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Modelos de Una Dimension
Edward Reyes Saez
Jesus Levano Tasayco
Christian Salinas Pendiente
Max Roman Mendoza
11 de octubre de 2013
Indice general
Lista de figuras 3
5. Modelos Discretos 4
5.1. Modelos de una dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5.1.1. Modelos lineales y no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5.1.2. Equilibrio, estabilidad y caos . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.1.3. Caso Practico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
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Prologo
En el presente trabajo se mostrara los Modelos Discretos y su importancia
de estos frente a los demas como los modelos continuos. Sabemos muy bien que
en la realidad existe una continuidad de eventos que hace pensar que todos los
modelos son continuos, pero existen formas continuas que es mejor represen-
tarlas como discretas para su mayor entendimiento y uso, como por ejemplo la
poblacion de un paıs contabilizada anualmente o el crecimiento o decaimiento de
ciertos organismos que son observados en intervalos de tiempo. El gran uso de
los modelos de una dimension con gran aplicacion en algunos campos como la
economıa donde en ciertas oportunidades se hace uso de un metodo llamado Ce-
teris Paribus y hace que la funcion de Oferta o Demanda dependa de una unica
variable. Como veremos en el siguiente capıtulo los modelos de una dimension y
su forma discreta, su teorizacion y aplicacion
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Indice de figuras
5.1. Tasa de crecimiento Per capita para el modelo logıstico . . . . . . 11
5.2. Crecimiento logıstico de la poblacion . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.3. Metodo grafico para encontrar el equilibrio como los puntos de
interseccion de las graficas y = x y y = f(x) . . . . . . . . . . . . 12
5.4. Metodo grafico para encontrar el equilibrio 0 y K para el modelo
logıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.5. Poblaciones dinaamicas para el modelo de ricker para b = 6,5, 9, 13, 18,
mostrando una oscilacion decreciente, 2 ciclos, 4 ciclos, y caos, ca-
da vez que b incrementa su valor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.6. Graficos de soluciones discretas de la ecuacion del modelo de Ric-
ker en el caso de poblaciones iniciales estan cerca, en el regimen
del caos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.7. diagrama de telarana para un equilibrio estable. . . . . . . . . . . 19
5.8. diagrama de telarana para un equilibrio inestable. . . . . . . . . . 20
5.9. diagrama de Forrester de la poblacion . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.10. definicion de TNac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.11. parametro TNac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.12. Definicion de tiempo. DT=variacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.13. Tabla Poblacion - Defunciones (en millones de habitantes) . . . . 24
5.14. Grafico Habitantes-Tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
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Capıtulo 5
Modelos Discretos
Desde los mas elementales cursos sabemos que las ecuaciones diferenciales
a menudo se aproximan por formulas de diferenciacion discretas, por ejemplo,
Los metodos numericos de Euler y Runge-Kutta, son algoritmos que resuelven
ecuaciones diferenciales. Pero ademas las ecuaciones discretas se presentan na-
turalmente sin contrapartida continua. El reciente enfasis en los metodos cuan-
titativos en las ciencias biologicas ha traıdo modelos discretos a la vanguardia,
no solo en las areas clasicas como la dinamica poblacional y la epidemiologıa,
pero en las nuevas aplicaciones de la genomica derivadas de la acumulacion de
datos de secuencias de ADN y otros procesos filogeneticos. La revolucion digital
en la ingenierıa electrica ha hecho que los modelos discretos en el desarrollo de
dispositivos tecnologicos avanzados. Los Modelos discretos son conceptualmente
mas simples que sus similares de ecuaciones diferenciales continuas. Sin embargo,
los modelos discretos son menos susceptibles a las tecnicas de solucion analıtica
y su dinamica puede ser mas complicada, a menudo exhibiendo el ciclismo y el
comportamiento caotico. Otra tarea importante es entender como la estocastica
o aleatoriedad, entra y afecta a varios sistemas. Por ejemplo, siempre existe la
estocasticidad en el medio ambiente que afecta a las poblaciones, el ruıdo en
4
los circuitos electricos y los dispositivos que afectan a las poblaciones, esos que
afectan a su respuesta, y las fuerzas aleatorias sobre las estructuras que afectan
a sus vibraciones. Consideramos que algunos aspectos de la aleatoriedad en este
capıtulo tambien.
5.1. Modelos de una dimension
5.1.1. Modelos lineales y no lineales
En las ecuaciones diferenciales del tiempo t se ejecuta continuamente, y por lo
tanto las ecuaciones diferenciales se conocen como modelos de tiempo continuo a
menudo. Sin embargo, algunos procesos estan mejor formulados como modelos de
tiempo discreto, donde el tiempo transcurre en modelos de tiempo discreto,
donde el tiempo se mide en unidades discretas t = 0, 1, 2, 3,... (por ejemplo en
das, meses o anos , etc). Por ejemplo, si el dinero en una cuenta de ahorros es
mensualmente compuesto, entonces solo tenemos que calcular la principal cada
mes. En un modelo de pesca, el numero de peces se puede estimar una vez al ao.
O bien, un conservacionista de vida silvestre puede hacer un censo de poblacion
de ciervos en la primavera y el otono para estimar su numero y tomar decisiones
sobre las tasas de aprovechamiento permitidos. Los datos se recogen por lo general
en momentos discretos. En la ingenierıa electrica, la funcion continua es una
secuencia xt,por ejemplo,x0, x1, x2, x3,...,en lugar de una funcion continua. Los
suındices denotan el tiempo, por ejemplo, en un censo semanal de los mosquitos
cultivadas en un laboratorio,x5 denotarıa el numero de mosquitos en la quinta
semana. Podemos graficar los estados, o secuencia xt como conjunto de puntos
(t, xt) en un plano tx, con frecuencia, conectandolos mediante segmentos de lınea
recta. En un momento dado, o de primer orden, el modelo de tiempo discreto,
es analogo de una ecuacion diferencial de primer orden, es una ecuacion de la
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forma:
xt+1 = f(t, xt), t = 0, 1, 2, 3, ... (5.1)
donde f es una funciıon dada. Esta ecuacion ecuacion se llama ecuaciones en
diferencias y relaciones recursivas. El conocimiento del estado inicial x0 nos
permite calcular los estados posteriores de forma recursiva, en terminos de los
estados anteriormente calculado los estados posteriores de forma recursiva, en
terminos de los estados previamente calculados. Por lo tanto, (5.1) es una regla
de actualizacion determinista que nos dice como calcular el siguiente valor en
terminos de la anterior. Una secuencia xt que satisfaga el modelo es una solucion
a la ecuacion. Si f(t, xt) = atxt+bt, donde a at y bt se les da valores fijos, entonces
el modelo es lineal, de lo contrario, no es lineal. En la segunda parte que en su
mayorıa examinamos la ecuacion autonoma:
xt+1 = f(xt), t = 0, 1, 2, 3, ... (5.2)
donde el lado derecho no depende explıcitamente de t. Los modelos discretos
tambien se definen en terminos de cambios ∆xt = xt+1 del estadoxt. Por lo
tanto,
∆xt = g(xt)
define un modelo discreto, donde g es el cambio dado. Por ultimo, algunos mo-
delos tambien se definen en terminos de la variacion relativa, o cambio per
capita,∆xt/xt. Ası,∆xtxt
= h(xt),
Donde h es la tasa de cambio per capita. Cualquier forma se puede obtener
facilmente de otra por simple algebra. Una de dos etapas, o de segundo orden
autonomo, modelo de tiempo discreto tiene la forma
xt+2 = f(xt+1, xt) t = 0, 1, 2, 3, ...
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ahora un estado depende de dos estados de proceder, y ambos x0 y x1 se requieren
para iniciar el proceso. Las ecuaciones en diferencias son formulas de recursion
y programas para el calculo de los valores de xt se integran facilmente en los
sistemas de algebra computacional y calculadoras graficas.
Ejemplo 5.1
El modelo discreto mas simple, el proceso de Growth-decay(crecimiento-
decaimiento), es lineal y tiene la forma
xt+1 = xt + rxt
= (1 + r)xt
(5.3)
Por ejemplo, si xt es el principal en el mes t en una cuenta de ahorros que gana
0,003 % por mes, el director de la (t+ 1)st mes es xt+1 = xt + 0,003xt. Podemos
realizar sucesivas iteraciones para obtener
x1 = (1 + r)x0
x2 = (1 + r)x1 = (1 + r)2x0
x3 = (1 + r)x2 = (1 + r)3x0...
y ası sucesivamente. Por induccion, la solucion de (5.3) es
xt = (1 + r)tx0
Si r > 0 entonces xt crece geometricamente y tenemos el modelo de crecimiento.
Si −1 < r < 0 entonces 1+r es una fraccion propia y xt tiende a cero geometrica-
mente; esto es un modelo de decaimiento. Si −2 < r < −1, entonces el factor 1+r
es negativo y la solucion de xt, oscilara entre valores positivos y negativos, ya
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que converge a cero. Finalmente, si r < −2 la solucion oscila sin lımite. Tambien
se puede comprobar facilmente por sustitucion directa de que la secuencia
xt = C(1 + t)t
es una solucion de la ecuacion para cualquier valor de C:
xt+1 = C(1 + r)t+1 = (1 + r)C(1 + r)t = (1 + r)xt
Si x0 es fijo, entonces C = x0. Los Modelos de crecimiento, decaimiento discreto
son comunes en las finanzas, en la ecologıa y en otras areas. Por ejemplo, en la
ecologıa escribimos a menudo como el modelo 5.3
∆xtxt
= r
Entonces podemos reconocer r como la tasa de crecimiento per capita constante.
Para las poblaciones en general, la constante r esta dada por r = b− d+ i− e es
decir, donde b, d, i, y e son el nacimiento, la muerte, inmigracion, emigracion y
muertes, respectivamente. Cuando r > 0, el modelo 5.3 se llama el modelo de
crecimiento de la poblacion de Malthus.
Ejemplo 5.2
El ultimo ejemplo mostro que la ecuacion de diferencia xt+1 = λxt tiene
solucion general xt = Cλt, donde C es cualquier constante. Vamos a modificar
la ecuacion y consideramos el modelo lineal
xt+1 = λxt + p, (5.4)
donde p es una constante.Podemos considerar que este modelo es, por ejemplo, el
crecimiento mensual de principal xt, en una cuenta bancaria en la que r(λ = 1+r)
es la tasa de interes mensual y p es una adicion mensual constante a la cuenta.
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En un entorno ecologico, λ puede ser la tasa de crecimiento de una poblacion y p
tasa de reclutamiento constante. Podemos resolver esta ecuacion recursiva para
encontrar una formula para xt. Si x0 es el valor inicial, entonces los rendimientos
de iteracion
x1 = λx0 + p,
x2 = λx1 + p = λ2x0 + λp+ p,
x3 = λx2 + p = λ3x0 + λ2p+ λp+ p,
...
xt = λtx0 + λt−1p+ λt−2p+ . . .+ λp+ p.
Por la formula para la suma de una secuencia geometrica,
λt−1 + λt−2 + . . .+ λ+ 1 =1− λt
1− λ
Por consiguiente:
xt = λtx0 + p1− λt
1− λ(5.5)
que es la solucion de 5.4.
Ejemplo 5.3
(Modelo logıstico) En el modelo de Malthus de crecimiento de la poblacion,
∆xtxt
= r or xt+1 = (1 + r)xt,
la poblacion xt crece ilimitadamente si la tasa de crecimiento per capita r, o el
cambio de la poblacion por individuo, es positivo. Tal prediccion no puede, ser
exacto durante un largo tiempo. Si, por ejemplo, r = b− d, donde b es la tasa de
nacimientos per capita y d es la tasa de mortalidad per capita, a continuacion,
∆xtxt
= b− d
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Podrıoamos esperar que durante los primeros tiempos, cuando la poblacion es
pequena, existen amplios recursos ambientales para apoyar una alta tasa de na-
talidad, la tasa de mortalidad es pequea. Pero para los ultimos tiempos, ya que
la poblacion crece, hay una mayor tasa de mortalidad que las personas compi-
ten por espacio y alimento (competencia intraespecıfica). Por lo tanto, debemos
abogar por una disminucion per capita de la tasa de crecimiento r por lo que au-
menta la poblacion.La mas simple suposicion es tomar una tasa de disminucion
lineal per capita, es decir,r(1− xt/K, donde K es la capacidad de carga, o de la
poblacion en la que la tasa de crecimiento es cero. Vemos en la Fig 5.1. cuando
∆xtxt
= r(1− xtK
) (5.6)
En su forma estandar
xt+1 = xt(1 + r − r
Kxt) (5.7)
que es un no lineal. El modelo logıstico discreto, de segundo grado en la poblacion,
es el modelo no lineal simple que podemos desarrollar. Es tentador identificar
b = r un ındice de natalidad constante y d = rKxt como la tasa de mortalidad en
funcion de la poblacion. Pero una alternativa es tomar b = r − r2Kxtyd = r
2Kxt,
como una funcion de poblacion. Una parcela de la poblacion se muestra en la
Fig. 5.2 con r = 0,5, k = 100, y x0 = 20. Esto muestra un aumento constante
hasta la capacidad de carga, donde se estabiliza. El MATLAB acompaa produce
la secuencia en la Fig 5.2 para t = 1, 2, . . . , 20
funcion logistica
r=0.5; K=100;
x=15; xhistory=x;
for t=1:50;
x=x*(1+r-r*x/K);
xhistory=[xhistory,x];
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end
Figura 5.1: Tasa de crecimiento Per capita para el modelo logıstico
Figura 5.2: Crecimiento logıstico de la poblacion
En la seccion siguiente se observa que esto no es toda la historia, diferentes
valores de los parametros pueden conducir a un comportamiento interesante,
inusual y complejo.
Ejemplo 5.4
El modelo de Ricker es no lineal, modelo ecologico de tiempo discreto de
la poblacion xt anual de una poblacion de peces en los peces adultos canibalizar
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los jovenes. La dinamica es
xt+1 = bxte−cxt
donde b > 1 y c es positivo. De una manera heurıstica, se puede pensar en el
modelo de la siguiente manera. En el ano t existen xt peces adultos, y ellos dan
lugar normalmente a bxt peces adultos del poximo ano, donde b es el numero
de peces producida por adulto. Sin embargo, si los adultos comen los peces mas
jovenes, solo una fraccion de los que sobrevivira al poximo ano para ser adultos.
Figura 5.3: Metodo grafico para encontrar el equilibrio como los puntos de inter-
seccion de las graficas y = x y y = f(x)
Asumimos la probabilidad de que un pez sobreviviente canibalismo es e−cxt ,
que disminuye a medida que el numero de adultos aumenta. Por lo tanto, bxte−cxt
es el numero de adultos al ano siguiente. Uno no puede “resolver” este modelo
para obtener una formula para el caldo de pescado xt, por lo que deben ser
satisfechos para planear su solucion mediante iteracion, como se hizo para el
modelo logıstico en el ultimo ejemplo.
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5.1.2. Equilibrio, estabilidad y caos
Una importante pregunta para modelos discretos, como para modelos conti-
nuos, es si el estado del sistema se aproxima al equilibrio cuando el tiempo es muy
grande. Soluciones de equilibrio son soluciones constantes, o secuencias constan-
tes, nosotros decimos xt = x∗ es una solucion de equilibrio de xt+1 = f(xt)
si
x∗ = f(x∗) (5.8)
De la misma manera, x∗ es un valor que hace el cambio ∆xt a cero. Graficamente,
nosotros podemos encontrar equilibrio x∗ en los puntos de interseccion del grafico
de y = f(x) y y = x en una plano xy. Ver figura 5.3
Ejemplo 5.5
(modelo logıstico) configurando ∆xt = 0 en el modelo logıstico resulta rx ∗
(1 − x∗
K) = 0, o, x∗ = 0 y x∗ = K. estos dos equilibrios representan extincion y
la capacidad de la poblacion de carga, respectivamente. Graficamente, nosotros
podemos trazar y = x vs y = f(x) = x ∗ (1 + r − rKx); los equilibrios son los
puntos de interseccion de las 2 curvas. Ver figura 5.4
Figura 5.4: Metodo grafico para encontrar el equilibrio 0 y K para el modelo
logıstico
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Ejemplo 5.6
(modelo de ricker) un estado de equilibrio para el modelo de ricker debe
satisfacer
x∗ = bx∗e(−cx∗),
o
x∗(1be(−cx∗)) = 0
Por tanto un estado de equilibrio es x∗ = 0, el cual corresponde a extincion.
Configurando el otro factor igual a cero nos da:
be(−cx∗) = 1,
o
x∗ =ln b
c.
Si b > 1 , obtenemos un positivo, poblacion de equilibrio viable.
Si hay una solucion de equilibrio x∗ para un modelo discreto, siempre
preguntar sobre su permanencia o estabilidad. Por ejemplo, suponemos que el sis-
tema esta en equilibrio y lo perturbamos con una pequea cantidad(perturbaciones
naturales estan presentes en todos los sistemas fısicos y biologicos). el sistema
regresa a ese estado o hace algo mas? Decimos que un estado de equilibrio es
localmente asintoticamente estable si las pequenas perturbaciones decaen y
el sistema regresa al estado de equilibrio. Si las pequenas perturbaciones de equi-
librio no causan que el sistema se desvıe demasiado del equilibrio, decimos que el
equilibrio es estable. Si la perturbacion crece, entonces decimos que el equilibrio
es inestable. En el siguiente parrafo, usamos un argumento familiar para deter-
minar la estabilidad de una poblacion de equilibrio. Dejar que x∗ sea un estado
de equilibrio para (5.8), y asumir que y0 representa una pequena desviacion de x∗
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en t = 0, entonces esta perturbacion se propaga en el tiempo, teniendo valor yt
en tiempo t. yt crece o decrece? La dinamica del estado x∗ +yt (el estado de equi-
librio mas la desviacion) debe aun satisfacer la ecuacion dinamica. Sustituyendo
xt = x∗ + yt en (5.8) nos da
x∗ + yt+1 = f(x∗ + yt)
Podemos simplificar esta ecuacion usando la suposicion de que las desviacio-
nes yt son pequenas. Podemos expandir la parte derecha in una serie de Taylor
centrada sobre el valor x∗ para obtener:
x∗ + yt+1 = f(x∗) + f′(x∗)yt + (
1
2!)f′′(x∗)y2t + (
1
3!)f′′′
(x∗)y3t + . . . .
Porque las desviaciones son pequenas, podemos descartar las potencias superiores
de yt, y considerar solo los terminos lineales. Ademas, x∗ = f(x∗) porque x∗
esta en equilibrio. Por tanto, pequenas perturbaciones son gobernadas por las
ecuaciones de perturbacion linealizadas, o linealizacion
yt+1 = f′(x∗)yt.
Esta ecuacion de diferencias es un modelo de crecimiento-decrecimiento ( notar
que f (x∗) es una constante). Para simplificar, hacer λ = f′(x∗), entonces la
ecuacion tiene solucion
yt = y0λt.
Si |λ| < 1, entonces las perturbaciones yt tienden a cero y x∗ es localmente
asintoticamente estable, si |λ| > 1, entonces las perturbaciones yt aumentan y
x∗ es inestable. Si λ = 1, entonces la linealizacion no da informacion sobre esta-
bilidad y otros calculos son requeridos. El indicador de estabilidad λ es llamado
valor propio. Por tanto, si el valor absoluto de la pendiente de la lınea tan-
gente a f(x) en la interseccion con y = x es menor que 1, entonces el equilibrio
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es asintoticamente estable; si el valor absoluto de la pendiente es mayor que 1,
el equilibrio es inestable. En otras palabras, obtenemos estabilidad si f no esta
demasiado empinado en el punto de interseccion.
Ejemplo 5.7
Considerar el modelo de ricker
Xt+1 = bxte(−cxt)
Donde c > 0 y b > 1. Verificando el equilibrio
X∗ =ln b
c.
Para estabilidad. Aquı f(x) = bxe−cx y debemos calcular el valor propio (ei-
gevalor), o la derivada de f evaluada en el equilibrio. Esto nos da, f′(x) =
(−cx+ 1)be−cx; evaluando en x∗ nos da
λ = f′(x∗) = (−cx∗ + 1)be−cx∗ = 1− ln b
Obtenemos estabilidad asintotica cuando
−1 < 1 ln b < 1,
o,
1 < b < e2 ≈ 7,39.
Si b < e2, entonces la perturbacion disminuye y el equilibrio es asintoticamen-
te estable. Repetimos esto para representar algunas simulaciones con diferentes
valores de b y observar el efecto. Fijar c = 0,001. la figura 5.5 muestra el resul-
tado para b = 6,5, 9, 13, 18. El equilibrio esta en x∗ = 1000 ln b. Para b = 6,5,
sin el rango de estabilidad, la solucion representa en realidad una estabilidad
asintoticamente, oscilacion decreciente. Para b = 9 , sin embargo, un periodico,
16
2 ciclos aparecen, alternando entre valores de poblacion altos y bajos. Cuando b
es incrementado ademas, hay algunos valores de b donde de pronto los 2 ciclos
se bifurcan en 4 ciclos. El grafico muestra el periodo de 4 ciclos cuando b = 13.
Este periodo de duplicacion continua cada vez que b aumente, 8 ciclos, 16 ciclos,
etc. Puede ser demostrado que esos ciclos son ciclos lımites estables. Pero hay un
valor crıtico de b donde el patron desaparece, y hay aparentemente fluctuaciones
aleatorias en la poblacion(b = 18 muestra ese caso). Cuando b excede este valor
crıtico, esas fluctuaciones no periodicas se convierten en altamente sensible a
condiciones iniciales, un comportamiento conocido como caos. La estructura de
la figura 5.6 muestra la solucion para condiciones x0 = 99 y x0 = 101 con b = 18.
Observamos muchas soluciones diferentes. En un regimen caotico, la solucion
es determinista (mas que estocastica), pero es altamente inestable con respecto
al dato inicial. El comportamiento caotico es comun en modelos discretos, in-
cluso en una dimension. Como dicho comportamiento no aparece en ecuaciones
diferencial hasta dimension 3, otros que en sistemas forzados. A continuacion,
ilustramos un procedimiento grafico para determinar la estabilidad de una so-
lucion de equilibrio de xt+1 = f(x). la discusion hace referencia a la figura 5.7.
primero, bosquejamos la curva y = x y y = f(x) en un conjunto de ejes, como en
la figura 5.4. luego, marcamos el valor inicial x0 en el eje x. para encontrar x1,nos
movemos verticalmente hacia el grafico de f(x), porque x1 = f(x0), y marcamos
x1 en el eje y. para encontrar x2, reflejamos xt nuevamente al eje x a traves de
la lınea y = x. ahora, tenemos x1 en el eje x. repetimos el proceso moviendo
verticalmente hacia la curva f(x), el cual nos da x2. Reflejamos nuevamente al
eje x, y ası sucesivamente.
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Figura 5.5: Poblaciones dinaamicas para el modelo de ricker para b =
6,5, 9, 13, 18, mostrando una oscilacion decreciente, 2 ciclos, 4 ciclos, y caos, cada
vez que b incrementa su valor.
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Figura 5.6: Graficos de soluciones discretas de la ecuacion del modelo de Ricker
en el caso de poblaciones iniciales estan cerca, en el regimen del caos.
Figura 5.7: diagrama de telarana para un equilibrio estable.
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Figura 5.8: diagrama de telarana para un equilibrio inestable.
Esta secuencia de movimientos es logrado empezando en x0, luego moviendose
verticalmente a f(x), moviendose horizontalmente hacia la diagonal, alternando
de un lado a otro. El grafico de esos movimientos verticales y horizontales que dan
los segmentos entre la curva f(x) y la diagonal es llamado diagrama de telaraa.
Si el equilibrio es asintoticamente estable, la telaraa convergera al equilibrio
representado por el punto de interseccion. Si el equilibrio es inestable, la telaraa
divergera del punto de interseccion. Figura 5.8 muestra una telaraa divergente.
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5.1.3. Caso Practico
Este es el caso del crecimiento poblacional en el territorio peruano y una
aproximacion de sus datos futuros, para esto tomamos un modelo discreto de
crecimiento anual. Para esto tenemos la siguente informacion
Poblacion inicial: 7.02 millones de habitantes en 1940.
Tabla de Tasa de nacimiento y mortalidad
Ano TNacim TDefun
1940 3.70 2.40
1950 3.67 1.80
1960 3.58 0.92
1970 3.40 0.64
1980 3.05 0.62
1990 2.55 0.61
2000 2.10 0.60
2010 1.90 0.59
Para este caso al ser muy largo el proceso de calculo, es muy difıcil resolverlo
manualmente por lo que es necesario usar un programa de simulacion llamado
Stella 9.0.1. Usando el siguiente software, vamos a seguir los siguientes pasos:
1. Construir el modelo de poblacion
21
Figura 5.9: diagrama de Forrester de la poblacion
2. Definimos los parametros de TNac y TDefun
a) Doble click en el parametro y lo definimos como TIME
Figura 5.10: definicion de TNac
b) Click en la flecha para colocar la tabla (El programa entre intervalos
lo aproxima linealmente)Figura 5.11
22
Figura 5.11: parametro TNac
c) Analogamente para TDefun
3. Definir el tipo de aproximacion (Usaremos Range-Kutta 4) y la variacion
de tiempo
Figura 5.12: Definicion de tiempo. DT=variacion
4. Ejecutar el programa y ver los resultados Fig 5.13 y Fig 5.14
23
Figura 5.13: Tabla Poblacion - Defunciones (en millones de habitantes)
24
Figura 5.14: Grafico Habitantes-Tiempo
5. Verificar y contrastar con la realidad.
25
