REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO PARA LA EDUCACION SUPERIOR

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO

“SANTIAGO MARIÑO”

Emmilse Pérez 16.110.986

Estructura II

2014

MÉTODO DE LA DISTRIBUCIÓN DE MOMENTOS

Cuando se tiene una estructura con un nudo al cual le llegan varios miembros el proceso de equilibrio en ese nudo nos lleva a repartir ese momento en todos los elementos, esa repartición se hace de acuerdo con la rigidez a rotación de cada elemento.

Grado de libertad libre= θb

Ecuaciones de equilibrio en el sentido del grado de libertad libre:

Ecuaciones pendiente deflexión:

Los momentos están dados solamente en función del giro en b ya que los otros grados de libertad son cero.

Si llamamos al termino se puede decir que la rigidez rotacional del elemento a un giro, K, podemos expresar la ecuación de equilibrio como:

Despejando para θb, tenemos:

Reemplazando en la ecuación de cada momento nos queda:

El momento en el nudo se distribuye de acuerdo con la relación , a la cual le damos el nombre de factor de distribución. Los factores de distribución de los miembros que llegan a un nudo deben sumar uno, ya que el elemento que tenga mayor rigidez tiene mayor factor de distribución por lo tanto se lleva mayor parte del momento. Para elementos con EI constantes el miembro más rígido es aquel que tiene menor longitud.

Cuando en un nudo solo llegan dos elementos con EI iguales, se puede expresar el factor de distribución en función de las longitudes:

y

Ahora analizamos que pasa con los momentos generados en los otros nudos no libres, en este caso los extremos de elemento empotrados:

Por ecuaciones pendiente deflexión

Lo que nos muestra que el momento generado en un extremo fijo cuando el otro extremo se libera es igual a la mitad del momento del lado que giró.

Esta conclusión nos ayuda mucho en el proceso iterativo porque nos da el valor del momento generado en el extremo opuesto al liberado, a este valor se le llama momento trasladado.

Para este ejemplo ya llegamos al final de su solución encontrando los momentos de empotramiento en los extremos fijos.

Supongamos que el apoyo A no sea un empotramiento sino una articulación, entonces el momento mab tiene que ser cero, en este caso podemos volver a analizar toda la estructura aplicando un momento en A igual a –mab para que ese nudo se encuentre en equilibrio y considerando el nudo b rígido. A este paso se le llama equilibrio del nudo A.

donde mab´ corresponde al momento en A en esta iteración.

Este caso genera un momento en el extremo B de ese elemento igual a la mitad del momento en A que volvió a desequilibrar el nudo B.

Al aplicar equilibrio en B nos damos cuenta que se debe aplicar un momento igual a mba´ pero con signo contrario y que este momento se debe distribuir en todos los elementos de acuerdo con el factor de distribución. Esto correspondería a un equilibrio en el nudo B, o sea aplicar un momento externo que equilibre el generado en A.

Se continúa con las iteraciones de traslado y equilibrio en cada nudo hasta que los momentos trasladados y de equilibrio sean muy pequeños. Al final se suman todos los momentos de cada iteración con su respectivo signo para hallar el momento final.

En este proceso iterativo nos damos cuenta que las ecuaciones pendiente deflexión usadas no involucran desplazamientos relativos de los extremos de elementos ni tienen en cuenta ecuaciones de equilibrio en los grados de libertad correspondientes a desplazamientos. El método solo trabaja aplicando ecuaciones de equilibrio rotacional a los nudos. Esta razón hace que el método de Cross no se pueda usar directamente para resolver estructuras con desplazamientos laterales. Como alternativa para solucionar este problema se presenta un método por superposición que se explica más adelante.

Se debe tener en cuenta que el método de distribución de momentos es una forma de resolver las ecuaciones pendiente deflexión por lo tanto no es un método diferente.

Modificación del factor de distribución cuando hay un extremo articulado:

Para elementos con una articulación en un extremo podemos modificar el factor de distribución del nudo opuesto de tal manera que este no le traslade momentos al extremo articulado. Note que el extremo articulado lo único que haría sería devolver este momento ya que él no puede absorber ningún momento. Caso

opuesto a un extremo empotrado en el que cualquier momento que llegue se queda en él.

Tomemos una viga sencilla

Ecuaciones de equilibrio

Ecuaciones pendiente deflexión para el tramo AB:

reemplazando en las ecuaciones de equilibrio:

y volviendo a reemplazar en las ecuaciones de momentos:

o lo que es lo

mismo

esto quiere decir que hemos modificado la rigidez del elemento AB para tener en cuenta el hecho de que su extremo B está articulado. Así los factores de distribución en el nudo B ya tienen en cuenta que los momentos en B son cero y que por lo tanto cualquier momento generado para equilibrio en el nudo A no se traslada al nudo B.