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MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN
LINEAL
A toda transformación línea f: v →w de espacios vectoriales de dimensiones
finitasn y m, respectivamente, se le puede asociar a una matriz A € M mxn, tal que f(x) = Ax, donde x =
Recíprocamente a toda matriz se le puede asociar con una transformación lineal:
f: v → wEsto es de extrema utilidad considerando que:
DimIm (f) = Rango f = Rango A
njvjfscoordenadadevectoreles
columnaesimajcuyamatrizunaesAdonde
vAufnMmA
WdeordenadabasewnwwwB
VdeordenadabasevnvvvB
B
BB
1)(
:
)(/
...3,2,1
...3,2,1
2
12
2
1
Gráfico:
V W
v
B1
f(v)
B2
f
1Bv 2)( Bvf
1212 )( BBBB vvff
Notación:V: espacio vectorial de salida
W: espacio vectorial de llegada
v: vector de la base del espacio vectorial de salida
f(v): imagen del vector de la base del espacio vectorial de salida
B1: Base del espacio vectorial de salida
B2: Base del espacio vectorial de llegada
(v)B1: Coordenada del vector de la base del espacio vectorial de salida
f(v)B2: Coordenada de la imagen del vector de la base del espacio vectorial de salida respecto a B2
A Matriz Asociada de B1 en B2
12BBfA
Datos: 1 Base de cada espacio vectorial
Procedimiento:
Tomamos los vectores de la base B1, sacamos sus respectivas imágenes con la transformación lineal dada, expresamos los vectores de la base B2 como combinación lineal de las imágenes obtenidas multiplicándolos por escalares, encontramos los escalares colocándolos en columna junto con los vectores de la base B2 formando una matriz ampliada, resolvemos la matriz hasta llegar a la matriz identidad, a los escalares obtenidos los colocamos en columna en la matriz asociada.
Notas
Cuando trabajamos con las bases canónicas los escalares son las coordenadas de la imágen de los vectores.
La imagen se relaciona con el vector atravez de la matriz asociada.
Si multiplico las matrices obtengo la transformación lineal
MATRIZ CAMBIO DE BASE
¿Qué debo hacer para obtener un mismo vector expresado en diferentes bases?
dimensión misma una deser deben es vectorialespacios Los
identidad la es utiliza se que lineal aplicación La
B2 a B1 de base de cambio matriz denomina seanterior resultado delA matriz La
:Definición
.
.
.v
v
=A
vectoreslosson columnas cuyasmxn Matriz laA Sea
finita.dimensión de vectorialespacioun de ordenadas bases dos }v…v,v,{v =By }v…v,v,{v B Sea
2
23
22
21
m3212n3211
Bn
B
B
B
v
v
Gráfico:
V W
v
B1
F(v)=v
B2
Id
1Bv 2)( Bvf
12BBIdA
122
1212
BBB
BBBB
vIdv
vIdvf
Notación:V: espacio vectorial de salida
W: espacio vectorial de llegada
v: vector de la base del espacio vectorial de salida
f(v): imagen del vector de la base del espacio vectorial de salida
B1: Base del espacio vectorial de salida
B2: Base del espacio vectorial de llegada
(v)B1: Coordenada del vector de la base del espacio vectorial de salida
f(v)B2: Coordenada de la imagen del vector de la base del espacio vectorial de salida respecto a B2
A Matriz Identidad de B1 en B2
Ejercicios Resueltos
2)
Ejercicios Resueltos