UNIDAD 1 MATRICES

DOC. ING. VALENTIN FLORES GUZMAN

Materia : Algebra Lineal

Sigla : MAT – 103

Universidad Gabriel René Moreno

valentinfloresguzman@gmail.com

Universidad Autónoma

¨Gabriel René Moreno¨

3.-Matriz Identidad:Una matriz cuadrada, se define como identidad cuando su diagonal principal esta conformada por 1(unos) y el resto por 0 (ceros):

De esta forma se denota matriz identidad y se escribe por la letra I.

3.-Matriz Identidad:Una matriz cuadrada, se define como identidad cuando su diagonal principal esta conformada por 1(unos) y el resto por 0 (ceros):

De esta forma se denota matriz identidad y se escribe por la letra I.

Dada las matrices :

y

Realizar las siguientes operaciones:

4

𝐴∗ 𝐼=? ??? ?

[2 1 43 4 52 4 6 ][

1 0 00 1 00 0 1 ]=[ 2 1 4

3 4 52 4 6 ]

Con este resultados afirmamos que la matriz identidad actúa como elemento neutro de la multiplicación de matrices.

5

𝐼 ∗ 𝐴=? ??? ?

[1 0 00 1 00 0 1 ][

2 1 43 4 52 4 6 ]=[ 2 1 4

3 4 52 4 6 ]

Cuando se pre multiplica o pos multiplica la matriz identidad con otra matriz cumple el mismo efecto como elemento neutro de la multiplicación de matrices.

6

Ejercicios :¿Esta es una matriz Identidad?

[0 1 00 0 11 0 0 ]

Es una matriz equivalente a la identidad por que por simple inspección podemos deducir que se ah intercambiado la fila 1 con la fila 2

¿La matriz identidad es idempotente?

𝐼 2=𝐼Si la matriz identidad es idempotente por que al multiplicar la matriz enésimas veces resulta la misma matriz identidad

[1 0 00 1 00 0 1 ][

1 0 00 1 00 0 1 ]=[1 0 0

0 1 00 0 1 ]

𝐼 2=𝐼

𝐼𝑛= 𝐼

[0 1 01 0 00 0 1 ][

0 1 01 0 00 0 1 ]……… [0 1 0

1 0 00 0 1]=[0 1 0

1 0 00 0 1]

¿Cuántas operaciones elementales se le aplico a esta matriz identidad equivalente?

I

Se le aplicaron 3 operaciones elementales las cuales son:

𝑅1→𝑅1−𝑅2

I

𝑅2→5𝑅1+𝑅2

𝐴=[1 −1 00 1 00 0 1]→[ 1 −1 0

5 −4 00 0 1]

𝑅3→3𝑅1+𝑅3

𝐴=[1 −1 05 −4 00 0 1 ]→ [1 −1 0

5 −4 03 −3 1]

Ejercicios para resolver¿Esta es una matriz identidad equivalente, por qué?

𝐼=[1 1 10 1 00 0 1]

¿Cuántas operaciones elementales se le aplicaron a esta matriz identidad equivalente?

𝐼=[−1 2 1−5 −1 00 5 −1]

¿Qué operaciones elementales ah recibido esta matriz identidadequivalente?

𝐼=[2 −1 01 −1 02 0 1 ]

𝐼=[ 7 −2 1 06 −2 1 0−3 1 0 03 −1 1 1

]

a)

b)

12

4.-Matriz simétrica y anti simétrica

Una matriz cuadrada A es simétrica sí y solo sí su transpuesta es igual a la propia matriz A :

Los colores nos indican los elementos intercambiados, al realizar la transpuesta de la matriz A, entonces afirmamos que la matriz A es simétrica, cumpliendo la siguiente propiedad de los elementos de la matriz :

4.1.-Matriz simétrica

13

Una matriz cuadrada A es simétrica sí y solo sí su transpuesta es igual a la propia matriz A :

Verificar si las siguientes matrices son simétricas:

4.1.-Matriz simétrica

La matriz A si es simétrica

La matriz B si es simétrica

La matriz I si es simétrica

De esta manera comprobamos que las matrices son iguales a sus transpuestas Entonces se cumple la siguiente condición:

Cumpliendo esta propiedad al recorrer toda la matriz , entonces afirmamos que la matriz sí es simétrica.

4.2.-Matriz anti simétricaUna matriz es anti simétrica sí y solo sí cumple la siguiente condición:

Esto quiere decir que al permutar la matriz A nos de como resultado la matriz A con todos sus elementos cambiados de signo por ejemplo:Dada la matriz A hallar su transpuesta y verificar si es anti simétrica:

𝑨=[ 𝟎 −𝟏 𝟓𝟏 𝟎 −𝟒−𝟓 𝟒 𝟎 ]

𝑨𝒕=[ 𝟎 𝟏 −𝟓−𝟏 𝟎 𝟒𝟓 −𝟒 𝟎 ]

Con esta operación realizada se comprueba que:

𝑨𝒕=− 𝑨

[ 𝟎 𝟏 −𝟓−𝟏 𝟎 𝟒𝟓 −𝟒 𝟎 ]=−[ 𝟎 −𝟏 𝟓

𝟏 𝟎 −𝟒−𝟓 𝟒 𝟎 ]

[ 𝟎 𝟏 −𝟓−𝟏 𝟎 𝟒𝟓 −𝟒 𝟎 ]=[ 𝟎 𝟏 −𝟓

−𝟏 𝟎 𝟒𝟓 −𝟒 𝟎 ]

𝑨=[ 𝟎 −𝟏 𝟓𝟏 𝟎 −𝟒−𝟓 𝟒 𝟎 ]

−𝑨=¿𝑨𝒕

Una matriz cualquiera para considerarse anti simétrica tiene que tener los elementos de la diagonal principal en cero(0)

Verificar si las siguientes matrices son anti simétricas:

La matriz C si es anti simétrica

La matriz D si es anti simétrica

La matriz E es anti simétrica

Ejercicios Propuestos:

Verificar si las siguientes matrices son, simétricas o anti simétricas:

𝑨=[𝟒 𝟓 𝟔𝟓 𝟓 𝟓𝟔 𝟓 𝟔]𝑩=[𝟎 𝒂 𝒅

𝒂 𝟎 𝒓𝒅 𝒓 𝟎 ]

𝑪=[𝟒𝟓 𝟓 𝟕 𝟔𝟓 𝟖 𝟎 𝟓𝟕 𝟎 𝟏𝟐 𝟓𝟔 𝟓 𝟓 𝟔

]𝑫=[𝟎 𝒂 𝒅𝒂 𝟎 𝒓𝒅 𝒓 𝟎 ]𝑬=[𝟎 𝟏

𝟔 𝟎]

𝑭=[𝟏 𝟒 𝟗𝟓 𝟐 𝟔𝟗 𝟔 𝟑]𝑮=[ 𝟎 𝟓𝟔 𝟒

−𝟓𝟔 𝟎 −𝟏𝟒 𝟏 𝟎 ]

𝑯=[𝟒 𝟔 𝟗 𝟎 𝟏𝟔 𝟖 𝟏 𝟕 𝟐𝟏𝟗 𝟓 𝟑 𝟖 𝟎𝟎 𝟕 𝟖 𝟓 𝟔𝟓𝟏 𝟐𝟏 𝟕 𝟔𝟓 𝟓

]

𝑨=[𝟒 𝟓 𝟔𝟓 𝟓 𝟓𝟔 𝟓 𝟔]→ 𝑨𝒕=[𝟒 𝟓 𝟔

𝟓 𝟓 𝟓𝟔 𝟓 𝟔]

La matriz A es simétrica.

𝑩=[𝟎 𝒂 𝒅𝒂 𝟎 𝒓𝒅 𝒓 𝟎 ]→𝑩𝒕=[𝟎 𝒂 𝒅

𝒂 𝟎 𝒓𝒅 𝒓 𝟎]

𝑪=[𝟒𝟓 𝟓 𝟕 𝟔𝟓 𝟖 𝟎 𝟓𝟕 𝟎 𝟏𝟐 𝟓𝟔 𝟓 𝟓 𝟔

]→𝑪𝒕=[𝟒𝟓 𝟓 𝟕 𝟔𝟓 𝟖 𝟎 𝟓𝟕 𝟎 𝟏𝟐 𝟓𝟔 𝟓 𝟓 𝟔

]La matriz B es simétrica.

La matriz C es simétrica.

𝑫=[𝟎 𝒂 𝒅𝒂 𝟎 𝒓𝒅 𝒓 𝟎 ]→𝑫𝒕=[𝟎 𝒂 𝒅

𝒂 𝟎 𝒓𝒅 𝒓 𝟎 ]

La matriz D es simétrica.

𝑬=[ 𝟎 𝟏−𝟔 𝟏]→𝑬𝒕=[𝟎 −𝟔

𝟏 𝟏 ]La matriz E no es simétrica ni anti simétrica.

𝑭=[𝟏 𝟒 𝟗𝟓 𝟐 𝟔𝟗 𝟔 𝟑]→𝑭 𝒕=[𝟏 𝟓 𝟗

𝟒 𝟐 𝟔𝟗 𝟔 𝟑]

La matriz F no es simétrica ni anti simétrica.

𝑮=[ 𝟎 𝟓𝟔 −𝟒−𝟓𝟔 𝟎 −𝟏𝟒 𝟏 𝟎 ]→𝑮𝒕=[ 𝟎 −𝟓𝟔 𝟒

𝟓𝟔 𝟎 𝟏−𝟒 −𝟏 𝟎]

La matriz G es anti simétrica.

𝑯=[𝟒 𝟔 𝟗 𝟎 𝟏𝟔 𝟖 𝟏 𝟕 𝟐𝟏𝟗 𝟓 𝟑 𝟖 𝟎𝟎 𝟕 𝟖 𝟓 𝟔𝟓𝟏 𝟐𝟏 𝟕 𝟔𝟓 𝟓

]→𝑯=[𝟒 𝟔 𝟗 𝟎 𝟏𝟔 𝟖 𝟓 𝟕 𝟐𝟏𝟗 𝟏 𝟑 𝟖 𝟕𝟎 𝟕 𝟖 𝟓 𝟔𝟓𝟏 𝟐𝟏 𝟎 𝟔𝟓 𝟓

]La matriz H no es simétrica ni anti simétrica.

Problemas para resolver:

Verificar si las siguientes matrices son simétricas o anti simétricas.

𝑨=[𝟏 𝟎 𝟑𝟎 𝟏 𝟐𝟑 𝟐 𝟏]𝑩=[ 𝟒 𝟏𝟐 𝟑𝟑 𝟔𝟕

𝟏𝟐 𝟓 𝟏 −𝟕𝟑𝟑 𝟏 𝟑 𝟏𝟏𝟔𝟕 −𝟕 𝟏𝟏 𝟐

]𝑪=[𝟎 −𝟏𝟏 𝟎 ]

𝑫=[𝟎 𝟐 𝟐𝟐 𝟎 𝟐𝟐 𝟐 𝟎]𝑬=[𝟑𝟒 𝟒 𝟖 𝟏𝟐

𝟒 𝟑𝟒 𝟓 𝟏𝟑𝟖 𝟓 𝟑𝟏 𝟔𝟏𝟐 𝟏𝟑 𝟏 𝟑𝟏

]

5.-Matriz TriangularUna matriz cuadrada en la que todos los  elementos de arriba de la diagonal principal son ceros se denomina triangular inferior, y una matriz cuadrada en la que todos los elementos abajo de la diagonal principal son ceros se denomina triangular superior.

Matriz Triangular Superior

5.1-Matriz Triangular SuperiorUna matriz cuadrada en la que todos los elementos abajo de la diagonal principal son ceros se denomina triangular superior.

Matriz Triangular Superior

5.2-Matriz Triangular Inferior Una matriz cuadrada en la que todos los  elementos de arriba de la diagonal principal son ceros se denomina triangular inferior.

Matriz Triangular Inferior

5.2-Matriz Triangular Inferior Una matriz cuadrada en la que todos los  elementos de arriba de la diagonal principal son ceros se denomina triangular inferior.

Matriz Triangular Inferior

Ejemplo:Dadas las siguientes matrices triangulares superiores :

𝑨=[𝟏 𝟐 𝟑𝟎 𝟒 𝟓𝟎 𝟎 𝟔 ]𝑩=[𝟐 𝟑 𝟖

𝟎 𝟒 𝟐𝟎 𝟎 𝟏]

Operar: A*B

𝑨𝑩=[𝟏 𝟐 𝟑𝟎 𝟒 𝟓𝟎 𝟎 𝟔] [𝟐 𝟑 𝟖

𝟎 𝟒 𝟐𝟎 𝟎 𝟏]=[𝟐 𝟏𝟏 𝟏𝟓

𝟎 𝟏𝟔 𝟏𝟑𝟎 𝟎 𝟔 ]

El producto de dos matrices triangulares superiores (inferiores) es una matriz triangular

superior (inferior).

Para las matrices:

𝑨=[𝟏 𝟎 𝟎𝟓 𝟒 𝟎𝟑 𝟒 𝟐 ]𝑩=[𝟐 𝟎 𝟎

𝟏 𝟓 𝟎𝟒 𝟔 𝟑]

Operar: A*B

𝑨𝑩=[𝟏 𝟎 𝟎𝟓 𝟒 𝟎𝟑 𝟒 𝟐] [𝟐 𝟎 𝟎

𝟏 𝟓 𝟎𝟒 𝟔 𝟑 ]=[ 𝟐 𝟎 𝟎

𝟏𝟒 𝟐𝟎 𝟎𝟏𝟖 𝟑𝟐 𝟔]

Sean las matrices:

𝑨=[𝟏 𝟎 𝟎𝟓 𝟒 𝟎𝟑 𝟒 𝟐 ]𝑩=[𝟔 𝟐 𝟑

𝟎 𝟓 𝟏𝟎 𝟎 𝟒]

Operar: A*B

𝑨𝑩=[𝟏 𝟎 𝟎𝟓 𝟒 𝟎𝟑 𝟒 𝟐] [𝟔 𝟐 𝟑

𝟎 𝟓 𝟏𝟎 𝟎 𝟒 ]=[ 𝟔 𝟐 𝟑

𝟑𝟎 𝟑𝟎 𝟏𝟗𝟏𝟖 𝟐𝟔 𝟐𝟏]

La multiplicación de las triangulares opuestas dan como resultado una matriz no triangular

Ejercicios Propuestos:

Sean las matrices:

𝑨=[𝟐 𝟎 𝟎𝟔 𝟓 𝟎𝟕 𝟒 𝟐 ]𝑩=[𝟏 𝟑 𝟕

𝟎 𝟏𝟐 𝟏𝟎 𝟎 𝟒 ]𝑪=[𝟎 𝟏 𝟎

𝟏 𝟐 𝟑𝟎 𝟑 𝟎 ]

Operar y demostrar si son matrices superiores o inferiores:

6.-Matriz DiagonalUna matriz cuadrada se denomina  diagonal sí y solo sí se cumplen las siguientes condiciones :

Los elementos de la diagonal principal tienen que ser distintos de cero,Mientras que el resto de la matriz es igual a cero.

Sea La matriz:

Denotada por filas y columnas :

Entonces para ser considerada matriz diagonal debe cumplir las siguientes condiciones:

Aplicando estas condiciones nuestra matriz resultante A queda de esta manera:

Ejemplos de matrices diagonales:

𝐴=[5 0 00 4 00 0 3] 𝐵=[7 0

0 1 ]

𝐶=[12 0 0 00 2 0 00 0 4 00 0 0 8

] 𝐷=[4 0 0 0 00 5 0 0 00 0 7 0 00 0 0 9 00 0 0 0 10

]Ejercicios Propuestos:

¿Que matriz resulta al multiplicar una matriz diagonal con unaMatriz no diagonal?

¿La matriz identidad es una matriz diagonal?

¿Qué matriz resulta al multiplicar dos veces una matriz diagonal?

¿Al multiplicar dos matrices diagonales , el resultado es visibleCon simples cálculos?

7.-Matriz InversaLa inversa de una matriz A es aquella que al pre multiplicar o post multiplicar por la matriz A da como resultado la matriz identidad.

Sea la matriz y su inversa:

Demostrar la siguiente igualdad:

𝐴𝐴− 1=𝐴−1𝐴=𝐼

[2 51 3 ] [ 3 −5

−1 2 ]=[1 00 1]=𝐼

[ 3 −5−1 2 ] [2 5

1 3 ]=[1 00 1]=𝐼

Las igualdades se cumplen correctamente .

Preguntas Propuestas

¿Todas las matrices tienen inversa?

No todas las matrices generadas o ya existentes tienen inversa, unamatriz que no tiene inversa es aquella que tiene elementos que han sido generados por otros, ya sea una fila entera o una columna entera:

¿Se puede hallar la inversa de una matriz a través de formulas?

Si de la siguiente manera:

𝑨=[𝒂 𝒃𝒄 𝒅]

Es invertible si:

𝒂𝒅−𝒃𝒄≠𝟎

Entonces:

Sea :

𝑨=[𝟐 𝟏𝟑 𝟒 ]

Hallar su inversa:

¿A la inversa de una matriz se la puede volver a invertir?

Si se la puede volver a invertir

Sea la matriz inversa hallar la matriz original:

𝑨−𝟏=−𝟖[−𝟏𝟖 −𝟑𝟒

−𝟏𝟒

−𝟏𝟐

]=[𝟏 𝟔𝟐 𝟒]

Para resolver :Hallar la inversa de las siguientes matrices de orden 2.

𝐴=[1 34 2]𝐵=[ 0 −1

4 2 ]

Si volvemos a invertir una matriz ya inversa se obtieneLa matriz nativa original

𝐶=[12 111 10]𝐷=[ 4 −1

−1 3 ]Hallar la inversa de las siguientes matrices inversas de orden 2

8.-Matriz OrtogonalUna matriz ortogonal es una matriz cuadrada cuya matriz inversa coincide con su matriz transpuesta.

Entonces llegamos a lo siguiente:

Si la transpuesta de una matriz A es pre multiplicada o post multiplicada por la misma matriz A y el resultado de esa operación es la matriz identidad del mismo orden , entonces se afirma que la matriz A es ortogonal.

Sea la matriz:

𝐴=[cos𝜃 −sin 𝜃 0sin 𝜃 cos𝜃 00 0 1]

Demostrar que es ortogonal:

Si 𝐴=[cos𝜃 −sin 𝜃 0sin 𝜃 cos𝜃 00 0 1]

Ejercicios propuestos:

Entonces :

𝐴𝑡=[− cos𝜃 sin𝜃 0sin 𝜃 cos𝜃 00 0 1]

Condición de ortogonalidad:

𝐴𝐴𝑡=𝐼

𝐴𝐴𝑡=[cos𝜃 −sin 𝜃 0sin 𝜃 cos𝜃 00 0 1] [−

cos𝜃 sin𝜃 0sin 𝜃 cos𝜃 00 0 1]

𝐴𝐴𝑡=[1 0 00 1 00 0 1]

𝐴𝐴𝑡=𝐼La matriz A si es ortogonal

Preguntas Propuestas

¿Si se afirma que una matriz es ortogonal, entonces se dice que es inversible,Por qué?

Para que una matriz sea denominada ortogonal, primero debe cumplir laCondición de ser inversible, y luego cumplir la igualdad de su transpuesta con su inversa

¿Se puede afirmar que la matriz identidad es una matriz ortogonal, por qué?

Si se afirma, por que la matriz identidad tiene como inversa la misma matriz original, entonces al transponer la matriz identidad da como resultado la matriz original la cual cumple con lo siguiente:

𝐼=𝐼 𝑡=𝐼−1

Preguntas para resolver:¿Puede una matriz ortogonal tener la diagonal principal nula, por qué?¿Las matrices diagonales pueden considerarse ortogonales?