ECUACIONES LINEALES, MATRICES Y DETERMINANTES

MATRICES

MATRICES

En matemáticas, se denomina matriz a un conjunto ordenado de números, ubicados en una estructura de filas y columnas. Estas cantidades pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de variadas maneras.

TIPOS DE MATRICES

Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:  

Matriz fila

Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz columnaLa matriz columna tiene una sola columna

-716

2 3 -1

Matriz rectangularLa matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

1 2 59 1 3

Matriz cuadrada   Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas.   Ejemplo: Sean las matrices

2 -3 -1 5

1 2 -34 0 53 -1 2

A= E=

Matriz nulaEn una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz identidad o unidad En ésta los elementos que componen la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz escalarUna matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 2.

0 00 0

a =

1 00 1

I =

2 0 00 2 00 0 2

Matriz traspuestaEs aquella matriz que se obtiene al cambiar de manera ordenada las filas por las columnas.

Matriz triangular superiorEn una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferiorEn una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonalEn una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

Matrices simétricas   Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica, si AT = -A.   Ejemplo:   Consideremos las siguientes matrices:

Matrices ortogonales   Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AAT = AT A = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A-1 = AT.  

SUMA Y RESTA DE MATRICESPara poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 x 2 y otra de 3 x 3, no se pueden sumar ni restar.

PRODUCTO DE MATRICES  Para poder multiplicar dos matrices, la primera debe tener el mismo número de columnas que filas la segunda. La matriz resultante del producto quedará con el mismo número de filas de la primera y con el mismo número de columnas de la segunda.   Es decir, si tenemos una matriz 2 x 3 y la multiplicamos por otra de orden 3 x5, la matriz resultante será de orden 2 x 5.  

Producto por un escalar

DIVISIÓN DE MATRICES  La división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y B tal que A/B = AB-1:   Si una matriz está dividida entre un escalar, todos los términos de la matriz quedarán divididos por ese escalar.   Ejemplo: