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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
Midiendo la Cantidad de Información enImágenes PolSAR
Alejandro C. [email protected]
LaCCAN
Laboratório de Computação Científicae Análise Numérica
Universidade Federal de Alagoas
Congreso Argentino de TeledetecciónSetiembre de 2012
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Contacto
Alejandro C. [email protected]://sites.google.com/site/acfrery
Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
Objetivo de la reunión
Revisar:1 Los principales modelos para imágenes PolSAR
2 Elementos de Teoría de la Información
3 Ver resultados de aplicar TI a los modelos
4 Ver aplicaciones: detección de bordes, filtrado y clasificación
5 Vislumbrar líneas de investigación
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
Estructura
1 Introducción
2 Modelos para Datos PolSAR
La distribución H Pol en detección de bordes
La distribución G0 Pol en clasificación
3 Teoria de la Información para modelos PolSAR
Atributo de discriminación
Filtrado con distancias estocásticas
Complejidad estadística
4 Líneas de Investigación
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
SAR Polarimétrico
Los sensores SAR Polarimétricos (PolSAR) son una importantefuente de información en teledetección.
En su forma más completa, en cada frecuencia de operación acada pixel está asociado no un vector de datos (como en lasimágenes multiespectrales), sino una matriz de númeroscomplejos.
Es una tecnología cara, y por lo tanto es importante ser capazde medir la información que provee.
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
SAR Polarimétrico
Los sensores SAR Polarimétricos (PolSAR) son una importantefuente de información en teledetección.
En su forma más completa, en cada frecuencia de operación acada pixel está asociado no un vector de datos (como en lasimágenes multiespectrales), sino una matriz de númeroscomplejos.
Es una tecnología cara, y por lo tanto es importante ser capazde medir la información que provee.
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
SAR Polarimétrico
Los sensores SAR Polarimétricos (PolSAR) son una importantefuente de información en teledetección.
En su forma más completa, en cada frecuencia de operación acada pixel está asociado no un vector de datos (como en lasimágenes multiespectrales), sino una matriz de númeroscomplejos.
Es una tecnología cara, y por lo tanto es importante ser capazde medir la información que provee.
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
¿Cómo medir la información?
Es un problema difícil desde su formulación hasta suejecución.
Adoptaremos una estrategia mixta: por un lado formal,matemática, y por otro del punto de vista del usuario, de lasaplicaciones.
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
¿Cómo medir la información?
Es un problema difícil desde su formulación hasta suejecución.
Adoptaremos una estrategia mixta: por un lado formal,matemática, y por otro del punto de vista del usuario, de lasaplicaciones.
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
Estructura
1 Introducción
2 Modelos para Datos PolSAR
La distribución H Pol en detección de bordes
La distribución G0 Pol en clasificación
3 Teoria de la Información para modelos PolSAR
Atributo de discriminación
Filtrado con distancias estocásticas
Complejidad estadística
4 Líneas de Investigación
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
Modelado I
Los sensores SAR polarimétricos registran la intensidad y la fase devarias polarizaciones.
En cada pixel se registra una matriz de dispersión de cuatroelementos complejos SHH, SHV, SVH, SVV, en que H y V denotan laspolarizaciones horizontal y vertical, respectivamente.
La información polarimétrica está en el vector Y = [SVV SVH SHH]t ,en que t denota transposición. Se admite que Y sigue una leygaussiana compleja de media nula (Goodman, 1963a,b) y densidad
f (y;Σ) = 1
π3|Σ| exp−y∗Σ−1y
,
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
Modelado IIen que | · | es el determinante, ∗ es el transpuesto del conjugado, Σes la matriz de covarianza de Y :
Σ= E
Y Y∗= ESVVS∗
VV ESVVS∗VH ESVVS∗
HHESVHS∗
VV ESVHS∗VH ESVHS∗
HHESHHS∗
VV ESHHS∗VH ESHHS∗
HH
,
y E· es la esperanza matemática.
La matriz de covarianza Σ es hermitiana, positiva definida, ycontiente toda la información para analizar losdatos (López-Martínez et al., 2005).
Se promedian n muestras para aumentar la relación señal/ruido,formando la matriz de covarianza de n looks (Anfinsen et al., 2009):
Z = 1
n
n∑i=1
Y iY∗i , (1)
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
Modelado III
que sigue una distribución Wishart complexa con densidad
fZ (z;Σ,n) = n3n|z|n−3
|Σ|nΓ3(n)exp
−n tr(Σ−1z), (2)
en que Γ3(n) =π3 ∏2i=0Γ(n− i), Γ(·) es la función gama de Euler, y
tr(·) es el trazo. Denotamos esta distribución Z ∼W (Σ,n), y severifica que E(Z) =Σ (Anfinsen et al., 2009).
Blancos diferentes en la misma imagen tiene matrices decovarianza diferentes.
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
Modelos polarimétricos con rugosidad I
El modelo Wishart no incluye un descriptor de la rugosidad de losblancos. Podemos generalizarlo haciendo
Z = X1
n
n∑i=1
Y iY∗i , (3)
en que X : Ω→R+ es una variable aleatoria positiva de mediaunitaria independiente del resto. Diferentes modelos para Xproducen diferentes modelos para el retorno Z , entre ellos laconstante igual a 1 (que lleva al modelo Wishart), la ley gama, la leygaussiana inversa y la ley recíproca de gama. Esas distribucionespara la rugosidad llevan a los siguientes modelos para el retorno:
fZ (z;Σ,α,n) = 2 |z|n−m(nα
) α+mn2
h(n,m) |Σ|nΓ(α)
(tr
(Σ−1z
)) α−mn2 Kα−mn
(2√
nαtr(Σ−1z
)),
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
Modelos polarimétricos con rugosidad II
fZ (z;Σ,ω,n) =√
2n n3neωω3n+1 |z|n−3
h(n,m) |Σ|nK3n+1/2
(√ω(2nTr(Σ−1z)+ω)
)(ω(2nTr(Σ−1z)+ω))
32 n+ 1
4
,
fZ (z;Σ,α,n) = nmn |z|n−mΓ(mn−α)
h(n,m) |Σ|nΓ(−α)(−α−1)α(ntr
(Σ−1z
)+ (−α−1))α−mn.
En estos tres modelos α y ω modelan la rugosidad del terreno(Freitas et al., 2005; Frery et al., 2010).
Veremos ahora la aplicación de estos modelos a dos problemas.
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
La distribución H Pol en detección de bordes
Detección local de bordes
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
La distribución H Pol en detección de bordes
Detección local de bordes
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
La distribución H Pol en detección de bordes
Detección local de bordes
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
La distribución H Pol en detección de bordes
Probabilidad de detección correcta
Position
Pro
babili
ties
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 2 4 6 8 10
I ~ Σu, ω=1 vs. Σf, ω=10 II ~ Σu, ω=5 vs. Σf, ω=10
0 2 4 6 8 10
III ~ Σu, ω=1 vs. Σf, ω=15 IV ~ Σu, ω=5 vs. Σf, ω=15
V ~ Σu, ω=1 vs. Σp, ω=20 VI ~ Σu, ω=5 vs. Σp, ω=20 VII ~ Σu, ω=1 vs. Σp, ω=25
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
VIII ~ Σu, ω=5 vs. Σp, ω=25
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
IX ~ Σf, ω=10 vs. Σp, ω=20
0 2 4 6 8 10
X ~ Σf, ω=10 vs. Σp, ω=25 XI ~ Σf, ω=15 vs. Σp, ω=20
0 2 4 6 8 10
XII ~ Σf, ω=15 vs. Σp, ω=25
Mean Roughness (a) HH (b) HV (c) VV (d)
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
La distribución G0 Pol en clasificación
(a) Modelo Wishart (b) Modelo G0 Pol
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
Estructura
1 Introducción
2 Modelos para Datos PolSAR
La distribución H Pol en detección de bordes
La distribución G0 Pol en clasificación
3 Teoria de la Información para modelos PolSAR
Atributo de discriminación
Filtrado con distancias estocásticas
Complejidad estadística
4 Líneas de Investigación
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
Elementos
! La Teoría de la Información es una rama de la Probabilidad y laEstadística fuertemente influenciada por la Ingeniería.
! También se la conoce como “Teoría Estadística de lasComunicaciones” y “Teoría de la Comunicación”
! La Información puede ser entendida como el tiempo o elesfuerzo que demanda realizar una tarea.
! Fisher cuantificó la información que una muestra da sobre lapoblación (Wassermann, 2005).
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
Elementos
! La Teoría de la Información es una rama de la Probabilidad y laEstadística fuertemente influenciada por la Ingeniería.
! También se la conoce como “Teoría Estadística de lasComunicaciones” y “Teoría de la Comunicación”
! La Información puede ser entendida como el tiempo o elesfuerzo que demanda realizar una tarea.
! Fisher cuantificó la información que una muestra da sobre lapoblación (Wassermann, 2005).
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
Elementos
! La Teoría de la Información es una rama de la Probabilidad y laEstadística fuertemente influenciada por la Ingeniería.
! También se la conoce como “Teoría Estadística de lasComunicaciones” y “Teoría de la Comunicación”
! La Información puede ser entendida como el tiempo o elesfuerzo que demanda realizar una tarea.
! Fisher cuantificó la información que una muestra da sobre lapoblación (Wassermann, 2005).
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
Elementos
! La Teoría de la Información es una rama de la Probabilidad y laEstadística fuertemente influenciada por la Ingeniería.
! También se la conoce como “Teoría Estadística de lasComunicaciones” y “Teoría de la Comunicación”
! La Información puede ser entendida como el tiempo o elesfuerzo que demanda realizar una tarea.
! Fisher cuantificó la información que una muestra da sobre lapoblación (Wassermann, 2005).
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
Información de Kullback-Leibler
Es una medida relativa de la información entre dos distribuciones,también conocida como entropía relativa y entropía cruzada:
K (X : Y ) =−∫
S
(log
fX
fY
)fY
Si fY es uniforme, K (X : Y ) = H(Y )−H(X) que sólo es finita si S es unconjunto limitado.
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
Información de Kullback-Leibler
Es una medida relativa de la información entre dos distribuciones,también conocida como entropía relativa y entropía cruzada:
K (X : Y ) =−∫
S
(log
fX
fY
)fY
Si fY es uniforme, K (X : Y ) = H(Y )−H(X) que sólo es finita si S es unconjunto limitado.
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
Divergencias (h,φ)
Una divergencia es una medida de lo diferentes que son dosdistribuciones. La divergencia (h,φ) es una familia propuesta porSalicrú et al. (1994) y por Csiszár (1967).
Definition
Sean las variables aleatorias X y Y con igual soporte S y densidadesfX (x | θ1) y fY (x | θ2), respectivamente. Sean φ : (0,∞) →R+ y hfunciones, la primera convexa y la segunda creciente tal queh(0) = 0, ambas derivables. La divergencia entre las distribucioneses dada por
dhφ(X‖Y ) = h
(∫x∈S(x)
φ
(fX (x | θ1)
fY (x | θ2)
)fY (x | θ2)dx
). (4)
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
Divergencias (h,φ)
Una divergencia es una medida de lo diferentes que son dosdistribuciones. La divergencia (h,φ) es una familia propuesta porSalicrú et al. (1994) y por Csiszár (1967).
Definition
Sean las variables aleatorias X y Y con igual soporte S y densidadesfX (x | θ1) y fY (x | θ2), respectivamente. Sean φ : (0,∞) →R+ y hfunciones, la primera convexa y la segunda creciente tal queh(0) = 0, ambas derivables. La divergencia entre las distribucioneses dada por
dhφ(X‖Y ) = h
(∫x∈S(x)
φ
(fX (x | θ1)
fY (x | θ2)
)fY (x | θ2)dx
). (4)
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
Podemos construir distancias a partir de divergencias
dhφ(X ,Y ) = 1
2
(dhφ(X‖Y )+dh
φ(Y‖X )).
Propiedades:
Las distancias estocásticas satisfacen:
1 dhφ(X ,Y ) ≥ 0 (no negatividad);
2 dhφ(X ,Y ) = dh
φ(Y ,X ) (simetría);
3 dhφ(X ,Y ) = 0 ⇔ X = Y (identidad de indiscernibles).
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
Podemos construir distancias a partir de divergencias
dhφ(X ,Y ) = 1
2
(dhφ(X‖Y )+dh
φ(Y‖X )).
Propiedades:
Las distancias estocásticas satisfacen:
1 dhφ(X ,Y ) ≥ 0 (no negatividad);
2 dhφ(X ,Y ) = dh
φ(Y ,X ) (simetría);
3 dhφ(X ,Y ) = 0 ⇔ X = Y (identidad de indiscernibles).
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
Distancia h,φ y funciones h y φ
Distancia (h,φ) h(y) φ(x)
Kullback-Leibler y/2 (x−1)logx
dKL(X ,Y ) = 12
∫(fX − fY ) log fX
fY
Bhattacharyya − log(−y+1), −px+ x+12
dB(X ,Y ) =− log∫ √
fX fY 0 ≤ y < 1
Hellinger y/2, (p
x−1)2
dH(X ,Y ) = 1−∫ √fX fY 0 ≤ y < 2
Rényi (order β) 1β−1 log((β−1)y+1),
x1−β+xβ−β(x−1)−22(β−1) ,
dβR(X ,Y ) = 1
β−1 log
∫fβ
X f1−β
Y +∫f
1−βX f
βY
2 0 ≤ y < 11−β 0 <β< 1
χ2 y/4 (x−1)2(x+1)/x
dχ2 (X ,Y ) = 14
(∫ (fX −fY )2
fX+∫ (fX −fY )2
fY
)
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
Otras distancias
Jensen-Shannon: dJS(X ,Y ) = 12
[∫fX log
(2fX
fY +fX
)+∫
fY log(
2fY
fY +fX
)]Aritmética-geométrica: dAG(X ,Y ) = 1
2
∫(fX + fY ) log
(fY +fX
2p
fY fX
)Triangular: dT(X ,Y ) = ∫ (fX−fY )2
fX+fY
Media armónica: dHM(X ,Y ) =− log(∫ 2fX fY
fX+fY
)=− log
(1− dT(X ,Y )
2
)
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Otras distancias
Jensen-Shannon: dJS(X ,Y ) = 12
[∫fX log
(2fX
fY +fX
)+∫
fY log(
2fY
fY +fX
)]Aritmética-geométrica: dAG(X ,Y ) = 1
2
∫(fX + fY ) log
(fY +fX
2p
fY fX
)Triangular: dT(X ,Y ) = ∫ (fX−fY )2
fX+fY
Media armónica: dHM(X ,Y ) =− log(∫ 2fX fY
fX+fY
)=− log
(1− dT(X ,Y )
2
)
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Otras distancias
Jensen-Shannon: dJS(X ,Y ) = 12
[∫fX log
(2fX
fY +fX
)+∫
fY log(
2fY
fY +fX
)]Aritmética-geométrica: dAG(X ,Y ) = 1
2
∫(fX + fY ) log
(fY +fX
2p
fY fX
)Triangular: dT(X ,Y ) = ∫ (fX−fY )2
fX+fY
Media armónica: dHM(X ,Y ) =− log(∫ 2fX fY
fX+fY
)=− log
(1− dT(X ,Y )
2
)
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
Otras distancias
Jensen-Shannon: dJS(X ,Y ) = 12
[∫fX log
(2fX
fY +fX
)+∫
fY log(
2fY
fY +fX
)]Aritmética-geométrica: dAG(X ,Y ) = 1
2
∫(fX + fY ) log
(fY +fX
2p
fY fX
)Triangular: dT(X ,Y ) = ∫ (fX−fY )2
fX+fY
Media armónica: dHM(X ,Y ) =− log(∫ 2fX fY
fX+fY
)=− log
(1− dT(X ,Y )
2
)
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
De distancias a tests de hipótesis
Al calcular distancias estocásticas dhφ(X ,Y ) entre distribuciones del
mismo tipo (que difieren sólo en los parámetros), podemos escribir
dhφ(θ1,θ2).
Para poder usar dhφ(θ1,θ2) necesitaríamos los parámetros
verdaderos θ1 y θ2.
Pero si no están disponibles, podemos usar estimadores, porejemplo de máxima verosimilitud:
dhφ(θ1, θ2) . . .
y estas cantidades tienen buenas propiedades estadísticas. Puedenser transformadas en estadísticas de test.
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
De distancias a tests de hipótesis
Al calcular distancias estocásticas dhφ(X ,Y ) entre distribuciones del
mismo tipo (que difieren sólo en los parámetros), podemos escribir
dhφ(θ1,θ2).
Para poder usar dhφ(θ1,θ2) necesitaríamos los parámetros
verdaderos θ1 y θ2.
Pero si no están disponibles, podemos usar estimadores, porejemplo de máxima verosimilitud:
dhφ(θ1, θ2) . . .
y estas cantidades tienen buenas propiedades estadísticas. Puedenser transformadas en estadísticas de test.
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
De distancias a tests de hipótesis
Al calcular distancias estocásticas dhφ(X ,Y ) entre distribuciones del
mismo tipo (que difieren sólo en los parámetros), podemos escribir
dhφ(θ1,θ2).
Para poder usar dhφ(θ1,θ2) necesitaríamos los parámetros
verdaderos θ1 y θ2.
Pero si no están disponibles, podemos usar estimadores, porejemplo de máxima verosimilitud:
dhφ(θ1, θ2) . . .
y estas cantidades tienen buenas propiedades estadísticas. Puedenser transformadas en estadísticas de test.
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
De distancias a tests de hipótesis
Al calcular distancias estocásticas dhφ(X ,Y ) entre distribuciones del
mismo tipo (que difieren sólo en los parámetros), podemos escribir
dhφ(θ1,θ2).
Para poder usar dhφ(θ1,θ2) necesitaríamos los parámetros
verdaderos θ1 y θ2.
Pero si no están disponibles, podemos usar estimadores, porejemplo de máxima verosimilitud:
dhφ(θ1, θ2) . . .
y estas cantidades tienen buenas propiedades estadísticas. Puedenser transformadas en estadísticas de test.
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
Distancias entre leyes Wishart con igual número de looks
dχ2 (θ1,θ2) = 1
4
[( |Σ1||Σ2|2
abs(|(2Σ−12 −Σ−1
1 )−1|))n
+( |Σ2||Σ1|2
abs(|(2Σ−11 −Σ−1
2 )−1|))n
−2]
dKL(θ1,θ2) = n[ tr(Σ−1
1 Σ2 +Σ−12 Σ1)
2−p
]dβR(θ1,θ2) = log2
1−β + 1
β−1log
[|Σ1|−β|Σ2|(β−1)|(βΣ−11 + (1−β)Σ−1
2 )−1|]n
+ [|Σ1|(β−1)|Σ2|−β|(βΣ−12 + (1−β)Σ−1
1 )−1|]n
.
dB(θ1,θ2) = n[ log |Σ1|+ log |Σ2|
2− log
∣∣∣(Σ−11 +Σ−1
2
2
)−1∣∣∣].
dH(θ1,θ2) = 1−[ |(Σ−1
1 +Σ−12
2
)−1|p|Σ1||Σ2|
]n
.
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
Test de hipótesis basados en distancias
Sean los estimadores de máxima verosimilitud θ1 = (θ11, . . . , θ1M ) yθ2 = (θ21, . . . , θ2M ) de los parámetros θ1 y θ2 basados en muestrasindependientes de tamaños N1 y N2, respectivamente. El siguientelema vale satisfechas ciertas condiciones de regularidad (Salicrú etal., 1994, p. 380):
Lemma
Si N1N1+N2
−−−−−−−→N1,N2→∞ λ ∈ (0,1) y θ1 = θ2, entonces
Shφ(θ1, θ2) = 2N1N2
N1 +N2
dhφ(θ1, θ2)
h′(0)φ′′(1)D−−−−−−−→
N1,N2→∞ χ2M ,
en que “D−→” denota convergencia en distribución.
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
Atributo de discriminación
¿Estos resultados son aplicables?
(c) Fotografía de San Francisco (d) Polarización HH
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
Filtrado con distancias estocásticas
Filtrado con distancias estocásticas
Phantom Corrompida
x
x x x x
x x xx
(θ1, . . . , θ9
)0.94810.0127
.
.
.0.0554
if Shφ(θ1, θi) < ηx x
x x = λj
x = λ1
Filtrada
Algoritmosde avaliacao da
qualidade de imagem
Z ∼∼∼ Γ(L,L/λ) Operador
Local
EMV
Shφ(θ1, θi)Ajuste de
Bonferroni
Sim(Selecao)
Juncao
Nao
Extracao das caracterısticas para avaliacao
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
Filtrado con distancias estocásticas
Datos simuladosVentana 5×5, 1 iteración y α= 99%
(e) 4-looks (f) Zoom
(g) Filtro Lee (h) Zoom (i) Filtro Hellinger (j) Zoom
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
Filtrado con distancias estocásticas
Datos PolSARVentana 5×5, 1 iteración y α= 80%
(k) Datos originales (l) Filtro de Media (m) Filtro Hellinger
Figura : Datos PolSAR en descomposición de Pauli.
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
Estructura
1 Introducción
2 Modelos para Datos PolSAR
La distribución H Pol en detección de bordes
La distribución G0 Pol en clasificación
3 Teoria de la Información para modelos PolSAR
Atributo de discriminación
Filtrado con distancias estocásticas
Complejidad estadística
4 Líneas de Investigación
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
Algunas líneas de investigación
Trabajar con otros modelos
Resolver los muchos problemas de estimación
Proponer nuevas técnicas de filtrado
Proponer nuevos clasificadores (en ensemble, por ejemplo)
Proponer nuevas técnicas de segmentación
Proponer descomposiciones con propiedades estadísticas yvisuales interesantes
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
Referencias I
Anfinsen, S. N., Doulgeris, A. P. & Eltoft, T. (2009), ‘Estimation of theequivalent number of looks in polarimetric synthetic aperture radarimagery’, IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing47(11), 3795–3809.
Cintra, R. J., Frery, A. C. & Nascimento, A. D. C. (in press), ‘Parametric andnonparametric tests for speckled imagery’, Pattern Analysis andApplications.
Csiszár, I. (1967), ‘Information type measures of difference of probabilitydistributions and indirect observations’, Studia ScientiarumMathematicarum Hungarica 2, 299–318.
Freitas, C. C., Frery, A. C. & Correia, A. H. (2005), ‘The polarimetric Gdistribution for SAR data analysis’, Environmetrics 16(1), 13–31.
Frery, A. C., Jacobo-Berlles, J., Gambini, J. & Mejail, M. (2010), ‘PolarimetricSAR image segmentation with B-Splines and a new statistical model’,Multidimensional Systems and Signal Processing 21, 319–342.
46 / 49
Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
Referencias II
Frery, A. C., Nascimento, A. D. C. & Cintra, R. J. (2011), ‘Information theoryand image understanding: An application to polarimetric SAR imagery’,Chilean Journal of Statistics 2(2), 81–100. URLhttp://chjs.soche.cl/index.php?option=com_content&view=article&id=170&Itemid=58.
Giron, E., Frery, A. C. & Cribari-Neto, F. (2012), ‘Nonparametric edgedetection in speckled imagery’, Mathematics and Computers inSimulation 82, 2182–2198. URL http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S037847541200136X.
Goodman, N. R. (1963a), ‘The distribution of the determinant of acomplex Wishart distributed matrix’, Annals of Mathematical Statistics34, 178–180.
Goodman, N. R. (1963b), ‘Statistical analysis based on a certain complexGaussian distribution (an introduction)’, Annals of MathematicalStatistics 34, 152–177.
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Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias
Referencias III
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