Matriz inversa

Matriz inversa (método de Gauss):

Recordarás que al estudiar por vez primera la matriz inversa dijimos que más adelante volveríamos a estudiarla introduciendo una pequeña variante debido a Carlos Federico Gauss un prodigio de inteligencia desde su más tierna infancia que vivió entre los años 1775 al 1855 en Alemania.

Dada una matriz cuadrada A de orden n, si existe otra matriz de orden n tal que al multiplicarla por A de la matriz identidad, diremos que ésta es la inversa de A y la indicaremos A-1.                                                  A·A-1=A-1·A=In

Vamos a hacer el cálculo de la matriz inversa sirviéndonos del método de Gauss.

Como ya hemos estudiado, tenemos que calcular una matriz A-1 que multiplicada por la matriz A obtengamos el resultado:

Haciendo uso del método de Gauss escribimos la matriz original del modo siguiente:

Le hemos agregado los elementos del resultado que nos tiene que dar.

A la derecha de la raya roja la matriz identidad, a la izquierda la matriz propuesta.

Hemos de conseguir que a la izquierda de la vertical de color rojo aparezca la matriz identidad y a la derecha los elementos de la matriz inversa:

Cuando a la matriz propuesta la hayamos transformado en matriz identidad, los elementos que ocuparán su lugar original será el valor de la matriz inversa (x, y, u, v).

El 2 que ocupa el lugar (1   2) debe darnos un 0 y para ello realizo las siguientes operaciones: F1 = 2F1 – F2:

El 3 que ocupa el lugar (1   2) nos interesa vamos a convertirlo en 1, para ello tendremos que dividir a todos los elementos de la fila entre 3:

Multiplicamos por  – 1 a todos los términos de la primera fila:

El valor del elemento (2   1) debe tener el valor 0 y para ello realizo la operación: F2 = F2 – F1:

Necesitamos que el valor del lugar (2  2) sea igual a 1 y para ello multiplico a cada uno de los elementos de la fila por 3/4:

Ya hemos concluido, la matriz inversa es lo que se halla a la derecha de la matriz identidad:

Es decir: 

Estos valores corresponden a x, y, u, v.

Comprobamos:

No es complicado calcular la matriz inversa, lo malo es el tiempo que hay que utilizar en resolver y lo fácil que es equivocarse