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ÁLGEBRA SUPERIORMATRICES Y DETERMINANTES
ELABORADO Y REVISADO POR LOS PROFESORES DE LA MATERIA EN EL 2007• Martha G. Canales LeyvaRocío Patricia Rivas Llanas• Leticia Lizette Espinosa Fahl• Joaquín Gilberto Treviño Dávila• José Santos García• Claudio Hiram Carmona Jurado• Abraham Leonel López León• Carlos Alfonso Gameros Morales• Kluis Roberto Fernández Guillén• Arturo Córdova González
1
MATRICES Y DETERMINANTES Antecedentes de conocimientos, actitudes o habilidades
Lectura comprensiva Operaciones con quebrados Cálculo de determinante de matrices de 2do y 3er orden Números Complejos Cálculo de permutaciones
2
MATRICES Y DETERMINANTES 5.1. Generalidades
Definición:Es un arreglo de elementos
dispuestos en “m” filas y “n” columnas.
El nombre de la matriz se escribe con letra mayúscula entre paréntesis rectangulares (corchetes).
La cantidad de las filas y de columnasde una matriz, se indican como subíndice despúes del nombre de la matriz. El primer índice corresponde a las filas y el segundo a las columnas.
Ejemplo: [B] m,n
Los elementos de una matriz también se presentan entre paréntesis rectangulares (corchetes).
67
48
01
070985
[B] 4,3=
3
MATRICES Y DETERMINANTES 5.1. Generalidades
Orden de una matriz
Es la cantidad de filas y columnas de la matriz.
Se lee: matriz de orden m por n
Ejemplo: [B] m,n
Matriz de 4 por 3
67
48
01
070985
[B] 4,3=
4
MATRICES Y DETERMINANTES 5.1. Generalidades
Matriz Cuadrada
Es aquella matriz cuyo número de filas es igual al número de columnas.
Ejemplo [B] 3,3
1 -4 5 -2 4 0 4 5 2 Se lee matriz de tercer orden
5
MATRICES Y DETERMINANTES 5.1. Generalidades
Matriz Rectangular
Es aquella matriz cuyo número de filas es diferente al número de columnas.
Ejemplo [B]3,4
1 -4 5 3 -2 4 0 -2 4 5 2 6
6
MATRICES Y DETERMINANTES 5.1. Generalidades
Diagonal Principal
Es la línea en que quedan ubicados los elementos a11, a22,a33,a44 ... (número de columna = número de la fila) de la matriz.
La Diagonal principal.Ejemplos:
Elementos de la diagonal principal: 5, -7 y 7
7810070985
7
MATRICES Y DETERMINANTES 5.1. Generalidades
Diagonal Secundaria
Cualquier diagonal de una matriz, que no sea la Diagonal Principal.
Ejemplo:
Elementos de la diagonal secundaria indicada: 0, 8, -4
67
48
01
070985
8
MATRICES Y DETERMINANTES 5.1. Generalidades
Traza
De una matriz cuadrada, es la suma algebraica de los valores de los elementos de la diagonal principal.
Ejemplo:
La traza de la matriz es traza = 5 –7 +7 = 5
7513070985
9
MATRICES Y DETERMINANTES 5.2. Operaciones con Matrices
Suma de dos matrices
Sean dos matrices conformables para la suma (mismo orden), se define la suma como:
[C] m,n = [A] m,n + [B] m,n
La matriz [C] tendrá el mismo orden de [A] ó [B].
Cada elemento de C es la suma del correspondiente elemento de [A] y [B]
ci,j = ai,j + bi,j Para i = 1,2 .....m y j = 1,2 ......n
+ =
9723
5748
14025
10
MATRICES Y DETERMINANTES 5.2. Operaciones con Matrices
Resta de dos matrices
Sean dos matrices conformables para la resta (mismo orden), se define la resta como:
[C] m,n= [A] m,n - [B] m,n
La matriz [C] tendrá el mismo orden de [A] ó [B].
Cada elemento de C es la resta algebraica de los correspondientes elementos de [A] y [B] ci,j = ai,j - bi,j
Para i = 1,2 .....m y j = 1,2 ......n
Ejemplo
- =
9723
5748
414611
11
MATRICES Y DETERMINANTES 5.2. Operaciones con Matrices
Propiedades de la Suma y Resta Matricial
Sean tres matrices conformables para la suma y k un escalar [A]m,n , [B]m,n , [C]m,n
[A] + [B] = [B] + [A] Ley Conmutativa
[A] +( [B] + [C] ) = ( [A] + [B] )+ [C] Ley Asociativa
k ( [A] + [B] ) = k [A] + k [B] = ( [A] + [B] )k Ley Distributiva de un escalar por la izquierda o derecha en la suma
Existe una matriz [C] tal que [A] + [C] = [B] 12
MATRICES Y DETERMINANTES5.2. Operaciones con Matrices
Producto de una matriz por un escalar
Sea k un escalar y la matriz [A]m,n, se define la muliplicación de una matriz por un escalar como[C]m,n = k [A]m,n
En donde ci,j = k ai,j (i=1,2,3....m; j=1,2,3...n)Ejemplo [C] = 3 [A]
3 =
9723
2721
69
13
MATRICES Y DETERMINANTES 5.2. Operaciones con Matrices
Producto de dos matrices
Dos matrices se dice ser conformables para la multiplicación si:
[A]ma,na [B]mb,nb
El número de columnas de [A] es igual al número de filas de [B]
El producto de dos matrices es
[C]ma,nb= [A]ma,n x [B]mb,nb
Conci,j= k=1 ai,k x bk,j
(i=1,2,3....ma; j=1,2,3...na)=
na
14
MATRICES Y DETERMINANTES 5.2. Operaciones con Matrices
x =
Ejemplo [C]ma,nb= [A]ma,na x [B]mb,nb
Son conformables para la multiplicación ya que na = mb
132201
01
12
25
03
14
15
MATRICES Y DETERMINANTES 5.2. Operaciones con Matrices
Leyes de la suma y la Multiplicación
Sean tres matrices [A] [B] [C] conformables para la suma y multiplicación
Primera Ley Distributiva[A]( [B] + [C] ) = [A] [B] + [A] [C]
Segunda Ley Distributiva([A] + [B]) [C] = [A] [C] +[B] [C] Ley Asociativa[A] ( [B] [C] ) = ( [A] [B] ) [C]
En general1) [A] [B] [B] [A] 2) [A] [B] = [0] No necesariamente
[A] = [0] o [B] = [0] 3) [A] [B] = [A] [C] No necesariamente
[B] = [C]
16
MATRICES Y DETERMINANTES5.2. Operaciones con Matrices
Matriz Transpuesta
Sea la matriz [A]ma,na , la matriz transpuesta se define como:
[A]mb,nb en donde ai, j = aj, i Para i = 1,2 .....ma j = 1,2 ......namb = na y nb = ma
También se denotar como [A]’
[A] = [A] =
T
TT
5
471
32
57
3
412
17
MATRICES Y DETERMINANTES5.2. Operaciones con Matrices
Propiedades de la Matriz Transpuesta
Sean las matrices [A] [B] con sus respectivas transpuestas [A]’ [B]’ y k un escalar
i) [A’]’= [A] ii) (k [A])’ = k [A]’
La transpuesta de la suma de dos matrices es la suma de sus transpuestas
( [A]+ [B] )’ = [A]’ + [B]’ La transpuesta del producto de dos matrices es el producto en orden
inverso de sus transpuestas.( [A] [B] )’ = [B]’ [A]’ 18
MATRICES Y DETERMINANTES5.3. Matrices especiales
Matriz Identidad [ ] o Unidad
Es una matriz cuadrada cuyo valor de los elementos de la diagonal principal es uno y valor cero en todos los demás elementos.
[] =
100010001
19
MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales
Matriz Cero o Nula
Es una matriz cuadrada en la cual el valor de todos los elementos es cero.
Ejemplo
000000000
[ 0 ] =
[ 0 ] =
20
MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales
Matriz Opuesta o Negativa.
- [A] Se obtiene de la matriz [A]
multiplicando cada elemento por el escalar -1
128954421
Ejemplo Sea la matriz
[A] =
-1 [A] =
128954421
21
MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales
Matrices Iguales
Son aquellas que tienen el mismo orden y cada elemento de una es igual al correspondiente elemento de la otra.
[A] = [B] ai,j = bi,j para i =1,2,3.... m j =1, 2,3... nEjemplo
075876243
075876243=
22
MATRICES Y DETERMINANTES5.3. Matrices especiales
Matrices Conmutativas
Son aquellas matrices para las cuales se cumple :Sean [A] y [B] matrices cuadradas tales que
[A] x [B] = [B] x [A]
=
1441
1441
3663
3663
23
MATRICES Y DETERMINANTES5.3. Matrices especiales
Matriz Diagonal
Es una matriz cuadrada en la cual el valor de todos los elementos son cero excepto en la diagonal.
[ F ] =
21000100004
B
24
MATRICES Y DETERMINANTES5.3. Matrices especiales
Matriz Escalar
Es una matriz cuadrada en la cual el valor de todos los elementos son cero excepto en la diagonal principal, que tienen el mismo valor.
a11 =a22 =a33 =a44 = k donde k es un escalar
400040004B=
B
B = -4 [ I ]25
MATRICES Y DETERMINANTES5.3. Matrices especiales
Matriz Triangular Superior
Es una matriz cuadrada cuyos elementos en la parte superior de la diagonal principal y en ella, el valor es diferente de cero. El valor de los elementos abajo de la diagonal principal es cero
ai j = 0 para i > j
Ejemplo
200470642
26
MATRICES Y DETERMINANTES5.3. Matrices especiales
Ejemplo
Matriz Triangular Inferior
Es una matriz cuadrada cuyos elementos en la parte inferior de la diagonal principal y en ella, el valor es diferente de cero.
El valor de los elementos arriba de la diagonal principal es cero.
ai j = 0 para i < j
276041002
27
MATRICES Y DETERMINANTES5.3. Matrices especiales
Matrices simétricas
Aquellas que cumplen con:[A]’ = [A].
PropiedadSi [A] es una matriz
cuadrada [A] + [A]’ es simétrica
Ejemplo: la matriz [A] es simétrica ya que:
258514843
258514843[A]’ =
[A] =
28
MATRICES Y DETERMINANTES5.3. Matrices especiales
Matriz Antisimétrica o Hemisimétrica
Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta (o negativa) de su transpuesta.
Necesariamente los elementos de la diagonal principal tienen el valor de cero.
[A] = - 1 [A]’
Ejemplo La matriz [A] es antisimétrica ya que:
058504840
058504840
-1 [A]’ =
[A] =
29
MATRICES Y DETERMINANTES5.3. Matrices especiales
Matriz Periódica
Aquella matriz [A] para la cual [A]k+1= [A]
Donde k es un entero positivoSe dice que la matriz es de un
periodo k
321431422
[A]x [A] = [A]
[A] =
Ejemplo:
[A] es periódica, con periodo 1
30
MATRICES Y DETERMINANTES5.3. Matrices especiales
Matriz Idempotente
Es una matriz Periódica con período 1Ejemplo
321431422
[A]x [A] = [A]
[A] =
31
MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante
Conceptos generales
Las matrices cuadradas tienen un valor asociado denominado determinante.
Se denota por |A| ó
El valor del determinante se puede calcular por medio de varios métodos.
32
MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante
Permutación de n elementos P= n!
Permutaciones de los elementos 1 y 2 P = 2! = 2 y son 12, 21
Permutaciones de los elementos 1, 2 y 3 P = 3!= 6 y son 123 132 213 231 312 321
Permutaciones de los elementos 1,2,3 y 4P= 4! = 24 considerar las siguientes 1234 2134 3124 4123
1324 2314 3214 4213
33
MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante
InversiónEn una disposición cualquier cantidad de dígitos, es una inversión
cuando un dígito se encuentra a la izquierda de otro dígito menor.
Inversion par, es cuando la cantidad de las inversiones es un número par, de otra forma de llama inversión impar.
Ejemplo: De la siguiente disposición de dígitos se tiene que hay 6 inversiones
4 3 1 6 2El 4 es mayor que 3 1 y 2El 3 es mayor que 1 y 2El 6 es mayor que el 2
34
MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante
Definición de determinante usando las inversiones de una permutación
|A | = r j1 j2 ...... Jn a 1 j1 a 2 j2 ..... a n jn
Es la suma de las Permutaciones r= n! j1 j2 ...... Jn de los enteros 1,2,3 .... N
j1 j2 ...... Jn = +1 o bien –1 según la permutación tenga inversion par o impar
a 1 j1 a 2 j2 ..... a n jn es un producto de n de los elementos elegidos de manera que solo exista un elemento de cada fila y de cada columna
35
MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante
Definición de determinante de segundo orden usando las inversiones de una permutación
|A| = 12 a11 a22 + 21 a12 a21 21 permutacion impar 12 permutacion par
= a11 a22 - a12 a21 a11 a12
a21 a22
36
MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante
Definición de determinante de tercer orden usando las inversiones de una permutación.....
|A| = 123 a11 a22a33 + 132 a11 a23a32 +213 a12a21a33+231 a12a23a31 +312 a13a21a32+321 a13a22a31
Permutaciones par 123 231 312
Permutaciones impares 132 213 321
Re acomodando queda
|A| =a11 a22 a33 + a21 a32a13 + a31 a12a23 -( a13 a22 a31 + a23 a32a11 +a33 a12 a21)
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
37
MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante
Definición de determinante de tercer orden usando las inversiones de una permutación
Y también queda: |A| = a11 (a22 a33 - a23 a32) - a12 (a21 a33 - a23 a31) + a13 (a21 a32 - a22 a31)
= a11 - a12 +a13
a a a a
3332
2322
a a a a
3331
2321
a a a a
3231
2221
38
MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante
Menor De un elemento de una Matriz de orden n, es el valor del determinante de orden n-1 formado al suprimir la fila y la columna de ese elemento.
Se representa por | Mi j |Ejemplo: Sea la matrizEl menor del elemento a11
|M11 | = = - 9 +8 =-1
321431422
3243
39
MATRICES Y DETERMINANTES5.4.Determinante
Matriz de MenoresEs la matriz cuadrada cuyos elementos con los menores de cada uno de los elementos.Ejemplo
572024331
[M]= 5702
5733
0233
5204
5231
7231
0431
2431
7224
[M]=
=
1412613116242010
40
MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante
Cofactor
Es un valor asociado a cada elemento de una matriz cuadrada y es:i,j = ( - 1 )i+j |M|i,j
Donde | Mi,j | es el menor del elemento ai,j
Y el signo dependerá de la suma de i +j: será + si la suma es par ó - si la suma es impar
Signos por el lugar que ocupa el elemento + - + - + - . . . . . - + - + - . . . . . + - + - + - . . . . - + - + - . . . . . 41
MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinantes
Matriz de Cofactores
Es la matriz cuadrada formada por los cofactores de cada uno de sus elementos.Ejemplo
572024331
[A]=
-Con [M] =
1412613116242010
Aplicando los signos correspondientes a cada elemento:
1412613116242010
Cofactores [A] =
42
MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinantes
Propiedades....
1 Si se intercambian las filas por las columnas en un determinante, el valor del determinante no se modifica.
Por lo anterior se hará la referencia como línea la fila o columna.
43
MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinantes
Propiedades....
2 Si el valor de todos los elementos de una línea son nulos, el determinante vale cero.
44
MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinantes
Propiedades....
3 Si se permutan dos líneas, el valor del determinante cambia de signo.
45
MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinantes
Propiedades....
4 Si un determinante tiene dos líneas iguales, el valor del determinante es cero.
46
MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinantes
Propiedades....
5 Si todos los elementos de una línea se multiplican por un mismo número “q”, el valor del determinante resultará multiplicado por “q”.
47
MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinantes
Propiedades....
6. Si todos los elementos de una línea son la suma de dos (o más) términos el determinante es igual a la suma de dos (o mas) determinantes.
48
MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinantes
Propiedades
7. Si todos los elementos de una línea se suman con los elementos correspondientes de otra línea multiplicados por un numero k, el valor del determinante no varía.
49
MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinantes
Cálculo de determinantes de orden superior, empleando cofactores
Es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea multiplicados cada uno por su respectivo adjunto.
Sea un determinante de orden n:1 Seleccionar una línea2 Multiplicar cada elemento de la línea seleccionada, por su correspondiente cofactor.3 Se realizar las operaciones, y se reduce debido al paso 1, el orden del determinante a n-14 Aplicar repetitivamente los pasos 1 y 2 hasta reducir en un determinante de segundo orden.
50
MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinantes
Cálculo de determinantes de orden superior, empleando cofactores
Ejemplo: Calcular |G| de la matriz [G] =1.- Seleccionar una línea, tercera columna2.- Multiplicar cada elemento de la línea seleccionada, por su
correspondiente cofactor.
= 3 - 0 +5 = 3(-72) –0 + 5(14) = -23.- Se realizar las operaciones, y se reduce debido al paso 1, el orden
del determinante a n-1 |G| = -2
572024331
7224 72
31
2431
51
MATRICES Y DETERMINANTES5.4. Determinante
100010001
Determinante de la matriz Identidad
El valor del determinante de la matriz Idenidad tiene el valor de 1.
Calcular el determinante de:
52
MATRICES Y DETERMINANTES5.4. Determinante
Determinante de la matriz Cero o Nula
El valor del determinante de la matriz Cero o Nula tiene el valor de 0.|0| =
Calcular el determinante de:
|0|
000000000
53
MATRICES Y DETERMINANTES5.4. Determinante
Determinante de la matriz Diagonal
El valor del determinante de la matriz Diagonal es el valor del producto algebraico de los valores de los elementos de la diagonal principal.
|H| = Hh11 h22 h33 h44......
Calcular el determinante de:
H]=
|H| =H
5000400010
54
MATRICES Y DETERMINANTES5.4. Determinante
Determinante de la matriz Escalar
El valor del determinante de la matriz Escalar es igual a (k)n donde n es el orden de la matriz Escalar y k el valor de la diagonal principal.
Calcular el determinante de:[S] =
|S| = S(2)n = (2)3 = 8
200020002
55
MATRICES Y DETERMINANTES5.4. Determinante
Determinante de la matriz Triangular Superior
El valor del determinante de la matriz Triangular Superior es igual al producto algebraico de los valores de los elementos de su diagonal principal.
|K| = Kk11 k22 k33 k44......
Calcular el determinante de:
[K]=
|K| =k
500540
7401
56
MATRICES Y DETERMINANTES5.4. Determinante
Determinante de la matriz Triangular Inferior
El valor del determinante de la matriz Triangular Inferior es igual al producto algebraico de los valores de los elementos de su diagonal principal.
|K| = Kk11 k22 k33 k44......
Calcular el determinante de:
[K]=
|K| =k
569047001
57
MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante
Rango r de una matriz
Para matrices cuadradas que [A] [0] Es el orden del determinante de valor diferente de cero, el orden de ese
determinante debe ser el de mayor orden de la matriz A]La matriz cero [0] tiene r = 0Ejemplo
141324121120
6610[A] =
r= 3 ya que |A| 0
58
MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante
Rango r de una matriz
Ejemplo: Calcular el rango de
El rango r no es 3 (orden de [A]) ya que |A| = 0Entonces se procede a revisar si por lo menos uno de los 9
determiantes de segundo orden tiene valor diferente a cero.Y el menor de a11 = = -32 y el orden es 2
Por lo tanto el rango de A]es r =2
424242202061010
[A] =
424220
59
MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante
Matriz Singular Es una matriz de orden n en la cual se cumple que: r < n
Ejemplo: De la matriz Determinar si la matriz es singularComo |A| = 0 y a21 = y el orden es 2Entonces r = 2 por lo que 2 < 3La matriz es Singular
141324662662
[A]=
141366
60
MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante
Matriz No Singular Aquella matriz de orden n en la cual se cumple que: r = nEl rango de la matriz es igual al orden de la matrizEjemplo: De la matriz [A]= Determinar si la matriz es no singular Como |A| 0 Entonces r = 3 entonces 3 = 3La matriz es No Singular
141324121120
6610
61
MATRICES Y DETERMINANTES 5.5. Matriz Inversa
Matriz Inversa
Si [A] y [B]-1 son matrices cuadradas, conformables para la multiplicación, la matriz Inversa [B]-1 es aquella que cumple con:
[A] x [B]-1 = [B]-1 [A] = [ ]
A la matriz [B]-1 se le llama matriz Inversa de [A] Ejemplo de matrices Inversas:
421331321
101011326
x =
100010001
62
MATRICES Y DETERMINANTES5.5. Matriz Inversa
Matriz Adjunta
Es aquella matriz que se forma de una matriz cuadrada.La manera de construirla es la siguiente:1. Construir la matriz de cofactores. cofactores[M] 2. Transponer la matriz de cofactores. ( cofactores [M] )T
adj [A] = ( cofactores [M] )T
63
MATRICES Y DETERMINANTES5.5. Matriz Inversa
Matriz Adjunta
EjemploSea una matriz [A])=
Con su correspondiente matriz de cofactores cofactores [M] = Entonces adj [A] =
572024331
1412613116242010
141324121120
6610
64
MATRICES Y DETERMINANTES5.5. Matriz Inversa
Propiedades de la Matriz Adjunta
[A] x adj [A] = (| A |) [ EjemploSea [A]= |A| = - 2 y adj [A] =
Entonces:
x
572024331
100010001
= ( -2)
141324121120
6610
572024331
141324121120
6610
65
MATRICES Y DETERMINANTES5.5. Matriz Inversa
Propiedades de la Matriz Adjunta
La Matriz Adjunta de un producto matricial es igual al producto de las adjuntas de las matrices
adj ( [A] x [B] ) = adj [B] x adj [A]
66
MATRICES Y DETERMINANTES 5.5. Matriz Inversa
Matriz Inversa por medio de la Matriz Adjunta
Con base en el concepto de Matriz Adjunta se tiene que [A] x adj [A] = | A | [ ]Si [A] es no singular entonces | A |=0 despejando: [A] = []
Entonces [A] –1 =
||][
AAadj
||][
AAadj
67
MATRICES Y DETERMINANTES 5.5.2. Matriz Inversa
Ejemplo
Calcular la Matriz inversa por medio de la matriz adjunta
Sea [A] = y la Adj [A] = y |A| = - 2
Entonces [A] –1 =(-1/2)
572024331
141324121120
6610
141324121120
6610
68
MATRICES Y DETERMINANTES 5.5. Matriz Inversa
Transformaciones elementales en una matriz....
Al realizarse las transformaciones elementales en una matriz, no se cambia el valor del orden ni del rango de la matriz.
Se k un escalar diferente a 01. El intercambio de filas. Ejemplo intercambiar los elementos de
la fila uno por los elementos de la fila tres.2. El intercambio de columnas. Mismo concepto de las filas.3. La multiplicación de cada elemento de una fila por un escalar k .
69
MATRICES Y DETERMINANTES 5.5. Matriz Inversa
Transformaciones elementales en una matriz
4. La multiplicación de cada elemento de una columna por un escalar k.
5. La suma a los elementos de una fila de k veces los correspondientes elementos de otra fila.
6. La suma a los elementos de una columna de k veces los correspondientes elementos de otra columna.
70
MATRICES Y DETERMINANTES 5.5. Matriz Inversa
Matrices Equivalentes
Dos matrices [A] y [B] son equivalentes, si una puede ser obtenida de la otra por una secuencia de transformaciones elementales.
Se denotan como [A] [B]
Ambas matrices tienen el mismo orden y el mismo rango
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MATRICES Y DETERMINANTES 5.5.3. Matriz Inversa
Matriz Inversa por medio de Transformaciones elementales
Pasos:1. A la matriz [A] cuadrada, de orden m se le agrega en la parte
derecha la matriz identidad, de orden m . [ [ A ] [ ] ] quedando una matriz aumentada2. Por medio de transformaciones elementales, se obtiene la matriz
identidad [] en el lugar en que estaba la matriz [A].Y en el lugar en que estaba la matriz [ ] queda la matriz inversa[ [ ] [ A ]-1 ]
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MATRICES Y DETERMINANTES 5.5.3. Matriz Inversa
Ejemplo Matriz Inversa por Transformaciones Elementales….
Sea [A] =1. Se forma la matriz aumentada [ [ A ] [ ] ] =2 Se realizan las transformaciones elementales para obtener [] Se intercambian los renglones 1 y 2
2da fila = 2da fila + 3 1era fila
10
01
45
13
01
10
54
31
31
10
74
01
4153
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MATRICES Y DETERMINANTES 5.5.3. Matriz Inversa
Ejemplo Matriz Inversa por Transformaciones Elementales….
2da fila = (-1/7) 2da fila
1a fila = 1a fila –4 2da fila
[ A ]-1=
7/37/17/57/4
7/31
7/10
14
01
7/37/5
7/17/4
10
01
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MATRICES Y DETERMINANTES Bibliografía
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