Óptica no lineal. Sistemas de baja dimensión

Instituto de Fısica, Universidad de Antioquia

Propiedades Opticas y Electricas en Solidos

Alejandro Correa Lopeza*.

aUniversidad de Antioquia.

10 de marzo de 2014

Resumen

En este trabajo cndfnsdikfnsdikjfnsdkjnfsdklf

Palabras Claves: Interferencia, interferometro, Michelson–Morley.

*[email protected]

1

[email protected]

Curso Electivo Sistemas de baja dimension

1. INTRODUCCION

La Optica es la rama de la Fısica que se enfoca en el modelamiento del comportamiento de luz y su interaccioncon la materia la cual, a su vez, se puede dividir en dos aspectos: los fenomenos lineales y los no–lineales.

1.1. Optica Lineal

Cuando un haz de luz atraviesa un material transparente, como el vidrio, puede percibirse que la radiacionsufre modificaciones en su intensidad o en su estado de polarizacion. De forma similar, cuando el haz incide sobreuna superficie opaca, puede reflejarse de forma especular, percibiendose la modificacion de su polarizacion. Pero,en ambos casos, las caracterısticas esenciales de sus propiedades ondulatorias, tales como su longitud de onda ofrecuencia, no se ven modificadas.La interaccion de la luz con la materia que no modifica las propiedades de las ondas se conoce como fenomenooptico lineal, y se presentan cuando la intensidad de la luz es relativamente moderada o baja, que son precisamentelos fenomenos opticos que se observan cotidianamente. Algunos de estos efectos opticos lineales son la absorcion, ladifraccion, la refraccion, entre otros.

A continucacion, se muestra una imagen de los fenomenos refractivos y reflexivos de una haz de luz que interactuacon un medio acuoso1.

En la optica lineal, la onda electromagnetica induce una separacion de las cargas en el material, es decir, unapolarizacion PL, la cual es directamente proporcional al campo electrico. La polarizacion inducida puede ser lineal(el desplazamiento es pequeno) o significativamente no lineal, dependiendo de la magnitud del campo electricoaplicado. En el caso lineal, la polarizacion es directamente proporcional al campo electrico, por lo que

PL = ε0χ(1)E

donde εo es la permitividad electrica del vacıo y χ(1) es la susceptibilidad electrica.

1.2. Optica No Lineal

Por otra parte, un fenomeno no-lineal ocurre cuando alguna de las propiedades ondulatorias principales de la luzse ven modificadas como consecuencia de la interaccion entre el medio material y la onda electromagetica. Empero,los fenomenos no lineales no son evidentes cuando la fuente de radiacion es poco intensa y dispersa, por lo cual sucontribucion en los fenomenos opticos cotidianos es practicamente nula.Con la invencion de los dispositivos laser, fue posible obtener fuentes de luz de altas intensidades, dando lugar a laobservacion de fenomenos nuevos, conocidos como efectos opticos no lineales, los cuales se presentan a intensidadesmuy altas de luz (∼ 108 V/m ).La optica no lineal es la rama de la optica que describe el comportamiento de la luz en medios no lineales, es decir,

1Imagen tomada de http://www.ua.es/personal/ferri/todo/MIOPE/TETS/opfisica/reflex/TEMA %204.pdf

2

Instituto de Fısica Universidad de Antioquia

medios en los cuales el componente dielectrico de la polarizacion responde a la forma no lineal del campo electricode la luz. Ergo, en la optica no lineal el principio de superposicion ya no es valido, por lo que en el regimen nolineal la polarizacion se puede expandir en una serie de Taylor, en terminos del campo electrico aplicado. En otraspalabras, la polarizacion del material oscila mA¡s allA¡ del modelo de Hook. Ası la polarizacion inducida puede serescrita como

P = P (1) + P (2) + P (3)... ∝ χ(1)E + χ(2)E2 + χ(3)E3

Donde χ(1) es el comportamiento lineal de la susceptibilidad y origina los fenomenos lineales, χ(2) es el compor-tamiento cuadratico y origina fenomenos no lineales de segundo orden y χ(3) es el comportamiento cubico originafenomenos no lineales de tercer orden. Y ası sucesivamente, las susceptibilidades van generando fenomenos no linea-les de su orden correspondiente, donde las susceptibilidades mayores de segundo orden se llaman susceptibilidadesno lineales.Puesto que hay fenomenos cuya magnitud depende del cuadrado, cubo u ordenes superiores de la intensidad delcampo electrico, el fenomeno mas conocido de la optica no lineal es la generacion del segundo armonico. Entremayor sea el orden del proceso no lineal a generar es necesario una mayor intensidad del haz incidente, lo cualrepresenta una gran limitacion.En la siguiente figura se muestran los regımenes correspondientes de la resspuesta de la polarizacion respecto a lamagnitud del campo electrico inducido.

2. MARCO TEORICO

2.1. Polarizacion electrica y respuesta optica en sistemas de baja dimension

En general, en un medio dielectrico con una densidad no nula del momento dipolar electrico, la respuesta depolarizacion viene dada por

~P (t) = εoχ(t) ~E(t) (1)

donde ~E(t) es el campo electrico en el sistema, εo el la permitividad dielectrica del vacıo y χ es el tensor de lasusceptibilidad dielectrica del medio. En el caso en el que el sistema sea dielectricamente isotropico, la mayorıa delas expresiones se convierten en relaciones escalares del tipo

3


P (t) = ε0χ(t)E(t). (2)

Por otra parte, si M es el operador de momento dipolar electrico del sistema, la Fısica Estadıstica nos permiteobtener la polarizacion electrica macroscopica a traves de

P (t) =1

VTr(ρM). (3)

En esta expresion, V es el volumen del sistema y ρ es el operador estadıstico o matriz densidad.Ahora, se considera que el sistema experimenta la influencia de una radiacion optica cuya frecuencia es ω y con pola-rizacion definida a lo largo de una direccion especıfica (por ejemplo el eje z). Se define esta radiacion monocromaticaa partir de la intensidad de su campo electrico asociado:

E(t) = Re(E0e−iωt) =

1

2E0e

−iωt +1

2E0e

iωt

= Ee−iωt + Eeiωt, (4)

de esta manera, para el caso de estudio, se tiene que

P (t) = ε0χ(ω)Ee−iωt + ε0χ(ω)Eeiωt =1

VTr(ρM).. (5)

Sea H0 el hamiltoniano “no perturbado” del sistema. El operador correspondiente a la energıa cuando el campoelectrico incide en el medio sera

H = H0 − ME(t). (6)

Ahora bien, se sabe que la evolucion temporal de la matriz densidad se expresa mediante la expresion de VonNeumann

∂ρ

∂t=

1

i}[H, ρ]. (7)

Reescribiendo la expresion

∂ρ

∂t=

1

i}[H0 − ME(t), ρ]− 1

2[Γ(ρ− ρ(0))− (ρ− ρ(0))Γ]. (8)

Lo que se hizo anteriormente fue suponer que la respuesta dielectrica del sistema ante E(t) tiene alguna clasede “amortuguamiento” producido por mecanismos de dispersion que afectan la polarizacion a nivel microscopico.Por ejemplo, si los momentos dipolares representados por M , tienen origen electronico, los eventos dispersivospueden atribuirse a procesos de interaccion electron–fonon, electron–exciton, electron–electron, etc. Lo que se hiceanteriormente, en la eciacion (8) fue representyar dichas nteracciones por medio del operador fenomenologico Γ. Sesupone que este operador es diagonal y sus elementos matriciales Γmm no son otra cosa que el inverso del tiempo derelajacion del estado |m >, producto del evento de dispersion. Ademas, ρ(0) es la matriz densidad no perturbada.Para simplnificar el analisis, el estudido se centrara en la situacion en la que el efecto de la radiacion incidente serepresenta en transisiones de un sistema cuantico de dos niveles de energıa (|1 >, |2 >). De este modo, los elementosdiagonales del operador Γ estaran dados por

< 1|Γ|1 >= γ11 =1

τ1,

< 2|Γ|2 >= γ22 =1

τ2. (9)

4


La solucion a la ecuacion (8) puede buscarse en la forma de una serie pertubativa en ρ

ρ(t) =∑n=0

ρ(n)(t) = ρ(0)(t) + ρ(1)(t) + ρ(2)(t)... (10)

En el equilibrio termico, ρ(0) es diagonal y sus elementos diagonales constituyen la ocupacion termica de cadaestado. Para esta situacion en particular, sea

ρ(n)11 =< 1|ρ(n)|1 >,

ρ(n)12 =< 1|ρ(n)|2 >,

ρ(n)21 =< 2|ρ(n)|1 >,

ρ(n)22 =< 2|ρ(n)|2 > .

Como la matriz densidad es hermıtica, se tiene que ρ12(t) = ρ21(t). Sustituyendo (10) en (8) se obtiene que

∑n

∂ ˆρ(n)

∂t=

1

i}∑n=0

[(H0 − ME(t)

)ˆρ(n) − ˆρ(n)

(H0 − ME(t)

)]− 1

2

∑n=0

[Γ(ρ(n) − ρ(0)

)−(ρ(n) − ρ(0)

)Γ]. (11)

Notese que ∑n=0

ρ(n) − ρ(0) =∑n=0

ˆρ(n+1). (12)

Entonces

∑n

∂ ˆρ(n)

∂t=

1

i}∑n=0

[(H0 − ME(t)

)ˆρ(n) − ˆρ(n)

(H0 − ME(t)

)]−1

2

∑n=0

[Γ

(∑n

ρ(n+1)

)−

(∑n

ρ(n+1)

)Γ

]. (13)

Con esta ultima expresion se puede calcular el elemento de matriz < 2|∂ρ∂t |1 > como

∑n

∂ρ(n)21

∂t=

1

i}∑n=0

[< 2|

(H0 − ME(t)

)ˆρ(n)|1 > − < 2| ˆρ(n)

(H0 − ME(t)

)|1 >

]− 1

2

∑n

[< 2|Γρ(n+1)|1 > − < 2|ρ(n+1)Γ|1 >

]. (14)

Hay que tener en cuenta que se esta considerando que los estados |i >, (i = 1, 2, 3...) son autoestados delproblema no perturbado. Luego, debe cumplirse que

H0|m >= εm|m > (15)

< m|H0 =< m|εm H0 es hermıtico.

5


Entonces,

∑n

∂ρ(n)21

∂t=

1

i}∑n=0

[ε2 < 2|ρ(n)|1 > − < 2|Mρ(n)|1 > E(t)

]− 1

i}∑n=0

[ε1 < 2|ρ(n)|1 > − < 2|ρ(n)M |1 > E(t)

]−1

2

∑n

[< 2|Γρ(n+1)|1 > − < 2|ρ(n+1)Γ|1 >

]. (16)

Cabe recordar que en el problema de Schrodinger definido por la ecuacion (15) se cumple la llamada relacion decompletez ∑

m

|m >< m| = 1. (17)

En el supuesto de que el sistema admite unicamente la ocupacion de dos estados, la relacıon (17) puede reescri-birse como

|1 >< 1|+ |2 >< 2| = 1, (18)

la cual puede introducirce de manera adecuada en la ecuacion (16) para obtener

∑n

∂ρ(n)21

∂t=

1

i}∑n=0

[(ε2 − ε1)ρ

(n)21 − < 2|M (|1 >< 1|+ |2 >< 2|) ρ(n)|1 > E(t)

]+

1

i}∑n=0

[< 2|ρ(n) (|1 >< 1|+ |2 >< 2|) M |1 > E(t)

]−1

2

∑n

[< 2|Γ (|1 >< 1|+ |2 >< 2|) ρ(n+1)|1 >

]−1

2

∑n

[< 2|ρ(n+1) (|1 >< 1|+ |2 >< 2|) Γ|1 >

]. (19)

Puesto que Γ solamente posee elementos matriciales diagonales, < 2|Γ|1 >=< 1|Γ|2 >= 0, y renombrandoM11 =< 1|Γ|1 >, M22 =< 2|Γ|2 >, M12 = M21 =< 1|Γ|2 >, ε12 = ε2 − ε1, se tiene que

∑n

∂ρ(n)21

∂t=

1

i}∑n

[E21ρ

(n)21 −

(M21ρ

(n)11 +M22ρ

(n)21

)E(t) +

(M11ρ

(n)21 +M21ρ

(n)22

)E(t)

]−∑n

1

2

(1

τ2+

1

τ1

)ρ(n+1)21 , (20)

lo cual puede reescribirse como

∑n

∂ρ(n)21

∂t=

1

i}∑n

[E21ρ

(n)21 −

(ρ(n)11 − ρ

(n)22

)M21E(t)− (M22 −M11) ρ

(n)21 E(t)

]−∑n

1

2

(1

τ2+

1

τ1

)ρ(n+1)21 . (21)

6


Por simplicidad en los calculos, se define

γ12 = γ21 =1

2

(1

τ2+

1

τ1

). (22)

Puesto que, en equilibrio, los elementos matriciales no diagonales de ρ son nulos2 se puede plantear que∑n=0

ρ(n)21 =

∑n=0

ρ(n+1)12 , (23)

lo cual permite expresar

∑n

∂ρ(n+1)21

∂t=∑n

[1

i}E21 − γ12

]ρ(n+1)21 −

∑n

1

i}

(ρ(n)11 − ρ

(n)22

)M21E(t)−

∑n

1

i}(M22 −M11) ρ

(n)21 E(t). (24)

Debe notarse que en el ultimo termino de la ecuacion (24)no se ha redefinido el ındice de la sumatoria. Estose hace con la intencin de buscar la forma de obtener relaciones de recuerrencia. Entonces, igualando termino atermino se tiene que

∂ρ(n+1)21

∂t=

[1

i}E21 − γ12

]ρ(n+1)21 − 1

i}

(ρ(n)11 − ρ

(n)22

)M21E(t)− 1

i}(M22 −M11)E(t)ρ

(n)21 . (25)

Realizando procedimientos completamente analogos se obtienen expresiones similares

∂ρ(n+1)12

∂t=

[1

i}E12 − γ21

]ρ(n+1)12 − 1

i}

(ρ(n)22 − ρ

(n)11

)M12E(t)− 1

i}(M11 −M22)E(t)ρ

(n)12 , (26)

∂ρ(n+1)22

∂t= −γ22ρ(n+1)

22 + i}(M21ρ

n12 −M12ρ

(n)21

)E(t), (27)

∂ρ(n+1)11

∂t= −γ11ρ(n+1)

11 + i}(M12ρ

n21 −M21ρ

(n)12

)E(t). (28)

Las ecuaciones (25)–(28) se pueden resolver si se escriben los elementos matriciales del operador estadıstico enterminos de sumas proporcionales a exp(±iωt), e igualando terminos con la misma dependencia temporal en ambosmiembros de las ecuaciones. Por el momento se desprecian los terminos que corresponden a emciones y absorcionessicesivas de fotones, es de cir, aquellos terminos asociados a armonicos de orden superior.El termino de orden n en el desarrollo perturvatibo, ρ(n), para el estado estacionario puede ser expresado como

ρ(n)(t) = ˆρ(n)(ω)e−iωt + ˆρ(n)(−ω)eiωt, (29)

valido para cuando n es impar. Cuando n es par, solamente los terminos DC.3 Si n = 1 en (29) se obtiene

ρ(1)(t) = ˆρ(1)(ω)e−iωt + ˆρ(1)(−ω)eiωt. (30)

Luego, si ademas se toma n = 0 en (25), se obtiene una ecuacion para ρ(1)21 (t) de la forma

∂ρ(1)21

∂t=

[1

i}E21 − γ12

]ρ(1)21 −

1

i}

(ρ(0)11 − ρ

(0)22

)M21E(t)− 1

i}(M22 −M11)E(t)ρ

(0)21 . (31)

2ρ(0)21 = ρ

(0)12 = 0

3Terminos de contribucion de frecuencia cero o terminos de primer orden.

7


Ahora bien, recordando que ρ(0)21 = 0,

∂ρ(1)21

∂t=

[1

i}E21 − γ12

]ρ(1)21 −

1

i}

(ρ(0)11 − ρ

(0)22

)M21E(t). (32)

Por lo tanto, se puede hacer uso de las ecuaciones (4) y (30) en la solucion de la ecuacion (32). Trabajando en laparte dependiente de e−iωt, al igualar los coeficientes de cada termino, se obtiene

− iω ˆρ(1)21 (ω) =

[1

i}E21 − γ12

]ˆρ(1)21 (ω)− 1

i}

(ρ(0)11 − ρ

(0)22

)M21E. (33)

De este modo, se puede llegar a a expresiones para ˆρ(0)ab (ω). Ası,

ˆρ(1)21 (ω) =

(ρ(0)11 − ρ

(0)22

)M21

E21 − }ω − i}γ12E. (34)

Si hacemos n = 3 en (29),ρ(3)(t) = ˆρ(3)(ω)e−iωt + ˆρ(3)(−ω)eiωt., (35)

y para obtener ˆρ(3)21 (ω) se procede a tomar n = 2 en (25) se obtiene

∂ρ(3)21

∂t=

[1

i}E21 − γ12

]ρ(3)21 −

1

i}

(ρ(2)11 − ρ

(2)22

)M21E(t)− 1

i}(M22 −M11)E(t)ρ

(2)21 . (36)

Luego, el ultimo paso es sustituir las ecuaciones (4) y (35) e igualar terminos en e−iωt.Sin embargo, se necesita aclarar un aspecto. Se habıa mencionado que, cuando n = 2, los terminos dominantes

son de tipo DC. En el caso de la optica lineal, la polarizacion inducida depende linealmente de la intensidad delcampo electrico,

P (t) = εoχ(1)E(t),

donde la cosntante de proporcionalidad χ(1) se denomina susceptibilidad lineal. En la optica no lineal, la respuestaoptica se puede describir generalizando la anterior expresion , escribiendo la polarizacion P (t) como una serie depotencias de laintensidad del campo:

P (t) = ε0

[χ(1)E(t) + χ(2)E2(t) + χ(3)E3(t) + · · ·

]= P (1)(t) + P (2)(t) + P (3)(t) + · · ·

Las cantidades χ(2) y χ(3) se conocen en la literatura como susceptibilidades opticas no lineales de segundo y tercerorden, respectivamente. Por simplicidad, se han tomado los campos P (t) y E(t) como magnitudes escalares. Tam-bien se ha supuesto que la polarizacion en un instante de tiempo t depende solamente del valor instantaneo de laintensidad del campo electrico. Esto implica que el medio es no dispersivo; pero en general, las susceptibilidades nolineales son tambien funciones de las frecuencias de los campos aplicados.Sea entonces P (2)(t) = ε0χ

(2)E2(t) la polaricaziıon no lineal de segundo orden y P (3)(t) = ε0χ(3)E3(t) como la

polarizacion lineal de tecer orden. Los procesos fısicos que ocurren como resultado de la polarizacion de segundoorden suelen ser diferentes a quellos que ocurren gracias a la polarizacion de tercer orden.Las interacciones opticas no lineales de sesegundo orden solo ocurren en cristales no centrosimetricos, es decir, encristales que no son simetricos bajo una transformacion de inversion. Pueso que los lıquidos, los gases los solidosamorfos (el vidrio, por ejemplo) y muchos cristales poseen esta clase de simetrıa, la susceptibilidad χ(2) se anulaen ellos y, consecuentemente, son materiales que no pueden producir interacciones opticas de segundo orden. Porotra parte, las interacciones no lineales de tercer orden pueden ocurrir tanto en medios centrosimetricos como nocentrosimetricos.

8


En cuanto al orden de magnitud, se tiene que, para la materia condensada, χ(1) ∼ 1. Por otra parte, experimental-mente, se encuentra que

χ(2) ≈ (4πε0)3}4

m2e5, χ(3) ≈ (4πε0)6}8

m4e10.

Ahora, retomando el hechode que se habıa planteado que el campo electrico de la senal que incide sobre el sistema(por ejemplo un haz de luz laser) se representa como

E(t) = Ee−iωt + c.c.

Para la polarizacion de segundo orden se tiene entonces quellos

P (2)(t) = 2ε0χ(2)0 EE∗ +

(ε0χ

(2)(ω)e−i2ωt + c.c.).

Es claro entonces que la polarizacion de segundo orden consiste en una contribucion de frecuencia cero, o DC, yuna contribucion con frecuencia 2ω. La primera contribucion lleva a un proceso en el que no se genrea radiacionelectromagnetica, sino que resulta en un proceso denominado rectificacion optica, en el cual se crea un campoelectrico estatico a traves del cristal no lineal. Por otra parte, el segundo termino no conduce a la generacion deradiacion con una frecuencia doble a la incidente (segundo armonico).

Ahora, teniendo en cuenta la ecuacion (5) y la anterior discucion, los terminos en la ecuacion (36), ρ(2)11 (t), ρ

(2)22 (t)

y ρ(2)21 (t), son terminos de rectificacion que no cambian en el tiempo4. Entonces, pueden ser sustituıdos por ρ

(2)11 (0),

ρ(2)22 (0) y ρ

(2)21 (0). Ası,

− iω ˆρ(3)21 (ω) =

[1

i}E21 − γ12

]ˆρ(3)21 (ω)− 1

i}

(ρ(2)11 (0)− ρ(2)22 (0)

)M21E −

1

i}(M22 −M11) E ˆρ

(2)21 (0). (37)

Ası,

ˆρ(3)21 (ω) =

1

E21 − }ω − i}γ12

[(ρ(2)11 (0)− ρ(2)22 (0)

)M21 + (M22 −M11) ˜ρ

(2)22 (0)

]E. (38)

Haciendo uso de las expresiones (27) y (28) se puede encontar la diferencia ρ(2)11 (0)− ρ(2)22 (0). Entonces,

∂ρ(2)22

∂t= −γ22ρ(2)22 + i}

(M21ρ

112 −M12ρ

(1)21

)E(t), (39)

∂ρ(2)11

∂t= −γ11ρ(2)11 + i}

(M12ρ

(1)21 −M21ρ

(1)12

)E(t). (40)

Enfocando la atencion en la expresion (40), considerando que ρ(2)11 es un termino de rectificacion, se sustituyen ρ

(1)21

y ρ(1)12 por sus componentes estacionarias5 y se conseva la parte DC del campo E(t)6 se obtiene entonces que

0 = −γ11 ˆρ(2)11 (0)− 1

i}

[M12

(ˆρ(1)21 (ω) + ˆρ

(1)21 (−ω)

)−M21

(ˆρ(1)12 (ω) + ˆρ

(1)12 (−ω)

)]E. (41)

Los terminos ˆρ(1)21 (ω) y ˆρ

(1)21 (−ω) se conocen en la literatura como terminos no resonantes y pueden ser calculados

de la misma forma a la que se llego a la expresion (34). En otras palabras,

ˆρ(1)12 (ω) =

M12

(ρ(0)11 − ρ

(0)22

)E21 + }ω + i}γ12

E, (42)

ˆρ(1)21 (−ω) =

M21

(ρ(0)11 − ρ

(0)22

)E21 + }ω − i}γ21

E. (43)

4Sin dejar de lado que se busca una respuesta optica del tipo e−iωt.5Haciendo t = 0 en la ecuacion (30).6Es decir, E.

9


Es claro que los terminos dados por la expresiones (42) y (43) presentan una diferencia del tipo E21 + }ω en susdenominadores Por tal razon, estos no tienen la posibilidad de entrar en resonancia en algun momento. Esto motivael hecho de que desprecien sus contribuciones en lo que resta de los calculos. Luego,

0 = −γ11 ˆρ(2)11 (0)− 1

i}

[M12

ˆρ(1)21 (ω)−M21

ˆρ(1)12 (−ω)

]E, (44)

de modo que

ˆρ(2)11 (0) =

i

}γ11

[M12

ˆρ(1)21 (ω)−M21

ˆρ(1)12 (−ω)

]E. (45)

Una vez que se sustituyen las expresiones correspondientes7 se llega directamente a

ˆρ(2)11 (0) = −

2|M21|2(ρ(0)11 − ρ

(0)22

)γ12

γ11

[(E21 − }ω)

2+ (}γ12)2

] E2. (46)

Si se tiene en cuenta que |M21|2 = |M12|2 = M21M12 y γ12 = γ21 se llega

ˆρ(2)22 (0) = −

2|M21|2(ρ(0)11 − ρ

(0)22

)γ12

γ22

[(E21 − }ω)

2+ (}γ12)2

] E2. (47)

Finalmente,

ˆρ(2)11 (0)− ˆρ

(2)22 (0) = −2

(1

γ11+

1

γ22

) |M21|2(ρ(0)11 − ρ

(0)22

)γ12[

(E21 − }ω)2

+ (}γ12)2] E2. (48)

Ahora, para obtener ˆρ21(0) se usa la expresion (24) con n = 1. Recordando que solo interesan los terminos estacio-narios, se obtiene que

∂ρ(2)21 (0)

∂t= 0 =

[1

i}E21 − γ12

]ρ(2)21 (0)− 1

i}

(ρ(1)11 (0)− ρ(1)22 (0)

)M21E −

1

i}(M22 −M11) ρ

(1)21 E, (49)

y usando la expresion (30) con t = 0 se tiene que

0 =

[1

i}E21 − γ12

]ρ(2)21 (0)− 1

i}

(ρ(1)11 (ω) + ρ

(1)11 (−ω)− ρ(1)22 (−ω)− ρ(1)22 (−ω)

)M21E−

1

i}(M22 −M11)

(ˆρ(1)21 (ω) + ˆρ

(1)21 (−ω)

)E.,

(50)Continuando ahora con el calculo, para el termino ρ11(ω) se parte de la ecuacion (28) con n = 0,

∂ρ(1)11

∂t= −γ11ρ(1)11 −

1

i}

(M12ρ

(0)21 −M21ρ

(0)12

)E(t),

pero, ρ(0)21 = ρ

(0)12 = 0. Entonces,

∂ρ(1)11

∂t= −γ11ρ(1)11 . (51)

Una vez mas, haciendo uso de la expresion (30) e igualando terminos de e−iωt es posible obtener

ˆρ11(ω)(γ11 − ω) = 0, (52)

7Sustituyendo ˆρ21(ω) dada por (34) y reemplazando ω → −ω en (42)

10


lo cual implica que ˆρ11(ω) = 0. De la misma manera, ˆρ(1)11 (−ω) = ˆρ

(1)22 (ω) = ˆρ

(1)22 (−ω) = 0. Con estos ultimos

resultados, y despreciando el termino no resonante ˆρ(1)21 (−ω), se obtiene que

0 =

[1

i}E21 − γ12

]ˆρ(2)21 (0)− 1

i}(M22 −M11) ρ

(1)21 (ω)E. (53)

Manipulando (53) se obtiene ρ(2)21 (0) al sustituir la expresion (34):

ρ(2)21 (0) =

M21 (M22 −M11) (ρ(0)11 − ρ

(0)22 )

(E21 − i}γ12)(E21 − }ω − }γ12)E2. (54)

Ahora, sustituyendo (48) y (54) en la ecuacion (38) y efectuando las manipulaciones algebraicas correspondientesde llega finalmente a

ˆρ(3)21 (ω) = − M21(ρ

(0)11 − ρ

(0)22 )

(E21 − }ω − }γ12)

[2

(1/γ11 + 1/γ22)γ12|M21|2

(E21 − }ω)2 + (}γ12)2− (M22 −M11)2

(E21 − i}γ12)(E21 − }ω − i}γ12)

]E2E (55)

Usando los anteriores resultados es posible calcular los terminos ˆρ(3)11 (ω) y ˆρ

(3)22 (ω). Sin embargo, estos terminos van

a contribuir con mucho menor peso a la evaluacion de los coeficientes opticos. Tales termino son:

ˆρ(3)22 (ω) =

2i|M12|2

}ω + i}γ22Im

[(M22 −M22)(ρ

(0)11 − ρ

(0)22 )

(E21 − i}γ12)(E21 − }ω − }γ12)

]E2E, (56)

y

ˆρ(3)11 (ω) = − 2i|M12|2

}ω + i}γ11Im

[(M22 −M22)(ρ

(0)11 − ρ

(0)22 )

(E21 − i}γ12)(E21 − }ω − }γ12)

]E2E. (57)

2.2. Coeficientes de absorcion lineal y no lineal en sistemas de baja dimension

Retomando la discusion de las propiedades dielectricas de un material isotropico debe tenerse en cuenta que,a parte de la relacion entre la polarizacion ~P y el campo electrico ~E dada por(2.1), se tiene el llamado campo de

desplazamiento, ~D, en medios materiales~D = ε0 ~E + ~P , (58)

que tambien puede expresarse a traves de una relacion directa con el campo electrico a traves de

~D = ε ~E, (59)

y asıε = ε0(1 + χ). (60)

la susceptibilidad es, con frecuencia, una funcion fuertemenmte dependiente de la frecuencia ω cerca de la resonanciay es una cantidad compleja con una parte real dispersiva y una parte imaginaria de caracter absorbente

χ = χ′ + iχ′′. (61)

La conocida relacion del espacio libre, (kc/ω)2 = 1, se modifica en un medio dielectrico como(kc

ω

)2

= 1 + χ, (62)

es decir, en un medio dielectrico, la cantidad kc/ω se convierte en una compleja que se expresa convencionalmentecomo

kc

ω= η + iκ, (63)

donde η es el ındice de refraccion y κ es el coeficiente de extincion del medio dielectrico.

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Óptica no lineal. Sistemas de baja dimensión