Pack de rubrica de matematica

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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CURSO DE NIVELACIÓN 2015 – 1S

LECCIÓN 1 – (07H00) Guayaquil, 11 de mayo de 2015

S O L U C I Ó N Y R Ú B R I C A Tema 1 (25 puntos) Sea Re = 1,2,3,4,5,6,7,8{ } y sus subconjuntos A , B y C , definidos

por:

A= x x es par( )∧ 2x = 6( ){ } B = x x < 5( )→ x es impar( ){ } C = x x = 3( )↔ x = 7( ){ } Tabule los conjuntos A , B y C y elabore el respectivo diagrama de Venn. Solución:

A= x x es par( )∧ 2x = 6( ){ } = 2,4,6,8{ }∩ 3{ } A=∅

B = x x < 5( )→ x es impar( ){ } B = x ¬ x < 5( )∨ x es impar( ){ }= x x ≥ 5( )∨ x es impar( ){ } B = 5,6,7,8{ }∪ 1,3,5,7{ }

B = 1,3,5,6,7,8{ }

C = x x = 3( )↔ x = 7( ){ } C = 1,2,4,5,6,8{ }

Rúbrica:

Tabula correctamente el conjunto A. 5 puntos Tabula correctamente el conjunto B. 5 puntos Tabula correctamente el conjunto C. 5 puntos Elabora correctamente el diagrama de Venn con los tres subconjuntos. 10 puntos

1 5 6 8

3 7

2 4

A

B C

Re


Tema 2 (25 puntos) Sea Re = 1,2,3,4,5,6,7,8{ } y las proposiciones: a : ∃x, x2 = 4 b : ∀x, 3x < 24 c : ∃x, x ≥10

Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) b debido a que c b) a pero c c) O c , o a d) Cuando b , c e) c si y solamente si b Solución:

El valor x = 2( ) satisface la expresión x2 = 4( ) . Como existe por lo menos un valor del

conjunto referencial que satisface la expresión dada, se concluye que a ≡1 El valor x = 8( ) no satisface la expresión 3x < 24 . Puesto que no todos los valores satisfacen

la expresión dada, b ≡ 0 Ningún valor satisface la expresión x ≥10( ) . Por lo tanto, c ≡ 0 Ahora se analiza cada proposición compuesta, transformando del español al lenguaje simbólico. a) b debido a que c

c→ b ≡ 0→ 0 ≡1 ∴ La proposición es VERDADERA.

b) a pero c a∧c ≡1∧0 ≡ 0 ∴ La proposición es FALSA.

c) O c , o a c∨ a ≡ 0∨1≡1 ∴ La proposición es VERDADERA.

d) Cuando b , c b→ c ≡ 0→ 0 ≡1 ∴ La proposición es VERDADERA.

e) c si y solamente si b c↔ b ≡ 0↔0 ≡1 ∴ La proposición es VERDADERA.

Rúbrica:

Determina correctamente el valor de verdad de cada proposición simple: a, b y c. 5 puntos Determina correctamente el valor de verdad de las proposiciones compuestas de cada literal. 4 puntos c/u


Tema 3 (25 puntos) Considere la siguiente distribución de los conjuntos A , B y C para cierto conjunto referencial Re : Elabore los diagramas de Venn que corresponden a cada operación entre conjuntos:

a) A− B( )∩C

b) B∪C( )− A c) AC ∩BC( )−C

d) C − B( )C− A

e) C − A( )∪BC Solución:

a) A− B( )∩C b) B∪C( )− A

c) AC ∩BC( )−C d) ( ) ABC C −−

e) C − A( )∪BC

Rúbrica:

Elabora correctamente un diagrama de Venn para cada literal. 5 puntos c/u


Tema 4 (25 puntos) Sean los conjuntos no vacíos A , B y C , usando ÁLGEBRA PROPOSICIONAL, demuestre de ser posible que:

A⊆ B( )∧ A⊆C( )#$

%&⇔ A⊆ B∩C( )#

$%&

Solución: A⊆ B( )∧ A⊆C( )#

$%&≡

≡ ∀x x ∈ A( )→ x ∈ B( )%&

'(∧∀x x ∈ A( )→ x ∈C( )%

&'({ }

Definición de subconjunto.

≡ ∀x x ∈ A( )→ x ∈ B( )!"

#$∧ x ∈ A( )→ x ∈C( )!"

#${ }

Ley Distributiva del Cuantificador Universal.

≡ ∀x x ∈ A( )→ x ∈ B( )∧ x ∈C( )!"

#${ }

Álgebra proposicional: p→ q( )∧ p→ r( )#

$%&≡ p→ q∧r( )#

$%&

≡ ∀x x ∈ A( )→ x ∈ B∩C( )!"

#${ } Definición de intersección

entre conjuntos.

A⊆ B( )∧ A⊆C( )#$

%& ≡ A⊆ B∩C( )$

%&' Definición de

subconjunto. Rúbrica:

Elabora un procedimiento adecuado para realizar la demostración. 25 puntos





S O L U C I Ó N Y R Ú B R I C A Tema 1 (25 puntos) Sea el conjunto referencial Re = 1,2,3,4,5,6{ } y los conjuntos: A= x / x > 3( )∧ x < 4( ){ }

B = y / y >1.5( )∧ y < 185

"

#$

%

&'

()*

+,-

Determine el valor de verdad de la siguiente proposición:

“Si N P A( )( ) =1, entonces no es verdad que: N P P B( )( )( ) = 4 o 3{ }{ }⊆ P B( ) ” Solución: Se tabulará cada conjunto y se verificará lo expresado en cada proposición simple:

A= { } ⇒ N P A( )( ) = 2N A( ) = 20 =1

B = 2,3{ } ⇒ N P P B( )( )( ) = 22N B( )= 22

2

= 24 =16

3∈ B ⇒ 3{ }∈ P B( ) ⇒ 3{ }{ }⊆ P B( )

La proposición compuesta tiene el siguiente valor de verdad:

N P A( )( ) =1!"

#$

1! "## $##

→¬ N P P B( )( )( ) = 4!"#

$%&

0! "### $###

∨ 3{ }{ }⊆ P B( )!"

#$

1! "## $##

%

&'

('

)

*'

+'

1! "####### $#######

0! "####### $#######

≡ 0

∴

La proposición es FALSA.

Rúbrica:

Tabula correctamente los conjuntos A y B. 5 puntos Establece correctamente el valor de N(P(A)). 5 puntos Establece correctamente el valor de N(P(P(B))). 5 puntos

Establece correctamente el valor de 3{ }{ }⊆ P B( ) 5 puntos

Determina correctamente el valor de verdad de la proposición compuesta. 5 puntos


Tema 2 (25 puntos) Sean A,B,C y D subconjuntos no vacíos del conjunto referencial

Re = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11{ } . Si se conoce que:

• D ⊂ A∪B( ) • A∪D( )∩C =∅

• C∩B = 9,10{ } • N C( ) = 4 • B− A∪D( ) = 8,9,10{ } • D∩B = 5,7{ } • A∩B = 5,6{ } • A− B∪C∪D( ) = 2,3{ } • Re− A∪B∪C( ) = 1{ }

Tabule los conjuntos A,B,C y D . Solución: A continuación se dibuja un diagrama de Venn que cumple con las condiciones dadas: Por lo tanto:

A= 2,3,5,6{ } B = 5,6,7,8,9,10{ } C = 4,9,10,11{ } D = 5,7{ }

Rúbrica:

Elabora correctamente el diagrama de Venn con los cuatro subconjuntos. 5 puntos Tabula correctamente cada conjunto: A, B, C y D. 5 puntos c/u

4 11

2 3 5

A B C

Re

8

7

9 10

1 D

6


Tema 3 (25 puntos) En una encuesta realizada a 40 estudiantes de primer semestre de la Espol se obtuvieron los siguientes datos: 27 son hombres, 20 estudian ingeniería en computación, de estos últimos 8 estudian ingeniería en computación (especialización multimedia), 6 de las mujeres no estudian ingeniería en computación y 22 de los hombres no estudian ingeniería en computación (especialización multimedia). Con los datos proporcionados, determine de ser posible, cuántas mujeres estudian ingeniería en computación pero no en la especialización multimedia. Solución: A partir de las características anotadas, se tiene que:

Re = x x es persona{ }H = x x es hombre{ }M = x x es mujer{ }H∪M = Re

C = x x estudia Ingeniería en Computación{ }E = x x estudia Especialización Multimedia{ }

N Re( ) = 40N H( ) = 27E ⊆CN C( ) = 20N E( ) = 8N M −C( ) = 6N H − E( ) = 22

El siguiente diagrama de Venn ilustra las condiciones dadas en el problema:

La cantidad de mujeres que estudian ingeniería en computación pero no en la especialización multimedia es:

N M ∩C( )− E#$

%&= 4

Rúbrica:

Identifica las condiciones anotadas en el problema y plantea el diagrama de Venn correcto.

10 puntos

Determina correctamente el valor solicitado. 15 puntos

H M

Re

8 6 5 3 4 14

C

E


Tema 4 (25 puntos) Sean los conjuntos no vacíos A , B y C , usando ÁLGEBRA PROPOSICIONAL, demuestre de ser posible que:

A⊆C( )∧ B ⊆C( )#$

%&⇔ A∪B( )⊆C#

$%&

Solución:

A⊆C( )∧ B ⊆C( )#$

%&

⇔∀x x ∈ A( )→ x ∈C( )#$

%&∧∀x x ∈ B( )→ x ∈C( )#

$%& Definición de

subconjunto.

⇔∀x x ∈ A( )→ x ∈C( )!

"#$∧ x ∈ B( )→ x ∈C( )!"

#${ } Propiedad distributiva del

cuantificador universal.

⇔∀x x ∈ A( )∨ x ∈ B( )!

"#$→ x ∈C( ){ }

Álgebra proposicional. p→ r( )∧ q→ r( )#

$%&≡ p∨q( )→ r#

$%&

⇔∀x x ∈ A∪B( )→ x ∈C( )&

'()

Definición de unión entre conjuntos.

A⊆C( )∧ B ⊆C( )#$

%&⇔ A∪B( )⊆C#

$%& Definición de

subconjunto. Rúbrica:






S O L U C I Ó N Y R Ú B R I C A Tema 1 (25 puntos) Considerando el conjunto referencial 𝑹𝒆 = −𝟏,𝟐,−𝟑,𝟒,−𝟓,𝟔,−𝟕 , determine el valor de verdad de cada proposición:

a) ∀𝒙 𝒙 + 𝟓 ≥ 𝟎 ∨ ∃𝒙 𝟐𝒙 < 𝟎 b) ∃𝒙 𝒙𝟐 − 𝟗 = 𝟎 ↔ ∀𝒙 𝒙𝟐 − 𝟏 > 𝟎

c) ∃𝒙 𝒙𝟐+ 𝟏 < 𝟎 ∧ ∀𝒙 𝒙

𝟑− 𝟏 < 𝟎

Solución: a) Si x = −7( ) , no se cumple que x +5≥ 0( )

Por lo tanto, ∀x x +5≥ 0( )#$

%&≡ 0

Si x = −1( ) , se cumple que 2x < 0( ) Por lo tanto, ∃x 2x < 0( )"

#$%≡1

∀x x +5≥ 0( )#$

%&

0! "## $##

∨ ∃x 2x < 0( )#$

%&

1! "# $#

≡1

∴ La proposición es VERDADERA.

b) Si x = −3( ) , se cumple que x2 −9 = 0( ) Por lo tanto, ∃x x2 −9 = 0( )#

$%&≡1

Si x = −1( ) , no se cumple que x2 −1> 0( ) Por lo tanto, ∀x x2 −1> 0( )#

$%&≡ 0

∃x x2 −9 = 0( )#$

%&

1! "## $##

↔ ∀x x2 −1> 0( )#$

%&

0! "## $##

≡ 0

∴ La proposición es FALSA.

c) Si x = −3( ) , se cumple que x2+1< 0

!

"#

$

%&

Por lo tanto, ∃x x2+1< 0

"

#$

%

&'

(

)*

+

,-≡1


Si x = 6( ) , no se cumple que x3−1< 0

"

#$

%

&'

Por lo tanto, ∀x x3−1< 0

#

$%

&

'(

)

*+

,

-.≡ 0

∃x x2+1< 0

"

#$

%

&'

(

)*

+

,-

1! "## $##

∧ ∀x x3−1< 0

"

#$

%

&'

(

)*

+

,-

0! "## $##

≡ 0

∴ La proposición es FALSA. Rúbrica:

a) Determina correctamente el valor de verdad de cada proposición simple.

Concluye que la proposición compuesta es verdadera. 8 puntos

b) Determina correctamente el valor de verdad de cada proposición simple. Concluye que la proposición compuesta es falsa.

8 puntos

c) Determina correctamente el valor de verdad de cada proposición simple. Concluye que la proposición compuesta es falsa.

9 puntos

Tema 2 (25 puntos) Sean los conjuntos no vacíos A y B , usando ÁLGEBRA PROPOSICIONAL, demuestre de ser posible que:

𝑨 − 𝑩 ∩ 𝑨 = 𝑨 − 𝑩 Solución:

x ∈ A− B∩ A( )$%

&'

≡ x ∈ A− B∩ A( )%&

'(

Definición de Igualdad entre conjuntos.

≡ x ∈ A( )∧¬ x ∈ B∩ A( )%&

'(

Definición de Diferencia entre conjuntos.

≡ x ∈ A( )∧¬ x ∈ B( )∧ x ∈ A( )$%

&'

Definición de Intersección entre conjuntos.

≡ x ∈ A( )∧ ¬ x ∈ B( )∨¬ x ∈ A( )%&

'(

Ley de De Morgan sobre la Conjunción.

≡ x ∈ A( )∧¬ x ∈ B( )$%

&'∨ x ∈ A( )∧¬ x ∈ A( )$%

&' Ley Distributiva.

≡ x ∈ A( )∧¬ x ∈ B( )$%

&'∨0

Ley de Contradicción.

≡ x ∈ A( )∧¬ x ∈ B( )$%

&'

Ley de Identidad de la Disyunción.

x ∈ A− B∩ A( )$%

&'

≡ x ∈ A− B( )

Definición de Diferencia entre conjuntos.

Rúbrica:



Tema 3 (25 puntos) En una encuesta realizada a 2000 personas se obtuvo lo siguiente: 680 son clientes de CNT, 1380 son clientes de MOVISTAR, 1600 son clientes de CLARO, 1200 son clientes de CLARO y MOVISTAR, 200 son clientes de CNT pero no son clientes de MOVISTAR, 130 son clientes de CNT y no son clientes de CLARO, 150 son clientes de CNT y CLARO pero no son clientes de MOVISTAR. Determine:

a) La cantidad de personas que no son clientes de operadora telefónica alguna. b) La cantidad de personas que son clientes solamente de CNT. c) La cantidad de personas que son clientes de CNT, MOVISTAR y CLARO.

Solución: A partir de las características anotadas, se tiene que:

Re = x x es persona{ }T = x x es cliente de CNT{ }P = x x es cliente de MOVISTAR{ }C = x x es cliente de CLARO{ }

N Re( ) = 2000N T( ) = 680N M( ) =1380N C( ) =1600N C∩M( ) =1200N T −M( ) = 200N T −C( ) =130N T ∩C( )−M#$

%&=150

El diagrama de Venn que ilustra las condiciones dadas, es:

a) El valor que se pide es: N T ∪M ∪C( )C!

"#$%&=170

El número de personas que no son clientes de operadora telefónica alguna es igual a 170.

b) El valor que se pide es: N T − M ∪C( )#$

%&= 50

El número de personas que son solamente clientes de CNT es igual a 50.

C

T M

Re

50 100

150 800

250

80

400

170


c) El valor que se pide es: N T ∩M ∩C( ) = 400 El número de personas que son clientes de las tres operadoras es igual a 400.

Rúbrica:

Identifica las condiciones anotadas en el problema y plantea un diagrama de Venn. Determina las cardinalidades que son necesarias para concluir sobre cada valor solicitado y especifica dicho valor.

10 puntos 15 puntos

Tema 4 (25 puntos) Sea el conjunto referencial 𝑹𝒆 = 𝟏,𝟐,𝟑,𝟒,𝟓,𝟔,𝟕,𝟖,𝟗,𝟏𝟎,𝟏𝟏,𝟏𝟐 y los subconjuntos 𝑨, 𝑩 y 𝑪 no vacíos, tales que: 𝑨𝑪 ∩ 𝑩𝑪 − 𝑪 = 𝟏𝟐 𝑨 ∪ 𝑪 − 𝑩 = 𝟏,𝟐,𝟑,𝟏𝟎,𝟏𝟏 𝑨 ∪ 𝑩 − 𝑪 = 𝟐,𝟑,𝟒,𝟓,𝟖,𝟗 𝑩 ∪ 𝑪 − 𝑨 = 𝟕,𝟖,𝟗,𝟏𝟎,𝟏𝟏 Tabule los conjuntos 𝑨, 𝑩 y 𝑪 Solución: El diagrama de Venn que ilustra las condiciones dadas, es:

Los conjuntos son:

A= 1,2,3,4,5,6{ } B = 4,5,6,7,8,9{ } C = 1,6,7,10,11{ }

Rúbrica:

Elabora correctamente el diagrama de Venn con los tres subconjuntos. 10 puntos Tabula correctamente cada conjunto: A, B y C. 5 puntos c/u

Re

C

A B 2

1 7

8 5

10

12

3 4

9 6

111




TALLER 1 – (07H00) Guayaquil, 04 de mayo de 2015

S O L U C I Ó N Y R Ú B R I C A Tema 1 (20 puntos) Sean las proposiciones simples a , b y c , tales que el valor de verdad de la proposición compuesta ¬c∨ a→ b( )#

$%& es FALSA, determine el valor de verdad de las

siguientes proposiciones: a) a↔ b( )→ c∧a( ) b) c∨ b→ a( )!

"#$∧¬b

Solución: Se determinan los valores de verdad de las proposiciones simples presentes. Según lo

especificado, debe cumplirse que: ¬c∨ a→ b( )#$

%&≡ 0

Para que la disyunción entre dos proposiciones sea FALSA, cada proposición debe ser FALSA:

¬c ≡ 0( ) ∧ a→ b ≡ 0( )

c ≡1 a ≡1 b ≡ 0 Ahora se determinará el valor de verdad de cada proposición compuesta. a) a↔ b( )

1↔0!"# $#

→ c∧a( )1∧1!"#

≡ 0→1≡1

∴ La proposición compuesta a↔ b( )→ c∧a( )$

%&' es VERDADERA.

b) c∨ b→ a( )0→1!"# $#

#

$

%%%

&

'

(((

1∨1! "# $#

∧¬b1! ≡1∧1≡1

∴ La proposición compuesta c∨ b→ a( )!

"#$∧¬b

es VERDADERA.

Rúbrica: Determina correctamente el valor de verdad de las proposiciones simples a, b y c. 6 puntos a) Determina correctamente el valor de verdad de la proposición compuesta. 7 puntos b) Determina correctamente el valor de verdad de la proposición compuesta. 7 puntos


Tema 2 (20 puntos) Definiendo previamente las proposiciones simples, traduzca al lenguaje simbólico cada proposición compuesta: a) Los precios bajan cada vez que la producción aumenta. b) Existirá restricción vehicular adicional debido a que la contaminación aumenta. c) Solamente si las utilidades bajan, las exportaciones disminuyen. d) Si los elefantes volaran o supieran tocar el acordeón, pensaría que estoy como una

regadera y dejaría que me internaran en un psiquiátrico. e) Si aumenta la demanda, esto implica que aumenta la oferta; y, viceversa. Solución: a) Las proposiciones simples que se identifican, son:

𝑎: Los precios bajan. 𝑏: La producción aumenta.

La traducción al lenguaje simbólico sería: 𝑏 → 𝑎

b) Las proposiciones simples que se identifican, son: 𝑎: Existirá restricción vehicular adicional. 𝑏: La contaminación aumenta.


c) Las proposiciones simples que se identifican, son: 𝑎: Las utilidades bajan 𝑏: Las exportaciones disminuyen.


d) Las proposiciones simples que se identifican, son: 𝑎: Los elefantes volaran. 𝑏: Los elefantes supieran tocar el acordeón. 𝑐: Pensaría que estoy como una regadera. 𝑑: Dejaría que me internaran en un psiquiátrico.

La traducción al lenguaje simbólico sería: 𝑎 ∨ 𝑏 → 𝑐 ∧ 𝑑

e) Las proposiciones simples que se identifican, son: 𝑎: La oferta aumenta. 𝑏: La demanda aumenta.

La traducción al lenguaje simbólico sería: 𝑎 ↔ 𝑏

Rúbrica: a) Identifica las proposiciones simples y traduce correctamente con la condicional. 4 puntos b) Identifica las proposiciones simples y traduce correctamente con la condicional. 4 puntos c) Identifica las proposiciones simples y traduce correctamente con la condicional. 4 puntos d) Identifica las proposiciones simples y traduce correctamente con la disyunción, la

condicional y la conjunción. 4 puntos

e) Identifica las proposiciones simples y traduce correctamente con la bicondicional. 4 puntos


Tema 3 (20 puntos) Proporcionando un contraejemplo en cada caso, demuestre de ser posible que las siguientes proposiciones son FALSAS: a) Todos los países de América Latina tienen acceso soberano al mar. b) Todas las frutas cítricas son de color verde. Solución: a) Un posible contraejemplo puede ser Bolivia y otro puede ser Paraguay. b) Un posible contraejemplo puede ser una naranja madura. Rúbrica: a) Especifica un posible contraejemplo. 10 puntos b) Especifica un posible contraejemplo. 10 puntos

Tema 4 (20 puntos) Considere la proposición compuesta “No tendré accidentes de tránsito, ya que soy un buen conductor y conozco las leyes de tránsito”, la cual es VERDADERA. a) Traduzca al lenguaje formal la proposición dada. b) Determine la condición necesaria y la condición suficiente de la proposición dada. c) Escriba una posible traducción al lenguaje español de:

i) la recíproca de esta proposición. ii) la inversa de esta proposición. iii) la contrarrecíproca esta proposición.

Solución: a) Se identifican las proposiciones simples:

a : Tendré accidentes de tránsito. b : Soy un buen conductor. c : Conozco las leyes de tránsito.

La traducción al lenguaje simbólico es: b∧c( )→¬a

b) Condición necesaria: No tendré accidentes de tránsito.

Condición suficiente: Soy un buen conductor y conozco las leyes de tránsito. c) i) La recíproca en forma simbólica es: ¬a→ b∧c( )

Una posible traducción al lenguaje español sería: Soy un buen conductor y conozco las leyes de tránsito, ya que no tendré accidentes de tránsito.

ii) La inversa en forma simbólica es: ¬ b∧c( )→ a

Una posible traducción al lenguaje español sería: Tendré accidentes de tránsito, ya que no es cierto que, soy un buen conductor y conozco las leyes de tránsito.

iii) La contrarrecíproca en forma simbólica es: a→¬ b∧c( )

Una posible traducción al lenguaje español sería: No es verdad que, soy un buen conductor y conozco las leyes de tránsito, ya que tendré accidentes de tránsito.


Rúbrica: a) Identifica las proposiciones simples y traduce correctamente con la negación, la

conjunción y la condicional. 4 puntos

b) Especifica correctamente la condición necesaria. Especifica correctamente la condición suficiente.

2 puntos 2 puntos

c) i) Escribe correctamente en español una forma de recíproca. 4 puntos ii) Escribe correctamente en español una forma de inversa. 4 puntos iii) Escribe correctamente en español una forma de contrarrecíproca. 4 puntos

Tema 5 (20 puntos) Dada la forma proposicional:

p∧¬q( )∨ p∧r( )#$

%&→ q∧r( ){ }→ p→ q( )

Con el método de DEMOSTRACIÓN DIRECTA, de ser posible, concluya si la forma proposicional dada es tautológica. Solución:

p∧¬q( )∨ p∧r( )#$

%&→ q∧r( ){ }→

Hipótesis de la forma proposicional.

¬ p∧¬q( )∨ p∧r( )#$

%&∨ q∧r( ){ }→ Ley de Implicación.

¬ p∧ ¬q∨r( )#$

%&∨ q∧r( ){ }→ Ley Distributiva de la Conjunción

sobre la Disyunción.

¬p∨¬ ¬q∨r( )"#

$%∨ q∧r( ){ }→ Ley de De Morgan sobre la

Conjunción.

¬p∨ q∧¬r( )#$

%&∨ q∧r( ){ }→ Ley de De Morgan sobre la

Disyunción y Ley Involutiva.

¬p∨ q∧¬r( )∨ q∧r( )#$

%&{ }→ Ley Asociativa de la Disyunción.

¬p∨ q∧ ¬r∨r( )#$

%&{ }→ Ley Distributiva de la Conjunción

sobre la Disyunción.

¬p∨ q∧1#$ %&{ }→ Ley del Tercero Excluido.

¬p∨q{ }→ Ley de Identidad de la Conjunción.

p→ q( )→ Ley de Implicación.

p→ q( )→ p→ q( ) Tautología trivial.

Se puede notar que la conclusión se puede inferir lógicamente a partir de la hipótesis. Por lo

tanto, la forma proposicional p∧¬q( )∨ p∧r( )#$

%&→ q∧r( ){ }→ p→ q( ) es tautológica.

Rúbrica: Realiza un procedimiento adecuado y justifica cada paso de su demostración. 20 puntos





S O L U C I Ó N Y R Ú B R I C A Tema 1 (20 puntos) Si se tienen las formas proposicionales:

A : p→ r( )∧ ¬r→¬q( )#$

%&→ p→ q∧r( )#

$%&

B : p→ q( )∧ p→ r( )#$

%&→ ¬ q∧r( )→¬q#

$%&

Justificando su respuesta, indique el tipo de forma proposicional de cada una. Solución: a) p q r C

¬q D ¬r

E p→ r

F D→C

G E∧F

H q∧r

I p→ H

A G→ I

0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1

La forma proposicional A es una contingencia. b) p q r C

¬q D p→ q

E p→ r

F D∧E

G q∧r

H ¬G

I H→C

B F→ I

0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1

La forma proposicional B es una contingencia.


Rúbrica: a) Elabora una tabla de verdad y concluye que la forma proposicional A es una

contingencia. 10 puntos

b) Elabora una tabla de verdad y concluye que la forma proposicional B es una contingencia.

10 puntos

Observación.-‐ El estudiante puede utilizar otro método que esté debidamente justificado. Tema 2 (20 puntos) Suponga que la proposición “Es necesario que el disco duro sea formateado para que Juan no recupere la información o la computadora encienda” es VERDADERA. Escriba una posible traducción al lenguaje español de: a) la recíproca de esta proposición. b) la inversa de esta proposición. c) la contrarrecíproca de esta proposición. Solución: Se identifican las proposiciones simples: a : El disco duro es formateado. b : Juan recupera la información. c : La computadora enciende.

La traducción al lenguaje simbólico es: ¬b∨c( )→ a La recíproca en forma simbólica es: a→ ¬b∨c( ) Una posible traducción al lenguaje español sería: Es necesario que, Juan no recupere la información o la computadora encienda, para que el disco duro sea formateado.

La inversa en forma simbólica es: ¬ ¬b∨c( )→¬a#$

%&≡ b∧¬c( )→¬a#

$%&

Una posible traducción al lenguaje español sería: No es necesario que el disco duro sea formateado ya que, Juan recupera la información y la computadora no enciende.

La contrarrecíproca en forma simbólica es: ¬a→¬ ¬b∨c( )#$

%&≡ ¬a→ b∧¬c( )#

$%&

Una posible traducción al lenguaje español sería: Es necesario que, Juan recupere la información y la computadora no encienda, para que el disco duro no sea formateado.

Rúbrica: Identifica las proposiciones simples y traduce correctamente al lenguaje simbólico con la negación, la conjunción y la condicional.

5 puntos

a) Escribe correctamente en español una forma de recíproca. 5 puntos b) Escribe correctamente en español una forma de inversa. 5 puntos c) Escribe correctamente en español una forma de contrarrecíproca. 5 puntos


Tema 3 (20 puntos) Dado el razonamiento H1∧H2( )→C , donde:

H1 : Si se concluye con éxito la construcción del nuevo parque en el Barrio del Centenario, se cooperará para el embellecimiento de la urbe.

H2 : Se cooperará para el embellecimiento de la urbe y se incrementará la capacitación de más turistas.

a) Determine una conclusión diferente a las hipótesis para que el razonamiento sea válido. b) Determine una conclusión para que el razonamiento no sea válido. Solución: Se identifican las proposiciones simples: 𝑎: Se concluye con éxito la construcción del nuevo parque en el Barrio del Centenario. 𝑏: Se cooperará para el embellecimiento de la urbe. 𝑐: Se incrementará la capacitación de más turistas.

Se plantean las hipótesis que están presentes: H1 : a→ b H2 : b∧c

Por lo que la estructura lógica del razonamiento será:

H1∧H2"# $%→Conclusión

a→ b( )∧ b∧c( )!"

#$→Conclusión

A partir de esta proposición compuesta se obtiene la siguiente forma proposicional:

p→ q( )∧ q∧r( )!"

#$→Conclusión

a) Se buscará una expresión lógica de la forma: 1→1 . Es decir, se supondrá que el

antecedente sería reemplazado por una proposición verdadera y el consecuente también sería reemplazado por una proposición verdadera, escenario bajo el cual la forma proposicional sería tautológica.

p→ q( )∧ q∧r( )!"

#$→Conclusión

p ≡1 q ≡1 r ≡1 Una conclusión para que la forma proposicional sea tautológica puede ser: C : q Es decir, “Se cooperará para el embellecimiento de la urbe”. Lo forma proposicional se puede leer así: “Si cada vez que se tiene p, se tiene q. Y tenemos q y r. Seguro que se tiene q”.

b) Se buscará una expresión lógica de la forma: 1→ 0 . Es decir, se supondrá que el consecuente sería reemplazado por una proposición falsa y el antecedente sería reemplazado por una proposición verdadera, escenario bajo el cual la forma proposicional no sería tautológica.


p→ q( )∧ q∧r( )!"

#$→Conclusión

p ≡1 q ≡1 r ≡1

Una conclusión para que la forma proposicional no sea tautológica puede ser: C :¬r

Al asociar proposiciones verdaderas a las variables proposicionales p , q y r , se puede notar que se tiene una forma proposicional no tautológica. Por lo tanto, el razonamiento NO ES VÁLIDO.

Rúbrica:

Identifica las proposiciones simples y los operadores lógicos presentes. Traduce correctamente al lenguaje formal la proposición compuesta. Plantea las hipótesis de la forma proposicional.

4 puntos 4 puntos

Determina correctamente una conclusión para que el razonamiento sea válido. 6 puntos Determina correctamente una conclusión para que el razonamiento no sea válido. 6 puntos

Tema 4 (20 puntos) Dada la proposición compuesta: “Si Homero come donas, Gokú tiene super poderes y Doraemon no odia a Nobita”. Usando las propiedades de los operadores lógicos, determine si cada proposición planteada es equivalente: a) Gokú no tiene super poderes o Doraemon odia a Nobita, sólo si Homero no come

donas. b) Doraemon odia a Nobita ya que no es cierto que: Homero come donas y Gokú no

tiene super poderes. c) Si Homero come donas, Gokú tiene super poderes. Pero cuando Homero come

donas, Doraemon no odia a Nobita. d) O Homero come donas o Doraemon no odia a Nobita, pero Gokú tiene super

poderes. Solución: Las proposiciones simples que se identifican, son:

a : Homero come donas. b : Gokú tiene super poderes. c : Doraemon odia a Nobita.

La traducción al lenguaje simbólico es: a→ b∧¬c( )

a) La proposición se traduce como: ¬b∨c( )→¬a#$

%& ≡ ¬ b∧¬c( )→¬a$

%&'

Puesto que se trata de la contrarrecíproca de la proposición original, sí es equivalente.

b) La proposición se traduce como: ¬ a∧¬b( )→ c Se puede observar que se trata de una nueva proposición que no es equivalente.


c) La proposición se traduce como: a→ b( )∧ a→¬c( )#$

%& ≡ a→ b∧¬c( )$

%&'

Se puede observar que se trata de una nueva proposición que sí es equivalente.

d) La proposición se traduce como: a∨¬c( )∧b Se puede observar que se trata de una nueva proposición que no es equivalente.

Rúbrica: a) Traduce al lenguaje simbólico y justifica que sí es una proposición equivalente. 5 puntos b) Traduce al lenguaje simbólico y justifica que no es una proposición equivalente. 5 puntos c) Traduce al lenguaje simbólico y justifica que sí es una proposición equivalente. 5 puntos d) Traduce al lenguaje simbólico y justifica que no es una proposición equivalente. 5 puntos


p→ q( )∧ p→ r( )#$

%&→ p→ q∧r( )#

$%&


p→ q( )∧ p→ r( )#$

%&→

Hipótesis de la forma proposicional.

¬p∨q( )∧ ¬p∨r( )#$

%&→ Ley de Implicación (2 veces).

¬p∨ q∧r( )#$

%&→ Ley Distributiva de la Disyunción

sobre la Conjunción.

p→ q∧r( )#$

%&→ Ley de Implicación.

p→ q∧r( )#$

%&→ p→ q∧r( )#

$%& Tautología trivial.

Se puede notar que la conclusión se puede inferir lógicamente a partir de la hipótesis. Por lo

tanto, la forma proposicional p→ q( )∧ p→ r( )#$

%&→ p→ q∧r( )#

$%& es tautológica.






S O L U C I Ó N Y R Ú B R I C A Tema 1 (20 puntos) Escriba la traducción al lenguaje formal de la siguiente proposición compuesta:

“Si te digo que gana Barcelona, no me lo crees. Pero, siempre que te digo que pierde Emelec, te echas a llorar. En fin: o gana Barcelona o no gana, solo si tú no te echas a llorar ni tampoco me crees”.

Solución: Las proposiciones simples que se identifican, son:

a : Te digo que gana Barcelona. b : Me lo crees. c : Te digo que pierde Emelec. d : Te echas a llorar.

En base a las palabras claves y los signos de puntuación:

“Si te digo que gana Barcelona, no me lo crees. Pero, siempre que te digo que pierde Emelec, te echas a llorar. En fin: o gana Barcelona o no gana, solo si tú no te echas a llorar ni tampoco me crees”.

Se concluye que la traducción al lenguaje simbólico sería:

a→¬b( )∧ c→ d( )#$

%&→ a∨¬a( )→ ¬d ∧¬b( )#

$%&

Rúbrica: Identifica correctamente las proposiciones simples. 8 puntos Traduce correctamente al lenguaje simbólico con la negación, la disyunción inclusiva, la condicional, la disyunción exclusiva y la conjunción. 12 puntos

Tema 2 (20 puntos) Considere la proposición compuesta “Si el reptil es un Pterodactylus, es volador y no es un dinosaurio”, la cual es VERDADERA. a) Traduzca al lenguaje formal la proposición dada. b) Determine la condición necesaria y la condición suficiente de la proposición dada. c) Escriba una posible traducción al lenguaje español de:

i) la recíproca de esta proposición. ii) la inversa de esta proposición. iii) la contrarrecíproca esta proposición.


Solución: a) Se identifican las proposiciones simples:

a : El reptil es un Pterodactylus. b : El reptil es volador. c : El reptil es un dinosaurio.

La traducción al lenguaje simbólico es: a→ b∧¬c( )

b) Condición necesaria: El reptil es volador y no es un dinosaurio.

Condición suficiente: El reptil es un Pterodactylus. c) i) La recíproca en forma simbólica es: b∧¬c( )→ a

Una posible traducción al lenguaje español sería: Si el reptil es volador y no es un dinosaurio, es un Pterodactylus.

ii) La inversa en forma simbólica es: ¬a→¬ b∧¬c( )#$

%&≡ ¬a→ ¬b∨c( )#

$%&

Una posible traducción al lenguaje español sería: Si el reptil no es un Pterodactylus, no es volador o es un dinosaurio.

iii) La contrarrecíproca en forma simbólica es: ¬ b∧¬c( )→¬a#$

%&≡ ¬b∨c( )→¬a#

$%&

Una posible traducción al lenguaje español sería: Si el reptil no es volador o es un dinosaurio, no es un Pterodactylus.

Rúbrica: a) Identifica las proposiciones simples y traduce correctamente al lenguaje simbólico

con la negación, la conjunción y la condicional. 4 puntos

b) Especifica correctamente la condición necesaria. Especifica correctamente la condición suficiente.

2 puntos 2 puntos

c) i) Escribe correctamente en español una forma de recíproca. 4 puntos ii) Escribe correctamente en español una forma de inversa. 4 puntos iii) Escribe correctamente en español una forma de contrarrecíproca. 4 puntos

Tema 3 (20 puntos) Proporcionando un contraejemplo en cada caso, demuestre de ser posible que las siguientes proposiciones son FALSAS: a) En todos los meses del año no se celebran fechas cívicas. b) La forma proposicional es una contradicción cuando las variables proposicionales que la

conforman son reemplazadas por proposiciones falsas. Solución: a) Un posible contraejemplo puede ser mayo, ya que se celebra la Batalla del Pichincha el 24

de mayo. Otro posible contraejemplo puede ser agosto, ya que se celebra el Primer Grito de Independencia el 10 de agosto.


b) Observe la siguiente forma proposicional: p→ q( )∧ p∧¬q( )

La forma proposicional es una contradicción, lo cual se puede verificar si las variables proposicionales son reemplazadas por cualquier combinación de proposiciones verdaderas o falsas.

Rúbrica: a) Especifica correctamente un posible contraejemplo. 10 puntos b) Especifica correctamente un posible contraejemplo. 10 puntos

Tema 4 (20 puntos) Dadas las hipótesis: 𝑯𝟏: Si estudio, aprendo. 𝑯𝟐: Si aprendo, seré buen estudiante en ESPOL. 𝑯𝟑: No termino la carrera de ingeniero, siempre que no sea buen estudiante en ESPOL.

Determine la validez del razonamiento para cada conclusión propuesta: a) Estudio. b) No estudio. c) Termino la carrera de ingeniero. d) No aprendo y estudio.

Solución: Se identifican las proposiciones simples: 𝑎: Estudio. 𝑏: Aprendo. 𝑐: Seré buen estudiante en ESPOL. 𝑑: Termino la carrera de ingeniero.

Se plantean las hipótesis que están presentes:

H1 : a→ b H2 : b→ c H3 : ¬c→¬d Por lo que la estructura lógica del razonamiento será:

H1∧H2 ∧H3"# $%→Conclusión

a→ b( )∧ b→ c( )∧ ¬c→¬d( )!"

#$→Conclusión

A partir de esta proposición compuesta se obtiene la siguiente forma proposicional:

p→ q( )∧ q→ r( )∧ ¬r→¬s( )#$

%&→Conclusión

Ahora se analizará el tipo de forma proposicional, según cada conclusión planteada.

a) La forma proposicional sería: p→ q( )∧ q→ r( )∧ ¬r→¬s( )#$

%&→ p

Se busca una expresión lógica de la forma: 1→ 0 . Es decir, se supondrá que el consecuente sería reemplazado por una proposición falsa y el antecedente sería reemplazado por una proposición verdadera, escenario bajo el cual la forma proposicional no sería tautológica.


p→ q( )∧ q→ r( )∧ ¬r→¬s( )#$

%&→ p

p ≡ 0

q ≡1 r ≡1

s ≡1 Al asociar una proposición falsa a la variable proposicional p , y asociar proposiciones verdaderas a las variables proposicionales q , r y s , se puede notar que se tiene una forma proposicional no tautológica. Por lo tanto, el razonamiento NO ES VÁLIDO.

b) La forma proposicional sería: p→ q( )∧ q→ r( )∧ ¬r→¬s( )#$

%&→¬p

Se hace un análisis similar al del literal anterior.

p→ q( )∧ q→ r( )∧ ¬r→¬s( )#$

%&→¬p

p ≡1

q ≡1 r ≡1

s ≡1 Al asociar proposiciones verdaderas a las variables proposicionales p , q , r y s , se puede notar que se tiene una forma proposicional no tautológica. Por lo tanto, el razonamiento NO ES VÁLIDO.

c) La forma proposicional sería: p→ q( )∧ q→ r( )∧ ¬r→¬s( )#$

%&→ s

s ≡ 0

p ≡1 q ≡1 r ≡1 Al asociar proposiciones verdaderas a las variables proposicionales p , q y r , y asociar una proposición falsa a la variable proposicional s , se puede notar que se tiene una forma proposicional no tautológica. Por lo tanto, el razonamiento NO ES VÁLIDO.

d) La forma proposicional sería: p→ q( )∧ q→ r( )∧ ¬r→¬s( )#$

%&→ ¬q∧ p( )

q ≡ 0

p ≡ 0

r ≡1 s ≡1


Al asociar proposiciones falsas a las variables proposicionales p y q , y proposiciones verdaderas a la variables proposicionales r y s , se puede notar que se tiene una forma proposicional no tautológica. Por lo tanto, el razonamiento NO ES VÁLIDO.

Rúbrica:

Identifica las proposiciones simples y los operadores lógicos presentes. Traduce correctamente al lenguaje formal la proposición compuesta. Plantea las hipótesis de la forma proposicional.

2 puntos 2 puntos

a) Aplica correctamente un método para verificar la validez del razonamiento. b) Aplica correctamente un método para verificar la validez del razonamiento. c) Aplica correctamente un método para verificar la validez del razonamiento. d) Aplica correctamente un método para verificar la validez del razonamiento.

4 puntos 4 puntos 4 puntos 4 puntos


¬ ¬p∧¬q( )∨ p∧ q∨¬p( )( )#$

%&→¬ p∧q( )


¬ ¬p∧¬q( )∨ p∧ q∨¬p( )( )#$

%&→ Hipótesis de la forma proposicional.

¬ ¬ p∨q( )∨ p∧ q∨¬p( )( )#$

%&→ Ley de De Morgan sobre la Disyunción.

p∨q( )∧¬ p∧ q∨¬p( )( )#$

%&→ Ley de De Morgan sobre la Disyunción

y Ley Involutiva.

p∨q( )∧¬ p∧q( )∨ p∧¬p( )( )#$

%&→ Ley Distributiva de la Conjunción sobre

la Disyunción.

p∨q( )∧¬ p∧q( )∨0( )#$

%&→ Ley de la Contradicción.

p∨q( )∧¬ p∧q( )#$

%&→ Ley de Identidad de la Disyunción.

p∨q( )∧¬ p∧q( )#$

%&→ ¬ p∧q( ) Ley de Simplificación.

Se puede notar que la conclusión se puede inferir lógicamente de la hipótesis. Por lo tanto, la

forma proposicional ¬ ¬p∧¬q( )∨ p∧ q∨¬p( )( )#$

%&→¬ p∧q( ) es tautológica.


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