Numeros racionales

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE CHIRIQUÍ PROF. NÉSTOR BONILLA

NUMEROS RACIONALES

INTRODUCCIÓN

Dos siglos después de la determinación de los números irracionales, El matemático y poeta Omar

Khayyam estableció una teoría general de número y añadió algunos elementos a los números

racionales, como son los irracionales, para que pudieran ser medidas todas las magnitudes.

Solo a finales del siglo XIX pudo formalizarse la idea de continuidad y se dio una definición

satisfactoria del conjunto de los números reales, con los trabajos de Cantor, Dedekind,

Weierstrass, Heine y Meray, entre otros.

DESARROLLO DE CONTENIDOS

Números Naturales

El conjunto de los números naturales se denota por IN y se define como:

IN = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ...............n , n + 1 , ...................................}

Números Pares = 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , . . . . . . . . . .

Números Impares = 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , . . . . . . . . . . .

Números Primos = 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , . . . . . . . . . .

Prioridad de operaciones:

Potencias y Raíces Multiplicaciones y/o divisiones Sumas y/o restas Esta regla se puede alterar utilizando paréntesis, los que tendrían en este caso la primera

prioridad. En el caso de haber dos operaciones de un mismo nivel se procede a operar de izquierda

a derecha

Criterios de divisibilidad: Un número es divisible por:

2 si termina en cero o cifra par 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. 4 si el número formado por sus dos últimas cifras lo es o son ceros. 5 si termina en 0 ó 5. 6 si lo es por 2 y 3 a la vez.

1


8 si lo es el número formado por sus tres últimas cifras o éstas son ceros. 9 si la suma de sus cifras lo es. 10 si termina en cero.

En el conjunto IN se distinguen las siguientes propiedades:

• Tiene un primer elemento :El número 1

• Todo número natural tiene sucesor. Por ejemplo el sucesor de 10 es el 11

• Todo número natural tiene un antecesor, excepto el número uno

• El conjunto IN es la unión de dos subconjuntos:

a) Los números naturales pares de la forma: INnconn2 ∈ b) Los números naturales impares de la forma: INncon1n2 ∈−

• Todo sucesor de un número par es impar. Por ejemplo el sucesor de 20 es 21

• Todo sucesor de un número impar es par. Por ejemplo el sucesor de 51 es 52

• El conjunto IN es un conjunto ordenado, esto es, podemos comparar dos números naturales

mediante la siguiente definición :

Sean a , b números naturales, entonces se tiene que:

a es mayor que b si y sólo si a – b > 0

En el conjunto de los números naturales, las operaciones de adición y multiplicación están bien

definidas, ya que si m y n representan dos números naturales, la adición y multiplicación de ellos

son números naturales. La sustracción ( m – n ) no siempre es un número natural, situación que

motivó la extensión del conjunto IN.

Números Enteros

Si al conjunto IN le agregamos el cero y los enteros negativos, obtenemos un conjunto más amplio

que denota por Z y se define como:

ZZ = { ….., -(n+1 ) , -n ,...... -4 , -3 , -2 –1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ..........n , ( n + 1) , ..... }

En el conjunto Z se distinguen las siguientes propiedades:

• No tiene un primer elemento.

• Todo número entero tiene sucesor. Por ejemplo el sucesor de -4 es –3.

• Todo número natural tiene un antecesor. Por ejemplo el antecesor de –4 es –5.

• El conjunto Z es la unión de dos subconjuntos:

2


a) Los números enteros pares

b) Los números enteros impares

• Todo sucesor de un número par es impar.

• Todo sucesor de un número impar es par.

• En el conjunto Z existe un orden, esto es, podemos comparar dos números enteros

mediante la siguiente definición:

Sean a y b números enteros, a es mayor que b si y sólo si a – b ≥ 0

Operaciones en Z

Adición en Z

Para sumar dos números enteros del mismo signo, se suman sus valores absolutos y se

conserva el signo.

Ejemplos: a) 7 + 11 = 18 b) ( – 4 ) + ( – 9 ) = – 13

Para sumar dos números enteros de distinto signo, se restan sus valores absolutos y se

mantiene el signo del mayor.

Ejemplos: a) ( – 12 ) + 8 = – 4 b) 18 + ( – 7 ) = 11

Sustracción en Z

La resta o sustracción en Z se define como una operación derivada de la suma, de la siguiente

forma:

Si a , b ∈ Z ; a – b = a + ( – b )

Ejemplo: – 6 – 7 = – 6 + ( – 7 ) = – 13

Multiplicación en Z

Para multiplicar dos números enteros, se debe considerar:

Si son del mismo signo, se multiplican sus valores absolutos y se antepone el signo positivo.

3


Ejemplos: a) ( + 3 ) • ( + 8 ) = + 24 b) ( – 7 ) • ( – 8 ) = + 56

Si son de distinto signo, se multiplican sus valores absolutos y se antepone el signo negativo.

Ejemplos: a) ( + 7 ) • ( – 9 ) = – 63

b) ( – 8 ) • ( + 7 ) = – 56

Esta definición se resume en la llamada regla de los signos:

Propiedades de la adición en Z

• La adición en Z, está bien definida, es decir, satisface la propiedad de clausura:

∀ a , b ∈ Z : ( a + b ) ∈ Z

• La adición en Z es asociativa:

∀ a , b , c ∈ Z : a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

• La suma en Z es conmutativa:

∀ a , b ∈ Z : a + b = b + a

• El 0 pertenece a Z y es el neutro para la suma, es decir, si a pertenece a Z, entonces.

a + 0 = a = 0 + a

• Todo número entero posee su opuesto, tal que, si a ∈ Z, existe (–a) ∈ Z, tal que:

4

• + –

+ + –

– – +


a + (-a) = 0 = (-a) + a

Propiedades del producto en Z

• La multiplicación en Z está bien definida, es decir, satisface la propiedad de clausura:

∀ a , b ∈ Z : a • b ∈ Z

• La multiplicación es asociativa, es decir:

∀ a , b , c ∈ Z : a • ( b • c ) = ( a • b ) • c

• La multiplicación es conmutativa, es decir:

∀ a , b ∈ Z : a • b = b • a

• La multiplicación posee elemento neutro, es decir, el 1 ∈ Z tal que:

a • 1 = a = 1 • a

Propiedad distributiva del producto respecto de la suma

La adición y producto en Z, satisfacen la propiedad de distributividad de la adición, respecto al

producto; lo cual significa: Para todo a, b, c que pertenecen al conjunto de los números enteros

se cumple :

∀ a , b , c ∈ Z : a • ( b + c ) = a • b + a • c

Números Racionales

De la misma forma como la sustracción nos condujo a considerar números negativos, la división de

dos números naturales o enteros no siempre es un elemento de IN o de ZZ , lo que nos motiva a

extender estos conjuntos a un conjunto denominado “Conjunto de los Números Racionales”

denotado por Q. Los elementos de este conjunto Q, llamados números racionales son entonces de

la forma q:

b

aq = , donde a y b son enteros y b ≠ 0

En general el conjunto Q, se define como:

5


≠∈= 0b;Z b,a/b

aQ

Forma fraccionaria y forma decimal de un número racional:

Todo número racional de la forma b

a se puede expresar en forma decimal:

i. Como número decimal finito, si al efectuar la división de a por b se obtiene resto cero.

Ejemplos: 0,45

2 = 3,65

18 =

ii. Como número decimal periódico, si al dividir a por b no se logra obtener resto cero.

Ejemplos: .....4,166666.. 6

25 = ; 18........0,18181818 11

2 =

Analicemos brevemente el número racional b

a.

a.b

a : significa que el número “a” se ha dividido en “b“ partes iguales:

b. Amplificar una fracción por un entero equivale a multiplicar el numerador y denominador

por el entero; manteniendo el valor de la fracción

Ejemplo:

6

a

a / b

.

.

.

mbma....................

3b3a

2b2a

ba ====


c. Simplificar una fracción por un entero, equivale a dividir el numerador y denominador por el

entero, manteniendo el valor de la fracción:

Ejemplo:

Simplificar por 7 la fracción5

3

7:35

7:21 =

Operaciones en Q

Sean Qd

c,

b

c,

b

a ∈ se define:

• Adición en Q:

a. Igual denominador: b

ca

b

c

b

a +=+

b. Distinto denominador: bd

bcad

d

c

b

a +=+

• Sustracción en Q:

a. Igual denominador:b

ca

b

c

b

a −=−

b. Distinto denominador:bd

bcad

d

c

b

a −=−

• Multiplicación en Q.

db

ca

d

c

b

a

••=•

• División en Q.

cb

da

c

d

b

a

d

c

b

a :••=•=

Observación:

7

0.754m

3m..............

16

12

12

9

8

6

4

3 ======


Las cuatro operaciones en Q están bien definidas, es decir, todas ellas satisfacen la propiedad de

clausura:

Si Qd

c,

b

a ∈ ; entonces: Qd

c:

b

a;Q

d

c

b

a;Q

d

c

b

a ∈

∈

•∈

±

Propiedades de la Adición

• Asociativa: m

l

s

r

q

p

m

l

s

r

q

p:

m

l,

s

r,

q

p +

+=

++∀ con q, s y m distintos de cero.

• Conmutativa: q

p

s

r

s

r

q

p:

s

r;

q

p +=+∀ con q y s distintos de cero.

• Elemento Neutro: Existe q

p

q

0

q

p:Q

q

00 =+∈= con q ≠ 0.

• Elemento Opuesto: 0q

p

q

p;Q

q

p ;

q

p =

−+∈

−∃∀ con q ≠ 0

Propiedades de la Multiplicación

• Asociativa Sean n

m

s

r

q

p

n

m

s

r

q

p;Q

n

m,

s

r,

q

p •

•=

••∈

• Conmutativa Sean q

p

s

r

s

r

q

p:Q

s

r,

q

p •=•∈

• Existe Neutro Multiplicativo 1 ∈ Q : q

p1

q

p =•

• Inverso Multiplicativo 1p

q

q

p:

q

p

p

qQ

q

p1

=•

=∃∈∀

−

Orden en Q

Sean +∈∈ Zd,b;Qd

c,

b

a se dice que:

8


bcadd

c

b

a <⇔<

bcadd

c

b

a >⇔>

bcadd

c

b

a =⇔=

Observación:

Para comparar números racionales, también se pueden utilizar los siguientes procedimientos:

a. Igualar numeradores.

b. Igualar denominadores.

c. Convertir a número decimal.

Fracciones a decimales

Para transformar una fracción a la forma decimal, se divide el númerador por el denominador.

Ejemplos:

1) Así si queremos convertir 81

a decimal tenemos que efectuar la división 1 : 8

1 : 8 = 0,125 (decimal exacto)

2) Efectuemos ahora la transformación de 32

a forma decimal

2 : 3 = 0,66666...= 60, (decimal periódico)

3) Convirtamos a decimal la fracción 6

1

1 : 6 = 0,166666...= 60,1 (decimal semi periódico)

Transformación de número decimal a fracción

a. Decimales Finitos: Se coloca el número sin coma decimal como numerador y en el denominador se coloca 1 seguido de tantos ceros como decimales tenga el número en su forma decimal.

9


Ejemplo:

564

10128

12,8;125

31000

240,246;

100117

1,17 =====

b. Decimales Periódicos Puros: Se formara primero un Número Mixto, se separa la parte entera, y la parte decimal irá como numerador y en el denominador se colocaran tantos nueves como decimales tenga el periodo del decimal

. Ejemplo:

c. Decimales Semi periódicos: Separamos la parte entera de la decimal. En el numerador restamos toda la parte decimal menos la parte que no se repite. En el denominador colocaremos un 9 por cada número que se repite y un 0 por cada número que no se repite.

Ejemplo:

150

37

450

111

900

222

900

24-24660,24;

9902812

9902-2832832,2 ======

Números Irracionales ( Q’ ó I )

Introducción

Hemos visto que todo número racional es de la forma q

p; donde p y q son números enteros

con q ≠ 0.

Además sabemos que todo número racional q

pse expresa en forma decimal.

i) Como número decimal finito.

ii) Como número decimal periódico (o semiperiódico). Sin embargo, no todos los números

pueden representarse por un número racional.

Este hecho fue descubierto en la civilización griega y el argumento fue el siguiente:

10

33

8

99

24240,;

99928322832, ===


El teorema de Pitágoras nos indica que la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuyo catetos

miden la unidad, tendrá una medida igual a .2

El número ..........4142.12 = es un número decimal con infinitas cifras no periódicas y por

tanto no representa un número racional. A estos números se les denomina Irracionales. El nombre

de irracional proviene de la imposibilidad de representar al número 2 como razón de enteros.

Definición de Q’

Los números irracionales son aquellos números que no pueden expresarse como la razón de dos

números enteros.

Se describe como el conjunto: Q’ = { x / x es número decimal infinito no periódico}

Algunos representantes de este conjunto son el número .....14159265,3=π ; recordemos

que este número representa la razón de la circunferencia de un círculo, con su diámetro.

También se encuentran en este conjunto todas las raíces inexactas

.etc.....;2361,25.....;7321,13.....;4142,12 ===

Observación:

Los números irracionales, en sus operaciones no cumplen necesariamente con la ley de clausura.

Ejemplos:

11

1

1

2


'Q033 ∉=−

'Q2422 ∉==•

TALLER ACTIVIDADES CON FRACCIONES.1.- Halla los

4

3 de 28.

2.- Hallar la fracción irreducible de: a) 14/4 b) –8/72 c) 14/42 d) 4/44 e) 18/126 f) 18/54

g) 240/300 h) 900/1500

Sol: a) 7/2 b) –1/9 c) 1/3 d) 1/11 e) 1/7 f) 1/3 g)

4/5 h) 3/5

3.- En un instituto hay 660 alumnos, 1/15 de ellos están en primer curso. Sabiendo que los 4/11 del alumnado

de primero son chicos. ¿Cuántas chicas hay en este curso? Sol: 28 chicas.

4.- Coloca en cada caso el numerador o denominador que falta:

a) 164

3 = b) 6

30

15 = c) 75

204 = d) 100

25

4= . Sol: a) 12; b) 2; c) 15; d) 1

5.- Realiza los siguientes cálculos:

a) 2

11

3

2 +− b) 8

55 +− c)

2

1

5

2

3

4 −− d) 2

1

10

2

5

3 −+− Sol: a) 1/6; b) -35/8; c) 13/30;

d) –9/10

6.- Mismo ejercicio:

a)

−−+

−−− 6

3

1

4

3

2

131 b)

2

12

6

5

3

2 −+− c)

−+⋅

−

4

1

3

13

3

12

Sol: a) 35/12; b) 4/3; c) 185/36

7.- Completa la tabla:

a b a+b

ba

1

+ b

1

a

1 +

3 4

3

1

4

1

2

15

3−

8.- Efectúa los cálculos siguientes: a)

−+

4

1

6

13

24

15b)

−−

3

8

5

96 c)

+− 4

2

3

6

7

Sol: a) 61/24; b) 103/15; c) –13/3

12


9.- Mismo ejercicio: a)

−−+

+−

6

7

3

2

2

15

4

1

3

12 b)

−−

+−

140

431

5

32

7

15

c)

−−−

3

1

2

3

8

152 Sol: a) 91/12; b) 1/20; c) 31/24

10.- Realiza los siguientes cálculos, sacando factor común: a) –6 x 7 + 106 x 7 b) 9

10

5

3

9

1

5

3 ×+

−×

c) 4

3

10

7

4

3

10

3 ×+× d) 3

57

3

17 ×−×− Sol: a) 700; b) 3/5; c) 3/4; d) –14

11.- Ana está ahorrando para comprarse una bicicleta de montaña que cuesta 27.000 ptas. Ya ha ahorrado

5/8 de su precio. ¿Cuánto le falta todavía? Sol: 10.125 ptas

12.- ¿Por qué número se ha de dividir 2/5 para que resulte 8/15? Sol: 3/4

13.- Hemos comprado: 1/2 kg. de carne, 3/4 kg. de embutido, 3/4 kg. de sal, 2 kg. de manzanas. La cesta de

la compra vacía pesa 500 g. ¿Cuántos kg. pesa la cesta llena? Sol: 4,5 kg.

14.- Una clase dura 50 min. y ya han pasado 7/10 de ella. ¿Será posible realizar un trabajo en equipo que

dura 20 min.? Sol: No.

15.- Un rectángulo mide 3/5 de metro de base y 1/4 de metro de altura. Halla su perímetro y su área.

Sol: Perímetro: 17/10 m. Área = 3/20 m2

16.- El lado de un cuadrado mide 7/8 m. Halla su perímetro y su área. Sol: P = 7/2 m. A = 49/64 m2

17.- En una clase hay 30 alumnos. Las 5

3 partes son chicas ¿Cuántas chicas hay?

Si las 6

5 partes practican deporte ¿Cuántos practican deporte?

COMPARACIÓN Y REPRESENTACIÓN DE FRACCIONES.

1.- Calcula para cada fracción dada a continuación su número mixto correspondiente.

8/7 4/3 15/4 13/5 7/2 21/8

2.- Representa las fracciones anteriores en la recta.

3.-Responder a las siguientes cuestiones con una fracción o un número mixto.a) Deseo repartir cuatro tabletas de chocolate a tres niños, ¿a cuánto tocan?b) Tengo tres litros de agua y debo rellenar cinco recipientes iguales. ¿Cuánto hay que echar en cada uno?c) Con once metros de tela quiero hacer cuatro cortinas del mismo tamaño, ¿cuánto mide cada cortina?d) ¿Cómo distribuir 50 kilos de arena en 6 sacos?4.- Ordenar 4/3,2/3,1/3,11/3 y 5/3 5/3,5/7,5/6,5/20 y 5/10 4/2,1/5,3/2 y 7/4

13

0 1 2 3 4 5 6


MÁS PROBLEMAS CON FRACCIONES

1.- Juan ahorra 1/8 de los 20 euros que le dan. De lo que le queda ,se gasta los 2/3 en tomar algo con los amigos y el resto para comprar CD de música ¿ De cuánto dispone para comprarse discos?.2.- Los 1/5 de los ingresos de una comunidad de vecinos se emplean en gasóleo, 1/3 en electricidad, 1/12 en la recogida de basuras y 1/4 en el mantenimiento del edificio y el resto en limpieza.¿ Cuánto se emplea en limpieza? Si la comunidad dispone de 5.500 euros para estas actividades ¿Cuánto le corresponde a cada actividad?3.-Calcula qué fracción de la unidad representa:

1La mitad de la mitad.

2La mitad de la tercera parte.

3La tercera parte de la mitad.

4La mitad de la cuarta parte.

4.- Elena va de compras con 180 €. Se gasta 3/5 de esa cantidad.¿Cuánto le queda?

5.- Dos automóviles A y B hacen un mismo trayecto de 572 km. El automóvil A lleva recorridos los 5/11 del trayecto cuando el B ha recorrido los 8/13 del mismo. ¿Cuál de los dos va primero? ¿Cuántos kilómetros lleva recorridos cada uno?

6.- Hace unos años Pedro tenía 24 años, que representan los 2/3 de su edad actual. ¿Qué edad tiene Pedro?

7.- En las elecciones locales celebradas en un pueblo, 3/11 de los votos fueron para el partido A, 5/10 para el partido B, 5/14 para C y el resto para el partido D. El total de votos ha sido de 15.400. Calcular:

1 El número de votos obtenidos por cada partido.

2El número de abstenciones sabiendo que el número de votantes representa 5/8 del censo electoral.

8.- Un padre reparte entre sus hijos 1800 €. Al mayor le da 4/9 de esa cantidad, al mediano 1/3 y al menor el resto. ¿Qué cantidad recibió cada uno? ¿Qué fracción del dinero recibió el tercero?

14


15

Education

Numeros racionales