MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

PROF MARÍA AUXILIADORA CASTILLO

MÉRIDA, ABRIL 2013

UNIVERSIDAD DE LOS ANDESFACULTAD DE MEDICINA

ESCUELA DE ENFERMERÍACATEDRA DE BIOESTADISTICA

MEDIDAS DETENDENCIA CENTRAL

MEDIA

MODA

MEDIANA

DATOS AGRUPADOS

DATOS NO AGRUPADOS

PARA DATOS AGRUPADOS

PARA DATOS NO AGRUPADOS

PARA DATOS AGRUPADOS

PARA DATOS NO AGRUPADOS

Las medidas de tendencia central son valores que se ubican al centro de un conjunto de datos ordenados según su magnitud. Generalmente se utilizan 4 de estos valores también conocidos como estadigrafos, la media aritmética, la mediana, la moda y al rango medio.

La media aritmética es la medida de posición utilizada con más frecuencia. Si se tienen n valores de observaciones, la media aritmética es la suma de todos y caca uno de los valores dividida entre el total de valores: Lo que indica que puede ser afectada por los valores extremos, por lo que puede dar una imagen distorcionada de la información de los datos.

La Mediana, es el valor que ocupa la posición central en un conjunto de datos, que deben estar ordenados, de esta manera la mitad de las observaciones es menor que la mediana y la otra mitad es mayor que la mediana, resulta muy apropiada cuando se poseen observaciones extremas.

La Moda es el valor de un conjunto de datos que aparece con mayor frecuencia. No depende de valores extremos, pero es más variables que la media y la mediana

MEDIA ARITMÉTICA

DEFINICIÓN

ES LA SUMA DE TODOS LOS VALORES DE LAS OBSERVACIONES, DIVIDIDAS ENTRE EL TAMAÑO DE LA MUESTRA.

Estadísticamente se expresa así:

=X = Σ Xi / n

Símbolos:

Σ = es el símbolo usado para indicar suma Xi = es el valor de cada observación. n = es el tamaño de la muestra. =X = es el símbolo usado para

representar la media aritmética

para datos no agrupados

para datos agrupados 

donde: Es la media aritmética x Es cada uno de los datos (no

agrupados). o La marca de clase (agrupados).

f Es la frecuencia absoluta de cada clase.

n Es el número total de datos (tamaño de la muestra.

n

xx

n

fxx

x

FÓRMULAS PARA LA MEDIA

EJEMPLO N° 1

EN UN ESTUDIO SOBRE PRESIÓN ARTERIAL SISTÓLICA SANGUINEA EXPRESADA EN mm/Hg, DE UN CIERTO NÚMERO DE PACIENTE QUEINGRESARON POR EMERGENCIA AL HOSPITAL UNIVERSITARIO DE LOS ANDES (HULA) SE OBTUVO LA SIGUIENTE INFORMACIÓN:

PRESIONES SISTÓLICAS

PRESIONESSISTOLÓLICAS

140 150 141 160 120 180

141 130 145 143 135 150

CALCULESE EL VALOR PROMEDIO ( ) DE LAS PRESIONES SISTÓLICAS

x

SOLUCIÓN

APLICANDO LA FORMULA SE TENDRÁ:

=X = Σ Xi / n

140+150+141+160+120+180+140+130+145+143+135+150/12

LO QUE SIGNIFICA QUE LA PRESIÓN SISTÓLICA PROMEDIO EN LOS 12 PACIENTES ES DE 144,5 mm/Hg

CÁLCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA

Dependiendo si los datos están o no agrupados en intervalos de clase, o quizás del tamaño de la muestra, se puede obtener la siguiente fórmula Para el cálculo de la media.

1.Si es investigador no conoce otra, no importando el tamaño de la muestra se usará la ya conocida

n

xx

Si los datos están ordenados y agrupados en un cuadro de frecuencia, aun cuando no estén agrupados en intervalos de clase se tendrá la formula siguiente:

=̅ X = Σ Xi x fin

= Σ Xi x hi = Σ Xi = ---------- fi

nDONDE:

hi : ES LA FRECUENCIA RELATIVA SIMPLE

fi: ES LA FRECUENCIA ABSOLUTA SIMPLE

EJEMPLO 2

En un estudio sobre parásitos, se considero la distribución de la garrapata en el cuerpo de los ratones, se obtuvo la siguiente observación del número de garrapatas encontradas sobre 44 ratones

0 2 0 0 2 2 0 0 1

1 3 0 0 1 0 0 1 0

1 4 0 0 1 4 2 0 0

1 0 0 2 2 1 1 0 6

0 5 1 3 0 1 0 1

Calcular la media aritmética ( )x

SOLUCIÓN

Lo primero a realizar es la ordenación de losdatos en un cuadro de frecuencia como la siguiente tabla:

DISTRIBUCIÓN DE GARRAPATAS EN 44 RATONES

GARRAPATAS fi

0123456

201262211

TOTAL 44

Siendo que el objetivo es calcular la media con la formula

=̅ X = Σ Xi x Fin

Se hace lo siguienteSe construye una nueva columna cuyo titulo sea Xi x fi la cual permite sumar con facilidad los valores de la variable por su respectiva frecuencia. Así se tiene

Xi x fi

0 x 20 = 0 1 x 12 = 12 2 x 6 = 12 3 x 2 = 6 4 x 2 = 8 5 x 1 = 5 6 x 1 = 6

= 49=̅ X = Σ Xi x fi

Ahora se toma esta suma y se divide entre el número de observaciones para obtener que:

=̅ X = Σ Xi x Fin =

49

44 = 1,1136

Aceptando entonces que ese cociente es igual a 1, puede concluirse que el promedio es de una garrapata por cada ratón estudiado.

Ahora bien; si los datos están agrupados en intervalos de clases, el valor de la media aritmética se obtiene de la manera siguiente:

1. De cada clase se obtiene el punto medio respectivo a partir de

Xm = Li + Ls2

DONDE

Xm = es el punto medio

Li = es el limite inferior

Ls = es el limite superior

2. Se multiplican los puntos medios obtenidos en (i) por las frecuencias respectivas (fi) .

3. Se obtiene la suma de Xm x Fi.

4. Se divide esta suma obtenida en Xm x Fi por el tamaño de la muestra y se obtiene que:

=̅ X = Σ Xm x fin

Ejemplo 3

Distribución de la concentración de testosteronaen el plasma de 33 cocodrilos

Clases fi

2,05 - 4,25 4.25 - 6,45 6,45 - 8,65

8,65 - 10,8510,85 - 13,0513,05 - 15,25

4211565

Total 33

Se pide obtener el promedio de los valores dados

SoluciónAplicando los datos mencionados, se prepara el Siguiente cuadro para obtener los valores pedidos

Clase fi Xm Xm x fi

2,05 - 4,25 4.25 - 6,45 6,45 - 8,65

8,65 - 10,8510,85 - 13,0513,05 - 15,25

4211565

3,155,357,559,7511,9514,15

12,6010,7083,0548,7571,7070,75

Total 33 297,55

=̅ X = Σ Xm x fin = 297,55

33= 9,01

Conclusión:

Significa que el cambio estacional promedio de la concentración de testosterona en el plasma durante el ciclo reproductivo en los cocodrilos estudiados es de 9,01 nanogramos por mililitro

Ejemplo 4

En la siguiente tabla se muestra el número de defunciones ocurridas en Venezuela en el año 2010, en la misma se excluyen aquellas donde las personas eran mayor de 85 años y más. Calculemos

Defunciones por grupo de edad año 2010

Grupo de edades N° de defunciones

1 - 45 - 1415 - 2425 - 4445 - 6465 - 84

23316 2271 4821 87321541720997

Total 75554

Solución

Puede observarse que los limites presentados, para la variable edad, son aparentes. En consecuencia deben transformarse en limites reales antes de proceder al cálculo.

Grupo de edades

Xm N° de defunciones (fi)

Xm x fi

0,5 4,54,5 14,514,5 24,524,5 44,544,5 64,564,5 84,5

2,59,5

19,534,554,574,5

23316227148218732

1541720997

5829021574,594009,5301254840226,51564276,5

total 75554 2879631

Así al aplicar la formula ya conocida tenemosQue:

2879631 / 75554 = 38,11

Significa que el número promedio de defunciones por edades en el año 2010 fue = 38,11

Propiedades de la media aritmética

1. La media aritmética es el centro de gravedad o punto de equilibrio de un conjunto de datos.

2. La media aritmética multiplicada por el tamaño de la muestra es igual a la suma de los valores de las observaciones.

Σ

i= 1n x =X

n

Xi

Esto quiere decir que, conociendo el número de

observaciones y el valor de la media, no se

necesita conocer los valores particulares de las

observaciones porque puede obtenerse su suma

total.

3. La suma algebraica de los desvíos de las observaciones respecto de la media es cero.

Σ ( Xi - X) = 0

MIL GRACIAS POR HOY