República Bolivariana de VenezuelaInstituto Universitario Politécnico

“Santiago Mariño” Extensión Porlamar

OPTIMIZACIÓN

Manuel Mier y TeranC.I 19.318.690

Método de LaGrange

Y= X² + 3Tabulación X=3.

X Y Solución

0 3 Y= (0)² +3= 3

1 4 Y= (1) ² +3= 4

4 19 Y= (4) ² + 3= 19

6 39 Y= (6) ² + 3= 39

Introduciendo diferentes valores de X en la ecuación se obtuvo los valores respectivos en Y.

F0(X) = (X-1) (X-4) (X-6) (0-1) (0-4) (0-6)

F1(X) = (X-0) (X-4) (X-6) (1-0) (1-4) (1-6)

F2(X) = (X-0) (X-1) (X-6) (4-0) (4-1) (4-6)

F3(X) = (X-0) (X-1) (X-4) (6-0) (6-1) (6-4)

=

=

=

=

- 0.25

0.6

0.75

-0.1

Utilizando las formulas y evaluando con los diferentes valores de X, obtenemos los valores de 0,1,2 y 3 como se muestra en este caso.

P(X)= 3² (X-1) (X-4) (X-6)+4² (X-0) (X-4) (X-6)+ 19² (X-0) (X-1) (X-6) + 39² (X-0) (X-1) (X-4) (0-1) (0-4) (0-6) (1-0) (1-4) (1-6) (4-0) (4-1) (4-6) (6-0) (6-1) (6-4)

P(x) = 12.

Se realiza el polinomio P(X=3) con la formula mostrada, en donde se multiplican los valores de Y con el valor obtenido de cada función evaluada, obteniendo el resultado final del polinomio.

Multiplicadores de LaGrange

Se requiere cortar y decorar un espejo rectangular de área 40dm².Si los adornos a lo largo de los lados horizontales cuestan 16 centavos por decímetro y de los lados verticales cuestan 25 centavos por decímetro ¿Cuáles son las dimensiones que minimizan el costo total?

A= 40dm²

16c/dm

Espejo Información:

Y25c/dm

XX>0 Y>0

Función Objetivo:C=CostoC= (2X)x16 + (2Y)x25 Costo decoración Vert.

Costo decoración Horz.

C= 32X+50Y

F( x, y) = 32X+50Y

Restricciones:X.Y= 40 x.y-40=0G(x,y)= X.Y-40

▼F = ʎ. ▼G(Fx,Fy)= ʎ(Gx,Gy)

Fx= ʎGx Fy= ʎGy

ʎ= Fx ʎ= Fy Gx Gy

Fx = FyGx Gy

Derivadas Parciales:F( x, y) = 32X+50Y G(x,y)= X.Y-40Fx= 32 Gx=yFy= 50 Gy=x

32 = 50 Y X

32X=50Y ÷2 (cada lado de la igualdad)= 16X=25Y

1) 16X=25YR) X.Y= 40

Despejamos X en la 1)X=25Y 16Seria nuestra función numero 2.Ahora sustituimos 2 en la función R.

25Y . Y=4016

25y² =4016

y² =40x16 Simplificando con quinta quedaría= y² = 8x16= 128= 25 5 5 ____Y= √ 128 5

Y= 5.06 dm

Ahora se encontrara X por medio de la función numero 2 sustituyendo a Y.

X= 25x(5.06) 16

X= 7.91 dm.

Seguidamente el punto X y el punto Y forman parte del punto critico de la función objetivo.Punto Critico: ( 7.91 ; 5.06)

Comprobación: xy=40

X Y C=32X + 50Y

7.91 5.06 =32(7.91)+50(5.06)= 506.12

10 4 =32(10)+50(4)= 520

20 2 =32(20)+50(2) = 740

Primeramente se calcula los valores obtenidos en X y Y sustituyendo en la función objetivo, luego ponemos valores arbitrarios que cumplan con la restricción xy=40. es decir 10x4=40 la cumple, y 20x2=40 la cumple.

Valor min.Respuesta:X=7.91dmY=5.06 dm

Matriz Jacobiana

Ъ =Derivada Parcial.

1) Escriba la Matriz Jacobiana de la función:Ƒ(x,y) = (x²+3y², 5x³+2y^6) ,donde F1= x²+3y² y F2= 5x³+2y^6.

J Ƒ(x,y) = Ъf1 Ъf1 Ъx Ъy

Ъf2 Ъf2 Ъx Ъy

J Ƒ(x,y) = 2x 6y

15x² 12y^5 2x2

Determinante Jacobiano

1) El determinante de jacobiano de la función F: R³ R³ definida como:

Ƒ(x1, x2,x3) = (5x2, 4x² -2sin(x2x3), x2x3) 1

J(x1, x2,x3) = 0 5 0 8x1 -2x3cos(x2x3) -2x2cos(x2x3) 0 x3 x2

= -5x 8x1 -2x2cos(x2x3) 0 x2

= -40x1x2.

Condición Kuhn Tucker

Encuentre los valores mínimo y máximo de la función Ƒ(x1, x2)= 3-x1-x2 sujeto a las restricciones 0 ≤ x1, 0 ≤ x2 y 2x1 + x2 ≤2.

Primero cambiar las restricciones a la forma g ≤0.

0 ≤ x1 g1= - x1 ≤00 ≤ x2 g2= - x2 ≤0X1 + x2 ≤2 g3= 2 x1 + x2 -2 ≤0

Luego se resuelve el problema de minimización primeramente: m

Ъf(Xo) + ∑ ʎi ЪGi(Xo) = -1+2 ʎ1 -ʎ2 = 0ЪX1 i=1 ЪX1

mЪf(Xo) + ∑ ʎi ЪGi(Xo) = -1 + ʎ1- ʎ3 = 0ЪX2 i=1 ЪX1

Condición de Holgura Complementaria

ʎ1G1 = ʎ1 (2x1 + x2 – 2) = 0ʎ2G2 = -ʎ2x1 = 0ʎ3G3 = -ʎ3x2 =0

X1 X2 ʎ1 ʎ2 ʎ3 G1 G2 G3 F

0 0 0 -1 -1 -2 0 0 3

1 0 1/2 0 -1/2 0 -1 0 2

0 2 1 1 0 0 0 -2 1

Para determinar el máximo las condiciones quedan de la siguiente manera:

m

- Ъf(Xo) + ∑ ʎi ЪGi(Xo) = -1+2 ʎ1 -ʎ2 = 0 ЪX1 i=1 ЪX1

m

- Ъf(Xo) + ∑ ʎi ЪGi(Xo) = -1 + ʎ1- ʎ3 = 0 ЪX2 i=1 ЪX1

Condición de Holgura complementaria:

ʎ1G1 = ʎ1 (2x1 + x2 – 2) = 0ʎ2G2 = -ʎ2x1 = 0ʎ3G3 = -ʎ3x2 =0

X1 X2 ʎ1 ʎ2 ʎ3 G1 G2 G3 F

0 0 0 1 1 -2 0 0 3

1 0 -1/2 0 1/2 0 -1 0 2

0 2 -1 -1 0 0 0 -2 1

Observamos que las tablas de minimización y de maximización son idénticas salvo que los valores de los multiplicadores están cambiados de signo. Por tanto, la estrategia conveniente para optimizar la función sujeta a restricciones de desigualdad por el método de las condiciones de Kuhn Tucker será:

1) Plantear el problema como si se tratara solo de minimización y resolver el sistema de ecuaciones correspondientes.

2) Eliminar aquellos puntos encontrados que no satisfacen las restricciones G1

≤0 .

3) Eliminar aquellos puntos que tienen a la vez multiplicadores positivos y negativos.

4) Para minimización: escoger dentro de aquellos puntos que tienen multiplicadores no negativos, aquellos que tienen la menor evaluación de función objetivo.

5) Para maximización: escoger dentro de aquellos puntos que tienen multiplicadores no positivos, aquellos que tienen la mayor evaluación de la función objetivo.