NÚMEROS IMAGINARIOS

Se llaman números imaginarios a los números de la forma bi, y son el producto de un número real

b y la unidad imaginaria i, donde i= . Ejemplo 1: dada la ecuación , hallar el valor de x SOLUCIÓN:

pero -25 = 25x(-1), por tanto

Ejemplo 2:

Potencias de i: Sea , tenemos que:

NÚMEROS COMPLEJOS (C)

El conjunto de los números complejos “C” se define así: C={a+bi/a,bєR, con i²=-1} ; se lee: “El conjunto de los números complejos C, es igual al conjunto de los números que tienen la forma a+bi; tal que a y b pertenecen a los números Reales y la cantidad imaginaria elevada al cuadrado igual a menos uno”. Un número complejo a+bi se suele representar con la letra z y podemos decir que si z=a+bi, a, es la parte real del número complejo y b, es la parte imaginaria del mismo número, que se simboliza así: a=Re(z); a, parte real de z b=Im(z); b, parte imaginaria de z Ejemplo: Determinar en cada caso la parte imaginaria y la parte compleja de cada número:

z =3-2i b. z₂= +8i SOLUCIÓN: z₁=3-2i → Re(z₁)=3 ; Im(z₁)=-2

z₂= +8i Re(z₁)= ; Im(z)=8

Los números complejos, se pueden escribir de dos formas: Forma polinomial: Es la forma ya conocida z=a+bi Forma cartesianas: Se expresar como una pareja ordenada que se puede representar en el plano complejo. Así z = a + bi = (a,b), de manera que el par (a, b) es la forma cartesiana del complejo "z”. Ejemplo: Dados los número z₁ = 3 + 2i; z₂ = -4 - 3i; z₃ = 6 - 2i; z₄= -3 + i; escribirlos de forma cartesiana y representarlos en el plano complejo. SOLUCIÓN: Z₁ = 3 + 2i = (3, 2) z₂ = -4 - 3i = (4, -3) z₃ = 6 - 2i = (6, -2) z₄= -3 + i = (-3, 1)

CONJUGADA DE UN NÚMERO COMPLEJO Sea Z = a + bi, un número complejo; la conjugada de Z, que se representa como Ž, se define como Ž = a –bi. Es decir que para hallar la conjugada de un número complejo basta con cambiarle el signo a su parte imaginaria. Ejemplo: Hallar la conjugada de los siguientes complejos:

z₁ = -3 + 2i b. z₂ = 8 – 5i c. z₃ = + 4i SOLUCIÓN: #complejo conjugada z₁ = -3 + 2i → Ž₁ = -3 - 2i

z₂ = 8 – 5i → Ž₂ = 8 + 5i

z₃ = + 4i → Ž3 = - 4i

NORMA DE UN NÚMERO COMPLEJO La norma de un número complejo es la magnitud o longitud del vector que representa a un número complejo. Sea Z = a + bi, la norma de z representada así |z| se define de la siguiente manera:

| z | = Ejemplo: Hallar la norma de los siguientes números complejos: z₁ = -2 – 8i b. z₂ = 4 z₃ = 5i SOLUCIÓN:

a. z₁ = -2 – 8i → | z₁ |= = = | z₁|=8.4

b. z₂ = 4 = 4 + 0i → | z₂ | =

c. z₃ = 5i = 0 + 5i → | z3 |= = 5

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

1. adición y sustracción de números complejos Para sumar o restar números complejos, basta con sumar a restar algebraicamente sus partes imaginarias y complejas respectivamente; simbólicamente lo representamos así: Si: z₁= a + bi y z₂ =c +di, entonces: z₁ + z₂ = (a+c) + (b+d)i. Ejemplo: Dados los números complejos Z₁ = 4+ 7i y Z₂ = -3 -7i. Hallar: a. Z₁+ Z₂ b. Z₁ -Z₂ SOLUCIÓN:

a. Z₁+ Z₂ =(4+ 7i) + (-3 -7i ) = (4-3) + (7i-7i)= 1 + 0i = 1 b. Z₁ -Z₂ = (4+ 7i) - (-3 -7i ) = 4+7i +3+7i = (4+3) + (7i+7i) = 7 + 14i 2. Multiplicación de números complejos

Para multiplicar dos o más números complejos seguimos este proceso: 1 desarrollar los productos como binomios. 2 Reemplazar las potencias de i por sus respectivos valores. 3 se reducen los términos semejantes y se expresa la respuesta como un número de la forma a+ bi. Ejemplo: Multiplicar: a. (4+3i)*(5-4i) b. (5-2i)² SOLUCIÓN:

a. (4+3i)*(5-4i) = 4*5+4*(-4i)+3i*5+3i*(-4i) = 20 -16i +15i – 12i =20-16i +15i – 12(-1)

= 20-16i +15i + 12= (20+12) + (15i-16i) = 32 – i

b. (5-2i)² = 5² - 2(5)(2i) – (2i)² = 25 – 20i – 4i² = 25 – 20i – 4(-1) = 25 – 20i + 4 = (25 + 4) – 20i

= 29 – 20i

3. División de números complejos

Para dividir dos números complejos realizamos los siguientes pasos:

1. Expresar la operación en forma de fracción

2. Se multiplica el numerador y el denominador por la conjugada del denominador

3. Se resuelven los productos indicados y el resultado de la forma a + bi

Ejemplo: Dividir: (-2 + 8i) ÷ (-2 +6i)

SOLUCIÓN: 1. 2. La conjugada de -2+6i = -2 -6i

3 Multiplicamos tanto el numerador como el denominador por la conjugada: