UNIDAD 2

MÚLTIPLOS Y DIVISORES

Múltiplo

4 x 0 = 04 x 1 = 44 x 2 = 84 x 3 = 124 x 4 = 164 x 5 = 204 x 6 = 24………………

Se observa que los productos de las multiplicaciones realizadas {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; …} son los múltiplos de 4.

m(4) = = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; …}

4

Se llama múltiplo de un número al producto de dicho número por cualquier número natural.Si un número es múltiplo de otro, entonces la división es exacta.

Recordemos acerca de los múltiplos

Cada número es múltiplo de sí mismo. El “0” es múltiplo de todo número. Los múltiplos de un número son ilimitados. La suma de los múltiplos de un número es múltiplo de

ese mismo número.Ejemplo: 20 y 35 son múltiplos de 5.Entonces: 20 + 35 = 55 ,también es múltiplo de 5.

El producto de los múltiplos de un número es múltiplo de ese mismo número.Ejemplo: 12 y 18 son múltiplos de 3.Entonces: 12 x 18= 216 , también es múltiplo de 3.

Divisor20 : 1 = 2020 : 2 = 1020 : 4 = 520 : 5 = 420 : 10 = 220 : 20 = 1

Observamos que el conjunto formado por los divisores de 20 son {1; 2; 4; 5; 10; 20}. Luego:D(20) = {1; 2; 4; 5; 10; 20}

Recordemos:• Un número que divide exactamente a otro número, se denomina divisor.• El número “1” es divisor de todo número natural.• El conjunto de divisores es limitado.• Todo número natural es divisor de sí mismo.

Números primos y compuestos

Números naturalesDivisores

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

P/C

PRIMOS = { ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; … } COMPUESTOS = { ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; … }

Números primos y compuestos

Número primo

D(5) = {1; 5}D(13) = {1; 13}

Cuando un número natural tiene exactamente dos divisores distintos: la unidad y él mismo, se denomina número primo.

Luego, el conjunto de los primeros números primos es:

{2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; …}

Número compuesto

D(6) = {1; 2; 3; 6}D(25)={1; 5; 25}

Cuando un número natural tiene más de dos divisores, se denomina número compuesto.

Luego, el conjunto de los primeros números compuestos es:

{4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; 16; 18; 20; 21; …}

¿Cómo encontrar un número primos?

Criba de EratóstenesPara encontrar los números primos menores que 100, procede de la siguiente forma:• Tacha el número 1, porque no es primo.• Luego, tacha todos los múltiplos de 2, excepto el número 2.• Tacha todos los múltiplos de 3, excepto el número 3.• Y así sucesivamente, los múltiplos de 5, 7 y 11, excepto estos números.

Descomposición canónica de un número (D.C.)

Consiste en expresar un número como el producto de sus factores primos.Ejemplo:Determina la descomposición canónica del número 120.120 2 60 2 30 2 Luego: 15 3 5 5 1

532120 3

Cantidad de divisores de un número(C.D.)

Dado el número “N” tal que:

Luego la cantidad de divisores de “N” está dado por:CD(N) = (x+1)(y+1)(z+1)Ejemplo:Calcula la cantidad de divisores de 120.CD(120) = (3+1)(1+1)(1+1)CD(120) = 16

zyx cbaN ..

CD(N) = CDP + CDC + 1CDP : Cantidad de divisores primos

CDC : Cantidad de divisores compuestos

Ejemplos:1. Calcula la suma de los 7 primeros números primos.

Solución:Sabemos que los 7 primeros números primos son: 2; 3; 5; 7; 11; 13 y 17Luego: 2+3+5+7+11+13+17 = 58Rpta.: 58

2. ¿Cuántos números comprendidos entre 20 y 100, son divisibles por 3 y 4 a la vez ?Solución:Si son divisibles por 3 y 4 a la vez, entonces son divisibles por 12: 0; 12; 24; 36; 48; 60; 72; 84 y 96Nos piden: 24; 36; 48; 60; 72; 84 y 96Rpta.:Hay 7 números divisibles a la vez por 3 y 4.

3. Calcula el valor de “n” si el número A = 40 tiene 65 divisores.

Solución:Descomponemos: A = 40 = 2 .5Luego: C.D.(A) = (3n+1)(n+1)

65 = (3n+1)(n+1) 13.5 = (3n+1)(n+1) → 13 = 3n + 1 → n = 4

Rpta.: El valor de “n” es 4.

4. Determina la cantidad de divisores compuestos de 300.Solución:Descomponemos: 300 = 2 .3 . 5 Sabemos que: C.D.(300) =C.D.P + C.D.C + 1Luego: (2+1)(1+1)(2+1) = 3 + C.D.C + 1

18 = C.D.C + 4 → C.D.C = 14Rpta.: Tiene 14 divisores compuestos.

n

n n3n

2 2