I = 15,93 I = 16,57
I = 150*0,07*21/360
I = 0,6125
I.F = 116,26 I.C = 31,57
I.L = I.F – I.C
I.L = 116,26 – 31,57
I.L = 84,69
M = C + I
M = 1850+84.69
M = 1934.69 VALOR AL 30 DE JUNIO
FECHA DEPÓSITO RETIRO SALDO INTERES
09 DE ENERO 3000 3000 100,33
02 DE FEB. 500 2500 14,39
05 DE MARZO 700 3200 15,93
20 DE ABRIL 1200 2000 16,57
09 DE JUNIO 150 1850 0,61
30 DE JUNIO 84,69 1934,69 31,57
Viviana tiene una cuenta de ahorros con un saldo de $ 600 al 30 de junio en el segundo
semestre realiza las siguientes transacciones: 03 de julio deposita $ 800; 4 de agosto retira $
150; 9 de septiembre deposita $ 1000; el 10 de octubre retira $ 400; el 20 de noviembre
deposita $ 1100; el 20 de diciembre retira $ 900. Si la tasa de interés es del 6% liquide la
cuenta al 31 de diciembre.
FECHA DEPÓSITO RETIRO SALDO INTERES
30 DE JUNIO 600 18,4
03 DE JULIO 800 1400 24,13
04 DE AGOST 150 1250 . 3,73
09 DE SEPT 1000 2250 18,83
10 DE OCT 400 1850 5,47
20 DE NOV 1100 2950 . 7,52
20 DE DIC 900 2050 . 1,65
31 DE DIC . 58,03 2108,03 68,88 10,85
