M³dulo 2. geometr­a anal­tica (autoguardado)

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  • 1. 1.1 Introduccin histrica, Euclides y el sistema geomtrico griego, la axiomtica de Hilbert y el enfoque de Birkhoff. LA GEOMETRIA DE EUCLIDES Y EL SISTEMA AXIOMATICO 1.1.1 Resea sobre los Fundamentos de la Geometra. El surgimiento de las ideas geomtricas se remonta a pocas muy lejanas, en la antigua cultura de Babilonia y de Egipto. En el siglo VII a.c. comenz el periodo del desarrollo de la geometra en los trabajos de los cientficos griegos. En los siglos VI y V a.c. se consolid el concepto de demostracin de teoremas. Los griegos en el siglo III a.c. disponan de mtodos de demostraciones geomtricas, por tanto en esta poca aparecieron los primeros intentos de disponer de todo el material geomtrico en un orden lgico coherente. Luego de esto aparecieron los famosos Elementos de Euclides. 1.1.2 Euclides: uno de los grandes gemetras de la antigedad que vivi en un periodo que se extiende aproximadamente del ao 330 al 275 a.c. Su obra los Elementos consta de 13 libros, de los cuales el 5to., 7mo., 8vo., 9mo. Y el 10mo. estn dedicados a la teora de las proporciones y a la aritmtica (expuestas en forma geomtrica); las restantes son propiamente geomtricos. El primero contiene las condiciones de igualdad de tringulos, las relaciones entre lados y ngulos de tringulos, la teora de lneas paralelas y criterios de equivalencia de tringulos y polgonos. En el 2do. Se expone la transformacin de un polgono en un cuadrado equivalente. El 3ro. Est dedicado a la circunferencia; en el 4to. Se consideran los polgonos inscritos y circunscritos; en el 6to. Se analiza la semejanza de polgonos. En los 3 ltimos se exponen los fundamentos de la estereometra. Euclides comienza cada libro definiendo los conceptos que tendr que manejar en l, luego postulados y axiomas y por ltimo expone los teoremas de la geometra, disponindolos en orden lgico, de forma que cada proposicin (teorema) pueda demostrarse a base de las definiciones, postulados y axiomas precedentes. Todo esto se denomina fundamentacin (axiomtica) de la geometra. Arqumedes amplio la lista de los postulados y completo la teora de medicin de longitudes, reas y volmenes, es decir este fundamento la geometra mtrica. 1.1.3 NICOLAI IVANOVICH LOBACHEVSKI Y SU GEOMETRIA Las primeras dcadas del siglo XIX trajeron, la solucin del problema del V postulando,llevndose el honor el profesor de la universidad de Kazn, Nicolai ivnovich Lobachevski (1793-1856) esto se public en 1829 y reza de la siguiente manera: El V postulado no puedeser deducido de los restantes postulados de la geometra y Lobachevski construye un sistema lgico cuyas proposiciones son consecuencias de las premisas aceptadas. Desarroll el sistema de sus teoremas y representa una nueva geometra a la cual le llamo Imaginaria, comnmente se le llama Geometra no Euclidiana. En el periodo helenstico fue muy fructfero para los matemticos. Despus de los griegos, un gran aporte al desarrollo de la matemticas fue realizado por los pueblos

2. de la india, de los pasesrabe y del Asia media (siglo IX al XV), que desarrollaron los elementos del algebra y la trigonometra plana. En el siglo XVIII fueron creados los clculos diferencial e integral, la invencin de la geometra analtica. Abri el camino alaaplicacin del algebra y el anlisis a la resolucin de problema geomtricos, as como de numerosos problemas de la mecnica y la astronoma. Los enfoques del espacio geomtrico y de los conceptos que forman la base de la geometra, es la misma que la de Euclides, solo con ms claridad, en el siglo XIX se desarrollaron tres disciplinas geomtricas a saber: los fundamentos de la geometra, la geometra diferencial y la geometra proyectiva. A finales del siglo XIX se publicaron varios obras, pero la ms famosa fue la de David Hilbert, fundamentos de la geometra publicado 1899 en su libro Hilbert enuncia un sistema completo de axiomas de la geometra euclidiana, donde se puede obtener todos los resultados por medio de deducciones lgicas. En esta geometra solo se supone que existen tres grupos de objetos, llamados Puntos, rectas y planos en los cuales se verifican ciertas condiciones, tales como: 1) Entre los objetos denominados puntos, rectasy planos,as como entre algunosconjuntos de estos objetos(segmentos, ngulos) deben existir determinadas relaciones, que se denotan por los trminos pertenece a, entre , congruentes. por tanto el espacio geomtrico est formado por tres objetos puntos, recta y planos y lo representamos as ; G = .2 SISTEMA DEDUCTIVO La implicacin es la forma que adopta todo teorema en matemtica. La cual solo es falsa si la hiptesis es verdadera y la tesis es falsa. En los dems casos el teorema es verdadero. La tesis es lo que se pretende demostrar. Si una hiptesis es verdadera y se demuestra que la tesis es falsa entonces tendremos una implicacin o teorema falso. P Q vff Para demostrar una implicacin ( ) esto se puede hacer por dos caminos: el mtodo directo (comenzando por la hiptesis(h)). O por considerar la tesis (t) que es el mtodo indirecto o por el absurdo o por reduccin al absurdo. Mtodo Directo: Se inicia analizado (h) si se comprueba que h es falsa, ya queda verificado que no se presenta ( , entonces queda demostrada la . 3. Si por el contrario se comprueba que sino se presenta y queda demostrado es falsa.hay que examinar : si resulta , pero si resulta entoncesMtodo Reduccin al Absurdo: En este mtodo se inicia por analizar t. si se comprueba que , queda demostrado . En cambio si hay que examinar h: si resulta , queda demostrado , pero si resulta , entonces la implicacin seria falsa. El mtodo indirecto o por el absurdo equivale aplicar el mtodo directo se le puede asociar estos dos teoremas: recproco Teorema Directo.y el Contrario Teorema Reciproco tTeorema Contrario o IndirectoTeoremaContrarrecproco tTeorema Directo: Si dos ngulos son opuestos por el vrtice entonces son congruentes. Teorema Contrarrecproco: Si dos ngulos no son congruentes entonces no son opuestos por el vrtice. Condiciones necesarias y condiciones suficientes Cuando vale el teoremase dice tambien que:h es condicin suficiente para t, t es condicin necesaria para h, Se cumple t si se cumple h, Se cumple h solo sise cumple t. Modusponens: si A y AB son teoremas tambin B es teorema.El modus ponendo ponens (modus ponens) se expresa en el lenguaje lgico en la forma siguiente: [(p>>>> q) y p] >>> q tambin: Este tipo de razonamiento se conoce como resultado directo de demostracin Ejemplos: 1) Si dos ngulos correspondientes entre paralelas son iguales correspondiente entre paralelas.por lo tanto son 4. Sealos ngulosson correspondiente entre paralelastraducido ser: Este razonamiento no es vlido, porque la segunda premisa de la conjuncin no es el antecedente de la implicacin. La condicin de ser correspondiente entre s es suficiente para que dos ngulos sean iguales; pero no es necesaria ya que entre sdos ngulos son iguales tambin si son alternos internos, opuestos por el vrtice, etc. 2) Si dos ngulos Los ngulos iguales.son correspondiente entre paralelas( s), entonces son iguales. son correspondientes entre paralelas ( s). Por lo tanto sonAl traducirlo al lenguaje simblico tenemos: .Este razonamiento es vlido, es decir, la conclusin depende del antecedente de la implicacin y de sta. El Modus Tollendo tollens (Modus Tollens) se expresa en el lenguaje lgico en la forma siguiente Este razonamiento recibe el nombre de demostracin indirecta. 1) En un mismo plano, si dos rectas son perpendiculares( s) a una tercera, entonces, las dos primeras son paralelas ( s) entre s . Dos rectas de un plano no son paralelas por tanto las dos rectas no son perpendiculares a la tercera. Es decir, se cumple que: . Dos rectas son perpendiculares( s) a una tercera. Las dos primeras son paralelas( s). Ejercicios: Para cada uno de losteoremas siguientes escribe sus tres derivados y ponerles sus nombres. a) b) c) d)Si dos ngulos son correspondientes entre paralelas, entonces son congruentes. Si dos tringulos tienen sus tres lados congruentes, entonces son congruentes. Si dos ngulos son opuestos por el vrtice, entonces son congruentes. Si dos tringulos tiene sus tres tringulos congruentes, entonces son semejantes.Lostres mtodos para demostrar: Directo, Indirecto y Contrarrecproco. Matemticas es demostrar y se Aprende a demostrar haciendo demostracin. En matemticas se demuestra razonando deductivamente. La matemtica emplea el mtodo lgico deductivo. En matemtica no se hace experimentos porque para demostrar no se admiten aproximados, sino lo real y segundo no podemos fiarnos de los sentidos(vista). 5. Dinmica: Una figura no demuestra un teorema (Veamos las siguientesdinmicas). Una figura no demuestra un teorema.Es el centro de la figura ms grande en A o en B?Qu t ves? Ahora mira de nuevo. 6. Son las lneas a y b curvas o rectas?Observas seis estrellas puntiagudas o tres cubos dentro del crculo? 7. Qu forma tiene la figura ABC?La figura en un teorema, es una ayuda para guiarnos en la demostracin. El mtodo directo de demostracin es una cadena de conjunciones de implicaciones que, partiendo de la hiptesis, llegan a la tesis. Ejemplos: si se quiere demostrar que . Por lo tanto. Cada implicacin es un paso de lademostracin. El mtodo indirecto o de reduccin al absurdo siguelos siguientes pasos: 1) Se supone que el teorema es falso. es falso, por tanto es verdadero. 2) Suponemos que es verdadero se usa el mtodo directo hasta llegar a una implicacin que sea una contradiccin. 3) Si se llega a una contradiccin partiendo de , entonces la suposicin de que esta sea verdadera no es correcta, y por lo tanto es falsa y entonces es verdadero. En resumen para hacer una demostracin indirecta: 1ro. Negamos la tesis, con la misma hiptesis. 2do aplicamos el mtodo directo ahasta llegar a una contradiccinEl mtodo del contrarrecproco:El teorema directo es lgicamente equivalente al teorema del contrarrecproco, por tanto es lo mismo. 8. Teoremas: a) Si dos tringulos tienen susngulos