Mecanica para-ingenieros-estatica-6ed-hibbeler

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2. MECNICA PARA INGENIEROS~ ESTATICA R. c. HIBBELER ~-------- http://carlos2524.jimdo.com/ 3. http://carlos2524.jimdo.com/ 4. MECNICA PARA INGENIEROS ESTTICA R.e. Hibbeler SEXTA EDICIN EN INGLS (TERCERA EDICIN EN ESPAOL) DCIMA TERCERA REIMPRESIN MXICO, 2006 COMPAA EDITORIAL CONTINENTAL http://carlos2524.jimdo.com/ 5. Para establecer comunicacin con nosotros puede hacerlo por: correo: Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca, Azcapotzalco, 02400, Mxico, D.F. fax pedidos: .(015) 561 4063 561 5231 e-mail: [email protected] home page: http://www.patriacultural.com.mx Ttulo original de la obra: ENGlNEERING MECHANICS: STATICS. 6TH. ED. ISBN 0-02-354685-9 Traduccin autorizada de la sexta edicin: Mac Millan Publishing Company, a division of Mac Millan Inc. USA. Copyright 1992, By R.C. Hibbeler Traduccin: Andrs Sestier B. Licenciado en Matemticas Profesor titular del Depto. de Matemticas UAM, Iztapalapa Revisin tcnica: Ricardo Gnem e. Ingeniero Fsico M. en 1. Texas University, Arlington Profesor del Depto. de Mecnica del ITSM Campus Edo. de Mxico Revisin especial de: Ing. Luis Palomino Ramrez e Ing. Jos Nicols Ponciano lTSM Campus Edo. de Mxico Mecnica para ingenieros: Esttica Derechos reservados respecto a la edicin en espaol: 1979, 1989, 1993, R.e. Hibbeler 1993, Compaa Editorial Continental, S.A. de C.v. 2000, GRUPO PATRIA CULTURAL, S.A. DE C.v. bajo el sello de Compaa Editorial Continental Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca, Delegacin Azcapotzalco, e.P. 02400, Mxico, D.F. Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Registro nm. 43 ISBN 968-26- 1233-0 (tercera edicin) (ISBN 968-26-0818-X segunda edicin) (ISBN 968-26-0290-4 primera edicin) (ISBN 968-26.;-0780-9 coleccin) Queda prohibida la reproduccin o transmisin total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrnicas o mecnicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor. Impreso en Mxico Printed in Mexico Primera edicin: 1979 Segunda edicin: 1989 Tercera edicin: 1993 Dcima segunda reimpresin: 2005 Dcima tercera reimpresin: 2006 http://carlos2524.jimdo.com/ 6. AL ESTUDIANTE Con la espe.ranza de que este trabajo estimule su inters por la Ingeniera Mecnica y le proporcione una gua aceptable para su comprensin http://carlos2524.jimdo.com/ 7. http://carlos2524.jimdo.com/ 8. Prlogo En este libro nos proponemos hacer una presentacin clara y completa para el estudiante de la teora y las aplicaciones de la ingeniera mecnica. Para lograr este objetivo el autor'no ha tra- bajado solo, muy lejos de ello, pues en gran medida este libro ha tomado forma gracias a los comentarios y sugerencias de ms de un centenar de revisores de la profesin docente y numerosos exalumnos del autor que han usado las ediciones precedentes. Mucho es lo que se ha hecho durante la preparacin de esta nueva edicin. Quienes ya conocan el libro encontrarn que el trabajo artstico se ha realzado notablemente con el fin de que el material adquiera un relieve ms realista y se haga ms compren- sible. En esta edicin hay ms problemas que en las anteriores, y casi todos son nuevos. El material que contiene el libro sigue el orden de la edicin anterior, algunos temas se han ampliado, los ejemplos se han reemplazado, y las explicaciones de numerosos temas se han mejorado con una nueva y cuidadosa reconstruccin de frases seleccionadas. El sello distintivo del libro sigue siendo el mismo, a saber, que donde se hace necesario se recalca la importancia de trazar un diagrama de cuerpo libre y se insiste en la importancia de elegir un sistema conveniente de coordenadas y una convencin de signos apropiados para las componentes vectoriales al aplicar las ecuaciones de la mecnica. Organizacin y planteamiento. El contenido de cada captulo est organizado en secciones bien definidas. Los grupos es- peciales de secciones contienen una explicacin de temas espec- ficos, problemas ilustrativos de ejemplo y una serie de problemas de tarea. Los temas dentro de cada seccin aparecen ensubgrupos definidos con ttulos en negritas. El propsito es presentar un m- todo estructurado para introducir cada nueva definicin o concepto, y adecuar el libro para referencias posteriores y repaso. http://carlos2524.jimdo.com/ 9. Vlll PRLOGO Al final de numerosas secciones se da un "procedimiento de anlisis" que proporciona al estudiante un repaso o resumen del material y un mtodo lgico y ordenado para aplicar la teora. Co- mo en ediciones previas, los problemas de ejemplo se resuelven usando los lineamientos de este mtodo para dejar cIara su aplicacin numrica. Pero debe entenderse que una vez que haya dominado los principios pertinentes y adquirido suficiente criterio y confianza, el estudiante podr desarrollar sus propios mtodos para resolver los problemas. En la mayora de los casos, esti- mamos que el primer paso de un procedimiento debe ser la elaboracin de un diagrama. Hacindolo as, el estudiante-se forma el hbito de tabular los datos necesarios, al tiempo que se concentra en los aspectos fsicos del problema y su geometra. Si se supera correctamente esta primera etapa, la aplicacin de las ecuaciones pertinentes de la mecnica se vuelve metdica, pues los datos se van tomando en forma directa del diagrama. Este paso tiene particular importancia en la solucin de los problemas que implican equilibrio, razn por la que nos referimos con insis- tencia al trazado de diagramas de cuerpo libre a lo largo del todo el libro.. Dado que las matemticas proporcionan el medio de una aplicacin sistemtica de los principios de la mecnica, se espera del estudiante que tenga conocimientos de lgebra, geometra y trigonometra y, para el estudio completo, algo de clculo. El anlisis vectorial se introduce donde puede aplicarse ms. En ocasio- nes, con su ayuda se obtienen deducciones concisas de la teora, y hace posible la solucin Simple y sistemtica de numerosos problemas complicados en tres dimensiones. A veces, se resuelven los problemas de ejemplo por dos o tres mtodos de anlisis para que el estudiante desarrolle la habilidad de usar las matemticas como herramienta y aprenda a encontrar el mtodo ms directo y eficaz de resolver un problema. Problemas. Numerosos problemas del libro describen situaciones realistas que se pueden encontrar en la prctica de la ingeniera. Esperamos que este realismo sirva para estimular el inters del estudiante en la ingeniera mecnica, a la vez que le ayude a desarrollar la capacidad de reducir un problema de este tipo de su descripcin fsica a Un modelo o representacin sim- blica en donde sean aplicables los principios de la mecnica. Como en la precedente, en esta edicin se ha hecho un esfuerzo para incluir algunos problemas que se puedan resolver usando un procedimiento numrico realizable en una computadora personal o una calculadora programable de bolsillo. El apJldice B presenta tcnicas numricas apropiadas junto con sus programas de computadora asociados. Lo que se intenta con ello es ampliar la capacidad del estudiante para usar otras formas de anlisis sin saciificar el tiempo requerido para concentrarse en la aplicacin http://carlos2524.jimdo.com/ 10. de los principios de la mecnica. Los problemas de este tipo que se pueden o se deben resolver mediante la utilizacin de los m- todos numricos se identifican con el smbolo del cuadrado (.), contiguo al nV1ero de problema. El nmero de problemas que usan las unidades del sistema SI es poco ms o menos el mismo que el correspondiente para las unidades FPS. Adems, en cada coleccin de problemas se ha tratado de seguir el orden de dificultad creciente.* Las respuestas de todos, salvo cada cuarto problema, se encuentran al final del libro. Cada problema sin respuesta impresa aparece con un asterisco C) contiguo al nmero del prohlema. Contenido. El libro se divide en 11 captulos, en los que los principios introducidos empiezan aplicndose a situaciones simples. Lo ms frecuente es que cada principio se aplique primero a una partcula, luego a un cuerpo rgido sometido a un sistema de fuerzas coplanares y por ltimo, al caso general de los sistemas tridimensionales de fuerzas que actan sobre un cuerpo rgido. El texto se inicia en el captulo 1 con una introduccin a la mecnica y una exposicin de los sistemas de unidades. En el Gap- tulo 2 se introducen la nocin de vector y las propiedades de un sistema de fuerzas concurrentes. Esta teora se aplica en seguida al equilibrio de las partculas en el captulo 3. El captulo 4 contiene una exposicin de los sistemas concentrados y distribuidos de fuerzas y los mtodos que se utilizan para simplificarlos. En el captulo 5 se desarrollan los principios Del eq_uiliori de cuerpos rgidos para aplicarlos, en el captulo 6, a problemas especfi- cos que involucran equilihrio de armaduras, bastidores y mquinas, y al anlisis de fuerzas internas en vigas y cahles, en el captulo 7. Las aplicaciones a problemas que involucran fuerzas de friccin se tratan en el captulo 8, y los temas relacionados con el centroide y el centro de gravedad se tratan en el captulo 9. Si el tiempo lo permite, podrn cuhrirse las secciones sohre temas ms avanzados que vienen sealadas con una estrella (*). La mayora de estos temas se incluyen en el captulo 10 (rea y momentos de masa de inercia) y el captulo 11 (trahajo virtual y energa potencial). Ntese que este material tamhin se relacio- na con principios que son bsicos en cursos ms avanzados. A juicio del profesor, podr seguirse otra secuencia de trahajo sin ruptura de la continuidad lgica. Por ejemplo, es posihle introducir el concepto de una fuerza y todos los mtodos necesarios del anlisis vectorial cubriendo primeramente el captulo 2 y la seccin 4.1. Luego, una vez que se haya visto el resto del captulo 4 (sistemas de fuerzas y momentos), podrn estudiarse los mtodos de equilibrio en los captulos 3 y 5. Los problemas de repaso al final de cada captUlo se presentan en orden aleatOlio. PRLOGO ix http://carlos2524.jimdo.com/ 11. x PRLOGO Reconocimientos. He intentado escribir este libro de modo que suscite el inters del instructor y del alumno. Un gran nmero de personas han ayudado a desarrollarlo a lo largo de muchos aos y deseo expresarles mi agradecimiento por sus comentarios y sugerencias que mucho he apreciado. Especficamente, quiero agradecer a quienes contribuyeron a esta edicin, esto es, al profesor Jafar Al-Abdulla, University of Wisconsin; profesor Ziad Bayasi, Bradley University; profesor William A. Best, Lafayette College; profesor James Devine, University of South Florida; profesar E.S. Doderer, Trinity University, San Antonio; profeso- ra Brenda Gile, Wichita State University; profesor Zouheir Has- hcm, University of Texas at Arlington; profesor Henry Haslach, Jr., University of Maryland; Lt. Commander David Shikada, U.S. Naval Academy; profesor Larry Stauffer, University of Idaho, Moscow; profesor Ralph Stephens, University of Iowa; profesor Poojitha Yapa. Clarkson University; y profesor Kingman Yee, Lawrence Technological University. Mi agradecimiento especial a los profesores Edward Hornsey, University of Missouri, Rolla y Will Lidell Jr., Auburn University at Montgomery, y a un exdisC- pulo en posgrado, el seor Kai Beng Yap, por la ayuda que me prestaron en la verificacin de las respuestas a los problemas. Muchas gracias tambin a todos mis estudiantes y a todos los miembros de la profesin docente que se tomaron la molestia y el tiempo de enviarme comentarios y sugerencias. La lista de ellos es demasiado extensa y les ruego que acepten este agradecimiento annimo. Adems, en mucho aprecio la libertad y el apoyo que me ofrecieron mis editores y el personal de MacMi- llan, especialmente David Johnstone, Gary Ostedt, Dora Rizzu- to, Anna Yip y Sandy Moare. Por ltimo, quiero reconocer aqu la ayuda de mi esposa, Conny, durante todo el tiempo de preparacin del manuscrito para su publicacin. Russell Charles HibbeLer http://carlos2524.jimdo.com/ 12. Contenido 1 Principios generales 2 Vectores de fuerza Mecnica 1 Conceptos fundamentales 2 Unidades de medida 5 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Sistema internacional de unidades (SI) Clculos numricos 9 Procedimiento general de anlisis 13 2.1 Escalares y vectores 15 2.2 Operaciones vectoriales 16 2.3 Adicin vectorial de fuerzas 18 7 2.4 Adicin de un sistema de fuerzas coplanares 28 2.5 Vectores cartesianos 39 2.6 Adicin y sustraccin de vectores cartesianos 44 2.7 Vectores de posicin 53 2.8 Vector de fuerza dirigido a lo largo de una recta 56 2.9 El producto escalar o producto punto 66 1 15 http://carlos2524.jimdo.com/ 13. xii CONTENIDO 3 Equilibrio de una partcula 77 3.1 Condicin para el equilibrio de una partcula 77 3.2 El diagrama de cuerpo libre 78 3.3 Sistemas de fuerzas coplanares 82 3.4 Sistemas de fuerzas en tres dimensiones 95 4 Resultantes de un sistema de fuerzas 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 s Equilibrio de un cuerpo rgido 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 El producto cruz 107 Momento de una fuerza. Formulacin escalar Momento de una fuerza. Formulacin vectorial Transmisibilidad de una fuerza y el principio de momentos pO Momento de una fuerza con respecto a un eje especificado 129 Momento de un par 139 Movimiento de una fuerza en un cuerpo rgido Resultantes de un sistema de fuerzas y pares Reduccin adicional de un sistema de fuerzas y momentos de pares 156 Reduccin de una distribucin de cargas simple Condiciones de equilibri,o de un cuerpo rgido Equilibrio en dos dimensiones 188 Diagramas de cuerpo libre 188 Ecuaciones de equilibrio 201 Miembros de dos y de tres fuerzas 210 Equilibrio en tres diniensiones 221 Diagramas-de-euerpo libre 221 Ecuaciones de equilibrIo 226 Restricciones para un cuerpo rgido 227 107 111 113 149 1~1 172 185 185 http://carlos2524.jimdo.com/ 14. 6 Anlisis estructural 7 Fuerzas internas 8 Friccin CONlENIDO xiii 6.1 6.2 6.3 6.4 * 6.5 6.6 7.1 * 7.2 * 7.3 * 7.4 Armaduras simples 245 El mtodo de los nudos Miembros de fuerza cero El mtodo de las secciones 248 255 262 Armaduras espaciales 273 Marcos y mquinas 278 Fuerzas internas desarrolladas en miembros estructurales 309 Diagramas y ecuaciones de fuerza cortante y de momento 325 Relaciones entre carga distribuida, fuerza cortante y momento 334 Cables 345 8.1 Caractersticas de la friccin en seco 365 8.2 Problemas de friccin en seco 370 8.3 Cuas 390 * 8.4 Fuerzas de friccin en tornillos 392 * 8.5 Fuerzas de friccin en bandas planas 402 * 8.6 Fuerzas de friccin en apoyos de collarn, apoyos de pivote y discos 408 * 8.7 Fuerzas de friccin en chumaceras 411 * 8.8 Resistencia al rodamiento 413 245 309 365 http://carlos2524.jimdo.com/ 15. XlV CONTENIDO 9 Centro de gravedad y centroide 423 9.1 Centro de gravedad y centro de masa para un sistema de partculas 423 9.2 Centro de gravedad, centro de masa y centroide de un cuerpo 425 9.3 Cuerpos compuestos 442 * 9.4 Teoremas de Pappus y Guldinus 455 * 9.5 Resultante de un sistema general de fuerzas distribuidas 464 * 9.6 Presin de fluidos 465 10 Momentos de inercia 479 11 Trabajo virtual 10.1 Definicin de los momentos de inercia para las reas 479 10.2 Teorema de ejes paralelos para un rea 481 10.3 Radio de giro de un rea 482 10.4 Momentos de inercia para un rea por integracin 482 10.5 Momentos de inercia para reas compuestas 490 * 10.6 Producto de inercia para un rea 497 * 10.7 Momentos de inercia para un rea con respecto a ejes in- * 10.8 10.9 11.1 11.2 11.3 * 11.4 * 11.5 * 11.6 * 11.7 clinados 501 Crculo de Mohr para momentos de inercia 505 Momento de inercia de masa 513 527 Definicin de trabajo y de trabajo virtual 527 Principio del trabajo virtual para una partcula y un cuerpo rgido 530 Principio del trabajo virtual para un sistema de cuerpos rgidos conectados. 531 Fuerzas conservativas 545 Energa potencial 546 Criterio de la energa potencial para el equilibrio 548 Estabilidad del equilibrio 549 http://carlos2524.jimdo.com/ 16. CONTENIDO XV Apndices 23 A Expresiones matemticas 565 B Anlisis numrico y computacional 567 Respuestas 577 ndice de materias 591 79 http://carlos2524.jimdo.com/ 17. http://carlos2524.jimdo.com/ 18. 1 Principios Generales En este captulo se presentan numerosos conceptos fundamentales de la mecnica. Se incluye una discusin de los modelos o idealizaciones utilizados para aplicar la teora, un enunciado de las leyes de Newton del movimiento que son la base del tema y una revisin general de los principios de aplicacin del sistema internacional de unidades (SI). Despus se explican los procedimientos estndar de los clculos numricos. Al final del captulo se ofrece una gua con lineamientos generales para resolver problemas. 1.1 Mecnica La mecnica puede ser definida como la rama de las ciencias fsicas que trata del estado de reposo o movimiento de los cuerpos ,sujetos a la accin de fuerzas. En trminos generales, el tema se subdivide en tres ramas: mecnica de cuerpos rgidos, mecnica de cuerpos deformables, y mecnica de fluidos. Este libro trata solamente de la mecnica de cuerpos rgidos, dado que esta rama es la que se requiere para el diseo y anlisis de multiples tipos de dispositivos estructurales, mecnicos y elctricos de la ingeniera. Debe agregarse que la mecnica de cuerpos rgidos es parte de la base necesaria en el estudio de la mecnica de cuerpos deforma- bIes y la mecnica de fluidos. La mecnica de cuerpos rgidos se divide en dos reas: esttica y dinmica. La esttica trata del equilibrio de los cuerpos, es decir, de los que se encuentra~ en estado de reposo o se mueven con velocidad constante; en tantQ que la dinn'lica se ocupa del http://carlos2524.jimdo.com/ 19. 2 CAP.1 PRINCIPIOS GENERALES movimiento acelerado de los cuerpos. Aunque la esttica puede considerarse como parte de la dinmica en la que la aceleracin sea cero, la esttica merece tratarse aparte en los estudios de ingeniera, porque muchos objetos se disean con la intencin de que permanezcan en equilibrio. Desarrollo histrico. La materia de la esttica se desarroll muy temprano en la historia, pues los principios que involucra podan formularse simplemente a partir de las medidas geomtricas y la medicin de fuerzas. Por ejemplo, los escritos de Ar- qumedes (287-212 a.e.) tratan del principio de la palanca. Do- cumentos antiguos registran tambin estudios sobre la polea, el plano inclinado, y la llave de tuerca, en una poca en que las ne- cesidades de la ingeniera se limitaban principalmente a la construccin. Puesto que los principios de la dinmica dependen de la precisin ewla medida del tiempo, esta materia vino adesarrollarse mucho ms tarde. Galileo Galilei (1564-1642) fue uno de los grandes pioneros en este campo. Su trabajo consisti en experi- mentos con pndulos y cuerpos en cada libre. Las contribucio- nes ms significativas a la dinmica, sin embargo, se deben a Isaac Newton (1642-1727), conocido ante todo por su formulacin de las tres leyes fundamentales del movimiento y la ley de la gravitacin universal. Poco tiempo despus de postuladas estas leyes, Euler, D'Alembert, Lagrange y otros desarrollaron importantes tcnicas para sus aplicaciones. 1.2 Conceptos fundamentales Antes de iniciar nuestro estudio de la mecnica de cuerpos rgidos es importante comprender el significado de ciertos conceptos y principios fundamentales. Cantidades bsicas. Las cuatro cantidades que siguen se usan en toda la mecnica de cuerpos rgidos. Longitud. La longitud es necesaria para localizar la posicin de un punto en el espacio y por este medio describir el tamao de un sistema fsico. Una vez definida una unidad de longitud pa- trn, podrn definirse cuantitativamente las distancias y propiedades geomtricas de un cuerpo como mltiplos de la longitud unitaria. Tiempo. El tiempo se concibe como una sucesin de eventos. Aunque los principios de la esttica son independientes del tiempo, esta cantidad desempea un papel importante en el estudio de la dinmica. http://carlos2524.jimdo.com/ 20. SECo 1.2 CONCEPTOS FUNDAMENTALES 3 Masa. La masa es una propiedad de la materia por medio de la cual podemos comparar la accin de un cuerpo con la de otro. Esta propiedad se manifiesta como una atraccin gravitacional entre dos cuerpos y proporciona una medida cuantitativa de la resistencia de la materia a un cambio de velocidad. Fuerza. En general, llamamos fuelZa a la accin de "empujar" o de "tirar" ejercidas por un cuerpo sobre otro. Esta interaccin puede ocurrir cuando existe contacto directo entre los cuerpos, como cuando una persona empuja una pared, o puede ocurrir a travs de una distancia cuando los cuerpos se encuentren fsica- mente separados. Como ejemplos de esto ltimo tenemos las fuerzas gravitacionales, elctricas y magnticas. En todo caso, una fuerza queda caracterizada por su magnitud, direccin y punto de aplicacin. Idealizaciones. En la mecnica se usan modelos O idealizaciones para simplificar la aplicacin de la teora. Algunas de las idealizaciones ms importantes se definirn ahora; otras idealizaciones notables, por otra parte, se explicarn en el momento oportuno. Partcula. Una partcula tiene masa pero tamao despreciable. Por ejemplo, el tamao de la Tierra es insignificante comparado con el de su rbita y, por tanto, la Tierra puede pensarse como si fuera una partcula al estudiar su movimiento orbital. Cuando un cuerpo es idealizado como partcula, los principios de la mecnica se reducen a una forma simplificada porque entonces la geometra del cuerpo quedar fuera del anlisis del problema. Cuerpo rgido. Un cuerpo rgido puede considerarse como la combinacin de un gran nmero de partculas en la que todas las partculas permanecen a distancias fijas entre s antes y despus de aplicar una carga. En consecuencia, las propiedades ma- teriales de un cuerpo cualquiera, que se considere como rgido, no tendrn ,que tomarse en cuenta al analizar las fuerzas que actan sobre l. En la mayor parte de los casos, las deformaciones que se dan en las estructuras, mquinas, mecanismos y objetos semejantes son relativamente pequeas, siendo adecuada la hi- ptesis de cuerpo rgido para efectos del anlisis. Fuerza concentrada. La fuelZa concentrada representa el efecto de una carga que se supone que acta en un punto del cuerpo. Este efecto se puede representar por medio de una fuerza concentrada, siempre y cuando el rea de aplicacin de la carga sea muy pequea en comparacin con el tamao total del cuerpo. Las tres leyes del movimiento de Newton. La totalidad de la mecnica de cuerpos rgidos se formula con base en las tres http://carlos2524.jimdo.com/ 21. 4 CAP. 1 PRINCIPIOS GENERALES leyes del movimiento de Newton, cuya validez se basa a su vez en la observacin experimental. Se aplican al movimiento de una partcula medido respecto a un sistema de referencia no acelerado y pueden enunciarse brevemente como sigue: Primera ley. Una partcula inicialmente en reposo o movindose en lnea recta y a velocidad constante permanecer en este estado a condicin de que la partculano se sujete a una fuerza desequilibrada: Segunda ley. Una partcula sobre la cual acta unaJuerza desequilibrada F experimenta una aceleracin a que tiene la misma direccin que la fuerza y una magnitud directamente proporcional a la fuerza. Si se aplica F a la partcula de masa m, esta ley puede expresarse matemticamente como F = ma (1.1) Tercera ley. Las fuerzas mutuas de accin y reaccin entre dos partculas son iguales, opuestas y colineales. Ley ,de la gravitacin universal de Newton. Poco tiempo despus de haber formulado sus tres leyes del movimiento, New- ton postul una ley que rige la atraccin gravitacional entre dos partculas cualesquiel'a. El enunciado matemtico es F = G mlm2 r2 donde F = fuerza de gravitacin entre las partculas (1.2) G = constante de gravitacin universal; de acuerdo con la evidencia experimental, G = 66.73(10-12)m3 j(kg l) mI,m2 = masa de cada una de las dos partculas r = distancia entre las dos partculas Peso. De acuerdo con la ecuacin 1.2, dos partculas o cuerpos cualesquiera tienen una fuerza mutua de atraccin (gravitacional) entre s. En el caso de una partcula localizada sobre o cerca de la superficie de la Tierra; sin embargo, la nica fuerza gravitacional con una magnitud de consideracin es la fuerza entre la . Tierra y la partcula. Consecuentemente, esta fuerza denomina- da peso, ser la nica fuerza gravitacional que vamos a considerar en nuestro estudio de la mecnica. A partir de la ecuacirl 1.2 podemos obtener una expresin apro- ximada para encontrar el peso W de una partcula con masa mI = m. Si suponemos que la Tierra es una esfera no en rotacin, * Dicho de otra manera, la fuerza desequilibrada que acta sobre la partcula es proporcional a la rapidez de cambio del momento lineal respecto al tiempo. http://carlos2524.jimdo.com/ 22. con densidad constante y masa m2' entonces si r es la distancia entre el centro de la Tierra y la partcula, tenemos W =G mm2 ---:r Si se escribe g = Gm2// se obtiene IW=mg I (1.3) SECo 1.3 UNIDADES DE MEDIDA 5 Al comparar con la ecuacin 1.1, denominamos g, a la aceleracin debida a la gravedad. En vista de que depende de r, se con- cluye que el peso de un cuerpo no es una cantidad absoluta. Ms bien, su magnitud est determinada por el lugar de la medicin. Para la mayor parte de los clculos de ingeniera, sin embargo, g se determina a nivel del mar y a una latitud de 45, que se considera la "situacin estndar". 1.3 Unidades de medida Las cuatro cantidades bsicas, longitud, tiempo, masa y fuerza, no son todas independientes entre s; de hecho se encuentran re- lacionadas por la segunda ley del movimiento de Newton, F = ma. De aqu que las unidades empleadas para definir fuerza, masa, longitud y tiempo no se pueden elegir todas arbitrariamen- te. La igualdad F = ma conserva su validez slo si tres de las cuatro unidades, denominadas unidades bsicas, se definen arbitraria- mente y se deriva la cuarta unidad a partir de la ecuacin. Las unidades SI. ,El Sistema Internacional de unidades, abre- viado SI, originalmente en francs Systeme International d'Units, es una versin moderna del sistema mtrico decimal que ha me- recido el reconocimiento universaL Como se muestra en la tabla 1.1, el sistema SI especifica la longitud en metros (m), el tiempo en segundos(s), y la masa en kilogramos (kg). La unidad de fuerza, llamada newton (N), se deriva de F = ma. As, 1 newton es igual a la fuerza que se requiere para dar a un kilogramo de masa una aceleracin de 1 mls2 (N = kg . mls2) Si se desea determinar en newtons el peso de un cuerpo que se encuentre en una "situacin estndar" deber aplicarse la ecuacin 1.3. Aqu g = 9.80665 mJs2, sin embargo, para hacer los clculos se usar el valorg = 9.81 m/S2. As, W = mg (g = 9.81 m/s2) (1.4) Por lo tanto, un cuerpo cuya masa sea 1 kg tiene un peso de 9.81 N; un cuerpo de 2 kg pesa 19.62 N ,etctera. http://carlos2524.jimdo.com/ 23. 6 CAP. 1 PRINCIPIOS GENERALES Unidades USCS. En el sistema de unidades usual de los EV., en ingls U.S. Customary system, ms conocido como FPS (de Foot, Pound, Second), la longitud se mide en pies (ft), la fuerza en libras (lb) y el tiempo en segundos (s), tabla 1.1. La unidad de masa llamada slug, se deriva de F = ma. Por tanto, 1 slug es igual a la cantidad de materia que experimenta una aceleracin de 1 ft/S2al aplicarle una fuerza de 11b (slug = lb . S2/ft). Para determinar la masa de un cuerpo con un peso medido en libras debe aplicarse la ecuacin 1.3. Si las medidas se hacen en una "situacin estndar", entonces g = 32.2 ft/s2 ser el valor que se use en los clculos. Por tanto, Tabla Cantil. Fuer Mas; Lon 1.4 ~ W m = - (g =32.2 ft/s2) g (1.5) El sis1 que e Por le su teny de esta manera, un cuerpo que pesa 32.2 lb tiene una masa de 1 slug; un cuerpo de 64:4 lb; una masa de 2 slug, etc. Tabla 1.1 Sistemas de unidades Nombre SI FPS Longitud metro pie (m) (ft) Tiempo segundo segundo (s) (s) Masa kilogramo slug* (kg) (lbt) Fuerza newton* libra (N) (lb) (~) Unidad derivada. PreU peque den rr zados reprel dolos de un ejem~ newto SI no (0.01) medie tarse ( Tabla Mlti 100( 100( 100( Submi 0.001 0.00( O.OO( Conversin de unidades. En algunos casos puede ser necesario convertir de un sistema de unidades a otro. A este respecto, la tabla 1.2 proporciona conversiones directas entre unidades FPS y unidades SI para las cantidades bsicas. Tambin, debe re- cardarse que en el sistema FPS 1 ft = 12 in (pulgadas), 5280 ft = 1 mi (milla), 1000 lb = 1 klb (kilolibra), y 2000 lb = 1 ton. Regl: damei E http://carlos2524.jimdo.com/ 24. SECo1.4 SISlEMA INlERNACIONAL DE UNIDADES 7 Tabla 1.2 Factores de conversin Unidad de Equivale a Cantidad medida (FPS) Unidad de medida (SI) Fuerza lb Masa slug Longitud ft 4.4482N 14.5938 kg 0.3048 m 1.4 Sistema Internacional de Unidades (SI) El sistema SI de unidades se usa ampliamente en este libro porque est destinado a ser el sistema estndar en todo el mundo. Por lo tanto, presentaremos ahora las reglas de su uso y parte de su terminologa pertinente a la mecnica. Prefijos. Cuando una cantidad numrica es muy grande o muy pequea, las unidades que sirven para definir su magnitud pueden modificarse usando un prefijo. Algunos de los prefijos utilizados en el sistema SI pueden verse en la tabla 1.3. Cada uno representa un mltiplo o submltiplo de una unidad y, aplicn- dolos sucesivamente, tienen como efecto mover el punto decimal de una cantidad numrica tres lugares decimales cada vez.* Por ejemplo, 4 000 000 N = 4 000 kN (kilo-newton) = 4MN (mega- newton). o, 0.005 m = 5 mm (milimetro). Ntese que el sistema SI no contiene el mltiplo deca (10) ni el submltiplo centi (0.01), que utiliza el sistema mtrico. Con excepcin de algunas medidas de rea y de volumen, el uso de estos prefijos ha de evitarse en la ciencia y la ingeniera. Tabla 1.3Prefijos Forma exponencial Prefijo Smbolo SI Mltiplo 1000000000 109 giga G 1000000 106 mega M 1000 103 kilo k Submltiplo 0.001 10-3 mili m 0.000001 10--6 micra /J 0.000 000 001 10-9 nano n Reglas de uso. Las siguientes reglas son para utilizar apropia- damente los smbolos SI: * El kilogramo es la nica unidad bsica definida con prefijo http://carlos2524.jimdo.com/ 25. 8 CAP. 1 PRINCIPIOS GENERALES 1. Un smbolo nunca se escribe con la "s" del plural porque po- dra confundirse con la unidad de segundo (s). 2. Los smbolos siempre se escriben con minsculas exceptuan- do los siguientes: los smbolos para los dos prefijos mayores de la tabla 1.3 , giga y mega se escriben con las maysculas G y M, respectivamente; los smbolos en honor de una persona tambin se escriben con mayscula, por ejemplo, N. 3. Las cantidades definidas por varias unidades que son mltiplos de otras se separaran por medio de un punto para evitar confusin con la notacin que usa prefijo, como en el caso de N = kg . m/s2 = kg . m . S-2. Otro ejemplo es m . s, que significa metro por segundo, en tanto que ms signifu;a mili-segundo. 4. La potencia exponencial representada para una unidad con prefijo afecta la unidad y el prefijo. Por ejemplo, ~N2 = (~N)2=~N~N. As tambin, mm2 representa (mm2) = mm . mm. 5. Las constantes fsicas y los nmeros que tengan varios dgitos a uno y otro lado del punto decimal debern escribirse con un espacio entre cada grupo de tres dgitos en vez de una coma; por ejemplo, 73 569.213 427. Para el caso de slo cuatro dgitos a uno u otro lado del punto decimal, el espacia- miento es opcional; por ejemplo 8357 o indistintamente 8 357. Adems, conviene usar siempre decimales y evitar las fracciones; es decir, debe escribirse 15.25 y no 15 ~. 6. Al efectuar clculos, se debe representar los nmeros en trminos de sus unidades bsicas o derivadas, convirtiendo todos los prefijos a potencias de 10. El resultado final deber expresarse usando un solo prefijo. Tambin, despus del clculo es preferible tener los valores numricos entre 0.1 y 1000; de no tenerlos as, deber utilizarse un prefijo adecuado. Por ejemplo, (50 kN) t60 nm) = [50(103) N] [60(10-9)m] = 3000(10-< N m = 300-3)N . m = 3mN . m 7. No deben utilizarse prefijos compuestos; por ejemplo un K.us (kilo-micro-segundo) debe expresarse como ms (mili-segundo), dado que 1 klls = 1(103)(1~) s = 1(10-3) S= 1 ms. 8. A excepcin de la unidad bsica kilogramo, debe evitarse en general el uso de un prefijo en el denominador de unidades compuestas. No debe escribirse, por ejemplo, N/mm, sino kN/m; as tambin, m/mg se escribir como mm/kg. http://carlos2524.jimdo.com/ 26. SECo 1.5 CLCULOS NUMRICOS 9 9. Aunque no se expresan en mltiplos de 10, el minuto, la hora, etctera, seguirn considerndose como mltiplos del segundo. Adems, la medida angular en el plano,ge hace usando radianes (rad) . Sin embargo, en este libro se har uso frecuente de los grados, donde 1800 = n; rad. I.S Clculos numricos El trabajo numrico en la prctica de la ingeniera suele realizar- se con _calculadoras y computadoras porttiles. Sin embargo, es importante que las respuestas de cualquier problema sean dadas con una precisin justificable, a la vez que con un nmero apropiado de cifras significativas. En esta seccin se explican estos temas y se consideran otros aspectos importantes de todos los clculos en ingeniera. Homogeneidad dimensional. Los trminos de cualquier ecuacin utilizada para describir un proceso fsico deben ser di- mensiona/mente homogneos; esto es, cada trmino debe expresarse en las mismas unidades. Siempre y cuando sea ste el caso, ser posible combinar todos los trminos de la ecuacin al susti- tuir valores numricos por las variables. Consideremos, por ejemplo, la ecuacin s = vt + iat2, donde, en unidades SI, s es la posicin en metros, m, t es el tiempo en segundos, s, v es velocidad en mis, ya es aceleracin en m/s2. Independientemente de la forma de evaluarla, esta ecuacin conserva su homogeneidad dimensional. En la forma que enunciamos cada trmino, se expresa en metros [m, (m/,S),S, (m/,S2)S2], 0, despejando a, a = 2slt2 - 2 vlt, vemos que cada uno de los trrrnos se expresan en unidades de m/s2 [ m/s2, m/s2, (m/s)/s]. Dado que los problemas en mecnica suponen la solucin de ecuaciones dimensionalmente homogneas, el hecho de que todos los trminos de una ecuacin estn representados por un conjunto uniforme de unidades puede usarse como verificacin parcial de las manipulaciones algebraicas de una ecuacin. Cifras significativas. La precisin de un nmero queda es- pecificada por el nmero de cifras significativas que contiene. Una cifra significativa es cualquier dgito, incluyendo un cero,, I siempre y cuando no est para especificar la localizacin del punto decimal para el nmero. Por ejemplo los nmeros 5604 y 34.52, tienen cada uno cuatro cifras significativas. Cuando los nmeros comienzan o terminan en ceros, sin embargo, es difcil decir cuntas cifras significativas hay en el nmero. Considrese el nmero 40. Tiene ste una ~4) o tal vez dos (40) cifras signifi~ cativas? Para aclarar esta situacin, el nmero,deber expresarse usando potencias de 10. Hay dos maneras de hacerlo. El formato http://carlos2524.jimdo.com/ 27. 10 CAP. 1 PRINCIPIOS GENERALES para la notacin cientfica especifica un dgito a la izquierda del punto decimal, dejando los dems a la derecha; por ejemplo, 40 expresado a una cifra significativa sera 4(101). Usando la notacin de ingeniera que aqu es preferible, el exponente aparece en mltiplos de tres para facilitar la conversin de las unidades SI a las que tengan prefijos apropiados. As, 40 expresado a una cifra significativa sera 0.04(10 Asimismo, 2500 y 0.00546 expresados ' a tres cifras significativas seran 2.50(l(P) y 5.46(10-3). Redondear nmeros. Para los clculos numricos, la precisin que se obtenga de la solucin de un problema no ser en general mejor que la precisin de los datos del problema. Esto es lo que debe esperarse, pero las calculadoras y computadoras de bolsillo incluyen ms cifras en la respuesta que el nmero de cifras significativas utilizadas para los datos. Por esta razn, un resultado calculado habr siempre de redondearse a un nmero apropiado de cifras significativas. Para garantizar la precisin, se aplican las siguientes reglas al redondear un nmero a n cifras significativas: 1. Si el dgito n + 1 es menor que 5, el dgito n + 1 Y los que le siguen sern eliminados. Por ejemplo, 2.326 y 0.451 redondeados a n = 2 cifras significativas seran 2.3 y 0.45. 2. Si el n + 1 dgito es gual a 5 con ceros a continuacin, entonces habr que redondear el ensimo dgito a un nmero par. Por ejemplo, 1245 y 0.8655 redondeados a n = 3 cifras significativas vienen a ser 1240 y 0.866. 3. Si el dgito n + 1 es mayor que 5 o igual a 5, siguindole .cualquier dgito *cero, entonces deber incrementarse el ensimo dgito en 1 y eliminar el n + 1 dgito y los que le sigan. Por ejemplo, 0.72387 Y565.500 3 redondeados a n = 3 cifras significativas resultan en 0.724 y 566. Clculos. Como regla general, para garantizar la precisin de un resultado final al realizar clculos con nmeros de precisiones desiguales, conviene retener siempre una cifra significativa extra en los nmeros ms precisos que en los menos precisos antes de iniciar los clculos. Despus habr que redondear el resultado final de modo que tenga el mismo nmero de cifras significativas que el menos preciso de los nmeros. De ser posible, trate de lle- var a cabo los clculos de modo que no se sustraigan entre s n- meros aproximadamente iguales, porque por un clculo semejante suele perderse precisin. Casi todos los problemas de ejemplo de este libro se resuelven en el supuesto de que cualquier dato medido tiene precisin http://carlos2524.jimdo.com/ 28. SECo 1.5 CLCULOS NUMRICOS 11 a tres cifras significativas.* En consecuencia, los clculos inter- medios se efectuarn con cuatro cifras significativas y las respuestas se presentarn por lo general con tres cifras significativas. Los siguientes ejemplos ilustran la aplicacin de los principios antes expuestos en relacin con el uso apropiado y la conversin de unidades. Ejemplo 1.1 Convierta 2 km/h a 'm/s. SOLUCIN Ya que 1 km = 1000 m y 1 h = 3600 s, los factores de conversin se disponen en el orden siguiente, para que puedan cancelarse las unidades: 2 km/h = 2 km ( 1000 mJ(---.!lLJJ km 3600 s 200m = 3600 s = 0.556 mis Resp. Ejemplo 1.2 Convierta la cantidad de 300 lb . s a las unidades SI apropiadas. SOLUCIN Si usa la tabla 1.2, llb = 4.448 2 N. 300 lb . s = 3001b-' s (4.4~? NJ = 1334.5 N . s = 1.33 kN . s Resp. * Desde luego ciertos nmeros, como 1t, e, o nmeros que se usan en las fr- mulas deducidas son exactos y, por tanto, precisos hasta infinidad de cifras significativas http://carlos2524.jimdo.com/ 29. 12 CAP. 1 PRINCIPIOS GENERALES Ejemplo 1.3 --------------------------11IEvale cada una de las siguientes cantidades y expreselas con unidades SI con prefijos apropiados: (a) (50 mN)(6 ON), (b) (400 mm)(0.6 MN)2, (e) 45 MW/900 Og. SOLUCI Primero se convierte cada nmero a las unidades base, se re- alizan las operaciones indicadas y, finalmente, se elige un prefijo apropiado (vease la regla 6 de la pg. 8). Parte (a) (50 mN)(6 ON) = [50(10-3) N][6(109) N) = 300 (106 ) N2 . = 300(10 6 )N2( {om)({O~~) = 300 kN2 Resp. Observe con atencin el acuerdo kN2 = (kN)2 = 106N2 (regla 4 de la pg. 8). parte (b) (400 mm) (0.6 MN)2 = [400(10-3) m] [0.6 (106) N]2 = [400(10-3) m] [0.36(1012) NZ] = 144(109) m . N2 = 144 Gm : N2 Tambin podemos escribir 144(109 ) m NZ = 144(109 ) m N2(1 ~N)( 1 MN J10 N 106M = 0.144m . MNZ Resp. Parte (e) 45 MW/900 O = 45(10 6 N)3 g 900(196) kg = 0.05(1012) W/kg 3 = 005 (1012)N3( 1 kN) .l. 103 N kg = 0.05(103) kN3/kg = 50 kN3/kg Resp. Aqu hemos utilizado las reglas 4 y 8 de la pg. 8. 1.6 ] Elm( ra rm ello e orden l. 1 tt 2. 1 d 3. P n 4. F ti n u t; e 5. I r, 6. 1 o 1 f, 1; http://carlos2524.jimdo.com/ 30. SECo 1.6 PROCEDIMIENTO GENERAL DE ANLISIS 13 1.6 Procedimiento general de anlisis El mtodo ms eficaz para aprender los principios de la ingeniera mecnica es el de resolverproblemas. Para alcanzar el xito en ello es importante presentar siempre el trabajo enforma lgica y ordenada como lo sugieren los pasos enumerados a continuacin: 1. Lea el problema con atencin y trate de correlacionar la situacin fsica que se presenta con la teora estudiada. 2. Trace los diagramas que sean necesarios y tabule los datos del problema. 3. Aplique los principios pertinentes, por lo general en forma matemtica. 4. Resuelva las ecuaciones algebraicamente hasta donde resul- te prctico hacerlo as y, entonces, asegurndose de su homogeneidad dimensional, utilice un sistema consistente de unidades y complete la solucin numricamente. La respuesta se presentar con no ms cifras significativas que las que corresponden a la precisin de los datos del problema. 5. Estudie la respuesta con sentido comn y criterio tcnico para determinar si parece razonable. 6. Una vez obtenida la solucin, revise el problema. Piense en otras formas de obtener la misma solucin. Al aplicar estos lineamientos generales, haga el trabajo en la forma ms limpia posible. La limpieza en la escritura estimu- la el pensamiento claro y ordenado, yviceversa. http://carlos2524.jimdo.com/ 31. 14 CAP. 1 PRINCIPIOS GENERALES PROBLEMAS 1-1. Redondee los nmeros que siguen a tres cifras significativas: (a) 3.45555 m, (h) 45.556 s. (e) 5555 N, (d) 4525 kg. 1-2. Si un automvil viaja a 55 mi/h, determine su velocidad en kilmetros por hora y en metros por segundo. 1-3. Si un automvil tiene un peso de 3500 lb, determine su masa y exprese el resultado en unidades SI. *1-4. Convierta 63 ft2 . S a m2. s. 1-5. Represente cada una de las siguientes combina- ciones de unidades en la forma SI correcta utilizando un prefijo adecuado: (a) Mglmm, (h) mN/lls, (e) 11m Mg. 1-6. Represente cada una de las siguientes combina- ciones de unidades en la forma SI correcta usando un prefijo apropiado: (a) m/ms (h) Ilkm, (e) ks/mg, (d) km' IlN. 1-7. Represente cada una de las siguientes cantidades en la forma SI correcta usando un prefijo apropiado: (a) 0.000431 kg, (h) 35.3 (103) N, (e) 0.00532 km. * 1-8. Evale cada una de las siguientes cantidades a tres cifras significativas y exprese cada respuesta.en unidades SI usando un prefijo apropiado: (a) (212 mN)2, (h) (52800 ms)2, (e) [548(1Q6)P/2 ms. 1-9. Evale cada una de las siguientes cantidades a tres cifras significativas y exprese cada respuesta en unidades SI usando un prefijo apropiado: (a) 0.631 Mm/(8.60 kg)2, (h) (35 mm)2(48 kgl 1-10. Evale (204 mm)(0.004 57 kg)/(34.6N) yexpre- * 1-12. Evale cada una de las siguientes cantidades y exprese cada respuesta en unidades SI usando un prefijo apropiado: (a) 354 mg(45 km)/(0.035 6 kN), (h) (.004 53 Mg)(201 ms), (e) 435 MN/23.2 mm. 1-13. Haga las conversiones indicadas y exprese la respuesta usando un prefijo apropiado: (a) 175 Ib/ft3 a kN/m3, (h) 6 ft/h a mm/s, (e) 835 lb . ft a kN . m. 1-14. El peso especfico (peso/volumen) del latn es de 520 lb/ft3 Determine su densidad (masa/Volumen) en unidades SI. Use un prefijo apropiado. 1-15. Determine en kilogramos la masa de un objeto que tiene un peso de (a) 20 mN (h) 150 kN (e) 60 MN. Exprese cada respuesta usando un prefijo apropiado. *1-16 Determine su masa personal en kilogramos, su peso en newtons y su estatura en metros, usando la tabla 1.3. 1-17. Un cohete tiene una masa de 250 (103) slug sobre la superficie de la Tierra. Especifique (a) su masa en unidades SI, y (h) su peso en unidades SI. Si el cohete est sobre la Luna, donde la aceleracin debida a la gravedad esg", = 5.30 ft/s2, determine (e) su peso en unidades SI, y (d) su masa en unidades SI. 1-18. La densidad (masa/volumen) del aluminio es 5.26 sluglft3. Determine su densidad en unidades SI. Use un prefijo apropiado. 1-19. Una columna de concreto tiene un dimetro de 350 mm y una longitud de 2 m. Si la densidad (masa/volumen ) del concreto es de 2.45:Mglm3, determine el peso de la columna en libras. se la respuesta en unidades SI usando un prefijo *1-20. Dos partculas tienen una masa de 350 kg Y250 apropiado. kg, respectivamente. Si estn separadas 4.m, determi- 1-11. Evale cada una de las siguientes cantidades y exprese cada respuesta en unidades SI usando un prefijo apropiado: (a) (684 Ilm)/43 ms, (h) (28 ms)(0.0458 Mm) (348 mg), (e) (2.68 mm)(426 Mg). ne la fuerza de atraccin gravitcional entre ellas. http://carlos2524.jimdo.com/ 32. 2 Vectores de fuerza En este captulo se presenta el concepto de una fuerza concentrada y se dan procedimientos para sumar fuerzas, resolverlas en sus componentes y proyectarlas a lo largo de un eje. Dado que la fuerza es una cantidad vectorial, al considerar fuerzas debemos utilizar las reglas del lgebra vectorial. Iniciaremos nuestro estudio definiendo las cantidades escalares y vectoriales, y desarro- llaremos luego las reglas bsicas del lgebra vectorial. 2.1 Escalares y vectores La mayor parte de las cantidades fsicas de la mecnica pueden expresarse matemticamente por medio de escalares y vectores. Escalar. Toda cantidad caracterizada por un nmero positivo o negativo se llama escalar. La masa, el volumen y la longitud son cantidades escalares frecuentes en la esttica.,En este libro, los escalares se denotan con letras cursivas, como por ejemplo, el es- calarA. Las reglas de operacin con escalares son idnticas a las del lgebra elemental. Vector. Vector es toda cantidad que tiene magnitud, direccin y sentido y obedece a la regla de adicin, llamada regla del paralelogramo. Esta ley, descrita ms adelante, utiliza una forma de construccin que toma en cuenta la magnitud y la direccin del vector. Las cantidades vectoriales comnmente usadas en la esttica son los vectores de posicin, de fuerza y momento. http://carlos2524.jimdo.com/ 33. 16 CAP.2 VECTORES DE FUERZA linea de accin .-.!..-- Punta de Oecha ~ >- ~Punto de 20 aplicacin ~ O Fig.2.1 // Fig.2.2 El vector se representa grficamente por medio de qna flecha, que sirve para definir su magnitud, direccin y sentido. La magnitud del vector se indica por la longitud de la flecha, la direccin por el ngulo entre un eje de referencia y la lnea de accin de la flecha, y el sentido lo indica la punta de la flecha. Por ejemplo, el vector A de la figura 2.1 tiene una magnitud de 4 unidades, una direccin de 200 medidos en sentido contrario al de las manecillas del reloj, a partir del eje horizontal, y un sentido hacia arriba y a la derecha. El punto O es el punto inicial del vector yP su extremo. En forma escrita, un vector se representa usualmente por medio de una letra sobre la que se dibuja una flecha, como en A. La magnitud se denota IAI o simplementeA. En este libro los vectores se representarn en "negritas", por ejemplo A denota el vector de nombre "A". Su magnitud, que siempre es una cantidad positiva, se representa en cursiva lA I o simplemente A si se sobreentiende queA es un escalar positivo. 2.2 Operaciones vectoriales Multiplicacin y divisin por un escalar Fig.2.3 (a) Fig.2.4 Multiplicacin y divisin de un vector por un escalar. El producto de un vector A y un escalar a, que da el resultado aA, se define como un vector que tiene una magnitud IaA l. El sentido de aA es el m5mo que el de A a condicin que a sea positivo; es en sentido opuesto de A si a es negativo. En consecuencia, el negativo de un vector se obtiene al multiplicarlo por el escalar (-1), figura 2.2. La divisin de un vector por un escalar se puede definir usando las reglas de la multiplicacin, puesto que Aja = (1/a)A, con a '# O. En la figura 2.3 se muestran ejemplos de estas operaciones. Adicin de vectores. Dos vectores Ay B del mismo tipo, figura 2.4a pueden sumarse para obtener el vector "resultante" R = A + B, usando la ley delparalelogramo. Para ello, Ay B se po- nen con un punto inicial comn, figura 2.4b. Se trazan las lneas paralelas segmentadas a partir del extremo de cada vector for- mando los lados adyacentes de un paralelogramo. Como en el di- bujo, el vector resultante R es la diagonal del paralelogramo, que se extiende del punto inicial comn de A y de B hasta la interseccin de las lneas segmentadas. (b) ~ / / / / Adicin de vectores R=A+B (e) R=A+B (d) http://carlos2524.jimdo.com/ 34. a fle- ao.La la di- de ac- a. Por 4uni- al de entido elvec- calar. ultado .El a posi- encia, escalar puede o que losde A SECo2.2 OPERACIONES VECfORIALES 17 Tambin pueden sumarse A y B utilizando una construccin trianguLar que es un caso particular de la regla del paralelogramo; en aquella el vector B se suma al vector A, haciendo coinci- dir el punto inicial de B con el extremo de A como en la figura 2.4c. El vector resultante R se extiende del punto inicial de A al extremo de B. El vector R podr obtenerse con una construccin semejante pero sumando A a B como se aprecia en la figura 2.4d. Por comparacin se observa que la adicin de vectores es con- mutativa, o sea que los vectores se pueden sumar en cualquier orden, es decir R= A + B = B + A. Como caso especial, tenemos que si los dos vectores son coli- neaLes, esto es, que su lnea de accin es la misma, entonces la ley del paralelogramo se reduce a una suma aLgebraica o escaLar R = A + B, como se ilustra en la figura 2.5. R :.A B R=A+B Fig.2.5 Sustraccin vectorial. La diferencia resultante entre los vectores A y B del mismo tipo puede expresarse mediante R' = A - B = A + (-B) Esta suma vectoriaI se muestra grficamente en la figura 2.6. La sustraccin queda as definida como un caso particular de la adicin, de manera que las reglas de la adicin se extienden a la sustraccin. / o: I I I I I I I B Fig.2.6 http://carlos2524.jimdo.com/ 35. 18 CAP.2 VECfORES DE FUERZA a Resolucin de un vector. Un vector puede resolverse o des- componerse en dos "componentes" que tengan lneas de accin dadas, usando la regla del paralelogramo. Por ejemplo, si R en la figura 2.7a debe resolverse en componentes que acten a lo largo de las lneas a y b, se considera el extremo de R y, desde este pun- to, se traza una paralela a la lnea a hasta intersecar la lnea b. Asimismo, desde el extremo de R nuevamente se traza una paralela a b hasta encontrar 'la interseccin con a, como se muestra en la figura 2.7a. Las componentes buscadas A y B son entonces los vectores con punto inicial en el punto inicial de R y extremo en las intersecciones obtenidas, como se aprecia en la figura 2.7b. a ---- - ------' L--Z_ R - _--,--_ b b (a) Fig.2.7 B (b) 2.3 Adicin vectorial de fuerzas Por evidencia experimental se sabe que una fuerza es una cantidad vectorial puesto que tiene magnitud, direccin y sentido especificados y se suma de acuerdo con la regla del paralelogramo. Dos problemas comunes en la esttica consisten en encontrar la fuerza resultante conociendo sus componentes o resolver una fuerza conocida en dos componentes. Como se describi en la seccin 2.2, ambos problemas requieren la aplicacin de la regla del paralelogramo. Fig.2.8 http://carlos2524.jimdo.com/ 36. SECo 2.3 ADICIN VECTORIAL DE FUERZAS 19 Si se van a sumar ms de dos fuerzas, para obtener la resultante podr aplicarse la regla del paralelogramo varias veces sucesivamente. Por ejemplo, si tres fuerzas F, F 2, F3 tienen el mismo punto de aplicacin O como en la figura 2.8, se obtendr la resultante de dos de las fuerzas, digamos F y F2 y, entonces, esta resultante se suma a la tercera fuerza para dar la resultante de las tres fuerzas; es decir, FR = (F + F2) + F3' El uso de la regla del paralelogramo para sumar ms de dos fuerzas, como aqu se muestra, requerir usualmente clculos geomtricos y trigono- mtricos bastante extensos para llegar a los valores numricos de la magnitud y la direccin de la resultante. En lugar de ello, para problemas de este tipo, se usar el "mtodo de las componentes rectangulares", que simplifica notablemente el trabajo y que se explicar en la seccin 2.4. PROCEDIMIENTO DE ANALISIS Los problemas que resultan de la adicin de dos fuerzas y tienen a lo ms dos incgnitas pueden resolverse usando el procedimiento siguiente: Ley del paralelogramo. se hace un diagrama de la adicin vec-. torial por la regla del paralelogramo. Si es posible, se determina los ngulos interiores del paralelogramo a partir de la geometra del problema. Recurdese que el total de la suma de estos ngulos debe ser de 360. Los ngulos desconocidos, as como las magnitudes de fuerzas conocidas y desconoci- das, debern "etiquetarse" claramente en el diagrama. Dibu- je de nuevo una mitad del paralelogramo construido para ilustrar la adicin triangular de las componentes. Trigonometra. Mediante la trigonometra, es posible determinar las incgnitas a partir de los datos del tringulo. Si el tringulo no contiene un ngulo de 90, podr usarse la ley de los senos y/o de los cosenos para la solucin. Estas frmu- las se dan en la figura 2.9 para el tringulo que ah se muestra. Los siguientes ejemplos ilustran este mtodo numricamente. AAB ~c Ley de los senos: ..L = JL=~ sen a sen b sen e Ley de los cosenos: C=.,fA2+B2- 2AB cos e Fig.2.9 http://carlos2524.jimdo.com/ 37. 20 CAP. 2 VECTORES DE FUERZA Ejemplo 2.1 La armella roscada de la figura 2.10a est sometida a la accin de dos fuerzas, F y F2 Determine la magnitud y la direccin de la fuerza resultante. FI = IOO N (a) (e) Fig.2.10 90 - 25 = 65 (b) SOLUCIN 360- 2(65) 2 = 115 Ley del paralelogramo. En la figura 2.lOb se muestra la ley del paralelogramo de la'adicin. Las dos incgnitas son la magnitud de FR y el ngulo () (theta). A partir de la figura 2.lOb se construye el tringulo vectoriaI2.10c. Trigonometra. FR se determina usando la ley de los cosenos: FR = /(100)2 + (150)2 - 2(100)(150) cos 115 = /10 000 + 22500 - 30 000(-0.4226) - 212.6 N = 213N Resp. El ngulo () se determina al aplicar la ley de los senos, usando el valor calculado de FR' 150 212.6 sen () = sen 115 150 sen () = 212.6(0.9063) ()= 39.8 ,1 De esta forma, la direccin cP (fi) de FR, medida a partir de la horizontal, es cP =39.8 + 15.0 =54.8 L

etermine la fuerza resultante sobre el fmur y especifique su orientacin emedida en el sentido contrario de las manecillas del reloj a partir de la parte positiva del ejex. y 120N PROBLEMAS 27 *2.24. Tres cadenas .actan sobre una mnsula y crean una fuerza resultante con magnitud de 500 lb. Si dos de las cadenas estn sujetas a fuerzas conocidas, como se muestra, determine la orientacin ede la tercera cadena medida en el sentido de las manecillas del reloj desde la parte positiva del eje x, de modo que la magnitud de la fuerza en esta cadena sea mnima. Todas las fuerzas estn en el plano x-y. Cul es la magnitud de la fuerza F? Sugerencia: Encuentre primero la resultante de las dos fuerzas conocidas. La fuerza F acta en esta direccin. . --------1--- x F 200 lb Prob.2.24 2.25. Un avin de retropropulsin es remolcado por dos camiones B y C. Determine las magnitudes de las dos fuerzas de remolque FB y Fe si la fuerza resultante tiene magnitud de FR = 10 kN Yest dirigida a lo largo del ejex. Considere e= 1SO. 2.26. Si la resultante FR de las dos fuerzas que actan sobre el avin debe dirigirse a lo largo del eje x positivo y tener una magnitud de 10 kN, determine el n- gulo edel cable sujeto al camin en B, de modo que la fuerza FB en este cable sea un mnimo. Cul es la magnitud de la fuerza en cada cable cuando esto ocu- rra? e r::~~o- - -i--- - - - -x B Probs. 2.25/2.26 http://carlos2524.jimdo.com/ 45. 28 CAP.2 VECfORES DE FUERZA 2.4 Adicin de un sistema de fuerzas coplanares y 0 ----------F Fy : I I I I - - - -., (a) F' (b) Fig.2.14 Cuando deba obtenerse la resultante de ms de dos fuerzas es ms fcil encontrar las componentes de cada fuerza a lo largo de ejes especificados, sumar algebraicamente estas componentes y, entonces, formar la resultante, en vez de formar la resultante de las fuerzas por aplicaciones sucesivas de la ley del paralelogramo como se trat en la seccin 2.3. En esta seccin resolveremos cada fuerza en sus componentes rectangulares Fx YFy que se encuentran a lo largo de los ejes x yy respectivamente, figura 2.14a. Aunque los ejes que se muestran aqu son uno vertical y el otro horizontal, en general pueden tener cualquier inclinacin siempre y cuando sean mutuamente perpendiculares, figura 2.14b. En uno y otro caso se requiere, por la ley del paralelogramo, que: y F' = F'x + F'y Como se ve en la figura 2.14, el sentido de cada componente se representa de manera grfica por la punta de La flecha. Para el trabajo analtico, sin embargo, debemos establecer una notacin para representar el sentido direccional de las componentes rectangulares de cada vector coplanar. Esto puede hacerse de cualquiera de dos formas. Notacin escalar. Dado que los ejes x y y tienen sentido positivo y negativo designados, la magnitud y el sentido de las componentes rectangulares de una fuerza pueden expresarse en trminos de escalares aLgebraicos. Por ejemplo, las componentes de F en la figura 2.14a pueden representarse con escalares positivos Fx YFypuesto que su sentido direccional es el del eje x positivo y del eje y positivo, respectivamente. De manera semejante, las componentes de F' en la figura 2.14b son Fr Y- Fy Aqu la com- ponentey es negativa puesto que Fy se dirige hacia la parte negativa del eje y. Debe recordarse que esta notacin escalar se usa solamente para fines de clculo y no para representaciones grfi- cas en las figuras. En todo el libro, la punta de la flecha de un vector en cualquier figura indica el sentido del vector grficamente; los signos algebraicos no se usan con este propsito. As, los vectores en las figuras 2.14a y 2.14b se designan con caracteres en "negritas".* Siempre que se escriban smbolos en cursiva cerca de flechas de vectores en las figuras, indicarn la magnitud del vector que es siempre una cantidadpositiva. Los signos negativos que aparezcan en las figuras donde se usa notacin en negritas se usarn exclusivamente en el caso de vectores de la misma magnitud pero de sentidos opuestos como en la figura 2.2. http://carlos2524.jimdo.com/ 46. SECo 2.4 ADICIN DE UN SISTEMA DE FUERZAS COPlANARES 29 Notacin vectorial cartesiana. Tambin es posible representar las componentes de una fuerza en trminos de los vectores unitarios cartesianos. Hacindolo as, es ms fcil aplicar los mtodos del lgebra vectorial y veremos que se obtienen grandes ventajas ~l resolver problemas en tres dimensiones. En dos dimensiones, los vectores unitarios cartesianos i y j se usan para designar las direcciones de los ejes x y y, respectivamente, figura 2.15a.* Estos vectores tienen una magnitud de uno y su sentido (o punta de la flecha) ser descrito analticamente por un signo ms o menos, segn apunten a la parte positiva o la negativa de los ejes x oy. Como se muestra en la figura 2.15a, la magnitud de cada componente de F siempre es una cantidadpositiva que se representa por los escalares positivos Fx Y FY' Por lo tanto, habiendo establecido la notacin para representar la magnitud y el sentido de cada componente, podemos expresar F en la figura 2.15a como un vectorcartesiano, esto es, y de la misma manera, F' en la figura 2.15b puede expresarse como F' = F'xi + F'y(-j) o simplemente F' = F'J - F'yj Resultantes de fuerzas coplanares. Cualquiera de los dos mtodos recin descritos para representar las componentes rectangulares de una fuerza puede usarse para determinar la resultante de varias fuerzas coplanares. Para hacerlo, se resuelve cada fuerza en sus componentes x y, y luego se suman las componentes respectivas usando lgebra de escalares puesto que son colineales. La fuerza resultante se forma, entonces, sumando por la ley del paralelogramo, las resultantes a lo largo del eje x y del eje y. Consideremos, por ejemplo, las tres fuerzas de la figura 2.16a que tienen componentes x, y como se ve en la figura 2.16b. Para resolver este problema usando la notacin vectorial cartesiana, cada fuerza se representa primero como un vector cartesiano, es- to es, Fl = Fui + Flyj F2 = --F2xi + F2y j F3 = F3xi .:.... F3yj En un manuscrito, suelen indicarse los vectores unitarios con un acento cir- cunflejo, como por ejemplo, i yj. y ji TC?J'Fy I 1 :----~-xI----Fx---l --+ (a) y /) F' . ~y ~ ;"""" / 1, ' ........ .;,// X F' (b) Fig.2.15 http://carlos2524.jimdo.com/ 47. 30 CAP. 2 VECfORES DE FUERZA y --------~~~---------x (a) y (b) .J---"I 4' :----------~~~ -------x FRx (e) Fig.2.16 La resultante vectorial es, por lo tanto, FR = F + F2 + F3 = FIx i + Fyj -F2, i + F2y j + F3x i -F3y j = (FIx - F2x + F3x)i + (Fy + F2y - F3y)j =(FR,)i + (FR)j Si se usa la notacin escaLar, entonces, de la figura 2.16b, como x es positiva hacia la derecha yy es positiva hacia arriba, tenemos (..) (+ t) FRx = FIx - F2x + F3x FRy = Fy + F2y -F3y Estos resultados son los mismos que las componentes i y j de FR antes determinadas. En el caso general, las componentes x yy de la resultante de cualquier nmero de fuerzas coplanares puede representarse simblicamente por la suma algebraica de las componentes x, y y de todas las fuerzas, esto es, (2.1) Al aplicar estas ecuaciones es importante usar el acuerd~ sobre los signos establecido para las componentes; es decir, que las componentes que tienen sentido igual al de los ejes positivos de coordenadas se consideran escalares positivos en tanto que si su sentido es el de los ejes negativos se consideran escalares negativos. Respetando este acuerdo los signos de las componentes de la resultante especificarn el sentido de estas componentes. Por ejemplo, un resultado positivo indicar que la componente tiene el sentido direccional de la direccin de coordenadas positivas. Una vez que se determinen las componentes de la resultante, se dibujan sobre los ejes x y yen su direccin apropiada y la fuerza resultante se determina por adicin vectorial como en la figura 2.16c. A partir de este bosquejo, la magnitud de FR se determina con ayuda del teorema de Pitgoras; esto es, Tambin, el ngulo de direccin {J, que especifica la orientacin de la fuerza, se determina por trigonometra. {J = tan-I E.&I FR< Los conceptos precedentes se ilustran numricamente a continuacin en los ejemplos. http://carlos2524.jimdo.com/ 48. SEC.2.4 ADICIN DE UN SISTEMA DE FUERZAS COPlANARES 31 3yj Y OX OS F2=200N x IF,=IOON e (a) ,yy Fig.2.17 Ejemplo 2.5 Determine las componentes x y y de F y F2 de la figura 2.17a. Exprese cada fuerza como un vector cartesiano. y Fc=_2~J'~ - '/ T : '600 F2y = 200 cos 60 N , I -; ..-----'"'I------x F'; = 200 sen 600 " (b) 2.1) SOLUCIN Notacin escalar. Ya que F1 acta a lo largo del eje y negativo y la magnitud de F es 100 N, las componentes escritas en forma escalar son . FIx = O, Fy = -100 N Resp. o, alternativamente,' FIx = O, Fy = 100 N Resp. Por la ley del paralelogramo, F2 se resuelve en componen- tesxy y, figura 2.17b. La magnitud de cada componente se determina por trigonometra. Ya que F2t acta en la direccin-x y F2y acta en la direccin +y, tenemos, F2t = -200 sen 60 N = -173 N = 173 N+- Resp. F2y= 200 cos 60 N = 100 N = 100 N t Resp. cin Notacin vectorial cartesiana. Habiendo calculado las magnitudes de las componentes de F2' figura 2.17b, podemos expresar cada fuerza como un vector cartesiano. F = Oi + 100 N(-j) = {-100j} N Resp. y con- F2 = 200 sen 60 N(-i) + 200 cos 60 N(j) = {-173i + 100j}N Resp. http://carlos2524.jimdo.com/ 49. 32 CAP.2 VECfORES DE FUERZA 11 Ejemplo 2.6 y Determine las componentes x y y de la fuerza F de la figura 2.l8a. y 12 ____~I~~~~---------- X ~ Fy = 260( I3)N (1 --...c---r-2U ~~j Fy=260(ft)N x F=260N (a) F=260NI (b) Fig.2.18 SOLUCIN La fuerza se resuelve en sus componentes x y y como se muestra en la figura 2.l8b. Aqu se indica la pendiente de la lnea de accin de la fuerza. A partir de este "tringulo de pendiente" podramos obtener el ngulo de direccin (J, por ejemplo, (J = tan-1 (fi), y proceder a obtener las magnitudes de las componentes en la forma que lo hicimos, por ejemplo, para la fuerza F2 del ejemplo 2.5. Un mtodo ms fcil, sin embargo, consiste en usar partes proporcionales de tringulos semejantes , es decir, F" 12 260 = 13 Anlogamente, F" =260 ( ~~) =240 N F = 260 (.1..)= 100 Ny 13 Ntese que la magnitud de la componente horizontal, F", se obtuvo multiplicando la magnitud de la fuerza por la razn del cateto horizontal a la hipotenusa del tringulo de pendiente; en tanto que la magnitud de la componente vertical, Fy, se obtuvo multiplicando la magnitud de la fuerza por la razn del cateto vertical a la hipotenusa. Luego, utilizando notacin escalar, F" = -240 N = 240 N +- Fy=-lOON= lOO N Si se expresa F como vector cartesiano F = {-24Oi -100j} N Resp. Resp. Resp. http://carlos2524.jimdo.com/ 50. SECo 2.4 ADICIN DE UN SIS1EMA DE FUERZAS COPUNARES 33 Ejemplo 2.7 La argolla que se muestra en la figura 2.19a est sujeta a dos fuerzas Fl y F2 Determnese la magnitud y la orientacin de la fuerza resultante. SOLUCIN 1 Notacin escalar. Este problema puede resolverse usando la y ley del paralelogramo; sin embargo, vamos aqu a resolver ca- --------I~II-----'-------x da fuer'za en componentes x yy, figura 2.19b, y entonces suma- remos estas componentes algebraicamente. Si se indica el sentido "positivo" de las componentes x yy de fuerza y se usan las ecuaciones 2.1, tenemos + FRx = rE.>:; FRx = 600 cos 30 - 400 sen 45 -. . . = 236.8 N-+ . + t FRy = rEy; FRy = 600 sen 30 + 400 cos 45 = 582.8 N t La fuerza resultante que se muestra en la figura 2.19c tiene una magnitud de FR = .(236.8)2 + (582.8)2 = 629N Resp. Por adicin vectorial, figura 2.19c, el ngulo de direccin 8es Resp. SOLUCIN 11 Notacin vectorialcartesiana. De la figura 2.19b, cada fuerza se expresa como vector cartesiano y esto nos da As F1 =600 cos 300 + 600 sen 300 j F2 =-400 sen 45 + 400 cos 45j FR = (600 cos 30 - 400 sen 45) + (600 sen 30 + 400cos 45)j = {236.8i'+ 582.8D N La magnitud y direccin de FR se determinan como se mostr antes. Al comparar los dos mtodos de solucin, se ve que el uso de la notacin escalar es ms eficiente porque las componentes escalares se pueden 'encontrar directamente sin tener que empezar expresando cada fuerza como un vector cartesiano antes de sumar las componentes. El anlisis vectorial cartesi- no tiene muchas ventajas, sin embargo, para la solucin de problemas en tres dimensiones, como se ver ms adelante. (a) y F =600N (b) y I FR 582,8 N ,---- ' :/ 1I : .l.~-----.x 236,8 N (e) Fig.2.19 http://carlos2524.jimdo.com/ 51. 34 CAP.2 VECTORES DE FUERZA Ejemplo 2.8 ---------------------------11 FR y El extremo O del aguiln de la figura 2.2Oa est sujeto a tres fuerzas concurrentes y coplanares. Determnese la magnitud y orientacin de la fuerza resultante. y F2 = 250N --~I!J.o.....- - - - - x (a) y I- - - - - - - - .296.8 N ~It---x (e) . Fig.2.20 = 400 N (b) SOLUCIN Cada fuerza se resuelve en sus componentesx yy como se muestra en la figura 2.20b. Al sumar las componentes x, tenemos FRy = -400 + 250 sen 45- 200 (;) = - 383.2 N = 383.2 N +- El signo negativo indica que FRx acta hacia la izquierda, esto es, en sentido x negativa como indica la flecha pequea. si se suman las componentesy se tiene + i FRy = rEy; FRy = 250 cos 45 + 200 (;) = 296.8 Ni La fuerza resultante que se muestra en la figura 2.20c tiene una magnitud de FR = .,1(- 383.2)2 + (296.8)2 =485N Resp. De la adicin vectorial en la figura 2.2Oc, el ngulo de direcci 8es 8 = t _1(296.8) - 378an 383.2 - . Resp. Nos damos cuenta de que la sola fuerza FR que se ve en la figura 2.2Oc crea el mismo efecto sobre el aguiln que las tres fuerzas en la figura. 2.20a. http://carlos2524.jimdo.com/ 52. PROBLEMAS 3S PROBLEMAS 2.27. Exprese F y F2 como vectores cartesianos. 2.31. Exprese F1, F2YF3 como vectores cartesianos. *2.28. DeterminC;( la magnitud de la fuerza resultante y * 2.32. Determine la magnitud de la fuerza resultante y su orientacin medida en el sentido de las manecillas su orientacin medida en el sentido contrario de las del reloj a partir del ejex positivo. menecillas del reloj, desde la parte positiva del eje x. .Y F , = 800N ~'---------------x F2 = 6S0N Probs.2.27/2.28 2.29. Exprese F y F2 como vectores cartesianos. 2.30. Determine la magnitud de la fuerza reftltante y su orientacin medida en el sen~ido contrario al de las manecillas del reloj, a partir del ejex positivo. y F, =40 lb -------.-----x Probs. 2.29/2.30 y F, =ISkN Probs.2.31/2.32 2.33. Determine las magnitudes de las componentes x, y y de F y F2. F, = 80lb y Prob.2.33 http://carlos2524.jimdo.com/ 53. 36 CAP. 2 VECfORES DE FUERZA 2.34. Resuelva, el problema 2.3 sumando las compo- *2.40. Exprese cada fuerza que acta sobre la mnsula nentes x y las componentesy de las fuerzas para obte- en forma vectorial cartesiana. Qu magnitud tiene ner la fuerza resultante. la fuerza resultante? 2.35. Resuelva el problema 2.4 sumando las componentes x, y o rectangulares de las fuerzas para obtener la fuerza resultante. *2.36. Resuelva el problema 2.9 sumando las componentes x, y o rectangulares de las fuerzas para obtener la fuerza resultante. 2.37. Resuelva el problema 2.11 sumando las componentesx, y o rectangulares de las fuerzas. 2.38. Resuelva el problema 2.25 sumando las componentes x, y o rectangulares de las fuerzas para obtener la fuerza resultante. 2.39. Se requiere una fuerza de 40 lb para empujar el automvil A hacia delante. Determine la fuerza F que el jeep B deber ejercer sobre el automvil como funcin del ngulo epara mantenerlo en movimien- to. Grafique el resultado, F como funcin de () para O~ ()~ 90. Prob.2.39 / y ~Uk:::lr-----'--- x Prob.2.40 2.41. Cuatro fuerzas concurrentes actan sobre una placa. Determine la magnitud de la fuerza resultante y su orientacin medida en el sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el ejex positivo. y I F2 = IOOlb Prob.2.41 http://carlos2524.jimdo.com/ 54. 2.42. Una placa de unin est sujeta a cuatro fuerzas que concurren en el punto o. Determine la magnitud de la fuerza resultante y su orientacin medida en el sentido contrario al de las manecillas del reloj a partir del ejex positivo. Prob.2.42 2.43. Tres fuerzas actan sobre una mnsula. Deter- mine la magnitud y orientacin ede F2, de modo que la fuerza resultante tenga la direccin del eje u positivo y su magnitud sea de 50 lb. 2.44. Si F2 = 150 lb Ye= 55, determine la magnitud y orientacin, medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje u positivo, de la fuerza resultante de las tres fuerzas que actan sobre la mnsula. Probs. 2.43/2.44PROBLEMAS 37 2.45. Las tres fuerzas concurrentes que actan sobre la armella roscada producen una fuerza resultante FR = o. Si F2 = t'1 y FI debe hacer un ngulo de 90 como se muestra, determine la orientacin ede F3 y su magnitud expresada en trminos de Fl. y ----!---- x FJ Prob.2.45 2.46. Determine la magnitud y la orientacin ede FB de modo que la fuerza resultante vaya dirigida por el ejey positivo y tenga magnitud de 1500 N. 2.47. Determine la magnitud y orientacin medida en el sentido contrario de las manecillas del reloj desde el eje y positivo, de la fuerza resultante que acta sobre la mnsula, si FB = 600 N Ye= 20. y ...~.::~~ - - - - - x :':;. ' '-0 Probs. 2.46/2.47 http://carlos2524.jimdo.com/ 55. 38 CAP.2 VECTORES DE FUERZA * 2.48. El puntal est sosteniendo el muro. Al ocurrir esto, la clavija ejerce una fuerza horizontal Fx; y una fuerza vertical Fy en el punto A del puntal. Si la fuerza resultante mxima que puede desarrollarse a lo largo del puntal es 6 kN, Yel cociente FJFy :$; 0.5, determine el ngulo mnimo e~ara colocacin del puntal. Prob.2.48 2.49. La caja ser elevada por medio de dos cadenas. Determine las magnitudes de las fuerzas FA y FB que actan en una y la otra de las cadenas para desarrollar una fuerza resultante de 600 N que acta a lo largo del eje y positivo. Suponga que (} = 45. 2.50. La caja se elevar utilizando dos cadenas. Si la fuerza resultante debe ser de 600 N dirigida a lo largo del eje y positivo, determine las magnitudes de las fuerzas FA y FB que actan en cada una de las cadenas y el ngulo de orientacin ede FB, de modo que la magnitud de FB sea mnima. FA acta en un ngulo de 30 del ejey, como se muestra. y - - - - --=-iD - - - - - - x Probs. 2.49/2.50 2.51. Determine la magnitud de la fuerza F de modo que la resultante FR de las tres fuerzas sea tan-peque- a como sea posible. y 20kN - - - - . - -- - x I F 12kN Prob.2.51 http://carlos2524.jimdo.com/ 56. SECo 2.5 VECfORES CARTESIANOS 39 2.5 Vectores cartesianos Las operaciones de lgebra vectorial plicadas a la solucin de problemas en tres dimensiones se simplifican mucho si los vectores se expresan primero en forma cartesiana. En esta seccin presentamos un mtodo general para hacerlo, y luego, en la seccin 2.6 aplicaremos este mtodo para resolver problemas que implican adicin de vectores. Posteriormente, se ilustrarn aplicaciones semejantes para los vectores de posicin y de momento. Sistema derecho de coordenadas. En la teora del lgebra vectorial por desarrollarse se usar un sistema derecho de coordenadas. Un sistema rectangular o cartesiano de coordenadas se dice que es derecho siempre y cuando el pulgar de la mano derecha apunte hacia el eje positivo de las z al cerrar la mano alrede- dor de este eje, girando los dedos de la parte positiva del eje x a la parte positiva del eje y, como en la figura 2.21. Adems, segn esta regla, el eje z en un problema de dos dimensiones como en la figura 2.20, tendra direccin hacia fuera y perpendicularmen- te a la pgina. Componentes rectangulares de un vector. Un vector A puede tener una, dos o tres componentes rectangulares a lo largo de los ejes x, y, z, segn la orientacin del vector respecto a estos ejes. Pero, en general, cuando A est dirigido dentro de un octante del marco de referencia x, y, z, figura 2.22, ser posible mediante dos aplicaciones sucesivas de la ley del paralelogramo, resolver el vector en componentes como A = A' + Az Y entonces A' = A. + Ay. Al combinar estas ecuaciones, A se representa con la suma vectorial de sus tres componentes rectangulares. x A = A. + Ay + z (2.2) A, , , , , ,, , I I I I I I I I I A I Ay ho--'-+' - y " : /.... I I ;;--------~~~, Fig.2.22 Fig.2.21 http://carlos2524.jimdo.com/ 57. 40 CAP. 2 VECI"ORES DE FUERZA x Fig.2.23 , A,k ,,,, Fig.2.25 Vector unitario. En general, un vector unitario es un vector de magnitud 1. Si A es un vector con magnitudA* O, entonces un vector unitario con la misma direccin que A se representa por (2.3) Si se escribe esta igualdad de nuevo se tiene (2.4) Dado que el vector A es de un cierto tipo, por ejemplo un vector de fuerza, se acostumbra usar el conjunto de unidades apropiado para su descripcin. La magnitud A tiene estas mismas unidades; por tanto, de la ecuacin 2.3 el vector unitario ser adimensional porque las unidades se cancelan. Por tanto, la ecuacin 2.4 indica que el vector A puede expresarse en trminos de su direccin, sentido y magnitud, por separado; esto eS,A (escalar positivo) define la magnitud de A, y UA (un vector sin dimensiones fsicas) define la direccin y el sentido de A, figura 2.23. Vectores cartesianos unitarios. En tres dimensiones se usa el conjunto de vectores cartesianos unitarios, i, j, k, para designar las direcciones de los ejes x, y, z, respectivamente. Como se dijo en la seccin 2.4, el sentido (o la punta de la flecha) de estos vectores se describir analticamente con signo ms o menos, segn apunten a la parte positiva o la parte negativa de los ejes x, y, y z. De acuerdo con esto, la figura 2.24 muestra los vectores unitarios positivos. ~.-Y. J I / Fig.2.24 x Representacin vectorial cartesiana. Si se usa vectores cartesianos unitarios pueden escribirse las tres componentes vectoriales de la ecuacin 2.2 en "forma vectorial cartesiana". Dado que las componentes actan en las direcciones i, j, Yk, positivas, figura 2.25, tenemos . http://carlos2524.jimdo.com/ 58. SECo 2.5 VECTORES CARTESIANOS 41 (2.5) Existe una clara ventaja en escribir los vectores en trminos de sus componentes cartesianas. Como cada una de estas componentes tiene la misma forma que la ecuacin 2.4, la magnitud, la direccin y el sentido de cada vector componente estn separadas y se ver que ello simplificar las operaciones del lgebra vectorial particularmente en tres dnensiones. Magnitud de un vector cartesiano. Si un vector est expresado en forma cartesiana siempre es posible obtener la magnitud del vector A. Como se muestra en la figura 2.26, a partir del tringulo rectngulo sombreado de mayor tamao, A = 'A'2 +A~ Ydel tringulo ms pequeo y sombreado tambin A' = .A; +A;. Si se combinan estas ecuaciones se obtiene (2.6) Por tanto, la magnitud de A es igual a la raz cuadrada positiva de la suma de los cuadrados de las componentes. x ----~;: " l' : A : :A,I I I I I I I ""';;--"+;I;+-_y r--Ay-----:1 . Fig.2.26 Direccin de un vector cartesiano. La orientacin del vector A se define por los ngulos directores coordenados a (alfa), f3 (beta), y r (gamma), medidos entre el segmento inicial de A y lqs http://carlos2524.jimdo.com/ 59. 42 CAP.2 VECfORES DE FUERZA ejes positivos x, y y z que parten del punto inicial de A, figura 2.27. Observamos que sin importar la direccin de A, estos ngulos miden entre 0 y 180. Para determinar a, Jy Yo consideremos la proyeccin de A sobre los ejes x, y y z, figura 2.28. Con respec- to a los tringulos sombreados de la figura, tenemos 'AI I I I I I I {J : . I--+'-y " I / Jj;' I AyJ , I I A .... I I ..1 _ _____ _ ~~/ /x A cos a= A Fig.2.27 .," A cos {J= jf A cosr= Al (2.7) Estos nmeros se conocen como los cosenos directores de A. Una vez obtenidos, se obtendrn los ngulos directores coordenados a, J, rpor medio de la funcin coseno inverso. Una manera simple de obtener los cosenos directores de A consiste en formar el vector unitario de direccin igual a la de A, ecuacin. 2.3. Si A se tiene expresado en forma vectorial cartesiana A = Ax i +Ayj +Al k (Ec. 2.5), tenemos (2.8) '" http://carlos2524.jimdo.com/ 60. SECo 2.5 VEcrORES CARTESIANOS 43 /x / / / / / (---- --- -- - - A 1,1 , / ,___ -1 I ,,,,,, ,,,,, ,, , ,~--y , 1 , 1 , 1 _ ______ _ J I (a) /x / / / / / / (---- ~.....,.- ,-~/ -- y , 1 ____ ____ JI (b) Fig.2.28 1 1 donde .(AJ2 + (A)2 + (Ay (Ec. 2.6). Al comparar con las ecuaciones 2.7, se ve que las componentes i, j Yk de lA representan los cosenos directores de A, es decir, lA = cos a i + cos fJj + cos y k (2.9) Puesto que la magnitud de un vector es igual a la raz cuadrada positiva de la suma de los cuadrados de las magnitudes de sus componentes, y lA tiene magnitud de 1, entonces de la ecuacin 2.9 podemos formular una relacin importante entre los cosenos directores, a saber, cos 2 ex. + COS 2 ) + COS 2 r= 1 (2.10) Si el vector A est en algn octante conocido, esta ecuacin permite determinar uno de los ngulos directores coordenados sa- biendo el valor de los otros dos. (Vase el ejemplo 2.10.) Finalmente, si se tienen la magnitud de A y sus ngulos directores coordenados, A puede expresarse en forma vectorial cartesiana como A=AuA = A cos a i + A cos fJj +A cos r k = Ar i +A)'j +Az k (2.11) /x --- ----1 1,1 , / ,,,,,,,,I I I ,,, , I~--Y , 1 , 1 , 1 ________ J / (e) http://carlos2524.jimdo.com/ 61. 44 CAP.2 VECfORES DE FUERZA 2.6 Adicin y sustraccin de vectores cartesianos . x Fig.2.29 Si expresamos dos o ms vectores en trminos de sus componentes cartesianas se vern muy simplificadas las operaciones de suma y adicin de los mismos. Por ejemplo, consideremos los dos vectores A y B dirigidos en el octante positivo x, y, z, positivo en la figura 2.29. Si A = Ax i + Ayj + Az k YB = Bx i + Byj + Bz k, entonces el vector resultante R, tiene componentes que representan las sumas escalares de las componentes i, j Yk de A y B , es decir, La sustraccin de vectores, siendo un caso particular de la adicin, no requiere ms que una sustraccin escalar de las componentes i, j, k, respectivas de A o B. Por ejemplo, R' = A - B = (AT - Bx)i + (Ay-B)j + (Az-Bz)k Sistemas de fuerzas concurrentes. En particular, el concepto precedente de adicin vectorial puede generalizarse y aplicarse a un sistema de varias fuerzas concurrentes. En este caso, la fuerza resultante es el vector suma de todas las fuerzas en el sistema y se puede escribir como (2.12) Aqu, rFx, rFy y rFz representan las sumas algebraicas de las componentesx, y, z, o las componentes i, j, k, respectivas de cada fuerza del sistema. Los ejemplos siguientes ilustran numricamente los mtodos que se usan para aplicar la teora anterior a la solucin de problemas que implican la fuerza como cantidad vectorial. http://carlos2524.jimdo.com/ 62. SECo 2.6 ADICIN Y SUSTRACCIN DE VECTORES CARTESIANOS 45 Ejemplo2.9 __________________________.. Determine la magnitud y los ngulos directores coordenados de la fuerza resultante que acta sobre el anillo de la figura 2.30a. F, = {60j + 80k)lb F2 = {5Oi - IOOj + IOOk)lb --,-~~~----- y (a) Fig.2.30 SOLUCIN Dado que cada fuerza est representada en forma vectorial cartesiana, la fuerza resultante, que se muestra en la figura 2.30b, es FR =~F =F, + F2 =(60j + 80k) + (5Oi -lOOj + 100k) = {50i - 40j + 180k}lb La magnitud de FR se encuentra a partir de la ecuacin. 2.6, esto es, FR = 1(50)2 + (-40)2 + (180)2 = 191.0 lb Resp. Los ngulos directores coordenados a, {J, r se determinan de las componentes del vector unitario que acta en la direccin de FR' FR 50. 40. 180 UFR = FR = 191.0 1 - 191.0 J + 191.0 k = 0.2617i - 0.2094j + 0.9422k de manera que cos a= 0.2617 cos {J = -0.2094 cos r= 0.9422 a= 74.8 {J =: 102 r~ 19.6 Resp. Re~p. Resp. Estos ngulos se aprecian en la figura 2.30b. En particular, debe observarse que {J> 90 puesto que la j componente de UF R es negativa. f~""",:----- y (b) http://carlos2524.jimdo.com/ 63. 46 CAP.2 VECTORES DE FUERZA Ejemplo 2.10 Exprese la fuerza F que se muestra en la figura 2.31 como un vector cartesiano. x F = 200N - -",/",- - - y '"I '"___ ______ .J,./ Fig.2.31 SOLUCIN Puesto que slo se especifican dos ngulos directores coordenados, el tercero, a, se determina con la ecuacin 2.10; esto es, cos2 a + cos2 f3 + cos2 y = 1 cos2 a + cos2 60 + cos2 45 = 1 cos a =.; 1 - (0.707)2 - (0.5)2 = 0.5 Por tanto, a =cos-1 (0.5) = 60 o a = cos-1 (-0.5) = 120 Si se examina la figura 2.31, sin embargo, se tiene por necesidad que eX = 60, ya que Fx est en la direccin +x. Si se usa la ecuacin 2.11, con F = 200 N, tenemos F = F cos a i + F cos f3j + F cos y k = 20Qcos 600 i + 200 cos 60 j + 200 cos 45k = {lOO.Oi + 100.of+ 141.4k} N Resp. Al aplicar la ecuacin 2.6 se comprueba que efectivamente F =200 N. F = ';E?: + F!: + E?:x y z = ';(100.0)2 + (100.0f + (141.4)2 - 200 N http://carlos2524.jimdo.com/ 64. SECo 2.6 ADICIN Y SUSTRACCIN DE VECTORES CARTESIANOS 47 Ejemplo 2.11 Exprese la fuerza F que acta sobre el gancho de la figura 2.32a como vector cartesiano. z F Iz , F = 4kN Fx /xx (a) Fig.2.32 SOLUCIN En este caso, los ngulos de 60 y 30 que definen la direccin de F no son ngulos directores coordenados. Porqu? Mediante dos aplicaciones sucesivas de la ley del paralelogramo, sin embargo, F puede resolverse en sus componentes x, y y z como en la figura 2.32b. Primero, del tringulo que aparece con menor intensidad en el sombreado. F' = 4 cos 30 = 3.46 kN Fz = 4 sen 30 = 2.00 kN Despus, usando F' y el tringulo ms sombreado, Por tanto; Fx = 3.46 cos 60 = 1.73 kN Fy = 3.46 sen 60 = 3.00 kN F = {1.73i + 3.00j + 2.00k} kN Resp.. Como ejercicio, demuestre que la magnitud de F es de hecho .4 kN Yque el ngulo direccional coordenado a = 64.3. F=4kN (b) http://carlos2524.jimdo.com/ 65. 48 CAP.2 VECfORES DE FUERZA Ejemplo2.12 __________________________ F = IOOlb x Exprese la fuerza F que se ve en la figura 2.33a como vector cartesiano. SOLUCIN Como en el ejemplo 2.11, los ngulos de 600 y 450 que definen la direccin de F no son ngulos directores coordenados. Las dos aplicaciones sucesivas de la regla del paralelogramo requeridas para resolver F en las componentes x, y, z, pueden apreciarse en la figura 2.33b. Trigonomtricamente, las magnitudes de las componentes son ~~;----- y Fz = 100 sen 600 = 86.6 lb F' =100 cos 600 =50 lb Fx = 50 cos 450 = 35.4 lb Fy =50 sen 450 =35.4 lb (a) Al constatar que Fy tiene el sentido definido por -j, se tiene F = Fx + Fy + Fz F = {35.4i - 35.4j + 86.6k} lb Resp. F=IOOlb -- F, Para demostrar que la magnitud de este vector es en efecto 100 lb, apliquemos la ecuacin 2.6,--- x F = IOO lb x N~-- Y = ';(35.4)2 + (- 35.4)2 + (86.6)2 - 100 lb (b) (e) Fig.2.33 Si es necesario, los ngulos direccionales coordenados de F se pueden determinar a partir de las componentes del vector unitario que acta en el sentido de F. Por tanto, de manera que F Fx. F.. FZku =F =pi + pJ + F = ~~rii -~~rij + ~~gk = 0.354i - 0.354j + 0.866k a =cos-1 (0.345) =69.30 {3 = cos-1 (-0.354) = 11r r = cos-1 (0.866) = 30.00 Estos resultados se muestran en la figura 2.33c http://carlos2524.jimdo.com/ 66. SECo 2.6 ADICIN Y SUSTRACCIN DE VECTORES CARTESIANOS 49 Ejemplo 2.13 ___ ______________________-. Dos fuerzas actan sobre el gancho de la figura 2.34a. Especifique los ngulos directores coordenados de F2 de modo que la fuerza resultante FR acte a lo largo del eje y positivo y tenga la magnitud 800 N. SOLUCIN Para resolver este problema, la fuerza resultante y sus dos componentes F y F2 sern expresadas en forma cartesiana. Entonces, como se muestra en la figura 2.34b, es necesario que FR = F + F2 Si se aplica la ecuacin 2.11, F =FUF = F cos al i + FI cos fJd + FI cos ylk = 300 ~os 45i + 300 cos 600 j + 300 cos 1200 k = {212.li + 150j -150k} N F2 =F2uF, =F2xi + F2J + Fz,k De acuerdo con el enunciado del problema, la fuerza resultante FR tiene 800 N de magnitud y acta en el sentido del vector +j. Por tanto, FR = (800 NX+j) = {800j} N Requerimos FR = F + F2 800j = 212.1i,+ 150f- 150k + Fai + F2yj + Fak 800j = (212.1 +F2x)i + (150 +F2y)j + (- 150 +Fz,)k Para satisfacer esta ecuacin, las componentes corresponpon- dientes i, j, Y k de los lados izquierdo y Iderecho deben ser iguales. Esto equivale a decir que las componentes x, y, z, de FR sean iguales a las componentes correspondientesx,y, z, de (F + F2). Por tanto, 0= 212.1 +F2 800 = 150 +F2 x 0 =-150+F2x F2x = -212.1 N F2y = 650 N Fz, = 150 N x Puesto que se conocen las magnitudes de Fz y sus componentes, podemos usar la ecuacin 2.11 para determinar a, p, r. -212.1 = 700cos a lXz = COS-(-;t~1 ) = 108 Resp. 650 = 700 cos Pz; Pz = COS-(~~) = 21.8 Resp. x 150 = 700 cos r r2 = cos-lj~) = 77.6 Resp. Estos resultados se muestran en la figura 2.34b. ~~!H-,--~-------- Y FI=300N (a) . F2 = 700 N ,,, /32= 21.8 0 ',FR = 800 N ~~--""",,-,-- - y (b) Fig.2.34 http://carlos2524.jimdo.com/ 67. 50 CAP.2 VECfORES DE FUERZA PROBLEMAS * 2.52. Exprese cada fuerza como vector cartesiano y entonces determine la fuerza resultante FR. Encuen- tre la magnitud y los ngulos directores coordenados de la fuerza resultante y dibuje el vector en el sistema de coordenadas. x Prob.2.52 F = 5kN - - -/ - y / / / / / / 2.53. Determine cada fuerza como un vector cartesiano y entonces determine la fuerza resultante FR. En- cuentre la magnitud y los ngulos directores coordenados de la fuerza resultante y dibuje el vector en el sistema de coordenadas. F2 = 60 N ---c--~~~~~~--~---y F ~ 40 N x Prob.2.53 2.54. Exprese cada vector como vector cartesiano y entonces determine la fuerza resultante FR. Encuen- tre la magnitud y los ngulos directores coordenados de la fuerza resultante y dibuje el vector en el sistema de coordenadas. F2 = 150 lb - - - - -- - -~----?~~~~--,~--- y x Prob.2.54 2.55. El cable al final de la viga ejerce una fuerza de 450 lb, como se muestra. Exprese F como vector cartesiano. F= 450 lb Prob.2.5S http://carlos2524.jimdo.com/ 68. 2.56. La mnsula est sujeta a las dos fuerzas que se muestran. Exprese cada fuerza en forma vectorial cartesiana y entonces determine la fuerza resultante FR. Encuentre la magnitud y los ngulos directores coordenados de la fuerza resultante. F, = 500 N Prob.2.56 2.57. Se ejercen tres fuerzas sobre el anillo. Determi- ne la magnitud y ngulos directores coordenados de la fuerza resultante. F, = OON 60' F, = 400N x Prob.2.57 PROBLEMAS 51 2.58. Tres fuerzas actan sobre la armella roscada. Si la fuerza resultante FR tiene magnitud y orientacin como se muestra, determine la magnitud y ngulos directores coordenados de la fuerza F3. 2.59. Determine los ngulos directores coordenados de F YFR. x Probs. 2.58/2.59 *2.60. Las dos fuerzas F y F2 que actan en el extremo del tubo tienen una fuerza resultante FR = {120i} N. Determine la magnitud y los ngulos directores coordenados de F2. 2.61. Determine los ngulos directores coordenados de la fuerza F e indquelos en la figura. - --- y x Probs. 2.60/2.61 http://carlos2524.jimdo.com/ 69. 52 CAP.2 VEcrORES DE FUERZA 2.62. La fuerza F que acta sobre la estaca tiene una componente de 40 N en el plano x - y como se muestra. Exprese F como vector cartesiano. 2.63. Determine la magnitud y los ngulos directores coordenados de la fuerza F que acta sobre la estaca. x , , , " , : - - - ---i - --/ - - y / / / 40N Probs. 2.62/2.63 / / * 2.64. La fuerza F tiene una magnitud de 80 lb Yacta en el octante que se muestra, tal que a = 60 Y J = 45. Exprese F como vector cartesiano. 2.65. Si Fx = 200 lb, exprese F como vector cartesiano. F, __ _________,. / /1 // / 1 / // I / / 1 r - -- F 1 1 1 1 1 1 1 : / ~y 1 // 1 / - -- - -- -- -- -'/ / 'x Probs. 2.64/2.6S 2.66. Un tubo se encuentra sujeto a la fuerza F con sus componentes que actan sobre los ejes x, y, z, como se muestra. Si la magnitud de F es 12 leN, a= 120 y y= 45, determine las magnitudes de sus tres componentes. 2.67. Sobre el tubo se ejerce la fuerza F de componentes F.= 1.5 kN, yFz = 1.25 kN. Si f3= 75" determine la magnitud de F y de Fy . F, , , F 1 1 1 , ~ x y Probs. 2.66/2.67 * 2.68. Determine la magnitud y los ngulos directores coordenados de F2, de manera que la resultante de las dos fuerzas acte a lo largo del eje x positivo con magnitud de 350 N. 2.69. Determine la magnitud y los ng

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