Resolución de problemas mediante el método de Gauss

Tres personas A, B y C le van a hacer un regalo a un amigo común. El regalo les cuesta 86 €. Como no todos disponen del mismo dinero, deciden pagar de las siguiente manera: A paga el triple de lo que pagan B y C juntos, y por cada 2 € que paga B, C paga 3 €. Se pide:

a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales que permita determinar cuánto paga cada persona.

b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior por el método de Gauss.

PlanteamientoPlanteamiento

Llamaremos x al dinero que aporta el amigo A, y al dinero que aporta el amigo B, y por último z al dinero que paga el amigo C.

Como el regalo cuesta 86 €, la primera ecuación será:

Como A paga el triple de lo que pagan B y C juntos tenemos:

Por último por cada 2 € que paga B, C paga 3 €, es decir,

8 6=++ zyx

( )zyx +⋅= 3

zy ⋅=⋅ 23

PlanteamientoPlanteamiento

Al final el sistema que nos queda es el siguiente:

( )

⋅=⋅+⋅==++

zy

zyx

zyx

23

3

8 6

Resolución

Lo primero de todo vamos a quitarnos los paréntesis y dejaremos todo lo que tenga letras a la izquierda y el resto de cosas a la derecha, quedando:

=⋅−⋅=⋅−⋅−

=++

023

033

8 6

zy

zyx

zyx

Resolución

Nos fijamos que a la tercera ecuación le falta la letra x. Entonces vamos a coger la 1ª y la 2ª ecuación y las vamos a restar y así eliminamos x:

=⋅−⋅−=++

033

8 6

zyx

zyx Restamos

8 644 =⋅+⋅ zy

Resolución

Ahora tomamos la ecuación inicial que no hemos utilizado con la que acabamos de obtener:

Multiplicamos la 1ª por 2

=⋅+⋅=⋅−⋅

8 644

023

zy

zy

=⋅+⋅=⋅−⋅

8 644

046

zy

zy

Sumamos 8 61 0 =⋅ y

Resolución

Tenemos este sistema

=⋅=⋅−⋅

=++

8 61 0

023

8 6

y

zy

zyx

6,8=y Sustituimos en la 2ª

9,1 2=z Sustituimos en la 1ª 5,4 4=x

Solución

El amigo A tiene que pagar 44,5 €

El amigo B tiene que pagar 8,6 €

El amigo C tiene que pagar 12,9 €