DETERMINACIÓN DE LA FRECUENCIA DE OSCILACION DE UN PÉNDULO SIMPLE UTILIZANDO UN

ESTROBOSCOPIO

Saravia Carranza Andy Rojas flores Oscar

Carrillo Acosta Orlando Robles Rodríguez Rony

Facultad de Ingeniería, Escuela de Ingeniería Mecánica, Universidad Nacional de TrujilloAV. Juan Pablo II, La Libertad, Trujillo, Perú

RESUMEN

En el presente trabajo hecho en su mayoría en el laboratorio, hemos usado un estroboscopio (mas adelante diremos a ciencia cierta para que se usa este aparato), que en este caso hemos medido la frecuencia de oscilación de un péndulo simple, para cada longitud determinada, obteniendo datos en cada experimento que comprueban que a menor longitud de cuerda del péndulo simple, el estroboscopio nos da una frecuencia mayor que con un péndulo con mayor longitud de cuerda y viceversa. Ya obtenidos los datos podemos encontrar un valor aproximado al valor de la gravedad. Usamos la fórmula:

1f= 12 π √ gl

l: Longitud de la cuerda m

g: Gravedad en m .s−2

1. OBJETIVOS ESPECIFICOS

Hallar la aceleración de la gravedad.

2. OBJETIVOS GENERALES

Comprender qué es el movimiento de un péndulo.

Verificar el comportamiento de oscilador armónico del péndulo simple.

Hallar la frecuencia del péndulo, en función de su longitud(estas que sean menor que 25cm).

3. FUNDAMENTO Y MOTIVACIÓN

Uno de los movimientos más importantes observados en la naturaleza es el movi-miento oscilatorio (o vibratorio). Una partícula oscila cuando se mueve periódi-camente con respecto a la posición de equilibrio.También podemos hablar de oscilación cuando los átomos de un sólido están vibrando.Similarmente, los átomos en una molécula vibran unos con respecto a otros, también los electrones de una antena radiante o receptora vibran rápidamente.Una comprensión del movimiento vibratorio es también esencial en la discusión del fenómeno ondulatorio.

Está claro que existe infinidad de clases de movimientos periódicos.Las funciones periódicas más sencillas son las trigonométricas del seno y del coseno. Por eso, el movimiento periódico más simple será el movimiento en que las coordenadas del punto material varíen según la ley:

x = A sen (𝜔t+ )α

Donde A, 𝜔 y son determinadas magnitudes constanα tes.Este movimiento periódico se denomina:

‘’movimiento oscilatorio armónico’’ (conocido por nosotros como Movimiento Armónico Simple)

El sentido físico de las magnitudes A, 𝜔 y es elemenα tal. El desplazamiento máximo a partir del origen ‘’A’’ se define como la amplitud del movimiento armónico simple, como el valor máximo del seno es la unidad, el valor máximo de la coordenada x será A.La magnitud x varía entre los límites desde - A hasta A.La función seno se repite cada vez que el ángulo aumenta en 2π , el periodo T del movimiento se relaciona con 𝜔 mediante la ecuación

T=2πω

De aquí se ve que 𝜔 se diferencia de la frecuencia f en el factor 2π :

𝜔 = 2πf .

La magnitud 𝜔 se denomina frecuencia angular (circular) o pulsación. En Física, para caracterizar las oscilaciones se utiliza generalmente esta magnitud y suele llamarse simplemente frecuencia.El argumento del seno, ωt+∝ se denomina fase de la oscilación siendo ∝ la fase inicial (en el momento t=0)

Como ejemplo de pequeñas oscilaciones veamos las del péndulo simple, punto material suspendido de un hilo en el campo de gravedad de la Tierra. Desviemos el péndulo de la posición de equilibrio un ángulo φy determinemos la fuerza que en este caso actúa sobre el péndulo.

Para determinar la naturaleza de las oscilaciones, debemos escribir la ecuación de movimiento de la partícula. La partícula se mueve en un arco de círculo de radio l, Las fuerzas que actúan sobre la partícula son su peso mg y la tensión T a lo largo de la cuerda.La fuerza total que actúa sobre el péndulo será mg, donde m es la masa del péndulo y g la aceleración de la gravedad. Descompon-gamos esta fuerza en dos:Una a lo largo del hilo y la otra perpendicular al mismo.La primera compensa la tensión del hilo, la segunda origina el movimiento del péndulo.Esta componente será, sin duda,

F=−mgsenφ

En el caso de pequeñas oscilaciones, el ángulo φ es pequeño, y se puede considerar que senφ es igual aproximadamente al propio ángulo φ, de manera que

F=−mgφ.

Observando que φ (donde l es la longitud del péndulo) es el camino x recorrido por el punto material, escribiremos:

F=−mglx

De aquí se ve que la rigidez, en el caso de pequeñas oscilaciones del péndulo, es

k=mgl

Por eso la frecuencia angular del péndulo será:

ω=√ glEl período de las oscilaciones del péndulo será

T=2πω

=2 π √ lgEl periodo del péndulo en función de la longitud del mismo y de la aceleración de la fuerza de gravedad se puede determinar simplemente por las unidades dimensionales. Disponemos de las magnitudes m, l, g, que caracterizan al sistema mecánico considerado, cuyas dimensiones son

[m] = g, [/] = m, [g ]=m

s2.

El período T puede depender solamente de estas magnitudes. Como de todas estas magnitudes la dimensión de g la contiene solamente m, mientras que la dimensión de la magnitud buscada [T ]=s no contiene g, está claro que T no puede depender de m. De las dos magnitudes restantes, l y g, se puede excluir la dimensión m (que T no contiene) haciendo l/g. Por último, extrayendo la raíz √ (l / g), obtenemos la magnitud de dimensión ‘s’.

Condiciones iniciales en la oscilación de un péndulo

simple4. TECNICA DE MEDIDA:

Para poder medir la frecuencia del péndulo simple hacemos uso del estroboscopio. Un estroboscopio es un aparato que emite centelleos de luz con una frecuencia regulable, este aparato tiene múltiples usos, se utiliza en los talleres de mecánica para medir la frecuencia con que gira la hélice del rayador, se utiliza en la cortadora de las fiestas en las discotecas, para medir la frecuencia con la que funciona un ventilador, etc.

Figura 2. El péndulo en el instante en que es captado por el estroboscopio

Como materiales se han empleado:

Estroboscopio TURBO-STROB, marca ELMED MESSTECHNIK (ε= 0.01− ¿+¿Hz¿ ¿ ).

Soporte universal.

Una regla métrica (ε= 0.01mm− ¿+¿¿ ¿ )

Una esferita de acero, no importa la masa.

Un hilo inextensible de 60 cm.

En la figura 2 se muestra una fotografía estroboscópica del montaje experimental con el péndulo en movimiento, que es la base de todas las medidas que se ha hecho.

El procedimiento es muy simple. Se pone el péndulo en movimiento, soltado de una altura que haga a lo máximo 10° con la posición de equilibrio, el sistema ya oscilando

alrededor de la posición de equilibrio, se regula con el estroboscopio de modo que vemos las posiciones del péndulo cada vez más espaciadas, hasta que llega un momento en que la frecuencia “ f '” del estroboscopio coincide con la frecuencia “ f ” del péndulo, en ese momento veremos al péndulo inmóvil en una sola posición.

Así se medirán las frecuencias para cada longitud diferente del péndulo y con esto el periodo.

Con los datos obtenidos y una hoja de cálculo se obtienen las gráficas que permiten una mejor observación y entendimiento del fenómeno que estamos estudiando.

DATOS Y GRÁFICAS:

A continuación las graficas hechas con la obtención de los siguientes datos experimentales.

Determinación experimental de la frecuencia de oscilación de un péndulo simple:

N Longitud ( 0.1cm− ¿+¿ ¿ ¿ ) Frecuencia ( 0.01− ¿+¿ ¿ ¿ Hz)1 6.50 1.922 8.70 1.693 10.50 1.574 12.60 1.375 14.50 1.306 16.40 1.227 18.00 1.118 19.70 1.099 21.00 1.06

10 22.70 1.05

Figura 3. Longitud contra frecuencia

En gráfica de la figura 3 se observa que mientras la longitud del péndulo aumenta, la frecuencia disminuye.

Datos de longitud y periodo:

N Longitud ( 0.1cm− ¿+¿ ¿ ¿ ) Periodo ( 0.01− ¿+¿ ¿ ¿ )1 6.5 0.522 8.7 0.593 10.5 0.644 12.6 0.735 14.5 0.776 16.4 0.827 18.0 0.908 19.7 0.929 21.0 0.9410 22.7 0.95

Aun a pesar de ser una medida indirecta, la explicación de la importancia del periodo se debe tener en consideración que muy a menudo se considera a la frecuencia como la inversa del periodo de la oscilación del péndulo simple mas no como ‘ ’el tiempo en que demora una oscilación’’.

Es por ello que el trabajo con la frecuencia de oscilación pierde importancia para trabajos más sencillos y cobra una valiosa importancia para análisis más complejos y de mayor exactitud.

Para satisfacer a ambas necesidades nuestro análisis experimental o mejor dicho el desarrollo u obtención de nuestros objetivos se han trabajado para ambas situaciones.

Hacemos su gráfica

Figura 4. Longitud contra periodo

Obtenidos estos valores se pueden realizar representaciones gráficas que nos permite ver con más claridad cómo funciona el fenómeno que estudiamos.

f= 12π √ gl ⇒ T=2π √ lg

Para obtener el valor de la aceleración de la gravedad se debe hacer un ‘análisis del Periodo (T) en función de la longitud (l)’ o de manera más directa el ‘análisis de la Frecuencia (f) en función de la longitud’

‘ANALISIS DEL CUADRADO DE LA FRECUENCIA EN FUNCION DEL INVERSO DE LA LONGITUD’

Tomando en cuenta que la relación que existe entre la frecuencia y la longitud del punto de apoyo a la esfera es:

f= 12π √ gl entonces f

2= 1

4 π2gl

Si consideramos:

f 2=Y a= 1

4 π2g y X=

1l

La nueva ecuación será:

Y=aX+b (Considerando a ‘b’ como una posible aproximación o algún error).

Ahora como ya hemos realizado el ajuste de datos (Método de los mínimos cuadrados) en su caso más sencillo que es el ajuste a una recta.

Suponiendo que las desviaciones de todos los datos son iguales se obtienen las ecuaciones:

a∑i

N

X i+b .n=¿∑i

N

Y i ¿

a∑i

N

X i2+b∑

i

N

X i=¿∑i

N

Y i .X i ¿

De donde ‘a’ y ‘b’ son obtenidos por las siguientes formulas:

a=n∑X .Y−∑X .∑Yn∑ X2−(∑ X )2

b=n∑X2 .∑Y−∑X .∑X .Yn∑X2−(∑ X)2

Claro que no debemos olvidarnos del coeficiente de correlación(r)

r2=(n∑X .Y−∑ X .∑Y )2

(n∑ X2−(∑X )2) (n∑Y 2−(∑Y )2)

Como ya debimos haber observado los parámetros son obtenidos a través de nuestros datos experimentales.

N X(cm-1) Y (Hz2) Y.X (cm-1. Hz2) X2( cm-1)1 0.154 3.682 0.568 0.02372 0.115 2.856 0.328 0.01323 0.095 2.465 0.234 0.00904 0.079 1.877 0.148 0.00625 0.069 1.690 0.117 0.00486 0.061 1.488 0.091 0.00377 0.056 1.232 0.069 0.00318 0.051 1.188 0.061 0.00269 0.048 1.124 0.054 0.0023

10 0.044 1.103 0.049 0.0019∑ 0.772 18.709 1.719 0.0705

En las medidas experimentales de las frecuencias del péndulo simple, se observa que la dispersión crece, aunque no de forma regular, cuando la longitud disminuye.Con los datos luego de la regresión lineal se obtiene que:

Y=24.310 X−0.008

Una vez obtenido el parámetro ‘a’ se puede calcular el valor experimental de ‘g’:

g=4 π2 . a

Donde nuestro valor de g relacionada a la frecuencia de oscilación del péndulo medida con el estroboscopio es:

Figura 5. Frecuencia elevada al cuadrado contra el inverso de la longitud

En la gráfica de la Figura 5 se observa este cambio y se deduce que cuando las longitudes son grandes, las frecuencias empiezan amontonarse, es decir, las

𝑔=959.7cms2

frecuencias ya no son tan exactas, esto es porque la frecuencia minima del estroboscopio es de un Hertz.

‘ANALISIS DEL CUADRADO DEL PERIODO EN FUNCION DE LA LONGITUD’

Tomando en cuenta que la relación que existe entre el periodo y la longitud es:

T=2π √ lg entonces T 2=4 π2lg

Si consideramos:

T 2=Y a= 4 π 21g

y X=l

La nueva ecuación será: Y=aX+b

Del mismo modo suponiendo que las desviaciones de todos los datos son iguales se obtienen las ecuaciones:

a∑i

N

X i+b .n=¿∑i

N

Y i ¿

a∑i

N

X i2+b∑

i

N

X i=¿∑i

N

Y i .X i ¿

Como ya se había especificado los parámetros se obtendrían mediante:

a=n∑X .Y−∑X .∑Yn∑ X2−(∑ X )2

b=n∑X2 .∑Y−∑X .∑X .Yn∑X2−(∑ X)2

r2=(n∑X .Y−∑ X .∑Y )2

(n∑ X2−(∑X )2) (n∑Y 2−(∑Y )2)

Determinando las variables a utilizar:

N X(cm) Y (s2) Y.X (cm. s2) X2( cm2)1 6.5 0.27 1.755 42.252 8.7 0.35 3.045 75.693 10.5 0.41 4.305 110.254 12.6 0.53 6.678 158.765 14.5 0.59 8.555 210.256 16.4 0.67 10.988 268.967 18.0 0.81 14.580 324.008 19.7 0.85 16.745 388.099 21.0 0.88 18.480 441.00

10 22.7 0.90 20.430 515.29∑ 150.6 6.26 105.561 2539.79

Una vez obtenido el parámetro ‘a’ se puede calcular el valor experimental de ‘g’:

g=4 π2

a

Donde nuestro valor de ``g ´´relacionada al Periodo del péndulo es:

Y=0.04153 X−0.00059

𝑔=950.6cms2

Su gráfica:

Como se puede observar en la gráfica la linealidad se pierde conforme la longitud del péndulo se incrementa, esta variación nos indica como el periodo se vuelve proporcional al seno del ángulo para distancias mayores a 20 cm lo que también imposibilitaría a nuestro estroboscopio medir su frecuencia y por lo tanto calcular el periodo.

Estroboscopio Empíricamente^N Frecuencia ( 0.01− ¿+¿ ¿ ¿ Hz) Frecuencia (Hz)1 1.92 1.962 1.69 1.693 1.57 1.544 1.37 1.415 1.30 1.326 1.22 1.237 1.11 1.178 1.09 1.129 1.06 1.09

10 1.05 1.04

Empíricamente: Se calcula mediante la relación entre la frecuencia y la longitud del

péndulo tomando el valor de la gravedad como 981cm

s2. f= 1

2π √ glLa finalidad de la tabla presentada relaciona la frecuencia que obtuvimos con el estroboscopio y la frecuencia obtenida solo con la longitud y la gravedad.

5. RESULTADOS:

La gravedad, tomada con diferentes datos, varía en un porcentaje mínimo,

nuestro valor de g experimental no es muy cercano al teórico pero

comparándolo con otros experimentos el nuestro oculta menos información.

Tomando los datos de la longitud experimentalmente y calculando en la

ecuación, la frecuencia resulta casi igual, que el arrojado por el estroboscopio.

Con los datos experimentales se obtuvo la aceleración de la gravedad muy

aproximado a la original(9.81m.s-2)

El estroboscopio nos dio una medida muy certera, para poder hallar la

aceleración de la gravedad.

En el presente experimento se observo como la obtención de solo una medida

indirecta cambio significativamente el valor de la gravedad.

6. RECOMENDACIONES:

Tener en cuenta que el sistema sea soltado de una altura que haga, a lo

máximo, 10° con la vertical.

Que las longitudes del péndulo sean menores que 25 cm.

La frecuencia que nos arroja el estroboscopio es cuando el sistema se

encuentra estático.

El experimento se realizo y se baso en el análisis del movimiento del

péndulo simple por lo que todas las consideraciones tomadas fueron

necesarias para un buen resultado, la suficiencia de ellas queda bajo

consideración del experimentador y su modelo.

7. CONCLUSIONES:

La característica principal de todo Movimiento Armónico Simple es presentar

una fuerza que pretende regresar el sistema a su posición de equilibrio,

determinada fuerza restauradora.

Para oscilaciones pequeñas, el periodo del péndulo para un valor g

determinado depende sólo de su longitud.

Las oscilaciones son directamente proporcional a rango del periodo que genera

decir entre mas oscile los objetos su periodo se torna mayor.

Si estuviésemos en un planeta con g más grande que el de la tierra, aumenta la

fuerza de restitución, causando un aumento de la frecuencia y una disminución

del periodo y viceversa si estuviéramos en un planeta con g menor que el de la

tierra.

El estroboscopio nos permite trabajar con frecuencias mínimas y exactas a su

vez lo que permite mejoras de diseños y puede dársele amplias aplicaciones en

el campo experimental como en muchos más.

8. BIBLIOGRAFIA:

FISICA, vol. 1 MECANICA (cap12,359-370)

Marcelo Alonso - Edward J. Finn

Versión en español de:

Carlos Hernández – Víctor la torre

Fondo educativo interamericano S.A.

CURSO DE FISICA GENERAL, Mecánica y Física molecular (pag103-113)

L. Landau – A. Ajiezer – E. Lifshitz

Editorial MIR MOSCU.

FISICA, vol. 1 (cap15,358-381)

Robert Resnik – David Halliday – Kenneth S. Krane

Cuarta edicion:

Tercera en español

Compañía editorial Continental.

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WWW.FISICARECREATIVA.COM.