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ALGUNOS MÉTODOS DE CONTEO
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MÉTODOS DE CONTEO
En diferentes casos se tomará de algún conjunto parte de sus elementos o todos ellos, para formar diferentes agrupaciones, que se van a distinguir por el orden de sus elementos o por la naturaleza de algunos de ellos. Si los elementos que forman una agrupación son diferentes entre sí, serán llamados agrupaciones sin repetición y si alguno de ellos es igual se dirá que son agrupaciones con repetición.
Entre los métodos de conteo más conocidos tenemos: permutación, combinación y ordenación
Los métodos de conteo son estrategias utilizadas para determinar el número de posibilidades diferentes que existen al realizar un experimento. Entre estos métodos destacan el método del producto y el método del diagrama de árbol.
Diagrama de árbol
Un diagrama de árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los
posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de la probabilidad
se requiere conocer el número de elementos que forman parte del espacio
muestral, estos se pueden determinar con la construcción del diagrama de árbol.
El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del
experimento, el cual consta una serie de pasos, donde cada uno de los pasos
tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los
problemas de conteo y probabilidad.
Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para
cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. Cada una de
estas ramas se conoce como rama de primera generación.
En el final de cada rama de primera generación se constituye a su vez, un nudo
del cual parten nuevas ramas conocidas como ramas de segunda generación,
según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible
final del experimento (nudo final).
Hay que tener en cuenta que la construcción de un árbol no depende de tener el
mismo número de ramas de segunda generación que salen de cada rama de
primera generación y que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo
ha de dar 1.
Existe un principio sencillo de los diagramas de árbol que hace que éstos sean
mucho más útiles para los cálculos rápidos de probabilidad: multiplicamos las
probabilidades si se trata de ramas adyacentes (contiguas), el ejemplo de alumna
de la primera facultad, o bien las sumamos si se trata de ramas separadas que
emergen de un mismo punto, el ejemplo de encontrar un alumno.
Ejemplos
Una universidad está formada por tres facultades:
La 1ª con el 50% de estudiantes.
La 2ª con el 25% de estudiantes.
La 3ª con el 25% de estudiantes.
Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo un 60% del total en cada
facultad.
¿Probabilidad de encontrar una alumna de la primera facultad?
¿Probabilidad de encontrar un alumno varón?
pero también podría ser lo contrario.
Relación con probabilidad condicionada
Esta herramienta está fundamentada en el cálculo de probabilidades
condicionadas.
Por ejemplo podemos identificar el 0,6 que encontramos en la rama que va
de 1ª facultad a mujer como la siguiente probabilidad condicionada:
También esta herramienta se relaciona con algunos teoremas de la
probabilidad condicionada
El segundo cálculo que hemos realizado, se corresponde con la
aplicación del teorema de la Probabilidad Total.
Dado que las tres facultades forman una partición del espacio muestral
podemos indicar este cálculo como:
COMBINACIONCOMBINACIONES.
Una combinación es un arreglo de elementos en donde no nos interesa
el lugar o posición que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una
combinación nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos.
La fórmula para determinar el número de combinaciones es:
nCr = Combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos
Donde se observa que:
La expresión anterior nos explica como las combinaciones de r objetos
tomados de entre n objetos pueden ser obtenidas a partir de las
permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos, esto se debe a
que como en las combinaciones no nos importa el orden de los objetos,
entonces si tenemos las permutaciones de esos objetos al dividirlas
entre r!, les estamos quitando el orden y por tanto transformándolas en
combinaciones, de otra forma, también si deseamos calcular
permutaciones y tenemos las combinaciones, simplemente con
multiplicar estas por el r! obtendremos las permutaciones requeridas. Es
el número de conjuntos diferentes, con elementos cada uno que puede
formarse de un conjunto de números de elementos y en esta importa
mucho el orden.
Factorial de un número natural
Es el producto de los “n” factores consecutivos desde “n”
hasta 1. El factorial de un número se denota por n!
Variaciones
Se llama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n
en n (m ≥ n) a los distintos grupos formados por n elementos de
forma que:
No entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
También podemos calcular las variaciones mediante factoriales:
Las variaciones se denotan por
Variaciones con repetición
Se llama variaciones con repetición de m elementos tomados
de n en n a los distintos grupos formados por n elementos de
manera que:
No entran todos los elementos si m > n. Sí pueden entrar
todos los elementos si m ≤ n
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
Permutaciones
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
Permutaciones circulares
Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar "en
círculo", (por ejemplo, los comensales en una mesa), de modo que
el primer elemento que "se sitúe" en la muestra determina el
principio y el final de muestra.
Permutaciones con repetición
Permutaciones con repetición de m elementos donde el primer
elemento se repite a veces, el segundo b veces, el tercero
c veces... (m = a + b + c +... = n) son los distintos grupos que
pueden formarse con esos m elementos de forma que:
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
Combinaciones
Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m
≥ n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los
m elementos de forma que:
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
También podemos calcular las combinaciones mediante factoriales:
Combinaciones con repetición
Las combinaciones con repetición de m elementos tomados de
n en n (m ≥ n), son los distintos grupos formados por n elementos
de manera que:
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
Números combinatorios
El número se llama también número combinatorio. Se
representa por y se lee "m sobre n".
Propiedades de los números combinatorios
1.
2.
3.
Binomio de Newton
La fórmula que nos permite hallar las potencias de un
binomio se conoce como binomio de Newton.
