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Resultado de aprendizaje
Determina el comportamiento, propiedades y características de los resultados de la variable aleatoria conforme su distribución de propiedades discreta
Mtra. Ma. Luisa Ortega Cruz
Introducción
Partimos del concepto de lo que es variable aleatoria: función que asocia un numero real a cada punto del espacio muestral. Se representa como “ X ”
Es decir es una variable cuyos valores se obtienen de mediciones en algún tipo de experimento aleatorio EJEMPLO:
nº de caras al lanzar 6 veces una moneda (valores: 0, 1, 2…) nº de llamadas que recibe un teléfono en una hora tiempo que esperan los clientes para pagar en un supermercado…
Mtra. Ma. Luisa Ortega Cruz
Se clasifica en : Variable aleatoria continua: El conjunto de posibles valores es no numerable. Puede tomar todos los valores de un intervalo. Son el resultado de medir. Variable aleatoria discreta: El conjunto de posibles valores es numerable. Suelen estar asociadas a experimentos en que se mide el número de veces que
sucede algo.
Ejemplo: a) nº de páginas de un libro → b) tiempo que tarda en fundirse una bombilla → c) nº de preguntas en una clase de una hora → d) cantidad de agua consumida en un mes →
discreta
continua
discreta
continua
Mtra. Ma. Luisa Ortega Cruz
Ejemplo A:
Mtra. Ma. Luisa Ortega Cruz
Se lanzan dos monedas y se cuenta el numero de “soles”. Determina la función de probabilidad para este experimento y traza la gráfica correspondiente.
Solución. sea: S = sol, y A = águila.
Entonces determinamos el espacio muestral:
S = = { (A, A), (S, A), (A, S), (S, S)}
Mtra. Ma. Luisa Ortega Cruz
Realizamos su representación tabular y gráfica:
Resultados posibles X P(X)
(A, A) 0 ¼ = 0.25
(S, A), (A, S) 1 2/4 = 0.50
(S, S) 2 ¼ = 0.25
P(X)
X
Mtra. Ma. Luisa Ortega Cruz
Ejemplo B Podemos obtener las calificaciones de un curso y tabularlas
X f P(X) F(X)
1 Excelente 25 0.05 1.0
2 Suficiente 100 0.20 0.95
3 Insuficiente 200 0.40 0.75
4 No aprobado 175 0.35 0.35
n 500
Mtra. Ma. Luisa Ortega Cruz
Ambas funciones se representan gráficamente como:
Función probabilidad
Distribución de probabilidad
Función de distribución
La función de distribución describe el comportamiento probabilístico de una variable aleatoria X asociada a un experimento aleatorio y se representa como: F(x) ó x
Mtra. Ma. Luisa Ortega Cruz
Esperanza matemática
La esperanza matemática o valor esperado de una variable aleatoria discreta es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso
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= xi pi
Varianza
La varianza es el promedio de las desviaciones al cuadrado con respecto a la media 2 = [(i - )2 P(i)]
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Ejemplo
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Siguiendo con el problema de las monedas esperando que caiga sol Diapositiva 7 Calculamos la esperanza matemática:
= 0*0.25 + 1*0.50 + 2*0.25
= 1
= xi pi
Ejemplo
Mtra. Ma. Luisa Ortega Cruz
Ahora para la varianza, tenemos que:
2 = (0 – 1)2*0.25 + >(1 - 1)2*0.50 + (2 – 1)2*0.25 = 0.50
Para la desviación estándar, tenemos:
= √0.50 = 0.7071
Modelo de Bernoulli
La función de probabilidad de la distribución binomial, también denominada función de la distribución de Bernoulli, es
Donde: n es el número de pruebas. k es el número de éxitos. p es la probabilidad de éxito. q es la probabilidad de fracaso.
Mtra. Ma. Luisa Ortega Cruz
Distribución binomial Un experimento sigue el modelo binomial o de Bernoulli si: 1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados:
el suceso A (éxito) y su contrario. 2. La probabilidad del suceso A es constante, es decir, que no varía de una prueba a otra. Se representa por p.
3. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los
resultados obtenidos anteriormente. Un experimento que se ajusta al modelo binomial se suele representar por B(n, p), donde n es el número de pruebas de que consta el experimento y p es la probabilidad del suceso A (éxito). La probabilidad de Ac es 1− p, y la representamos por q.
Mtra. Ma. Luisa Ortega Cruz
Distribución de Poisson Cuando en una distribución binomial se realiza el experimento un número "n" muy elevado de veces y la probabilidad de éxito "p" en cada ensayo es reducida, entonces se aplica el modelo de distribución de Poisson: Se tiene que cumplir que: “ p” < 0,10 “p * n” < 10 La distribución de Poisson sigue el siguiente modelo
𝒑 𝒙 = 𝒌 = 𝒆− 𝝀 ∗ 𝝀𝒌
𝒌!
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Distribución hipergeométrica
Modelo aplicable a experimentos al igual que en la distribución binomial en donde en cada ensayo hay tan sólo dos posibles resultados: o sale blanca o no sale. Pero se diferencia de la distribución binomial en que los distintos ensayos son dependientes entre sí. La distribución hipergeometrica se define como:
Mtra. Ma. Luisa Ortega Cruz
Distribución geométrica
Esta distribución toma en cuenta el número de veces que debe repetirse el experimento hasta que ocurra éxito por primera vez, en cuyo caso, termina de realizarse el experimento. Aquí sólo ocurre éxito una sola vez. No interesa cuántos veces se deba repetir el ensayo. Su expresión se da como:
Mtra. Ma. Luisa Ortega Cruz