Presenta:

MODELACIÓN DE PROCESOS Y SISTEMAS FÍSICOS, MEDIANTE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

a11x + a12y

= b1

a21x + a22y =

b2

MTRO. JAVIER SOLIS NOYOLA

OBJETIVOS

Conocer y comprender en un primer momento, una aproximación conceptual de la aplicación del álgebra lineal a modelos o sistemas.

Analizar ejemplos de aplicación del álgebra lineal a sistemas concretos (sencillos).

Dar elementos conceptuales de aplicación del álgebra lineal para desarrollar proyecto de investigación de campo exploratorio del álgebra lineal en las diferentes empresas de la Región.

¿Qué es un Modelo Matemático?

E = - dφ

dt

i

• Es una representación abstracta de la realidad. La representación abstracta hace uso del simbolismo matemático; ésta involucra datos conocidos y variables por conocer.

• Los Modelos matemáticos, buscan describir la realidad mediante el simbolismo: numérico o gráfico. Esta realidad puede ser estática o dinámica.

• La finalidad del uso de los modelos matemáticos es, encontrar una descripción de un fenómeno (sistema físico o proceso), y orientar la solución a un equilibrio matemático, y que posteriormente sea aplicada en el campo real .

Modelo Matemático

V = IR

P = VI cosθ

R = ρL

A

a11I1 + a12 I2 + a13 I3 = b1

a21I1 + a22 I2 + a23 I3 = b2

a31I1 + a32 I2 + a33 I3 = b3

L d2q + R dq + 1 q = E (t)

dt2 dt C

SISTEMA FÍSICO

MÉTODO CIENTÍFICO(Antecedentes)

Problema

Observación:• Identificar variables.

Hipótesis:• Propuesta de posible Solución.

Experimentación:• ejecución de acciones queVerifiquen la Hipótesis.

Difusión:• Conformación de un nuevos do-cumentos que con-tienen nueva in-formación.

SIMULACIÓN DE PROBLEMAS CON MODELOS MATEMÁTICOS

Solución al Sistema Físico

Identificación del Problema

Variables Involucradas

MODELACIÓN

SISTEMA FÍSICO

Solución y modelación matem.

a11x + a12y =

b1

a21x + a22y = b2

Situación de desequilibrio

Situación de equilibrio

Sistema Físico

Sistemas de Ecuaciones Lineales de 2 Incógnitas

Introducción.Un sistema de ecuaciones lineales de 2 incógnitas y dos ecuaciones, se escribe de la siguiente forma: a11x + a12y = b1

a21x + a22y = b2

y las soluciones al sistema, gráficamente pueden ser:

Caso de Análisis de Optimización

Suponga que un administrador de una fábrica establece un plan de producción para dos modelos de un producto nuevo. El modelo A requiere de 5 piezas del tipo I y 20 del tipo II. El modelo B requiere de 2 piezas del tipo I y 10 del tipo II. De sus proveedores, la fábrica obtiene 90 piezas del tipo I y 400 piezas del tipo II cada día. De cada modelo, ¿Cuánto debe producir de modo que todas las piezas del tipo I y piezas del tipo II sean utilizadas.

Modelo A Modelo B Total Disponible

Piezas Tipo I 5 2 90

Piezas Tipo II 20 10 400

5x + 2y = 90

20x + 10 y = 400Representación mediante el modelo matemático

Sistema de ecuaciones Lineales de 2 incógnitas

5x + 2y = 90

20x + 10 y = 400

A= x= 10

B= y= 20

Solución gráfica(10, 20)

Software de graficación FOOPLOT para funciones matemáticas

Aplicación del Álgebra Lineal y las Leyes de Kirchhoff para el cálculo de corrientes y voltajes en circuitos Eléctricos.

Son muy utilizadas en ingeniería eléctrica para obtener los valores de intensidad de corriente y potencial (Voltaje) en cada punto de un circuito eléctrico. Surgen de la aplicación de la ley de conservación de la energía.

2ª Ley de Kirchhoff o ley de nodos o nudos

En un nudo o nodo, la suma de las corrientes que entran es igual a las que salen; o bien, la suma algebraica de corrientes en un nudo es nula.

ΣI entran = Σ I salen

1ª Ley de Kirchhoff o ley de mallas

A lo largo de una malla, la suma de fuerzas electromotrices (voltajes de las fuentes) es igual a la suma de las diferencias de potencial producidas en las resistencias.

Obsérvese que esta ley no es sino la ley de Ohm (V=IR) generalizada.

Σ V = Σ (I. R)

Ejemplos de Kirchhoff que conducen a ecuaciones lineales:

I (corriente) y V (voltaje)

Aplicación del Álgebra Lineal en la Transferencia de Calor

Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de Calor es determinar la temperatura en estado estable de una placa delgada cuando se conocen las temperaturas alrededor de la placa. Suponga que la placa de la siguiente figura representa una sección transversal perpendicular a la placa.

Concepto de Red• Del latín rete, el término red se utiliza para definir a una estructura que cuenta

con un patrón característico de interconexión. Existen múltiples tipos de red, como la red informática, la red eléctrica y la red social.

• La interconexión en una red permite la comunicación o flujo de elementos tangibles e intangibles: datos, información, líquidos, gases, corriente eléctrica, tensión (fuerza),virus, etc.

• Todo sistema que tenga un patrón o estructura de red, puede ser analizado mediante modelos matemáticos que apliquen el álgebra lineal.

Concepto de NODO(un concepto genérico para diferentes sistemas isomorfos)

• Un nodo es un punto o espacio en diversas disciplinas en donde confluyen varios otros

puntos en interrelación.

• Se le llama nodo en la ciencia y otras disciplinas al punto real o abstracto en donde se

reúnen las distintas partes de una conexión para comunicarse entre sí.

• A partir del concepto de NODO es posible establecer sistemas de ecuaciones lineales

Por ejemplo, en tecnología, un nodo es el punto, momento o espacio en donde todos los elementos de una red que comparten las mismas características se vinculan e interactúan. Estos elementos son a su vez nodos y pueden relacionarse de manera jerárquica o en una red horizontal o de otro tipo.Este tipo de casos se ve en la informática y, más específicamente, en redes de Internet. En este ejemplo cada ordenador y cada servidor constituyen un nodo.

Los NODOS como elementos de unión (convergencia-divergencia) que establecen

relaciones de flujo.

• Este mismo concepto de lo que es un nodo se emplea en la sociología, para explicar fenómenos que ocurren mediante un agente vinculante. Por ejemplo, entre distintos tipos de organizaciones como empresas e instituciones educativas que disponen de un nodo que permitirá la comunicación interactiva. Lo dicho se aplica tanto para fenómenos naturales como artificiales, y en casos de interacción negativa como positiva.

Relaciones de Flujo en un NODO en diferentes sistemas

¿Qué se espera de un modelo matemático?

• Tenga un comportamiento congruente con el comportamiento conocido del sistema físico o proceso.

• Complementar, reforzar y validar las hipótesis del sistema.

Conclusiones

El álgebra lineal tiene una gran aplicación en diversos sistemas: técnicos, sociotécnicos y sociales.

Los conceptos de: optimización, redes y nodos, entre otros, pueden ser llevados al campo del simbolismo matemático del álgebra lineal, esto nos perimirá modelar matemáticamente su comportamiento.

Los resultados obtenidos de la modelación matemática de sistemas diversos, sólo son una aproximación de la situación que se presentan en un estado estable. Una situación dinámica o transitoria requerirá de un análisis más profundo que implique la aplicación de diversos modelos matemáticos: cálculo diferencial e integral ecuaciones diferenciales, transformada de Laplace, probabilidad, etc.

REFERENCIAS INFORMÁTICAS

Frank S Budnick. MATEMÁTICAS APLICADAS PARA ADMINISTTRACIÓN, ECONOMÍA Y CIENCIAS SOCIALES. Editorial Mc Graw Hill.

Haeussler, Ernest F.. MATEMÁTICAS PARA LA ADMINISTRACIÓN, ECONOMÍA, CIENCIAS SOCIALES Y DE LA VIDA. Editorial Prentice Hall.

Richar Hill. ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES. Editorial Prentice Hall.

Stanley I Grossman. ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES. Editorial Mc Graw Hill.

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